Đang tải... (xem toàn văn)
Sức bền vật liệu, Sức bền vật liệu xây dựng, đại học xây dựng, nguyễn thị ngọc anh, tài liệu đại học xây dựng, tài liệu Sức bền vật liệu, tài liệu xây dựng hay nhất, kiến thức Sức bền vật liệu, Sức bền vật liệu 1, giáo trình Sức bền vật liệu, giáo trình đại học xây dựng, bài giảng Sức bền vật liệu, bài giảng đại học xây dựng,
Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH CHƯƠNG MỞ ĐẦU §1 Nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu I Nhiệm vụ: SBVL : Thiết lập phương pháp tính phận cơng trình về: - Điều kiện bền (Độ bền) - Điều kiện cứng (Độ cứng) - Điều kiện ổn định (Độ ổn định) Độ bền : khả chống lại phá hoại tác động ngoại lực Do : Bộ phận cơng trình phải chế tạo từ vật liệu thích hợp, phải có kích thước cần thiết Độ cứng : khả chống lại biến dạng phận cơng trình Biến dạng : thay đổi hình dáng, kích thước gây cản trở sử dụng bình thường cơng trình, đến cơng nghệ sử dụng Độ ổn định : khả cơng trình bảo tồn dạng cân ban đầu Dấu hiệu ổn định : thay đổi bất ngờ từ dạng cân sang dạng cân khác Ngồi SBVL cịn giải toán ngược : kiểm tra độ bền, độ cứng, độ ổn định phận cơng trình cho trước II Đối tượng SBVL : vật thể thực vật rắn biến dạng Trong lý thuyết : ta xét cân tĩnh học, chuyện động vật thể coi rắn tuyệt đối không xét đến biến dạng vật thể Trong SBVL : xét đến biến dạng vật thể trình chịu tác dụng ngoại lực Biến dạng > lz = chiều dày Mặt trung bình: VD: + mặt phẳng (bản) + mặt cong vỏ tháp nước vỏ cầu đường ống nước vỏ trụ tường lắp ghép III Thanh, dây: lz lx, ly Đây đối tượng nghiên cứu chủ yếu SBVL - Giả sử có tiết diện (F) trượt khơng gian: + Trọng tâm O thuộc đường (C) + Tiết diện (F) (C) Gọi: (F) - tiết diện mặt cắt ngang (C) - trục - Phân loại: + (C): cong không gian cong không gian + (C): đường cong phẳng cong phẳng + (C): đường thẳng thẳng Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGäC ANH §4 Các hình thức chịu lực I Kéo nén tâm: Khi chịu lực tác dụng dọc theo trục thanh, bị giãn co lại Biến dạng gọi biến dạng dài Ví dụ : cột chống, dây cáp… II Uốn: Xảy lực tác dụng trục nằm mặt phẳng chứa trục Ví dụ: dầm tầng nhà… III Xoắn: Khi tác dụng lên ngẫu lực nằm mặt phẳng vng góc với trục Ví dụ: mũi khoan, trục tuốc bin, IV Cắt: Các mặt cắt ngang có xu hướng trượt lên tác dụng ngoại lực Ví dụ: thân bu lơng chịu cắt §5 Khái niệm biến dạng chuyển vị I Chuyển vị: "là thay đổi vị trí phân tố thuộc vật thể tác dụng ngoại lực" Chuyển vị dài: Vật thể chịu tác dụng Pi Điểm AA’ B B’ AA’, BB’ gọi chuyển vị dài · BB') Chuyển vị góc: = (AA', II Biến dạng: "là thay đổi hình dạng, kích thước vật thể tác dụng ngoại lực" Biến dạng dài: - Δdx: biến dạng dài tuyệt đối dx dx - : biến dạng dài tỉ đối theo phương x dx Biến dạng góc: : biến dạng góc trượt góc xoay Bài giảng sức bền vật liệu Chương KS: NGUN THÞ NGäC ANH NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC A NGOẠI LỰC Định nghĩa: "Ngoại lực lực mơi trường bên ngồi vật khác tác động lên vật thể" Ngoại lực : + Tải trọng + Phản lực liên kết I Tải trọng: ngoại lực tác dụng lên vật thể xét có giá trị, vị trí tính chất biết Phân loại tải trọng: a Theo hình thức tác dụng: Tải trọng phân bố: Tải trọng phân bố thể tích vật thể: gọi tải trọng phân bố thể tích (lực khối) [ kN/m3, kG/m3] VD: trọng l ượng thân vật thể Tải trọng phân bố bề mặt vật thể: gọi tải trọng phân bố bề mặt (lực mặt) [ kN/m2, kG/m2] VD: tải trọng sàn… Gọi P(q) lực phân bố đơn vị thể tích đơn vị diện tích P(q): cường độ tải trọng phân bố Đặc biệt, vật thể thanh, thay lực khối (hoặc lực mặt) tải trọng phân bố theo chiều dài l q: tải trọng phân bố theo chiều dài [ĐV: kN/m, kG/m…] Tải trọng tập trung; Giả sử, tải trọng phân bố (ΔV) diện tích (ΔS) bé vật thể Để đơn giản hoá, ta thay hợp lực lực tập trung: P (kN, kG) b Theo tính chất tác dụng: Tải trọng tĩnh: tải trọng tác dụng có giá trị tăng từ giá trị khơng đổi ( P = const) a = Fqt = Tải trọng động: dao động, va chạm ≠ tải trọng tĩnh a ≠ Fqt ≠ II Phản lực liên kết : ngoại lực chưa biết, xuất liên kết vật thể xét với vật thể khác Để tìm phản lực liên kết, ta phải xét cân (CB) vật thể a Các loại liên kết : Liên kết gối di động, khớp cầu : Gối di động: cho phép xoay quanh khớp, di động theo phương Xuất thành phần phản lực R theo phương bị ngăn cản di chuyển Khớp cầu: Momen khớp cầu Gối cố định: xoay quanh khớp không dịch chuyển theo phương Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH Ngàm: Ngàm cố định: không xoay, không dịch chuyển theo phương Ngàm trượt: không xoay, cho phép dịch chuyển theo phương b Các phương trình cân bằng; Dạng 1: X Y M A Dạng 2: Dạng 3: X MA M B MA MB M C A, B, C không thẳng hàng AB không X B NỘI LỰC I Khái niệm nội lực : Giữa phần tử vật thể có lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dáng định Khi có ngoại lực tác dụng, lực liên kết tăng lên để chống lại biến dạng ngoại lực gây Vậy, "nội lực độ tăng liên kết để chống lại biến dạng thành phần ngoại lực gây nên" II Khái niệm ứng suất : (Sử dụng phương pháp mặt cắt để đưa khái niệm ứng suất điểm vật thể) a Các thành phần ứng suất: Xét vật thể đàn hồi chịu tác dụng lực P1, P2, …Pn Tượng tưởng mp (π) chia vật thể thành phần A, B Khảo sát cân phần A: phần (A) CB tồn vật thể có hệ nội lực phần B tác dụng lên Hệ nội lực phân bố tồn diện tích mặt cắt (F) Lập hệ trục toạ độ Oxyz: Mặt phẳng xOy mặt phẳng tiết diện Trục z xOy, thường chọn trục z trục trục dầm Tại điểm A (x,y) bất kỳ: Bao quanh A diện tích bé F uur Hợp lực tác dụng lên F P r r P Ứng suất trung bình điểm A: ptb F (Ứng suất số đo nội lực đơn vị diện tích) r r P Ứng suất A: p lim với điều kiện F bao F0 F quanh im A Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUN THÞ NGäC ANH r p : ứng suất (ƯS) tồn phần phân tích theo phương: + Thành phần ƯS б theo phương trục z ứng suất pháp + Thành phần ƯSnằm mặt phẳng xOy ứng suất tiếp r r r p ; p 2 2 Đơn vị ƯS: kN/cm2 ; N/cm2 ; kG/cm2… Phân tích ƯS tiếp theo phương Ox, Oy : theo Ox: zx theo Oy: zy Tại A, tách phân tố hình lập phương mặt phẳng song song với hệ trục tọa độ Biểu diễn thành phần ứng suất phân tố: Theo phương x: x, yx , zx Theo phương y: y, zy, xy Theo phương z: z, yz, xz có thành phần ƯS pháp: xyz có thành phần ƯS quy luật đối ứng: xy= yx , zx= xz , yz= zy b Các thành phần nội lực : mặt cắt ngang Xét vật thể đàn hồi dạng thanh, chịu P1, P2, ….Pn Thực mặt cắt ngang theo (π) vng góc với trục chia thành phần Xét phần A: diện tích F xuất hệ lực {Pi } để r r cân với ngoại lực P1, P2 r thu { Pi } O ( Với O tâm diện tích F) r Ta có: + lực P r + ngẫu lực M r Phân P làm thành phần Px Q x Lùc c¾t Py Q y Pz Nz Lùc däc Phân M làm thành phần Mx M«men uèn My Mz Mômen xoắn cỏc thnh phn ni lc trờn mt ct ngang Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUN THÞ NGäC ANH Xác định thành phần nội lực : Xét CB cho phần A (hoặc B): X = Qx + Pix = m x = Mx + m x ( Pi ) = Y = Qy + Piy = m y = My + m y ( Pi ) = Z = Nz + Piz = m z = Mz + m z ( Pi ) = r r r r Trong Pi : ngoại lực tác dụng lên phần A (hoặc B) Đặc biệt vật thể (S) thẳng ngoại lực r P i yOz r r r Vì P i yOz nên : Pix = 0, my ( P i) = 0, mz ( P i) = Qx = ; My = Mz = Vậy mặt cắt 1-1 Nz, Mx, Qy (yOz) Bài toán phẳng Quy ước dấu: Nz > làm phần A (hoặc B) chịu kéo r Qy > quay pháp tuyến ngồi n thuận kim r r đồng hồ góc 90o mặt phẳng (n,Q y ) Mx > làm căng thớ Xác định thành phần Nz, Mx, Qy: Xét cân phần A B: Z = Nz + Piz = Y = Qy + Piy = r m o= Mx + m o( P i) = ( : trọng tâm tiết diện) III Biểu đồ nội lực cho (bài toán phẳng) : "Là đồ thị biểu diễn biến thiên thành phần nội lực dọc theo trục thanh" Cần biết : Nz max , Qy max , Mx : max Có hai phương pháp: a Phương pháp giải tích: Nội dung: + Bước 1: Lập biểu thức nội lực: Nz Nz (z) Q y Q y (z) (1.3) M x Mx (z) Tìm cực trị hàm (1.3) + Bước 2: Vẽ biểu đồ hàm (1.3) Biểu đồ nội lực Nz , Qy , Mx Bài giảng sức bền vËt liƯu KS: NGUN THÞ NGäC ANH Ví dụ: Hãy vẽ biểu đồ nội lực cho Bước1: Xác định phản lực phân đoạn Bỏ liên kết, thay phản lực liên kết VA, HA, VB Xét cân AB: mB (Chiều quy ước tùy chọn) VA.4 – P.2 + M - q.2.1 = VA.4 = 10.2 - + 8.2.1 VA= (kN) Y 0 (Chiều dương hướng xuống) VA + VB - P - q.2=0 VB = 10 + 8.2 - = 18 (kN) Chia đoạn: chia làm đoạn: (Tải trọng đoạn phải liên tục) Bước 2: Lập biểu thức nội lực: Đoạn 1: dùng mặt cắt 1-1 đoạn Xét cân phần bên trái: (0z12) Z =0 Nz(1) =0 Y =0 Qy(1) =VA=8 m01=0 Mx(1) = 8z1 Đoạn 2: dùng mặt cắt 2-2 đoạn Xét cân phần bên phải: 0z22 Z =0 Nz(2)=0 Y =0 Qy(2)=q.z2-VB=8z2-18 m 02=0 M(2)x = - q.z + VB z = -4z 22 +18z 2 Bước 3: Vẽ biểu đồ : phải biết dấu biểu đồ, trị số tung độ Quy ước dấu : Dấu : Dương phía trên, âm phía trục chuẩn Dấu : dương phía dưới, âm phía trục chuẩn (nhìn biểu đồ mômen biết sơ đồ biến dạng) Nhận xét : Tải trọng tác dụng lên trục z Nz=0, H=0 z Nơi có lực tập trung P Qy có bước nhảy Trị số bước nhảy P Đi từ trái sang phải : P xuống bước nhảy xuống, P lên bước nhảy lên Nơi có mơmen tập trung M biểu đồ Mx có bước nhảy Trị số bước nhảy M Đi từ trái sang phải, M có chiều thuận kim đồng hồ bước nhảy xuống, M có chiều ngược kim đồng hồ bước nhảy lên Mối quan hệ q, Q, M ( quan hệ vi phân) dQ y dz q(z); dM x dz Qy ; d Mx dz dQ y dz q z (2.3) Quy ước dấu tải trọng phân bố q: o q < tải trọng xuống () o q > ti trng i lờn () Bài giảng søc bỊn vËt liƯu KS: NGUN THÞ NGäC ANH Nhận xét : hệ kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng Mx đối xứng, Qy phản xứng, hệ kết cấu đối xứng chịu tải trọng phản xứng Mx phản xứng, Qy đối xứng Khi q(z)=0 Qy không đổi, Mx bậc q(z) = const Qy bậc nhất, Mx bậc q(z)0 Qy đồng biến Trên Qy có điểm Mx có cực trị b Phương pháp vẽ biểu đồ theo điểm đặc biệt : Nội dung : + Từ công thức (2.3) xác định dạng sơ biểu đồ : y’’0 biểu đồ quay bề lõm phía dương + Tính trị số nội lực số mặt cắt đặc biệt + Dựa vào nhận xét phần a Vẽ biểu đồ Ví dụ: Hãy vẽ biểu đồ nội lực cho thanh: Bước 1: Xác định phản lực phân đoạn thanh: - Xác định phản lực: xét cân AB Z =0 HA = m B=0 VA.6= q1.2.5+q2.4.2+M1-M2+P.4 VA= (12.10+6.8+16-4+12.4)= 38 (kN) Y=0 VB= q1.2 + P + q2.4 - VA VB= 12.2 + 12 + 6.4 - 38 = 22 (kN) - Phân đoạn : phân làm đoạn Bước : Vẽ biểu đồ : - Đoạn : q1(z) = const < Qy(1): Bậc 1, nghịch biến Mx(1): Bậc 2, bề lõm quay phía âm (về phía trục z) QA(1) = VA=38 (kN) + Xét cân AC : QC(1) = QA(1) q1.AC Với : dấu (+) q1 dấu (-) q1 (1) QC = 38 -12.2=14 (kN) + Xét Mx: M’’x=q1 làm căng thớ cửa khung sau đó, ghép vào, kiểm tra cân nút Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung chịu lc nh hỡnh v: 11 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH 24 Bài giảng sức bỊn vËt liƯu KS: NGUN THÞ NGäC ANH CHƯƠNG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §1 Khái niệm Xét vật thể cân tác dụng Pi lấy điểm C vật thể (S) tách phân tố C mặt phân tố tồn σ, Qua điểm C: Có nhiều mặt cắt (vơ số mặt cắt) có ƯS khác (ƯS mặt cắt nghiêng) Định nghĩa: trạng thái ứng suất (TTƯS) điểm tập hợp tất thành phần ứng suất σ, mặt vô bé dF qua điểm TTƯS đặc trưng cho tình trạng chịu lực điểm TTƯS điểm C: xác định đặc trưng (σ,) mặt cắt vng góc với điểm Biết TTƯS: tìm đặc trưng r Quy luật thay đổi ƯS n (pháp tuyến mặt cắt) thay đổi Một số định nghĩa khác: Mặt chính, phương ƯS chính: Mặt mặt tồn ứng suất pháp σ, ứng suất tiếp =0 Phương phương mặt ƯS chính: ƯS pháp mặt điểm C có : - mặt vng góc, - phương vng góc, - ứng suất σi (σ1 σ2 σ3) Phân tố chính: phân tố tách điểm xét với mặt mặt Phân loại TTƯS: có loại Trạng thái ƯS khối σ1 , σ2 , σ3 Trạng thái ƯS phẳng σ1 , σ2 > 0; σ3=0 σ2 , σ3 < 0; σ1=0 σ1>0, σ3 0, σ2 = σ3 =0 σ3 < 0, σ1 = σ2 =0 25 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGäC ANH §2 Trạng thái ứng suất phẳng Định nghĩa: Trạng thái ứng suất (TTƯS) phẳng TTƯS có ứng suất khác khơng ứng suất = Giả sử C thuộc vật thể (S) có TTƯS TTƯS phẳng, tách phân tố hình hộp vng góc có cạnh dx, dy, dz với mặt phẳng vng góc Z mặt (với z = 0), mặt cịn lại (khơng phải mặt chính) I Định luật đối ứng ứng suất tiếp Từ điều kiện cân phân tố: mz (xy.dy.dz).dx - (yx.dx.dz).dy = xy = yx (1) II Ứng suất mặt cắt nghiêng Lập mặt cắt xiên () Xét cân phân tố lăng trụ tam giác: u u.dz.ds x dy.dz.cos y dz.dx.sin xy dy.dz sin yx dx.dz.cos v uv dz.ds x dy.dz.sin y dz.dx.cos xy dy.dz.cos yx dx.dz.sin với dx=ds.sinα, dy =ds.cosα x y x y cos 2 xy sin 2 u 2 x y sin 2 cos 2 xy uv (a) (2) (b) Nhận xét: -2 uv du / d III Mặt chính, phương chính, ứng suất Gọi mặt xác định góc định vị : uv 26 Bài giảng sức bền vật liệu Từ (2) uv x y tg20 KS: NGUN THÞ NGäC ANH sin20 xy cos 20 2 xy 1 2 0 90 x y (3) + Có mặt // z vng góc với + Có ƯS ƯS cực trị: σmax; σmin Từ (2a) (3) σmax,min= x y Nhận xét: σmax+σmin= σx + σy ( 2uv du 0) d ( x y )2 xy 2 (4) IV Ứng suất tiếp cực trị Giả sử mặt có ƯS tiếp đạt cực trị ( max , min ) mặt xác định x y duv tg2 d 2 xy (5) (3,5) tg2 2cot g20 0 k450 (k 1,3) Mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt góc 450 Từ (5) (2b) max,min ( x y )2 4 xy (6) Chú ý: góc α>0 trục nằm ngang x quay ngược chiều kim đồng hồ trục u §3 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng phương pháp đồ thị (Vòng tròn MO ứng suất) Xét phân tố phẳng hình vẽ: Lập hệ trục toạ độ (, ) với σ//x, //y Lập mặt cắt nghiêng () mặt cắt nghiêng xuất u , uv xác định theo (2) Ta thấy: u f( ), uv g( ) σu uv có mối liên hệ I Vòng tròng M0 ứng suất (2) ( u x y )2 ( x y 2uv ( ( u x y 2 x y cos 2 xy sin 2 )2 sin2 xy cos 2)2 x y 2 )2 2uv xy R Là phương trình đường trịn bán kính R, tâm C ( x y 2 x y ,0) với R xy 27 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH (σ,) mặt //z phân tố biểu thị tọa độ điểm vòng tròn vòng tròn ứng suất (vòng tròn MO ứng suất) kỹ sư người Đức Otto Morh đưa II Vẽ vòng tròn M0 Trong hệ trục (σ0), lấy điểm E (σx,0) ; F(σy,0) ; điểm cực D (y , xy ) Vẽ vòng tròn tâm C (là điểm EF), bán kính CD vòng tròn ứng suất III Ứng dụng Xác định u, u : từ điểm cực D, kẻ pháp tuyến ngồi góc α, cắt đường trịn M(u,u) u GM ; uv OG Xác định ứng suất phương chính: max OB 1 ; min OA 2 Nối DA phương DB phương Mặt phẳng DA, DB mặt Xác định ứng suất tiếp cực trị : max CJ ; min CI Mặt có ƯS tiếp cực trị : mặt phẳng DJ DI §4 Định luật Hooke Định luật Hooke: nhà bác học người Anh Robert Hooke khám phá dựa vào thực nghiệm Định luật nêu lên mối quan hệ bậc lực tác dụng biến dạng I Định luật Hooke dạng tổng qt Xét phân tố hình hộp có cạnh =1 Theo nguyên lý cộng tác dụng: x xx xy xz (1) x : Biến dạng tương đối phân tố theo phương x x x, x y, x z : Biến dạng tương đối phân tố theo phương x, y, z σx, σy, σz gây y Poisson xx x xy ; xz z E E E (Các ứng suất tiếp không gây bin dng di) 28 Bài giảng sức bền vật liƯu KS: NGUN THÞ NGäC ANH 1 x ( y z ) E y y ( z x ) (2) Định luật Hooke tổng quát E z z ( x y ) E x Khi mặt phân tố mặt : σx, σy, σz σ1, σ2, σ3 Biến dạng theo phương : 1 1 ( 2 3 ) E 2 2 ( 3 1 ) E 3 3 ( 1 E Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng: giả sử σz=0 1 x x y ; y y x E E ; z x y E II Định luật Hooke khối Đặt S= σx+σy+ σz S= σx+σy+ σz = σ1+ σ2+ σ3 : lượng bất biến thứ TTƯS Phân tố có cạnh: dx,dy,dz thể tích: dV=dx.dy.dz Sau biến dạng, cạnh: dx + xdx, dy + ydy, dz + zdz thể tích: dV1= (dx + xdx) (dy + dy).(dz + zdz) Biến dạng thể tích tương đối: V dV1 dV V dV (1 x )(1 y )(1 z ) Bỏ qua vô bé bc ta cú c / m x y z (1) x y z (2) 1 (2) 1 2 ( x y z ) 2( x y z ) = S E E 2 S E (3) Khi = 0,5 = Vật liệu có tính chất đàn hồi gần giống với chất lỏng không chịu nén ( ví dụ: cao su, parafin) III Định luật Hooke trượt Xét phân tố trạng thái trượt tuý: phân tố có ƯS Góc trượt tng i : 29 Bài giảng sức bền vật liệu xy G yz yz G zx zx G KS: NGUN THÞ NGäC ANH xy Với G = E 2(1 ) (4) - mô đun đàn hồi trượt vật liệu G: phụ thuộc tính chất vật liệu, xác định từ thực nghiệm (Ứng suất tiếp khơng gây biến dạng góc mặt phẳng vng góc với nó) Vẽ vịng trịn Mo : Cho phân tố trạng thái trượt tuý (TTƯS phẳng) phân tố có ứng suất (σ=0) Ta có hệ trục (σ, ) : C0 Cực D : (0, xy) Vẽ đường tròn (C,CD) min OB xy 3 max OA xy 1 (σz=0 : phương chính) 30 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH BI TP CHNG 31 Bài giảng sức bỊn vËt liƯu KS: NGUN THÞ NGäC ANH CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG §1 Khái niệm Khi nghiên cứu chịu kéo (nén) tâm : z N ứng suất phụ thuộc F đặc trưng hình học diện tích F Với chịu uốn, xoắn … ƯS phụ thuộc vào F mà cịn phụ thuộc hình dáng thanh, vị trí đặt lực ( vị trí tác dụng ngoại lực mặt cắt) Xét có kích thước (bxhxl) chịu lực P tác dụng trường hợp (a) (b) Bằng trực giác ta thấy trường hợp (a) có khả chịu lực lớn trường hợp (b) Vậy, diện tích ta cần xét thêm số đặc trưng hình học khác mặt cắt ngang §2 Mơ men tĩnh mơmen qn tính Giả sử F(xOy) ; A(x,y)F, bao quanh A diện tích bé dF I Mơmen tĩnh : a) Định nghĩa : Mômen tĩnh diện tích (F) trục x,y lượng đại số Sx, Sy xác định sau : Sx ydF ; Sy xdF (F) (1) (F) Đơn vị : cm3, m3 Nhận xét : Sx ,S y Nếu Sx0 = Sy0 =0 x0, y0 gọi trục trung tâm C = x0 x y0 C trọng tâm mặt cắt F (diện tích F) Tính chất trọng tâm: trục u qua trọng tâm C trục trung tâm: Su=0 32 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THÞ NGäC ANH b) Cơng thức xác định trọng tâm : Giả sử x0,y0 trục trung tâm mặt cắt Gọi : (xC,yC) tọa độ C (xOy) (x,y) tọa độ A (xOy) (x0,y0) tọa độ A (x0Oy0) xc C(xC,yC) trọng tâm mặt cắt F: Sy F ; yc Sx F Giả sử vật thể chia làm n phần: phần i có diện tích Fi, trọng tâm Ci(xi, yi) Ta có: Sy = Siy x i Fi xc i ; S x = S x y i Fi xi Fi Fi , yc yi F i Fi (2) II Mơmen qn tính trục Định nghĩa: Mơmen qn tính diện tích (F) trục x,y lượng đại số Jx, J y xác định sau : Jx y dF ; Jy (F) x dF (3) (F) Đơn vị : cm4, m4 Nhận xét : Jx, Jy >0 III Mômen qn tính điểm (mơmen qn tính độc cực) Định nghĩa: Mơmen qn tính diện tích (F) tâm O lượng đại số J xác định sau : JP 2 dF với x y OA J (x y )dF Jx Jy Từ (3), (4) (4) (5) Đơn vị : cm4, m4 Nhận xét : J > IV Mơmen qn tính li tâm (Mơmen tĩnh qn tính) Định nghĩa: Mơmen qn tính li tâm diện tích (F) hệ trục (xOy) lượng đại số Jxy xác định sau : Jxy= x.y.dF (Jxy>0 0) (6) F Đơn vị : cm4, m4 Nhận xét : Jxy>0 Nếu : Jx y hệ trục (x0,y0) hệ trục quán tính 0 x0×y0 ≡ trọng tâm C (C x y ) hệ trục quán tính trung tâm 0 Chú ý: Giả sử, diện tích F tồn trục đối xứng y, lấy x y (x,y) hệ trục quán tính Để xác định hệ trục quán tính trung tâm ta làm sau : - Xác định trọng tâm C - Kẻ trục x y hệ trục xCy h trc quỏn tớnh chớnh trung tõm 33 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH Đ3 Mơ men qn tính số hình phẳng I Hình chữ nhật Xét hình chữ nhật kích thước bxh x y trục đối xứng nên trục trục quán tính trung tâm Tại vị trí có tạo độ y lấy phân tố diện tích dF có bề rộng b, chiều dày dy dF = b.dy h/ 2 y dF Theo định nghĩa : Jx (F) Tương tự Jy y bdy h/ bh3 12 hb3 12 II Hình tam giác Xét hình tam giác kích thước bxh Trục x cạnh đáy, trục x0 // x qua tâm C Tại vị trí có tạo độ y lấy phân tố diện tích dF có bề rộng cạnh đáy b y, chiều dày dy Ta có b y hy b h Vì dF nhỏ nên dF b y dy hy b.dy h Theo định nghĩa 2 y dF y h Jx (F) hy bh3 b.dy h 12 h y bh3 Jx0 y dF y b.dy h 36 (F) h/ 2h/ Tương tự 2 III Hình trịn Xét hình trịn đường kính D Lấy phân tố diện tích dF, dF nhỏ nên dF = .d.d Theo định nghĩa : R 2 JP 2dF 2 .d.d 0 R D 32 Các trục qua tâm O trục đối xứng nên : R D Jx Jy JP 64 d Với hình vành khăn : với D R D Jx Jy JP (1 4 ) (1 4 ) 64 34 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGäC ANH §4 Cơng thức chuyển trục song song mơmen qn tính Diện tích (F) thuộc mặt phẳng xOy biết Sx, S y, Jx, Jy, Jxy Lập (uO’v) với : u//x, v//y Tính Ju, Jv, Juv Toạ độ O hệ (Oxy) (uO’v) (a,b) Lấy điểm A (F): A(x,y) (xOy) A(u,v) (uO’v) Xung quanh A lấy diện tích vơ bé dF Ju (F) J u v dF (b y) dF (y (F) 2 2by b2 )dF (F) y dF 2b ydF b dF (F) (F) (F) Ju Jx 2bS x b2F Jv Jy 2aS y a2F (11) Juv = Jxy + aS x +bS y +abF Công thức chuyển trục song song Trường hợp đặc biệt: xOy hệ trục trung tâm (0 trọng tâm diện tích F): Sx=Sy=0 Ju Jx b2F Jv Jy a F J J abF uv xy Ví dụ : Tính mơmen qn tính trung tâm cho mặt cắt có hình vẽ : Chia mặt cắt thành hình: (1) : 12cm x 20cm (2) : 12cm x 12cm (khuyết) (3) : 4cm x 12cm (xOy) hệ trục quán tính trung tâm hình: 1 (2) (3) Jx =J(1) 12.203 12.123 4.12 8432(cm4 ) x Jx J x 12 12 12 1 Jy = 20.123 12.123 12.4 1216(cm4 ) 12 12 12 Ví dụ 2: Tính mơmen qn tính trung tâm cho mặt cắt có hình vẽ : Chia mặt cắt thành hình : Hình : b1xh1 = 4x12, x1O1y1 hệ trục qn tính trung tâm Hình : b2xh2 = 12x4, x2O2y2 hệ trục quán tính trung tâm Xác định trọng tâm O (x1O1y1) mặt cắt đối xứng nên y ≡ y1 ≡ y2 x1,0=0 y1,0 y i Fi 0.F1 8.F2 y 0.4.12 8.12.4 4(cm) 1,0 F1 F2 4.12 12.4 Fi (x0y) hệ trục quán tính trung tâm mặt cắt Trong (xOy) : O1(0,4) ; O2(0,-4) (2) 2 J x J(1) x Jx (J x1 y F1 ) (Jx y 2F2 ) ( (2) Jy J(1) y J y J y1 J y 1 4.123 42.4.12) [ 12.43 ( 4) 4.12] 2176(cm4 ) 12 12 1 12.43 4.123 640(cm4 ) 12 12 35 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGäC ANH §5 Cơng thức xoay trục mơmen quán tính Xét diện tích F thuộc hệ trục (x0y): biết Jx, Jy, Jxy Lập hệ trục (u0v) quy ước: α>0 quay trục x trục u theo ngược chiều kim đồng hồ Tính Ju, Jv, Juv I Công thức xoay trục Lấy điểm A diện tích F: A(x,y) x0y A(u,v) u0v u x.cos y sin v y cos x sin Ta có: đ/n Ju= v dF (F) Ju y (F) 2 (y cos x sin ) dF (F) cos2 dF 2sin cos .xy.dF x2 sin2 dF cos2 .Jx sin2.Jxy sin2 .Jy J x Jy (F) (F) Jx Jy cos2 Jxy sin2 2 Jx Jy Jx J y T¬ng tù: Jv cos2 Jxy sin2 (12): Công thức xoay trục mơmen qn tính 2 Jx Jy Juv sin2 Jxy cos2 Ju II Hệ trục qn tính mơmen qn tính Giả sử hệ trực quán tính xác định Juv J x Jy sin2 Jxy cos2 tg20 2Jxy Jx Jy (13) (trôc u) 1 0 90 (trôc v) Jmax.min Jx Jy (Jx Jy )2 4J2xy (14) Chú ý: Ju+Jv = Jx + Jy Jmax+Jmin = const Quan hệ Ju Juv với Jx, Jy, Jxy, giống quan hệ ƯS mặt cắt xiên: u,uv, với x,y, xy, Phương pháp vịng trịn MO qn tính 36 Bài giảng sức bền vật liệu KS: NGUYễN THị NGọC ANH Ví dụ 1: Tính mơmen qn tính trung tâm mặt cắt Giải : Chia mặt cắt thành hình : Hình : b1xh1 = 12x4, x1O1y1 hệ trục quán tính trung tâm Hình : b2xh2 = 4x12, x2O2y2 hệ trục quán tính trung tâm Xác định trọng tâm O (x1O1y1) : x i Fi 0.F1 (4).F2 x 0.12.4 4.4.12 2(cm) 1,0 F1 F2 12.4 4.12 Fi y i Fi 0.F1 8.F2 y 0.12.4 8.4.12 4(cm) y1,0 1,0 F1 F2 12.4 4.12 Fi x1,0 Lập hệ trục trung tâm (0xy) Toạ độ 01, 02 hệ trục (0xy) : - x 01 y1 4 ; x 2 02 y2 Tính Jx, Jy, Jxy: 1 12.43 ( 4)2 12.4] ( 4.123 2.4.12) 2176(cm4 ) 12 12 1 (Jy1 x12F1 ) (Jy x 22F2 ) ( 4.12 22.12.4) [ 12.4 ( 2)2 4.12] 1024(cm4 ) 12 12 (2) 2 J x J(1) x J x (J x1 y1 F1 ) (J x2 y 2F2 ) [ (2) Jy J(1) y Jy (2) Jxy J(1) xy Jxy (J x1y1 x1 y1 F1 ) (J x2 y x y F2 ) [0 2.( 4).12.4] [0 ( 2).4.4.12] = 768(cm ) Xác định trục quán tính trung tâm Ouv mơmen qn tính trung tâm 1 53,10 2.( 768) tg20 1.33 Jx Jy 2176 1024 2 143,1 2Jxy - Mơmen qn tính trung tâm : Jmax.min Jx Jy 2176 1024 (Jx Jy )2 4J2xy (2176 1024)2 4( 768)2 2 Jmax = 2560cm4 = Ju Jmin = 640cm4 = Jv - Jx Jy (Jx2 Jy )2 4J2x2 y Jx y (Jx Ju ).(Jy Ju ) 2 2 2 2 Từ vòng tròn Mo quán tính, xác định dấu Jx2 y : Từ điểm B có: Jmin Ju2 , Kẻ tia song song Tính Jx y : Jmin Ju2 2 u2, cắt vòng tròn D( Jy2 ,Jx2 y ) Jx y