Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa TỔ HỢP – XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai hành động A B Nếu hành động A có m cách thực hiện, hành động B có n cách thực khơng trùng với cách hành động A cơng việc có m + n cách thực VD1 Có sách tốn A B khác nhau, hai sách C D khác Cần chọn sách, hỏi có cách Giải: + Trường hợp 1: chọn sách tốn có cách + Trường hợp 2: chọn sách vật lý có cách + Trường hợp : chọn sách tốn sách vật lý có cách ( A C, A D, B C, B D) Vậy có + + =6 cách chọn VD2 Từ tập hợp X = {a, b, c} chọn tập hợp A Hỏi có cách Giải + Trường hợp 1: chọn tập hợp khơng chứa phần tử có cách tập rỗng + Trường hợp 2: chọn tập hợp có phần tử A có cách, {a}, {b}và {c} + Trường hợp 3: chọn tập hợp có phần tử A có cách, {a, b}, {b, c}và {c, a} + Trường hợp 4: chọn tập hợp có phần tử A có cách, {a, b, c } Vậy có + + +1 = cách chọn Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai hành động A B Nếu hành động A có m cách thực ứng với cách có n cách thực hành động B công việc có m.n cách thực VD3 Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, lập số tự nhiên có chữ số phân biệt + Bước : chọn chữ số hàng trăm có cách ( trừ chữ số 0) + Bước : chọn chữ số hàng chục có cách ( trừ chữ số chọn hang trăm) + Bước : chọn chữ số đơn vị có cách ( trừ chữ số chọn) Vậy có 7.7.6 = 294 số VD4 Từ phần tử A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập số tự nhiên chẳn gồm chữ số khác Giải Gọi A = a1a2 a3 với a1 ≠ a1 , a2 , a3 ∈ A số cần lập + Trường hợp 1: A = a1a2 ( a3 ≠ 0) -Bước 1: chọn a1 có cách, a1 = 2, 3, 4, -Bước 2: chọn a2 có cách ( trừ chữ số chữ số a1 chọn) Suy có 5.4 = 20 số A = a1a2 + Trường hợp 2: A = a1a2 a3 ( a3 ≠ ) - Bước : chọn a3 có cách , a3 = - Bước : chọn a1 có cách ( trừ số số a3 chọn) - Bước : chọn a2 có cách từ chữ số lại Suy có 4 = 32 số A = a1a2 a3 ( a3 ≠ ) Vậy có 20 + 32 = 52 số VD5 Từ chữ số 1, 2, lập số gồm chữ số Giải Gọi A = a1a2 với a1 , a2 khơng biêt số cần lập - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa + Bước : chọn chữ số để vào a1 có cách + Bước : chọn chữ số để vào a2 có cách( chữ số khơng phân biệt) VD6 cần xếp người A, B , C lên toa tàu ( toa chứa người) Hỏi có cách xếp + Bước : người A có lựa chọn toa tàu + Bước : người B có lựa chọn toa tàu + Bước : người C có lựa chọn tao tàu Vậy có 2.2.2 = cách xếp Nhận xét : Chỉ dùng quy tắc đếm , cộng nhân ưu điểm sai sót nhược điểm lời giải dài dòng Bài tập làm thêm Bài 1: Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, bơng hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bơng hoa? ĐS: a/ 18 Bài 2: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài 3: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 4: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số: a/ có chữ số khác nhau? c/ chia hết cho có chữ số khác nhau? d/ chẵn có chữ số khác nhau? e/ lẻ có chữ số khác ? b/ lớn 300 có chữ số khác nhau? ĐS: a/ 100 c/ 36 d/ 52 e/ 48 b/ 60 Bài 5: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? ĐS: 35 Bài 6: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29 II Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 1.Hốn vị Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử là: Pn = n!= 1.2.3…n Qui ước: 0! = VD7 Sắp xếp người vào băng ghế có chổ Hỏi có cách Giải Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hốn vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa VD8 Từ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1a a a a5 ( a1 ≠ 0) a1 , a2 , a3, a4 ,a5 phân biệt số cần lập +Bước : chữ số a1 ≠ nên có cách chọn +Bước : chữ số lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số Bài tập làm thêm Bài Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Khơng bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Khơng bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Khơng bắt đầu 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ 118 Bài Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hốn vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Bài Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài Có xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có cách xếp ĐS: Q8 = 7! Bài Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12 Bài Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau? ĐS: a/ 86400 b/ 2903040 2.Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! k An = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n − k )! n • Khi k = n An = Pn = n! - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa VD9 Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để người vào có hốn vị chỉnh hợp chập 7! = 2520 cách Vậy có A7 = ( − 5)! VD10.Từ tập X = {0,1,2,3,4,5} lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1 a a a ( a1 ≠ ) a1 , a2 , a3 , a4 khác số cần lập +Bước 1: chữ số a1 có cách chọn ( khơng chọn số 0) +Bước 2: chọn số số lại để vào vị trí có A5 cách chọn Vậy có A5 = 300 số Bài tập: Bài Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? ĐS: 3 Có A10 A6 cách Bài Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? ĐS: a) 9.A9 b) Có 95 số Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) A6 3 b) A5 + 3.5 A5 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde • Nếu a = có A6 số • Nếu a ≠ a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e Þ có cách chọn vị trí cho số vị trí lại chọn từ chữ số lại Þ có A5 cách chọn Þ Có A6 + 4.5 A5 = 1560 số Bài Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345 d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1? ĐS: a/ 312 b/ 24 c/ d/ 120 ; 480 Bài Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Bài Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau? ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160 - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa 3.Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A k Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C n n! k!( n − k )! VD11.Có 100 sách tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn sách tổ hợp chập 10.(Khơng quan tâm thứ tự) Vậy có C10 = 210 cách chọn VD12 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách chọn + Trường hợp 1: có nữ nam - Bước 1: Chọn bạn nữ có cách - Bước 2: chọn hai bạn nam có C k Cn = Suy có C cách chọn + Trường hợp 2: có nữ nam - Bước 1: Chọn nữ có C cách - Bước 2: chọn nam có cách Suy có C cách chọn + Trường hợp 3: chọn bạn nữ có cách 2 Vậy có C + C +1 = 46 cách chọn Nhận xét : i/ Điều kiện để xảy hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii/ Chỉnh hợp tổ hợp khác chổ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự tổ hợp khơng Bài tập làm thêm Bài Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: • Đề gồm câu lý thuyết tập: C4 C6 = 36 C4 C6 = 60 • Đề gồm câu lý thuyết tập: Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Bài Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ 2 2 ĐS: a) C40 b) C25 C15 c) C25 C15 d) C25 C15 + C25 C15 + C25 C15 + C25 4 e) C40 − C25 − C15 Bài Từ 20 người, chọn đồn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số đứng đầu chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đơi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Bài Một đồn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a/ Có cách xếp cho vị khách lên toa b/ Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói ĐS: a/ 99.b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Phương pháp giải tốn a Phương pháp Bước 1: Đọc kỹ u cầu số liệu đề Phân tốn trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bước 2: Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết tốn để sử dụng quy tắc cộng , nhân, hốn vị, chỉnh hợp hay tơt hợp Bước 3: Đáp án tổng kết kết trng hợp VD13 Một nhóm cơng nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người lâp tổ cơng tác có tổ trưởng nam có nữ Hỏi có cách lập tổ cơng tác +Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách - Bước : Chọn 13 nam lại có C13 cách 2 Suy có A15 C13 cách chọn trường hợp +Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C5 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách - Bước : Chọn 13 nam lại có 13 cách 2 Suy có 13 A15 C5 cách chọn trường hợp +Trường hợp 3: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C5 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách Suy có C5 A15 cách chọn trường hợp 2 2 Vậy có A15 C13 +13 A15 C5 + C5 A15 = 111300 cách Cách khác: +Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trường tổ phó có A15 cách +Bước 2: Chọn tổ viên, có nữ -Trường hợp 1: chọn nữ nam có C13 cách -Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13 C5 cách -Trường hợp 3: chọn nữ có C5 cách 2 Vậy có A15 (5 C13 +13 C5 + C5 ) = 111300 cách b Phương pháp - Trang - Tài liệu tập tổ hợp – xác suất Trần Chánh Nghĩa Đối với nhiều tốn , phương pháp dài Do ta sữ dụng phương pháp lại trừ ( phần bù ) theo phép tốn A ∪ A = X ⇒ A = X \ A Bước 1: chia u cầu tốn thành phần u cầu chung X ( tổng qt) gọi loại u cầu riêng A.Xét A phủ định A , nghĩa khơng thỏa u cầu riêng gọi loại Bước 2: tính số cách chọn loại loại Bước 3: đáp số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý : cách phân loại loại loại hay có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải VD14 Từ số 0,1,2,3,4 lập số tự nhiên có chữ số khác Giải + Loại 1: chữ số a1 tùy ý có 5! = 120 số + Loại 2: chữ số a1 = ta có 4! = 24 số Vậy có 120 – 24 = 96 số VD15 : Một nhóm có nam nữ chọn người cho có nữ Hõi có cách Giải + loại : chọn người tùy ý 13 người có C13 cách + Loại : chọn nam ( khơng có nữ) nam có C7 cách 3 Vậy có C13 - C7 = 251 cách chọn Chú ý : phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót phân loại tính số lượng loại - Trang -