Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán trường KHTN hà nội 2013 2015(có đáp án)

Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

1) Tìm các số nguyên x y, không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho x 1 y 1

2) Với x y, là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 2  2y  1 0.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1

xy P y

1) Chứng minh rằng EF song song với BC.

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Câu IV

1) Cho bảng ô vuông 2015 2015  Kí hiệu ô ,i j là ô ở hàng thứ i , cột thứ j Ta vi t các sết các số ốnguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau :ng t 1 ừ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau : đết các sốn 2015 v o các ô c a b ng theo quy t c sau :ào các ô của bảng theo quy tắc sau : ủa bảng theo quy tắc sau : ảng theo quy tắc sau : ắc sau :

i) Số 1 được viết vào ô (1,1)

ii) Nếu số k được viết vào ô i j,  , i 1 thì số

k+1 được viết vào ô i 1,j 1

iii) Nếu số k được viết vào ô 1, j thì số k+1

được viết vào ô  j 1,1 (Xem hình 1.)

Khi đó số 2015 được viết vào ô m n,  Hãy xác

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI: TOÁN (vòng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Cho tam giác ABCnhọn không cân với AB AC Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi

H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM.Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2015-2016

2)Ta thấy x=y =0 là nghiệm của phương trình

Nếu y 0 nhân hai vế của phương trình với y

2 );

1

; 1 (

; 0

; 0

Câu 2

3) Tìm các số nguyên x y, không nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x 1 y 1

4) Với x y, là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 2  2y  1 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1

xy P y





Hướng dẫn

1) x 1 y 1

1 (

2 )

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

y x

y x y

x y

x

xy a

y x

; 1 1

1 0 2

) 2 )(

2 ( 1

1 1

1 1

y

x y

x y

1 3

1 ) (P   x y

2

3 3

1 ) (P   x y

Max

Câu 3

Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I Đường thẳng AI cắt BC tại D Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC.IB.

4) Chứng minh rằng EF song song với BC.

5) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.

6) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

b) Ta có : BC FE  FED EDB BED    

mà APM  180   AEM BED  APM DEF

Tương tự : DFE APN

APN APM DFE FED MPN 

mà MJN MDN EDF  MJN MPN    180   MPNJ nội tiếp

c) Ta có : APM  DEF và JPM JNM JEM  JPM  APM  A PJ, thẳng hàng

Câu 4.

2) Cho bảng ô vuông 2015 2015  Kí hiệu ô ,i j là ô ở hàng thứ i , cột thứ j Ta vi t các sết các số ốnguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau :ng t 1 ừ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau : đết các sốn 2015 v o các ô c a b ng theo quy t c sau :ào các ô của bảng theo quy tắc sau : ủa bảng theo quy tắc sau : ảng theo quy tắc sau : ắc sau :

i) Số 1 được viết vào ô (1,1).

ii) Nếu số k được viết vào ô i j,  , i 1 thì số k+1

được viết vào ô i 1,j 1.

iii) Nếu số k được viết vào ô 1, j thì số k+1 được

viết vào ô  j 1,1 (Xem hình 1.)

Khi đó số 2015 được viết vào ô m n,  Hãy xác định

2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc    4 Chứng minh rằng

HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2015-2016

MÔN THI:TOÁN(VÒNG II) Câu I.(3 điểm)

(3a 3b 3 )c  24 (3  a b c  )  (3b c a  )  (3c a b  )

1 0

) 7 2 )(

1 ( 0 7 5

2 2

x

x x

x y

x

Câu II.(3 điểm)

2) Ta thấy : 1  x y   3 x y v ào các ô của bảng theo quy tắc sau : x y,    x y, l ào các ô của bảng theo quy tắc sau : các số chính phương

2 2 2

1

1 3 3

Câu III.(3 điểm)

, , ,

B D N Ccùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là  O

BC

Hướng dẫn

a ) P là điểm đối xứng của A qua M.

Suy ra HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN

Suy ra H là trung điểm của NP.

Mà BH  NP nên Tam giác PNB cân tại B suy ra BN = BP.

Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP nên Tứ giác ACPB là hình bình hành nên AC = BP suy ra AC = BN

b)Do tứ giác ACPB là hình bình hành suy ra PACAPB

Mà tam giác PBN cân tại B suy APBANB  ANBPAC  CAN BNQ

Có : AC = NB, NQ = AN

 BNQ CAN  NBDNCD  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

c) G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAGBQG

Mà GBQGCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA

Q

N

H

M A

Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S

Hướng dẫn

Giả sử tròn mặt phẳng có n điểm thẳng hang thì tồn tại một đường thẳng Theo bài ra các điểm đó cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đó cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng Thay n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi :TOÁN

( Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên )

Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức

2

2 2

2 2

1 1 1

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x 0, y 0 ) là một nghiệm của của hệ phương trình chứng minh đẳng thức 2 2  

0 0 5 0 0 10 0

x y  x y  

Hướng dẫn

1)Thay m = 2 ta có

5 9 5

y

x y

2 2 2

Cho a, b là các số thực khác 0 Biết rằng phương trình a x a  2b x b  2  0

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m

Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Phương trình có nghiệm duy nhất khi a và b khác dấu và   0 suy ra a b .

Câu 4 ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 Các đường phân giác trong BB 1 , CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.

1> Chứng minh tứ giác AB 1 IC 1 nội tiếp

2 Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC 1 I Chứng minh tứ giác CKIB 1 nội tiếp

A

Hướng dẫn

1 1 120o 1 1 120o 60o 180

B IC BIC  B IC BAC   Mà hai góc này đối nhau

Nên tứ giác AB 1 IC 1 nội tiếp (đpcm).

2 Vì tứ giác BC 1 IK nội tiếp nên  

Xét tam giác ABC:     0 

KAC AKC  Tam giác C 1 AK cân tại C 1  C 1 A = C 1 K (1)

CMTT: B 1 A = B 1 K (2)

Từ (1), (2) suy ra B 1 C 1 là đường trung trực của AK nên AK  B 1 C 1 (đpcm

Câu 5 ( 1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn

Dấu bằng xảy ra khi a= b = 21

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014

MÔN THI: TOÁN (vòng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

1)Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn

4 8

4 2

8 8 8 4

4 4 2

x

y y

x

y y x y

x x

xy y x

2 2

2 2

6 12 6

12 3

2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn x3 y3 xyx2 y2

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1

Câu III

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn PB=PC.D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường

tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng

PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B Đường thẳng PC cắt đườngtròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C

1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F cùng nằm trên một đường tròn

2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A,đường thẳng AF cắt đườngthẳng QC tại L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB chứng minh

PAC QLK

PAB QKL     

Chứng minh rằng m 900

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

1 2 2

2 2

y xy x

y xy x

z y

y x

1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE

2)Chứng minh đường thẳng BE , CF, AD đồng quy

3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E.Chứng minh rằng các điểm A, P , G,Q,F cùng nằm trên một đường tròn

2abc abc  a b b c c a

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Hướng dẫn KHTN vòng 1 -2014 Câu I

1 2 2

2 2

y xy x

y xy x

Hướng dẫn

1)ĐKXĐ : 1 x 1

Đặt 1 x 1  xa 0 ; ta có 2 2

1 2

y y

hệ vô nghiệm Xét y=0 ta có hệ 





 4 1 2 2

x x

hệ vô nghiệmVậy x; y khác 0 đặt x ty; t 0

4 ) 2 ( 1 ) 1 ( 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được

1 0

2 3

1

0 2 5 3 2 4

4 4 4

t

t t t

t t

t t

7 2

; 3

7

; 9

7 2

z y

y x

x

Nên 1 1 1 1 ( )( )

1 1

1

1 1

2 2

xyz x

yz xz xy

x x x x

(

2 1

2

2 x y y z

xyz y

(

3 1

3

2 x z y z

xyz z

1 (

1 1

1

) 1 )(

1 ( 1 1

2

2 2

2 2

x

xz xy xz

xy yz x x

yz x xz xy x xyz

) 1 (

b a b a

Với b 3

1

10 1 1

9 )

3 ( 1

3

2 2

2 2

b b

a b

B

C D

E A

Từ (1) (2) (3) GE BG DC BD Áp dụng định lí ta lét đảo suy ra GD// CE

vậy AD, BE,CF đồng quy

c) Ta có góc QBG = góc GEC (so le trong)

góc QGB =AEG (đồng vị ) suy ra  BGQ = ECA +EAC = FAG

suy ra tứ giác AFQG nội tiếp

Vì tứ giác CGPE nội tiếp nên PEC = PGF

Mà PEC = PQF (đồng vị )

Suy ra FQG = FGP Suy ra tứ giác FQGP nội tiếp

Vậy 5 điểm A,F,Q,G,P nội tiếp

( 3

2 9

1 )

( 3

2 3

2 3

2 3 2

9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9 1

9 )

( 9

9 1

2 4 2 4 2 4

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

4 2 4 2 4 2

4 2 4 2

4

c b a abc a

c c b b a c b a abc c

b a abc

A

c

ca b

bc a ab abc c b a a c c b b a abc

A

A ca bc ab ca bc b a abc ca bc ab a c c b b a a

c c b b

( 3

4 9

4 ) (

3

1

) (

3 )

( 3 ) (

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

c b a abc c

b a abc

c b a abc ca

bc ab abc

bc a c ab abc

bc a c ab a

c c b b

a

abc bc a c ab a c c b b

1

2





z x x zx

3

2 9

1

2  

) (

3

2 ) (

9

1 2 2

2y y z z x x y z xy yz xz



) (

3

4 ) (

9

4 3 ) (

yz xy z

y



) (

2 9

5

2 2

1)Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn

4 8

4 2

8 8 8 4

4 4 2

x

y y

x

y y x y

x x

xy y x

2 2

2 2

6 12 6

12 3

2

Hướng dẫn

1)

    

y x y y x y x y

y x y x

y y x y y x

y y x

y y

x y x

y y x y y x y

y x

y y

x

y y x

y y

x y x

y y x y y x

y y x y

5 4 4

4 4

) )(

(

2 ) ( 2

4 2

4

4 2

8 ) (

4 2

4

2 2

2

2 2

2 2 2

4 2 2 2

4 4

4 2

2

2 4

4 4 4

8 4 4 4 2 2 2

12 2 2

xy y y x

2 ) 3 ( 0 3

6 2 6

3

2

y

x y

x xy

y x

xy y

6 3 3 12 3

y y

4 ( 0 12 12

x x x

2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn x3 y3 xyx2 y2

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

x

y x b

a

a

b a

a a

b a

a a

b ab

a

3

1 3

1

0 3 1

0 1 3

1 0

3

3

2 2

2 2

2 3

1 0

1

y x y

x

3 4 0 1 (min)

1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F cùng nằm trên một đường tròn

Ta coAEP ADB (chắn cung AB của (ABD)); Ta coAFP ADC (chắn cung AC của (ADC)); nên AEP AFP  ADB ADC  180 0 nên AEFP nội tiếp

2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A,đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF

Xét ABE ; CLF có AEB CFL(cùngbùAFP)(1) ta lại có

FCB BCL

FCL DAE

PAB QKL     

LF AE

LF AF

Nên AEF  AKL;mà: AEF  APF  APF  AKL

Nên PAC PCA EKP QKL;mà: PCA EKP PAC QKL

Tương tự PAB QLK suy ra QKL PAB QLK PAC

Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng

thời các điều kiện

i)Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau

Chứng minh rằng m 900

Hướng dẫn

Theo GT m tập con thuộc dãy là phân biệt vì A có 31 phần tử nên số tập con có đúng

2 phần tử là 312.30 gọi a k là tập con có đúng k phần tử 2 k 31 nằm trong dãy đã cho suy ra ma2 a3  a31 Xét tập con có có k phần tử thì số tập con có 2 phần tử của k là k( k2 1) suy ra a k tập này có a k.k( k2 1) tập con 2 phần tử Theo GT 2 phần tử bất kì của A không thể đồng thơì hai tập hợp cùng có k phần tử của dãy từ đó

900 31

1 30

1

3

1 2

1 2

1 1

30

.

31

30 31

1

2 3

1 1 2

1 30 31

) 1 (

1 30 31 2

30 31 2

a k

k a

k

k

Vậy m 900(đpcm)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

1 1

2 3 4 1

2 9 1 1

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại

D khác A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A

2) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng

2)Chứng minh EF  AC

Câu IV

Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1

Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức P 4a3 b3 c3 9c3

1 1

2 3 4 1

2 9 1 1

) 1 4 )(

1 (

2

1 3

1

0 1 3 4

2

1 3

1

1 4 4 2

2

1 3

1 2

1 2

2 2 2 4 2

2 2 1 1 3 2

1 1 3 1 2 1

3

2 2

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x

a y x

1 1

6

9

9 4 18 6 27 2 9 4 9 2

2

2

2 2

2

b a b b a b

b

b

a

b b b a ab a

b ab

1 2 1 1

3 3 3 2

2

y x y x x x x x y x x y

; 1 )

; y x

ca c

a

c a c c b

bc c

b

b c b b a

ab b

a a

b a a c

ca a

c c b

bc c

b b a

ab c

a

c c b

b b a a

6 8

2 ) )(

)(

( 8

) )(

( 8

) ( ) ( )

(

8

2 ) 2

( ) ( ) ( 8

2 2 )

(

) )(

)(

(

) ( ) ( ) (

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

abc b

a c b c a abc

bc ab b ac c a abc

c a b c a b c

ac a b c a b c a ac abc

abc abc bc

c b ab b a c

a

ac

A

c a c b b a

c b bc b a ab c a ac b a a c

bc a

c c b

ab c

ca c

a

c a c c b

bc c

b

b c b b a

ab b

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại

D khác A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A

3) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng

BFA BMA  BFC BMD vì AFMBlà tứ giác nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm ED với BC  Itrung điểm BC

Ta có : BDM BCF BD DM BD AD(1)

Vì BDA ICF (chắn cung AB) (2)

Từ (1) và (2)  FIC ABD c g c .  BAD IFC   BAD IFC CEI    IFEClà tứ giác nội tiếp  EFC EIC  90  EF AC

Câu IV

Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1

Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức P 4a3 b3 c3 9c3

Đăt, a=b=c=kd

3 ),

3 ( 3

);

2 (

3 );

1 ( 3

3 3

3 3

3 3

3 2

3

3 3

3 3

2 3

3 3

3 3 2

3

3 3

3 3

k

abc k

b k

c k

a k

acd k

a k

c

d

k

cbd k

b k

c d k

abd k

b k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013

MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

1 3 3

y x xy

xy x y y

4) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn xy 1.Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức

2 2 1 1

y x

và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A

0

192 3

2

1

3 2

1

x x

x

x

x x