CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. Qui tắc đếm: 1. Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi n phương án độc lập (n ≥ 2) lần lượt có số cách thực hiện m 1 , m 2 , , m n . Vậy công việc đó sẽ có m 1 + m 2 + + m n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi n bước độc lập mới hoàn thành (n ≥ 2) lần lượt có số cách thực hiện m 1 , m 2 , , m n . Vậy công việc đó sẽ có m 1 .m 2 m n cách thực hiện. II. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp 1. Hoán vị: Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị là P n = n(n – 1)…2.1 = n! 2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp là k n A = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) = n! (n k)!− (1 ≤ k ≤ n) 3. Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các tổ hợp là k n n! C k!(n k)! = − (0 ≤ k ≤ n) Tính chất 1: k n k n n C C − = Tính chất 2: k 1 k k n 1 n 1 n C C C − − − + = (1 ≤ k ≤ n) III. Công thức nhị thức Niu tơn: (a + b) n = 0 n 1 n 1 n n n n n C a C a b C b − + + + B. Bài tập Bài 1. Trong một đội văn nghệ có 12 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn a. Một người hát đơn ca. b. Một đôi song ca nam nữ. Bài 2. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không đi lại đường cũ khi trở lại? Bài 3. Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a. có 4 chữ số b. có 4 chữ số mà các chữ số khác nhau. Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên a. là số chẵn có hai chữ số b. là số lẻ và có 2 chữ số c. là số lẻ và có 2 chữ số phân biệt d. là số chẵn có 2 chữ số phân biệt Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số khác nhau và đều chẵn? Bài 6. Một lớp có 45 học sinh, dăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao? Bài 7. Trong trường trung học phổ thông A, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. a. Nhà trường cần chọn hai học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? b. Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 8. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên Toán và một học sinh chuyên Tin. Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 9. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; có bao nhiêu số tự nhiên a. gồm 6 chữ số mà các chữ số đều khác nhau b. gồm 5 chữ số đều khác nhau và chia hết cho 5 Bài 10. Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ các chữ số: 0, 2, 3, 6, 9 Bài 11. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? Bài 12. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5; có bao nhiêu số a. có 3 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 5 b. có 3 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 9 Bài 13. Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó? Bài 14. Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ. a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? b. Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Uỷ ban thường vụ thì có bao nhiêu cách? Bài 15. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số 3? c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1? d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số lẻ? Bài 16. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế Bài 17. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau Bài 18. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu a. Các học sinh ngồi tùy ý b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn Bài 19. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu a. Năm chữ số 1 kề nhau b. Năm chữ số 1 sắp tùy ý Bài 20. Có bao nhiêu tam giác được lập từ 6 điểm khác nhau mà không có 3 điểm nào thẳng hàng? Bài 21. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt sao cho a. Số tạo thành là số chẵn b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1 c. Nhất thiết phải có mặt chữ số 5 d. Phải có mặt hai chữ số 0 và 1 Bài 22. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 276 Bài 23. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có cả nam và nữ? Bài 24. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho? Bài 25. Có bao nhiêu cách xếp chổ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu a. Ghế sắp thành hàng dài b. Ghế sắp quanh một bàn tròn Bài 26. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn Bài 27. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự Hội nghị sao cho có ít nhất 1 cán bộ lớp Bài 28. Có hai đường thẳng song song d 1 và d 2 . Trên d 1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là ba trong số các điểm trên. Bài 29. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu a. trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu b. không có đủ ba màu Bài 30. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 Bài 31. Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Cử 8 em đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em. Hỏi có bao nhiêu cách cử như vậy Bài 32. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy Bài 33. Bill Gate có 11 người bạn thân. Ông muốn mời 5 trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người này có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời mà không xảy ra mâu thuẩn Bài 34. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ. Bài 35. Giải các phương trình và bất phương trình sau a. P 2 x² – P 3 x = 8 b. 2 2 x 2x 2A 50 A+ = c. 1 2 3 x x x 7 C C C x 2 + + = d. 3 2 n n A C+ = 14n e. 3 4 2 n n n A 2C 3A− = f. 2 2 n 1 n C 3A + + < 30 g. P n+4 .P n–1 < 15P n .P n+2 . h. 3 2 2n n C 20C= Bài 36. Giải các hệ phương trình a. y y x x y y x x 2A 5C 90 5A 2C 80 + = − = b. y 2 y 1 x x y y 1 x x 5C 3C C C − − − = = Bài 37. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó chữ số 1 và 6 có mặt hai lần, các chữ số còn lại có mặt 1 lần Bài 38. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ Bài 39. Cho hai đường thẳng song song d 1 và d 2 . Trên d 1 có 10 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm phân biệt (n >1). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Bài 40. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số chẵn, sao cho mỗi số có 5 chữ số khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau Bài 41. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đều khác nhau? Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó Bài 42. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho: số 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các số còn lại có mặt không quá một lần Bài 43. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đều khác nhau, không bắt đầu bằng 123. Bài 44. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu tơn a. (2a + b) 5 . b. (x – y) 6 . c. (x – 1 x ) 9 . Bài 45. Tìm hệ số của x 9 trong khai triển của (1 + x) 12 . Bài 46. Tìm hệ số của x 15 trong khai triển của (2 – x) 19 . Bài 47. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x) n là 90. Tìm n. Bài 48. Từ khai triển biểu thức (2x – 3) 15 thành đa thức. Tính tổng các hệ số của đa thức đó Bài 49. Biết rằng hệ số của x n–2 trong khai triển (x – 1/4) n là 31. Tìm n. Bài 50. Chứng minh rằng: m 1 m n 1 n m C C n − − = (1 ≤ m ≤ n) Bài 51. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển a. (3/x + x/3) 12 . b. 7 3 4 1 ( x ) x + c. (1 + 2x – 1/x²) 9 . d. (x² + 1/x) n biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu là 46 Bài 52. Cho khai triển (x – 1/3) n = a n x n + a n–1 x n–1 + + a 1 x + a o . Biết a n–2 = 5. Tìm hạng tử đứng chính giữa Bài 53. Chứng minh rằng a. 16 0 15 1 15 16 16 16 16 16 16 3 C 3 C 3C C 2− + − + = b. 1 3 2n 1 0 2 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n C C C C C C 2 − − + + + = + + + = Bài 54. Tìm hệ số của hạng tử chứa x 4 trong khai triển của (1 + 2x + 3x²) 10 . Bài 55. Tìm hệ số của hạng tử chứa x 5 trong khai triển của x(1 – 2x) 5 + x²(1 + 3x) 10 . BÀI TẬP XÁC SUẤT Bài 56. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu. a. Lấy ngẩu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt b. Lấy ra ngẫu nhiên một lần 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt. Bài 57. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu Bài 58. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho a. Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8. b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2. c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau Bài 59. Có 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Biết các toa còn trống và mỗi toa có đủ chỗ cho cả 12 người. Tìm xác suất để a. Mỗi toa có 3 hành khách b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách. Bài 60. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được cả 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được Bài 61. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì. a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì. Bài 62. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau. Bài 63. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có tổng các ngày sinh là số chẵn. Bài 64. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để a. Hai quả cầu có màu đen b. Hai quả cầu cùng màu Bài 65. Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sau a. Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu b. Có ít nhất một người bắn trúng c. Cả hai người bắn trượt Bài 66. Bắn liên tiếp vào mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng. Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 6. Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2. Các lần bắn độc lập với nhau Bài 67. Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B và 20% điều trị bệnh C. Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này tương ứng là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi. Bài 68. Một người đi câu cá, xác suất câu được cá trong mỗi lần thả câu là 0,2. Người đó thả câu được 10 lần. Tính xác suất để người đó a. câu được hai con b. không câu được con nào c. câu được ít nhất một con Bài 69. Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra 2 quả để thi đấu. Sau đó lại trả 2 quả đó vào hộp trộn đều. Lần thứ hai lại lấy ra 2 quả. Tìm xác suất để cả 2 quả bóng lấy ra lần thứ hai đều là bóng mới. Bài 70. Tỷ số xe tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là 3/5. Xác suất để cho một xe tải bơm dầu là 0,1. Còn xác suất để một xe ô tô con bơm dầu là 0,2. Có một xe đến trạm để bơm dầu. Tìm xác suất để xe đó là xe tải. Bài 71. Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Trong quá trình kiểm tra, xác suất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật được chấp nhận là 0,95 và xác suất một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lại được chấp nhận là 0,08. Tìm xác suất để một sản phẩm qua kiểm tra được chấp nhận đúng là sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Bài 72. Có 2 quả tên lửa bắn và o một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác suất là 80%. Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác suất là 96%. a. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt b. Biết mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu. Bài 73. Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách: đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi qua cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi qua cầu thì chỉ có 70% trường hợp. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ. Bài 74. Tỷ lệ mắc bệnh A trong một cộng đồng là 10%. Ðể chẩn đoán người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu không bị bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 8%. Nếu có bệnh thì phản ứng dương tính là 96%. Mặt khác biết rằng khi phản ứng là dương tính thì xác suất bị bệnh là 0,8. a. Tìm xác suất để một người không có bệnh bị cho là có bệnh sau chẩn đoán b. Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên một người và chẩn đoán đúng là người đó mắc bệnh. Bài 75. Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bị mất một chai không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên một trong 19 chai còn lại. a. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai rượu thật b. Biết chai lấy ra là chai rượu thật. Tìm xác suất để lấy tiếp ra 2 chai nữa có một chai thật và một chai giả. Bài 76. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất của biến cố a. chỉ có một người bắn trúng đích. b. có nhiều nhất một người bắn trúng đích. c. mục tiêu bị bắn trúng. Bài 77. Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập. Mỗi người vào thi được lấy 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập. Trả lời đúng mỗi câu được 5 điểm, trả lời sai được 0 điểm. Việc trả lời câu lý thuyết và câu bài tập là độc lập. Khi vào thi học sinh A thuộc 12 câu lý thuyết và có thể làm được 6 bài tập. a. Tính xác suất để A đạt điểm 0 b. Tính xác suất để A đạt từ 5 điểm trở lên c. Tính kỳ vọng số điểm mà A có thể đạt được Bài 78. Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4; 0,5. Mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải dừng lại 3 phút. Hỏi thời gian trung bình mà người đó phải dừng lại trên đường là bao nhiêu? . trúng giải nhì. a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì. Bài 62. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau. Bài 63. Một lớp có 50. lời câu lý thuyết và câu bài tập là độc lập. Khi vào thi học sinh A thuộc 12 câu lý thuyết và có thể làm được 6 bài tập. a. Tính xác suất để A đạt điểm 0 b. Tính xác suất để A đạt từ 5 điểm trở. cho. Số các chỉnh hợp là k n A = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) = n! (n k)!− (1 ≤ k ≤ n) 3. Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k