Sức bền vật liệu nguyễn đình đức đào như mai, 217 trang

1.5 Quan hệ vi phân giữa ứng lực và tải trọng 11 CHƯƠNG 2 Quan hệ ứng suất và biến dạng 13 4.3 Cơng thức chuyển trục song song 29 Tài liệu này được lưu trữ tại http://www.tailieuxd.com h

Trang 1

1

Nguyễn Đình Đức và Đào Như Mai

SỨC BỀN VẬT LIỆU

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

Tài liệu này được lưu trữ tại http://www.tailieuxd.com

http://www.tailieuxd.com

Trang 2

Nguyễn Đình Đức và Đào Như Mai

Trang 3

i

Lời nĩi đầu

Quyển sách này được viết với mục đích phục vụ cho sinh viên kĩ thuật tại những ngành học khác nhau, trong đĩ cĩ ngành mơn Sức bền vật liệu chỉ cĩ thời lượng là hai tín chỉ Các tác giả cố gắng đưa vào những nội dung chính đã được thử nghiệm dạy tại Khoa Cơ kĩ thuật và Tự động hĩa, trường Đại học Cơng nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội trong năm năm qua

Các tác giả chân thành cảm ơn

Quyển sách được viết ra cĩ cơng khơng nhỏ của các em sinh viên đã gĩp ý cho các tác giả trong quá trình giảng dạy Tuy vậy chắc chắn cịn nhiều thiếu sĩt mong được người đọc gĩp ý Địa chị email liên hệ của các tác giả: ducnd@vnu.edu.vn,

dnmai@imech.ac.vn

Trang 4

1.5 Quan hệ vi phân giữa ứng lực và tải trọng 11

CHƯƠNG 2 Quan hệ ứng suất và biến dạng 13

4.3 Cơng thức chuyển trục song song 29

Trang 5

CHƯƠNG 5 Thanh thẳng chịu kéo, nén đúng tâm 32

7.4 Biến dạng và chuyển vị của dầm chịu uốn 63

8.3 Các trường hợp chịu lực phức tạp 73

Trang 6

Mục lục

iv

9.2 Lực tới hạn và ứng suất tới hạn 80

9.3 Tính ổn định cho thanh chịu nén 82

9.4 Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 85

10.2 Ma trận độ mềm 92 10.3 Giải bài toán với các trường hợp đặt tải khác nhau 94

10.4 Năm bước giải của phương pháp lực 95

11.2 Ma trận độ cứng 109 11.3 Giải bài toán với các trường hợp đặt tải khác 120

11.4 Năm bước giải của phương pháp chuyển vị 121

11.5 Ảnh hưởng của chuyển vị tại các tọa độ 125

11.6 Sử dụng phương pháp lực và phương pháp chuyển vị 126

12.1 Năng lượng biến dạng 139 12.2 Nguyên lý công ảo 148 12.3 Tính chuyển vị bằng công ảo 150

12.4 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ dàn 156

12.5 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ khung 161

Trang 7

PHỤ LỤC 1 Dịch chuyển của các phần tử thanh thẳng 181

PHỤ LỤC 2 Lực đầu phần tử của các phần tử thanh thẳng 184

PHỤ LỤC 3 Lực đầu phân tử do chuyển vị tai đầu nút của thanh thẳng 187

PHỤ LỤC 4 Phản lực và moment uốn tại các gối đỡ của dầm liên tục do chuyển vị

PHỤ LỤC 7 Đặc điểm các phản lực liên kết thường gặp 198

Trang 8

Hình 1.14 Phân tố của thanh chịu tải phân bố 11

Hình 2.2 Thành phần ứng suất tại một điểm 14

Hình 2.4 Trạng thái ứng suất phẳng a Thành phần ứng suất, b ứng suất tại

Hình 4.2 Chuyển trục tọa độ song song 29 Hình 4.3 Xoay trục tọa độ đi một gĩc α 30 Hình 5.1 Nội lực dọc trục trong hệ dàn 32

Trang 9

Hình 5.2 Ví dụ vè biểu đồ nội lực dọc trục 33 Hình 5.3 Ứng suất dọc trục trường hợp khối và phẳng 34 Hình 5.4 Ví dụ tìm chuyển vị các điểm của hệ thanh liên kết khớp 37 Hình 6.1 a Mơ men xoắn và b Quy ước dấu 40 Hình 6.2 Ví dụ vẽ biểu đồ mơ men xoắn 41 Hình 6.3 Giả thiết về biến dạng khi thanh chịu xoắn 42 Hình 6.4 Biến dạng của phân tố thanh chịu xoắn 43 Hình 6.5 Phân tố trụ trịn và biểu đồ ứng suất tiếp 43 Hình 6.6 Ví dụ tính gĩc xoắn và ứng suất tiếp 47

Hình 6.8 Đinh tán bu lơng – kiểm tra biến dạng trượt 50 Hình 6.9 Kiểm tra ứng suất ép tại các mặt tiếp xúc 51 Hình 6.10 Thanh chịu xoắn hình chữ nhất 51 Hình 6.11 Biểu đồ phân bố ứng suất trên tiết diện chữ nhật chịu xoắn 52

Hình 7.3 Quy ước dấu a Lực cắt và b mơ men uốn 55 Hình 7.4 Các giả thiết thanh uốn thuần túy 56

Hình 7.7 Giả thiết trong bài tốn uốn phẳng 59 Hình 7.8 Ứng suất tiếp do lực cắt 60 Hình 7.9 Sơ đồ dầm giả tạo (b.) ứng với dầm thực (a.) 65 Hình 7.10 Giải thích các kí hiệu trong cơng thức tính độ võng và gĩc xoay bằng phương pháp thơng số ban đầu 66 Hình 8.1 Thanh chịu lực tổng quát 69

Trang 10

Mục lục viii

Hình 8.4 Biểu đồ ứng suất pháp khi uốn xiên 74

Hình 9.3 Giá trị μ ứng với từng loại liên kết 81

Hình 9.4 Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời 85

Hình 10.1 Ví dụ mơ tả phương pháp lực 91

Hình 10.2 Hệ lực dư khác nhau cho cùng một kết cấu siêu tĩnh 92

Hình 10.3 Ví dụ tính tốn với chuyển vị cho trước 96

Hình 10.4 Giải phĩng liên kết cho hệ dầm liên tục bằng các khớp 98

Hình 10.5 Biểu đồ nội lực cho dầm liên tục ví dụ 10.2 100

Hình 10.6 Thiết lập phương trình cho gối i 101

Hình 10.7 Các hệ số độ mềm 102 Hình 10.8 Biểu đồ nội lực cho dầm trong ví dụ 10.4 104

Hình 11.1 Mơ tả phương pháp chuyển vị 107

Hình 11.2 Lập ma trận độ cứng cho ví dụ 11.2 111

HÌnh 11.3 Thiết lập ma trận độ cứng cho hệ khung cĩ thanh chéo 116

Hình 11.4 Biểu đồ nội lực 118

Hình 11.6 Biểu đồ nội lực của ví dụ 11.5 122

Hình 11.7 Hệ tọa độ của phương pháp lực và phương pháp chuyển vị 127

Hình 11.8 So sánh giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị 130

Hình 11.9 Hệ khung ngang và biểu đồ nội lực 130

Hình 11.10 Phần tử phẳng 133

Hình 12.2 Đường cong ứng suất biến dạng (a) và mặt độ năng lượng (b) 140

Hình 12.3 Trạng thái ứng suất 141 Hình 12.4 Biến dạng dưới tác động của nội lực 142

Trang 11

Hình 12.5 Năng lượng phụ và cơng phụ 143

Hình 12.6 Phương pháp cơng ảo 151 Hình 12.7 Tích chuyển vị cho hệ khung bằng phương pháp cơng ảo 153

Hình 12.8 Nhân biểu đồ nội lực 155 Hình 12.9 Áp dụng phương pháp cơng ảo tìm chuyển vị của hệ dàn 158

Hình 12.10 Tải trọng nút tương đương 162 Hình 12.11 Tính chuyển vị cho dầm bằng phép nhân biểu đồ nội lực 164

Hình 12.12 Tỉ lệ đĩng gọp giữa mơ men uốn và lực cắt 165

Hình 12.13 Đỗ võng và gĩc xoay của dầm đơn giản 166

Hình 12.15 Số hạng của ma trận độ mềm 169

Hình 12.16 Tính chuyển vị cho hệ khung 173

Trang 12

Bảng PL4.1 Ảnh hưởng của chuyển vị lún đơn vị tại một gối đỡ của dầm

liên tục Hai đầu dầm là gối tựa EI=const Các nhịp cĩ độ dài l bằng

liên tục Hai đầu dầm ngàm EI=const Các nhịp cĩ độ dài l bằng nhau192

liên tục Hai đầu dầm ngàm EI=const Các nhịp cĩ độ dài l bằng nhau194

Trang 13

− Đây là mơn khoa học thực nghiệm xây dựng trên một số kết quả thực nghiệm, các giả thiết cho phép đơn giản hĩa nhưng giữ những mơ tả bản chất

− Trên cơ sở thực nghiệm, đưa ra nhưng chỉ tiêu để đánh giá độ bền, độ cứng và độ

ổn định của các chi tiết nĩi riêng và cả kết cấu nĩi chung

ở cấp quy định (theo quy phạm)

− Đủ độ cứng: dưới tác động của lực những thay đổi kích thước hình học của kết cấu khơng được vượt quá giới hạn cho phép Ví dụ chuyển vị ngang của cột điện khơng được quá 1/200 chiều cao

− Đủ ổn định: khả năng đảm bảo trạng thái cân bằng ban đầu

Từ đây ta cĩ ba bài tốn cơ bản

− Bài tốn kiểm tra độ bền, độ cứng và độ ổn định

− Bài tốn thiết kế - lựa chọn hình dạng và kích thức tiết diện phù hợp cho từng bộ phận kết cấu

− Bài tốn xác định tải trọng cho phép đặt lên kết cấu

Đối tượng của mơn học:

Đối tượng nghiên cứu của sức bền vật liệu là các chi tiết cơng trình Theo kích thước hình học các chi tiết này cĩ thể phân làm ba loại

Trang 14

Giới thiệu

2

− Chi tiết hình khối cĩ các kích thước theo ba phương tương đương như mĩng máy, nền đất, viên bi – Bài tốn ba chiều

− Chi tiết hình tấm và vỏ cĩ kích thức theo một phương (độ dày) nhỏ thua rất nhiều

so với hai kích thước cịn lại như tấm sàn, tấm tường vỏ bình chứa xăng, bể chứa dầu, mái vịm - Bài tốn hai chiều

− Chi tiết hình thanh cĩ kích thức theo hai phương (mặt cắt ngang) nhỏ thua rất nhiều

so với kích thước cịn lại (chiều dài) - Bài tốn một chiều

Chi tiết thanh thường gặp phổ biến hơn cả trong cơng trình, chính vì vậy thanh là đối tượng nghiên cứu chính của Sức bền vật liệu

Định nghĩa Thanh là vật thể hình học được tạo bởi một hình phẳng A cĩ trọng tâm

chuyển động dọc theo đường tựa s, trong quá trình chuyển động hình phẳng luơn vuơng gĩc với tiếp tuyến của đường tựa Hình phẳng A được gọi là mặt cắt ngang hay tiết diện của thanh, đường tựa s được gọi là trục thanh

Kết cấu cơng trình là hệ thống gồm những chi tiết và bộ phận là đối tượng nghiên cứu trong Cơ học kết cấu Các kết cấu hợp thành từ các phần tử cĩ kích thước đủ dài khi

so sánh với mặt cắt ngang Đĩ là dầm, dàn phẳng, dàn khơng gian, khung phẳng, lưới ngang và khung khơng gian như trên hình 1

Dàn là hệ thanh liên kết khớp với nhau Nội lực trong các thanh chỉ cĩ lực dọc trục Nếu hệ thanh chỉ gồm các thanh nằm trong một mặt phẳng ta gọi là dàn phẳng

Khung là hệ dầm liên kết cứng với nhau Nội lực trong từng mặt cắt của dầm gồm lực dọc trục, hai lực cắt, hai mơ men uốn và mơ men xoắn Nếu hệ dầm chỉ gồm các thanh nằm trong một trong mặt phẳng ta gọi là khung phẳng Khi đĩ nội lực trong từng mặt cắt chỉ cịn lực dọc trục, lực cắt và mơ men uốn

Lưới ngang là một hệ dầm phẳng chỉ chịu lực tác dụng vuơng gĩc với mặt phẳng của hệ dầm Do chỉ chịu lực vuơng gĩc với mặt phẳng nên nội lực trong từng dầm chỉ cịn lực cắt, mơ men uốn và mơment xoắn

Các giả thiết quan trọng

− Chuyển vị và gĩc xoay của kết cấu thay đổi tuyến tính đối với lực tác dụng cĩ nghĩa chúng tỉ lệ với lực tác dụng

− Biến dạng nhỏ cĩ nghĩa các chuyển dịch khơng làm thay đổi hình học của kết cấu

do vậy khơng thay đổi lực tác dụng lên kết cấu

− Từ hai giả thiết trên ta cĩ nguyên lý cộng tác dụng: Dưới tác động của tổ hợp lực ta

cĩ thể cộng dồn ứng suất, biến dạng và chuyển vị gây ra bởi từng lực riêng biệt

Trang 15

− Ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuân thủ định luật Hooke

Lưới ngang

Hình 1 Các dạng kết cấu

Khái niệm siêu tĩnh

Hệ là siêu tĩnh khi các lực cần tìm của hệ khơng thể tính được chỉ từ phương trình cân bằng mà cịn cần đến các điều kiện hình học

Phân tích hệ siêu tĩnh dẫn đến giải hệ phương trình tuyến tính với số ẩn phụ thuộc vào phương pháp mà ta lựa chọn Khi tính tốn bằng máy tính bấm tay ta cĩ thể sử dụng các thuật tốn lặp hay chỉnh dần để làm giảm số phép tính

Đối với hệ lớn và phức tạp ta sử dụng máy tính sử dụng các chương trình phân tích kết cấu dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn Tuy vậy các phương pháp tính bằng tay khơng thể bỏ qua

Khung phẳng

Trang 16

Giới thiệu

4

+ Chương 2 Quan hệ ứng suất và biến dạng

+ Chương 3 Các điều kiện bền

− Phần 1 Các bài tốn thanh

+ Chương 4 Các đặc trưng hình học của hình phẳng

+ Chương 5 Thanh thẳng chịu kéo nén đúng tâm

+ Chương 6 Thanh thẳng chịu xoắn

+ Chương 7 Thanh thẳng chịu uốn

+ Chương 8 Thanh chịu lực phức tạp

+ Chương 9 Ổn định thanh thẳng chịu nén

− Phần 2 Cơ học kết cấu

+ Chương 10 Phương pháp lực

+ Chương 11 Phương pháp chuyển vị

+ Chương 12 Phương pháp cơng ảo

− Các phụ lục

Trong các chương cĩ những phần được đánh dấu * là những kiến thức mà giảng viên tùy thời lượng mơn học cĩ thể bố trí giảng dậy cho sinh viên hoặc cho các em tự đọc

Trang 17

Ngoại lực gồm tải trọng - lực chủ động và phản lực - lực thụ động phát sinh tại các liên kết do cĩ tác dụng của tải trọng

Lực tác động cĩ thể phân loại thành lực tập trung là lực hay mơ men tác động vào một điểm và lực phân bố là lực trải trên một thể tích, diện tích hay một đường

Tải trọng cĩ thể phân làm tải trọng tĩnh và tải trọng động (thay đổi theo thời gian)

Phản lực và liên kết

Thanh chịu tác động của tải trọng sẽ truyền tác động sang các chi tiết tiếp xúc với chúng Ngược lại các chi tiết sẽ tác động lên thanh đang xét những phản lực Thanh bị ngăn cản chuyển động theo phương nào sẽ nhận các phản lực tương ứng theo phương

Xét vật thể tự do chịu lực trong khơng gian Khái niệm lực bao gồm lực tập trung

và cặp ngẫu lực (hay mơ men)

Trang 18

Các khái nhiệm cơ bản

2

Vật thể ở trạng thái cân bằng khi tổng các lực tác dụng thỏa mãn phương trình cân

bằng tĩnh học

.,

,,

,

∑F x =0 F y =0 F z =0 M x =0 M y =0 M z =0 (1.1)

Trong không gian trực giao ba chiều ta có sáu phương trình cân bằng Khi ta xét

trong mặt phẳng còn lại ba phương trình

.,

Khi kết cấu ở trạng thái cân bằng thì các thành phần tạo thành cũng ở trạng thái cân

bằng Có nghĩa tại mỗi phần tử, nút hay một phần của kết cấu cũng ở trạng thái cân

bằng

Phân tích kết cấu là xác định phản lực tại các gối đỡ và ứng suất do nội lực gây ra

Khi số phương trình cân bằng đủ để xác định các lực cần tìm thì kết cấu (hệ) được gọi là

tĩnh định Khi số lực cần tìm lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh học thì kết cấu (hệ)

được gọi là siêu tĩnh, phần lớn các kết cấu trong thực tế là hệ siêu tĩnh

Phân loại hệ siêu tĩnh

Hệ có thể là siêu tĩnh ngoại, siêu tĩnh nội hoặc cả hai

− Siêu tĩnh ngoại là khi số phản lực cần xác định lớn hơn số phương trình cân bằng

Bậc siêu tĩnh ngoại bằng số phản lực trừ đi số phương trình cân bằng (hình 1.1)

Hình 1.1 Các ví dụ về bậc siêu tĩnh nội

− Siêu tĩnh nội là khi số phương trình cân bằng vẫn đủ để xác định phản lực, nhưng

nội lực không thể tìm được nếu chỉ sử dụng phương trình cân bằng

Giải phóng nội lực bằng cách cắt thanh hay đặt khớp nối ta có thể đưa hệ về hệ tĩnh

định (Hình 1.2) Số nội lực cần giải phóng bằng bậc siêu tĩnh nội

Trang 19

Hình 1.2 Các ví dụ về bậc siêu tĩnh ngoại

− Siêu tĩnh cả ngoại và nội Xét ví dụ về hệ khung phẳng trên hình 1.3 hệ có bốn phản lực như vậy ta có một bậc siêu tĩnh ngoại Nhưng để xác định nội lực cần giải phóng nội lực tại hai mặt cắt suy ra ta có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng 7 bậc siêu tĩnh

Hình 1.3 Kết cấu siêu tĩnh cả nội và ngoại Tương tự ta xét hệ khung không gian trên hình 1.4 Tại mỗi ngàm có sáu thành phần phản lực như vậy tổng cộng có 24 phản lực Có sáu phương trình cân bằng vậy bậc siêu tĩnh ngoại là 18 Để xác định nội lực ta cần giải phóng một mặt cắt vậy ta có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh

Ta xét hệ lưới trên hình 1.5, do chỉ chịu lực vuông góc với mặt phẳng xz nên các thành phần phản lực X, Z, My tại gối đỡ và các nội lực X, Z, MY tại các phần tử sẽ triệt tiêu Như vậy tổng cộng ta có 24 phản lực và ba phương trình cân bằng suy ra hệ có 21 bậc siêu tĩnh ngoại Để tìm nội lực ta cần giải phóng nội lực ở một trong bốn thanh như vậy ta có ba bậc siêu tĩnh nội Hệ có tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh Trường hợp các thanh của hệ lưới không chịu xoắn có nghĩa là liên kết các thanh là liên kết khớp các mô men xoắn sẽ bị triệt tiêu nên hệ sẽ chỉ còn 12 bậc siêu tĩnh

Trang 20

4

Hình 1.4 Hệ khung khơng gian, Hình 1.5 Hệ lưới ngang

Xác định bậc siêu tĩnh

− Xét dàn phẳng cĩ r phản lực, m phần tử và j nút khớp

+ Lực cần tìm gồm m nội lực tại từng thanh, r phản lực, tổng cộng cĩ m+r

+ Tại mỗi nút cĩ hai phương trình cân bằng

m

− Với dàn khơng gian cĩ r phản lực, m phần tử và j nút khớp ta cĩ

+ Tại mỗi nút cĩ ba phương trình cân bằng

,,

+ Vậy số bậc siêu tĩnh sẽ là

j r

m

Ví dụ tìm bậc siêu tĩnh cho các kết cấu trên hình 1.6

− dàn phẳng (a) r=4, m=18, j=10 vậy i=2,

− dàn khơng gian (b) m=3, r=9, j=4, vậy i=0 dàn tĩnh định,

Trang 21

Hình 1.6 Tính bậc siêu tĩnh cho hệ dàn phẳng và không gian

− Xét khung phẳng có m phần tử, r phản lực và j nút liên kết cứng

+ Nội lực trong thanh (hình 1.7a) có thể tìm được nếu ta biết ba trong sáu lực đầu

phần tử vậy mỗi thanh có ba nội lực cần tìm, tổng lực cần tìm là 3m+r

+ Tại mỗi nút có ba phương trình cân bằng gồm hai phương trình lực và một

phương trình mô men

+ Như vậy số bậc siêu tĩnh:

j r m

− Khung không gian với m phần tử, j nút, r phản lực

+ Nội lực trong thanh (hình 1.7c) có thể tìm được nếu ta biết sáu trong 12 lực đầu

phần tử vậy mỗi thanh có sáu nội lực cần tìm, tổng lực cần tìm là 6m+r

+ Phương trình: tại mỗi nút có sáu phương trình cân bằng gồm ba phương trình

lực và ba phương trình mô men

+ Số bậc siêu tĩnh:

j r m

Ví dụ khung phẳng (hình 1.7b) có bảy thanh m=7, bốn phản lực r=4, sáu nút j=6

vậy có bậc siêu tĩnh là i =(3×6+4)−3×6=7 Còn khung không gian (hình 1.7d) có

Trang 22

6

Hình 1.7 Tính bậc siêu tĩnh cho khung phẳng và khung khơng gian

1.3 Bậc tự do

Các phương pháp chung giải bài tốn siêu tĩnh

Mục đích khi phân tích kết cấu: tìm ngoại lực (các thành phần phản lực) và nội lực thỏa mãn điều kiện cân bằng, điều kiện liên kết Biến dạng do các lực này gây ra đảm bảo tính tương thích, tính liên tục và các điều kiện tại các gối đỡ

Như đã biết để phân tích hệ siêu tĩnh ngồi phương trình cân bằng ta cần đưa thêm các liên hệ hình học giữa biến dạng - gọi là điều kiện hình học (hay điều kiện tương thích) Các liên hệ này đảm bảo tính tương thích của chuyển vị với hình học của kết cấu

Cĩ hai cách tiếp cận để phân tích kết cấu

− Phương pháp lực (hay phương pháp độ mềm): ta giải phĩng một số liên kết để kết cấu thành tĩnh định Sẽ xuất hiện sự khơng tương thích về chuyển vị Sự khơng tương thích sẽ được điều chỉnh bằng cách đặt thêm các lực

− Phương pháp chuyển vị (phương pháp độ cứng) ta thêm các ràng buộc hạn chế chuyển dịch, xác định các phản lực tại ràng buộc đĩ, sau đĩ cho các phản lực đĩ bằng khơng để xác định dịch chuyển tại các điểm bị hạn chế

Y

(d) m=8, r=24, j=8⇒i=24

Trang 23

Phương pháp lực: lời giải là các lực cần để đảm bảo tính tương thích về hình học, thường dẫn đến giải hệ phương trình với số ẩn bằng số lực cần xác định

Phương pháp chuyển vị: ẩn là chuyển vị tại các nút, số lực ràng buộc thêm vào bằng số chuyển vị tại nút Như vậy các chuyển vị cần tìm chính là sự khơng xác định động học.được gọi là bậc tư do

Xác định bậc tự do của hệ

Như vậy chuyển vị tại các nút là các ẩn trong phương pháp chuyển vị Ví dụ trên hình 1.8 tại ngàm C khơng cĩ chuyển vi, tại gối đỡ A, B, khơng cĩ chuyển vị thẳng nhưng cĩ gĩc xoay Vậy số chuyển vị chưa biết là hai gồm D1 và D2

Hình 1.8 Ví dụ về bậc khơng xác định động học Chuyển vị nút độc lập là các chuyển vị thay đổi độc lập

Số các chuyển vị nút độc lập là số bậc tự do (bậc khơng xác định động học) của hệ Chú ý phân biệt giữa bậc siêu tĩnh và bậc tự do Hệ trên hình 1.6 (b) bậc siêu tĩnh là khơng những bậc tự do là ba Cịn hệ 1.6 (c) bậc siêu tĩnh là một, bậc tự do là 12

D

Trang 24

8

Trên hình 1.9 là các ví dụ về xác định bậc tự do của hệ Hệ dàn phẳng (hình 1.9c)

cĩ hai bậc tự do là chuyển vị ngang và chuyển vị dọc của nút A Hệ khung khơng gian (hình 1.9b) cĩ 24 bậc tự do Mỗi nút tự do của khung cĩ thể thực hiện 3 chuyển vị thẳng

và 3 chuyển vị xoay tổng số sáu bậc tư do Hệ cĩ bốn nút A, B, C và D nên hệ cĩ 24 bậc

tự do Hệ lưới ngang (hình 1.9c) cĩ 12 bậc tự do, mỗi nút tự do của lưới thực hiện một dịch chuyển thẳng đứng và hai chuyển vị quay tổng số là 3 bậc tự do Hệ cĩ bốn nút A,

B, C và D nên hệ cĩ 12 bậc tự do

1.4 Nội lực

Giữa các phần tử vật chất luơn cĩ những tương tác Tại thời điểm ban đầu lực tương tác đảm bảo sự khơng thay đổi hình dạng của vật thể Dưới tác động của ngoại lực vật biến dạng kéo theo sự thay đổi lực tương tác bên trong vật thể

Định nghĩa: Nội lực là lượng thay đổi những lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể Cơng nhận giả thiết vật thể ở trạng thái tự nhiên cĩ nghĩa là ở trạng thái ban đầu khi chưa cĩ tác động bên ngồi nội lực trong hệ bằng khơng

Phương pháp mặt cắt

Dùng để xem xét, biểu diễn và tính nội lực Xét vật thể cân bằng dưới tác động của một hệ lực, tưởng tượng mặt S chia vật thể làm hai phần A và B Xét sự cân bằng của một phần ví dụ A Ngồi ngoại lực đặt vào A ta phải đặt hệ lực tương hỗ của phần B đặt trên mặt cắt S, hệ lực tương hỗ này chính là nội lực trên mặt cắt đang xét

Hình 1.10 Phương pháp mặt cắt

Nội lực trong thanh

Thanh được đặc trưng bằng mặt cắt và trục: thường xét mặt cắt vuơng gĩc với trục gọi là tiết diện Xét thanh cân bằng trong mặt phẳng – trục và ngoại lực nằm trong mặt phẳng xz Dùng phương pháp mặt cắt xét nội lực trên tiết diện S Phần A cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực là một hệ ứng suất phân bố trên tiết diện

Ta gọi R là hợp lực của nội lực, khi rời R về điểm nằm trên trục ta nhận được:

− Lực N là lực dọc trục vuơng gĩc với tiết diện,

− Lực Q là lực cắt vuơng gĩc với tiếp tuyến của trục thanh

S M

Trang 25

− Còn M là mô men uốn nằm trong mặt phẳng xz

Quy ước dấu

Dùng phương pháp mặt cắt áp dụng cho thanh ta có quy ước dấu của lực dọc trục, lực cắt và mô men biểu diễn trên hình 1.11

− Lực dọc trục dương khi đoạn ta xét chịu kéo

− Lực cắt dương khi đoạn ta xét có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ dưới tác động của lực cắt

− Mô men dương khi đoạn ta xét bị cong võng xuống (hứng nước) dưới tác động của

Ví dụ 1.1 Biểu đồ lực dọc N, lực cắt Q và mô men uốn M cho ví dụ trên hình 1.11

vẽ trên hình 1.12

Bước đầu tiên ta xác định phản lực từ hệ phương trình cân bằng cho hệ lực phẳng ta được các phản lực R =1 2P 3, R =2 P, R3 =10P 3

Xét các mặt cắt trong đoạn từ bên trái đến điểm đặt lực P1 và P2 Đặt các nội lực N,

Q, M vào mặt cắt cách đầu trái một đoạn x và xét cân bằng của đoạn đang xét ta nhận

Trang 26

Các khái nhiệm cơ bản 10

Hình 1.12 Biểu đồ nội lực của dầm: a Dầm chịu lực; b Biểu đồ lực dọc N;

c Biểu đồ lực cắt Q; d Biểu đồ mô men M

Ví dụ 1.2 Vẽ biểu đồ nội lực của hệ khung trên hình 1.13a

a

Hình 1.13 Biểu đồ nội lực cho hệ khung: a Hệ khung phẳng;

b Biểu đồ mô men M; c Biểu đồ lực cắt Q

qb

67 0.

qb

29 1.

qb

5 1.

qb

65 0.

qb

5 0.

Trang 27

Bước đầu tiên ta tìm phản lực tại gối đỡ từ 3 phương trình cân bằng và một phương

trình mô men bằng 0 tại khớp nối, ta được

R = = ,

2

3

3 2

qb R

Lực cắt trên đoạn AB bằng phản lực R1 Tại mặt cắt bên phải điểm B và bên trái

điểm C tính theo công thức dưới đây

=

θ

−θ

=

sincos

2 1

R

Q

R R

Q

Cl

Br

(1.10)

Biểu đồ mô men trên đoạn AB và đoạn DE là đường bậc một, còn trên hai đoạn BC

và CD chịu lực phân bố biểu đồ mô men là đường bậc hai

Xét thanh chịu tải phân bố q(x) (hình 1.14),

−+

+

→M Qdx q dx (M dM)

Q dx

dM =

dx

dQ dx

M

Đạo hàm bậc nhất theo trục x của mô men uốn bằng lực cắt Đạo hàm bậc hai theo

trục x của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất theo trục x của lực cắt và bằng cường độ

lực phân bố

Quan hê bước nhảy của biểu đồ ứng lực và các tải trọng tập trung Cho thanh chịu

lực ngang tập trung F0, mô men tập trung M0

d

F M

Trang 28

Các khái nhiệm cơ bản 12

Tại tiết diện đặt lực tập trung sẽ cĩ bước nhảy.Trị số của bước nhảy bằng trị số của

các lực tập trung Bước nhảy của lực cắt dương khi lực hướng lên Bước nhảy của mơ

men dương khi mơ men quay theo chiều kim đồng hồ

Trang 29

13

CHƯƠNG 2

Quan hệ ứng suất và biến dạng

2.1 Trạng thái ứng suất

2.1.1 Vec tơ ứng suất

Dùng phương pháp tiết diện để nghiên cứu trạng thái ứng suất của vật thể biến dạng

(Hình 2.1a) Xét phân tố diện tích ΔS chứa điểm M có pháp tuyến ν ở bên trong vật thể

Giả thiết nội lực tác dụng lên diện tích ΔS đưa về lực tương đương Δp tại M và ngẫu lực

ΔM Khi ΔS tiến tới 0 (vẫn chứa M) thì Δp tiến tới dp/dS còn ΔM/ ΔS tiến tới không

Đại lượng

dS

dp S

p p

là vectơ ứng suất đối với phần tử tiết diện qua điểm M có pháp tuyến ν Vectơ ứng suất

biểu thị nội lực tác dụng lên một đơn vị diện tích tiết diện đi qua một điểm nào đấy của

vật thể biến dạng

Vec tơ ứng suất có thể chiếu lên phương pháp tuyến và tiếp tuyến với mặt căt (hình

2.1.b) khi đó ta có biểu diễn

τ+σ

=σ+

Để xét trạng thái ứng suất tại một điểm ta chiếu p lên hệ tọa độ đề các vuông góc ν

Khi đó hình chiếu của lên p các trục tọa độ Xν ν, Yν, Zν có thể biểu diễn qua vec tơ

Trang 30

Quan hệ ứng suất và biến dạng 14

n m l

Z

n m l

Y

n m l

X

zz yz

xz

yz yy

xy

xz xy

xx

σ+τ+τ

=

τ+σ+τ

=

τ+τ+σ

Sáu thành phần này khái quát hóa tình trạng chịu lực của một điểm, là tập hợp tất cả

những ứng suất trên mọi mặt cắt đi qua nó đó chính là trạng thái ứng suất tại một điểm,

(hình 2.2)

Hình 2.2 Thành phần ứng suất tại một điểm Sáu thành phần ứng suất (ba ứng suất pháp và ba ứng suất tiếp) này xác định trong

hệ tọa độ lựa chọn Theo định nghĩa chúng chính là các thành phần của một ten xơ ứng

suất bậc hai đối xứng Ta có thể nói trạng thái ứng suất được biểu diễn bằng ten xơ ứng

suất bậc hai đối xứng

τστ

ττσ

σσσ

σ

z zy zx

yz y yx

xz xy x ij

33 23 31

23 22 21

13 12 11

(2.4)

Như vậy ta có thể lựa chọn hệ tọa độ sao cho các thành phần ứng suất tiếp bằng 0

Hệ tọa độ này xác định hướng chính của ứng suất, hướng chính tìm từ phương trình

z y x

Trang 31

σσ+σσ

σσ

=

ij ij jj ii

y xy

xy x x zx

zx z z yz

yz y

J

3 2 1

σσσ

z yz xz

yz y xy

xz xy x

Det

Ở mặt phẳng tạo với các hướng chính một gĩc 450 ta cĩ trạng thái ứng suất mà các

ứng suất pháp bằng khơng và chỉ cĩ ứng suất tiếp, được gọi là ứng suất tiếp chính

Chúng cĩ giá trị tính qua các ứng suất chính như sau

22

2

2 1 3 1 3 2 3 2

1

σ

−σ

=τσ

−σ

=τσ

=τ

=σ

= ν

OA

Hình 2.3 Đường trịn Morh Trạng thái ứng suất khối khi cả ba ứng suất chính khác khơng

Trạng thái ứng suất phẳng khi hai trong ba ứng suất chính khác khơng

Trạng thái ứng suất đơn khi một trong ba ứng suất chính khác khơng

Khi xem xét các bài tốn thanh ta sẽ gặp chủ yếu là trạng thái ứng suất phẳng, nên

ta xem xét kĩ hơn trạng thái ứng suất này

1 σ

B

2 σ

0 3

ν τ

Trang 32

Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất phẳng đảm bảo điều kiện

0

=τ

a Thành phần ứng suất, b ứng suất tại mặt nghiêng

Ta xem xét ứng suất trên mặt phẳng nghiêng một góc α

ατ

−ασ

−σ+σ+

ατ

+ασ

Hệ Ouv là hệ trục chính khi

y x

xy

σ

−σ

τ

−

=α

2

y x y

2

min max min

max

σ

−σ

±

=τ+

x

yx

τ xyτ

Trang 33

2.2 Trạng thái biến dạng

Chuyển vị và biến dạng

Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của một điểm, hay sự thay đổi vị trí của tiết diện

trước và sau khi thanh bị biến dạng gồm có chuyển động quay và tịnh tiến

Biến dạng sự thay đổi hình dạng kích thước của vật thể dưới tác dụng của tải trọng

Biến dạng dài tuyệt đối là lượng thay đổi chiều dài

Biến dạng tại lân cận điểm là tập hợp hàm tọa độ xác định độ dãn của đoạn vật chất

vô cùng nhỏ đi qua điểm cho trước và xác định thay đổi góc giữa hai đoạn vật chất vô

cùng bé

Biến dạng là sự thay đổi kích thước hình dáng của tiết diện, sự thay đổi chiều dài

độ cong độ xoắn của trục thanh Thông thường sức bền vật liệu quan tâm đến biến dạng

của trục thanh Chia làm các trường hợp sau

− Thanh chịu kéo hoặc nén

− Thanh chịu cắt

− Thanh chịu xoắn

− Thanh chịu uốn

− Thanh chịu lực phức tạp

Ten xơ biến dạng

Với giả thiết biến dạng nhỏ ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị (u,v,w)

∂

=ε

z

v y

∂

=ε

x

w z

εxx, εyy, εzz là độ dãn của các sợi vật chất khi biến dạng theo các trục

2εxy, 2εyz, 2εzx là cosin của các góc giữa 2 phần tử đường sau biến dạng, độ biến

Trang 34

εεε

ε

z zy zx

yz y yx

xz xy x ij

33 23 31

23 22 21

13 12 11

(2.16)

Ta cũng cĩ thể tìm được hướng chính là hướng chỉ cĩ các thành phần tenxơ trên

đường chéo khác khơng từ phương trình

z y

εε+εε

εε

=

y xy

xy x x zx

zx z z yz

yz y

3 2 1

εεε

=

z yz xz

yz y xy

xz xy x

là các bất biến của ten xơ biến dạng

Biến dạng trượt chính:

2 1 3 1 3 2 3 2

2.3.1 Giả thiết về vật liệu

Vật liệu cĩ cấu tạo vật chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng Liên tục - tại mọi

điểm trong khơng gian cĩ thể lấy ra được một phần tử vật chất vơ cùng bé Đồng nhất –

tại mọi điểm cĩ tính chất cơ học như nhau Đẳng hướng – theo các hướng tính chất cơ

học như nhau Biến dạng của vật thể là đàn hồi tuyệt đối và cĩ trị số bé tuân theo định

luật Hooke

Trang 35

μ

=σ

11

2

1 , τxy =2μεxy, τyz =2μεyz, τzx =2μεzx (2.24)

2.3.2 Hệ thức giữa các hằng số đàn hồi

Ngồi mơđun đàn hồi Young E, hệ số Poisson μ người ta dùng các hằng số đàn hồi

khác như hệ số Lame λ, mơđun nén thể tích K và mơdun trượt G

Ta xem mơ dun nén thể tích tính qua mơđun đàn hồi Young E, hệ số Poisson μ như

thế naod

Mơdun nén thể tích K

Xét trường hợp nén đều mọi phía σxx =σyy =σzz =−p; τxy =τyz =τzx=0

Đặt vào (2.24) ta cộng ba phương trình lại ta được

E

Trong bảng 2.1 là các liên hệ giữa các hằng số đàn hồi khác nhau

Trang 36

Bảng 2.1 Liên hệ giữa các hằng số đàn hồi

2G

μ121

E G

G E G

−

−32

μ+213

G

G G

+λ

+

λ 23

G K

KG

+3

μ

G

+λ

λ

G K

26

23

−

G K

KG

+39

2.3.3 Định luật Hooke với hai hằng số G và K

xx e

3

2

+θ

3

2

+θ

=

K

G G

e xx xx

3

212

=

K

G G

e yy yy

3

212

=

K

G G

e zz zz

3

212

1, zx zx

G

e = τ2

1 (2.27)

Trang 37

21

CHƯƠNG 3

Các lí thuyết bền

3.1 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng

Trạng thái ứng suất đơn

2 3

2 2

2 1 3

3 2 2 1

2

12

1 σ +σ +σ = σ +σ +σ − μ σσ +σ σ +σ σ

=

E e

e e

Thế năng biến dạng đàn hồi thể tích và hình dáng

Ta xem trạng thái ứng suất khối σ1,σ2,σ3,như tổng của hai trạng thái ứng suất:

− trạng thái kéo nén đều theo 3 phương với các ứng suất chính là

3

3 2

1+σ +σ

σ

=

trạng thái này chỉ cĩ biến dạng thể tích ko cĩ biến dạng hình dáng

− trạng thái với ứng suất chính là

2 2 2

6

212

2

1

3

22

1

σ+σ+σμ

−

=σμ

−

=

σσ+σσ+σσμ

−σ+σ+σ

=

E E

E

u

tb

tb tb tb tb tb tb tb

tb tb tt

(3.6)

Trang 38

Các lí thuyết bền 22

2 3 2

2 2 1

2 3 2 1 1

3 3 2 2 1

2 3

2 2

2 1

6

1

6

212

2

1

σ

−σ+σ

−σμ+

=

σ+σ+σμ

−

−σσ+σσ+σσμ

−σ+σ+σ

u u

u hd tt

(3.7)

3.2 Điều kiện bền của vật liệu

Trạng thái ứng suất đơn

[ ]σ

≤

Trạng thái ứng suất khối chỉ là suy diễn hình thức khĩ áp dụng trong thực tế vì khĩ

làm thí nghiệm để cĩ được các giá trị σ1, σ2, σ3

σ

trong đĩ σ1, σ2 và σ3 là các ứng suất chính, C là đặc trưng cơ học của vật liệu

Điều kiện bền tổng quát (3.10), tùy theo từng cách đánh giá và giả thiết ta cĩ thể

viết dưới dạng cụ thể và đơn giản hĩa hơn Những giả thuyết về nguyên nhân gây phá

hủy cho ta thuyết bền cụ thể Nguyên nhân này khơng phụ thuộc vào dạng trạng thái

ứng suất, nhờ đĩ ta cĩ thể viết các điều kiện bền của thạng thái ứng suất phức tạp khi

chỉ cĩ kết quả thí nghiệm cho trạng thái ứng suất đơn

Ta sẽ viết các điều kiện bền dưới dạng

[ ]σ

≤

3.2.1 Thuyết bền ứng suất pháp – Thuyết bền thứ nhất

Với giả thiết: Nguyên nhân gây ra sự phá hỏng của vật liệu ở trạng thái ứng suất

khối là do trị số lớn nhất của ứng suất pháp đạt tới một giới hạn xác định

Nhận xét: thuyết bền này sơ sài và khơng phù hợp với thực tế

Trang 39

3.2.2 Thuyết bền biến dạng dài – Thuyết bền thứ hai

khối là do trị số biến dạng dài lớn nhất đạt tới một giới hạn xác định

Nếu gọi biến dạng dài giới hạn là [ ]ε , thì ở trạng thái khối theo định luật Hooke

[σ −μ σ +σ ] [ ]≤ ε

=

ε1 1 1 ( 2 3)

Ở trạng thái đơn theo định luật Hooke ε=σ Esẽ cĩ giới hạn ⇒ε≤[ ]σ E

Giới hạn khơng phụ thuộc vào dạng ứng suất nên ta cĩ [ ] [ ]ε ≤ σ E Từ đây ta cĩ

điều kiện bền theo

[ ]σ

≤σ+σ

1−μ σ +σ

σ

=

Các thực nghiệm chỉ ra rằng thuyết bền thứ hai tương đối phù hợp với vật liệu giịn

3.2.3 Thuyết bền ứng suất tiếp- Thuyết bền thứ ba

khối là do trị số lớn nhất của ứng suất tiếp đạt tới một giới hạn xác định

Nếu gọi ứng suất tiếp giới hạn là [ ]τ với quy ước σ1 >σ2 >σ3, ở trạng thái ứng

suất khối ta cĩ ứng suất tiếp lớn nhất

[ ]τ

≤σ

−σ

=

τ

2

3 1

Giới hạn khơng phụ thuộc vào dạng ứng suất nên ta cĩ [ ] [ ]τ ≤ σ 2 Từ đây ta cĩ

điều kiện bền theo

=

Thuyết bền thứ ba khá phù hợp với vật liệu dẻo

Trang 40

Các lí thuyết bền 24

3.2.4 Thuyết bền thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng– Thuyết bền thứ tư

khối là do trị số lớn nhất của thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng đạt tới một giới hạn

2 1

−σσ

−σ+σ

2 3 2

2 2 1

1 3 3 2 2 1

2 3

2 2

2 1

2

1 σ −σ + σ −σ + σ −σ

=

σσ

−σσ

−σ+σ+σ

=

σtdIV

(3.19)

Cũng như thuyết bền thứ ba thuyết bền thứ tư tương đối phù hợp với vật liệu dẻo

Điều kiện bền thứ tư ứng với ddieuf kiện dẻo của Trefftz-Saint-Venant

Thuyết bền Mohr

Dựa trên thí nghiệm dựng đường bao của các vòng tròn Morh trạng thái ứng suất

nằm trong đường bao là trạng thái đủ bền Trên đường bao là trạng thái giới hạn Ta sẽ

không đi vào chi tiết của thuyết bền này ma chỉ đưa ra biểu thức cho ứng suất tương

đương của thuyết bền Mohr

Định dạng
Số trang	217
Dung lượng	3,46 MB