Hệ thống bài tập trắc nghiệm tổ hợp – xác suất

Hệ thống bài tập trắc nghiệm Tổ hợp – xác suất 1 Hai quy tắc đếm cơ bản Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B.. Mở rộng quy tắc cộn

Hệ thống bài tập trắc nghiệm Tổ hợp – xác suất 1) Hai quy tắc đếm cơ bản

Quy tắc cộng:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có m cách thực hiện phương án A và n cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi

m + n cách

Mở rộng quy tắc cộng cho công việc có thể được thực hiện theo k phương án được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, , A k Có n1 cách

thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, và n k cách thực hiện phương án A k Khi

đó công việc có thể được thực hiện bởi n1+ n2+ + n k cách

*Chú ý Quy tắc cộng phát biểu dưới ngôn ngữ tập hợp:

Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là X hoặc n(X)

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập hợp A ∪ B là

A ∪ B = A + B

Mở rộng cho hai tập hợp A và B là các tập hữu hạn và giao nhau ta có

A ∪ B = A + B − A ∩ B

Quy tắc nhân:

Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể làm theo m cách, công đoạn

B có thể làm theo n cách Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi mn cách

Mở rộng quy tắc nhân cho công việc gồm k công đoạn được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc gồm k công đoạn A1, A2, , A k Có n1 cách thực hiện công đoạn A1, n2 cách

thực hiện công đoạn A2, và n k cách thực hiện công đoạn A k Khi đó công việc có thể được thực

hiện bởi n1n2 n k cách

*Chú ý: Cần phần biệt giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân

2) Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Hoán vị:

Một tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị

các phần tử của tập A (gọi tắt là hoán vị của A)

Với tập

A = a,b{ } có hai hoán vị là (a,b) và (b,a)

Với tập

A = a,b, c{ } có tất cả 6 hoán vị là

(a,b, c),(a, c,b),(b, a, c),(b, c, a),(c, a,b),(c,b, a)

Bài toán đặt ra là khi số phần tử của tập hợp rất lớn thì số hoán vị được tính như nào ngoài cách liệt kê

Số các hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử kí hiệu là P n và xác định được rẳng:

P n = n! = n(n −1)(n − 2) 1

Chứng minh

Chỉnh hợp:

Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử Khi lấy ra k phần tử từ tập A và sắp xếp k phần tử này theo một thứ

tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A)

Số các hỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là A n

k, xác định được rằng

A n

k = n!

(n− k)! = n(n −1) (n − k + 1).

Chứng minh

Tổ hợp:

Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử Khi lấy ra k phần tử từ tập A ta được một tập con của A, được gọi là

tổ hợp chập k của n phần tử (gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

Số các tổ hợp chập k của A kí hiệu là C n

k, xác định được rằng

C n

k = A n k k! =

n!

k!(n− k)!=

n(n−1) (n− k + 1)

Chứng minh

Câu 1: Bạn An vì nhà xa nên để đi xe bus đến trường phải bắt xe ở hai trạm xe bus, trạm thứ nhất có 5

xe bus có thể đến trạm thứ hai, ở trạm thứ hai có 6 xe bus có thể đến trường của An Vậy bạn An có bao nhiêu cách bắt xe bus để đến trường?

Câu 2: Có 6 tem thư và 6 bì thư Hỏi có bao nhiêu cách dán 6 tem thư lên 6 bì thư mà mỗi bì thư chỉ

dán có một tem thư?

Câu 3: Bạn An đặt mật khẩu cho laptop của mình là một dãy kí tự gồm 6 chữ số dạng a1a2a3a4a5a6

với

a i ∈ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9{ },i = 1,6 Hỏi bạn An có bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho Laptop của

mình?

Câu 4: Bạn An đặt mật khẩu cho laptop của mình là một dãy kí tự gồm 6 chữ số dạng a1a2a3a4a5a6

với

a i ∈ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9{ },i = 1,6 và a1< a2< a3< a4< a5< a6 Hỏi bạn An có bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho Laptop của mình?

Câu 5: Bạn An đặt mật khẩu cho tài khoản Facebook của mình là một dãy gồm 9 kí tự có dạng

Xy1y2y3a1a2a3a4a5 trong đó X là một trong 26 chữ cái tiếng anh viết in hoa, y1, y2, y3 là các chữ cái

tiếng anh viết thường và a1, a2, a3, a4, a5 là các chữ số từ 0 đến 9 Hỏi bạn An có bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho tài khoản Facebook của mình?

A 264.105 B 25.263.105 C 264.9.104 D 264.10.9.8.6.5

Câu 6: Anh Tuấn dự định đặt vé máy bay khứ hồi đi từ Hà Nội vào Tp HCM của hãng hàng không

Viet Nam Airlies ngày đi là 18/09/2016 và ngày về là 25/09/2016 Trên hệ thống của hãng bay VietNam Airlies trong ngày 18/09/2016 có 80 chuyến bay từ Hà Nội đi Tp.HCM và ngày 25/09/2016

có 90 chuyến bay từ Tp.HCM đi Hà Nội Vậy anh Tuấn có bao nhiêu cách đặt vé máy bay?

Câu 7: Một đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi với thời gian làm bài 90 phút, mỗi câu hỏi thí

sinh có 4 đáp án để lựa chọn trong đó chỉ có một đáp án đúng Hỏi với một học sinh không học bài mà chỉ lựa chọn đáp án ngẫu nhiên cho các câu hỏi thì có bao nhiêu cách làm hết đề thi?

Câu 8: Một thầy giáo có 12 cuốn sách muốn chọn ra 6 cuốn rồi tặng cho 6 em học sinh, mỗi em học

sinh một cuốn Hỏi có tất cả bao nhiêu cách?

Câu 9: Xếp 6 học sinh thành một hàng ngang có bao nhiêu cách?

Câu 10: Số 10.000 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương?

Câu 11: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số dạng abc với

a + b + c = 10

a < b < c

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ và a,b,c là các

chữ số từ 0 đến 9?

Câu 12: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số dạng abcdef với

a < b < c

d > e > f

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

với

a,b, c, d,e, f là các chữ số từ 0 đến 9?

Câu 13: Trên một mặt phẳng có n điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có

thể lập được bao nhiêu tam giác từ n điểm đã cho?

A

n(n−1)(n− 2)

n(n + 1)(n + 2)

n(n−1)(n− 2)

n(n + 1)(n + 2)

Câu 14: Một giải đấu bóng đá có tất cả n đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt Hỏi có tất cả bao

nhiêu trận đấu?

A

n(n + 1)

n(n−1)

n(n + 2)

(n + 1)(n + 2)

Câu 15: Một giải đấu bóng đá có tất cả n đội tham gia, thi đấu vòng tròn hai lượt gồm lượt đi trên sân

khách và lượt về trên sân nhà có tất cả bao nhiêu trận đấu?

A n(n+1) B n2. C n(n+ 2) D n(n−1)

Câu 16: Một buổi dạ hội có n cặp vợ chồng tham dự, trước khi bắt đầu biểu tiệc các cặp vợ chồng bắt

tay làm quen với tất cả các ông chồng và bà vợ của các cặp vợ chồng khác, biết rằng nếu là vợ chồng của nhau sẽ không bắt tay với nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?

A n(n+1) B n(n−1) C 2n(n−1) D n(2n−1)

Câu 17: Cho một đa giác lồi (H) có n (n ≥ 4) cạnh Số đường chéo của đa giác (H) là?

A

n(n−1)

n(n− 3)

n(n + 1)

n(n− 2)

2 .

Câu 18: Cho một đa giác lồi n cạnh Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác lồi đã cho là?

A

n(n−1)(n− 2)

n(n−1)(n− 2)

n(n−1)(n− 2)

n(n−1)(n + 2)

Câu 19: Cho một đa giác lồi (H) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H) và

chỉ có một cạnh là cạnh của (H) là?

A n(n−1) B n(n− 2) C n(n− 3) D n(n− 4)

Câu 20: Cho một đa giác lồi (H) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H) và có

hai cạnh là cạnh của (H) là?

Câu 21 *: Cho một đa giác lồi (H) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H) và

không có cạnh nào là cạnh của (H) là?

A

n(n2− 9n + 20)

n(n2+ 9n + 20)

n(n2− 9n + 20)

n(n2+ 9n + 20)

Câu 22: Một đa giác đều (H) có 2n cạnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo thành từ 4 đỉnh của

(H) ?

A

n2

n(n−1)

n(n + 1)

n2

4 .

Câu 23: Trên hai đường thẳng song song a và b Có m điểm phân biệt trên đường thẳng a và n điểm

phân biệt trên đường thẳng b Số tam giác tạo thành từ tất cả (m + n) điểm đã cho là?

A

mn(m + n + 2)

mn(m + n− 2)

mn(m + n + 1)

mn(m + n−1)

Câu 24: Trên hai đường thẳng song song a và b Có m điểm phân biệt trên đường thẳng a và n điểm

phân biệt trên đường thẳng b Biết rằng m + n = 2016. Số tam giác tạo thành từ tất cả 2016 điểm đã cho lớn nhất khi?

Câu 25: Mỗi người sử dụng mạng máy tính đều có mật khẩu Giả sử mỗi mật khẩu gồm 6 kí tự, mỗi kí

tự hoặc là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng anh) và mật khẩu phải có ít nhất là một chữ số Hỏi có thể lập được bao nhiêu mật khẩu?

Câu 26: Trên một mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm phân biệt Hỏi có thể lập được bao nhiêu

véc tơ khác véc tơ 0

!

mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P?

Câu 27: Trong một trường THPT, khối 11 có 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 140 học sinh

tham gia câu lạc bộ Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên Hỏi khối 11 của trường này có tất cả bao nhiêu học sinh?

Câu 28: Một giải đấu bóng đá có 12 đội bóng tham dự được chia thành ba bảng A, B, C mỗi bảng gồm

4 đội Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia bảng?

Câu 29: Một đội sinh viên tình nguyện gồm 15 người trong đó có 12 nam và 3 nữ Cần phân công đội

sinh viên tình nguyện này về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh gồm 4 nam và 1 nữ Hỏi có tất

cả bao nhiêu cách phân công?

Câu 30: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 5 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia

đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn cả đồng thời cả nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?