Phương trình vi phân ôn thi cao học

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I I Phương trình vi phân có biến phân ly Phương trình vi phân có biến phân phương trình có d ng ( )d N( )d ( )d t ch phân h i vế t Nhận xét Phương trình ( )N ( )d ( ) d ( ) N ( ) d N ( ) ( ) Nế Nế N ( ) t i t i ươ Gi i Nế √ c ∫ ( )d ∫ N( )d T ch phân t ng v N( )d N( )d ( )N ( )d t th b t th ì ( )d b â C ( )N ( ) nế tc nghi nghi √ t ch phân t ng phương trình ∫ tc phương trình t có ( ) d ( ) ∫ N ( ) d N ( ) C c phương trình phương trình √ phương trình có th viết i d √ t ch phân h i vế t d c √ √ √ √ d ∫ d C C C √ √ Là tích phân t ng quát c phương trình T th v c ng nghi phương trình BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH ĐẠI HỌC CẦN THƠ ươ ì â ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Gi i ( ) ( ) d d Phương trình viết i t ch phân h i vế t c ∫ ∫ d d ∫ T ch phân t ng V i v n|C| tc V i | v phương trình ( n| | c ∫ n|C| c ng nghi Người soạn: Nguyễn Anh Quốc d )( ∫ ) n( t ch phân c viết i t ch phân h i vế t n| ) n( d ) d n|C| C d n|C| (C ) (C ) (C ) (C ) (C ) phương trình Trang quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ c c tg V i v c tg t ch phân h i vế t | n| V i c ∫ | n|c v C c ng ( d in d c t ch phân t ng ∫ nghi in d c C tc phương trình phương trình ) Đ t th c Khi d t ch phân c viết i c c phương trình c viết i d ∫d C c tg C c T ch phân t ng t c phương trình c tg v phương trình t d c d c t ch phân h i vế t c ∫ C Khi c c ng nghi phương trình Phương trình th ần nh t (Phương trình ẳng c p) )the c c biến v nế Đ nh ngh H f( ) c g i h th ần nh t c p n (n ) v i i t có f( f( ) d Đ nh ngh Phương trình vi phân f( ) c g i phương trình vi phân th ần nh t the d c c biến v nế f( ) h th ần nh t c p the biến v Cách gi i d Vì f( ) h th ần nh t n n f( ) g ( ) d d d d Đ t h t có g( ) h g( ) d d d d d (phương trình có biến phân ) Nế g( ) phương trình có d ng g( ) T ch phân h i vế t c ∫ Nế g( ) g( ) Nế g( ) t i ươ d g( ) ∫ d C d C nghi d b ng c ch th tr c tiếp t c i phương trình nghi phương trình ì Gi i Phương trình Đ t r d d ch có th viết i d d d d Người soạn: Nguyễn Anh Quốc d d ( ) d d ( Trang ) quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Nế t t ch phân h i vế t ∫ ( )d ) ( n| ∫ t ch phân t ng Khi ý ∫( )d ( n|C| â b | b | n|C| ) ∫ d d ( C n|C| ) C C t c phương trình c ng nghi c phương trình ì Nế D d )d ) ( c n| | | ươ ( phương trình v d ng phân c c h ng ( t Đ t{ cần ch n ) tr ng ó t th ch th h { ch biến b b th ch biến c c d t d dt dt D { n n t có { d d d {d d d d d d b c t b Khi ó v f( ) f( ) dt d d dt d b c t b Nế D t tz= b t có phương trình phân biến s BÀI TẬP Gi i c c phương trình vi phân √ ( ) Gi i √ V i Đ t th v ( ) h the phương trình t | |√ h c ( t có phương trình c viết i ∫ d √ √ √ ∫ d C C the h i vế t √ ) n| √ √ Người soạn: Nguyễn Anh Quốc √ √ d c d t ch phân h i vế t √ | n| | c nC C Trang quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ t có phương trình c viết i ∫ d √ ∫ d C √ √ v C c ng n| √ d d t ch phân h i vế t √ n| | | √ √ nC C √ nghi phương trình Đi i n ( Đ t h the ) h the h i vế t c ) th v phương trình t c ( e e d d d t ch phân h i vế t c ∫ ∫d C e e e e n C n C n (e ) C e e Đi u ki n c phương trình ( Đ t h the ) h the ) th v phương trình t c ( in h phương trình d d t ch phân h i vế t c ∫ in n |t n | in n n c ng C c t n nghi c t ch phân t ng tc pt h i vế t c in in c viết d d ∫ n in C C t n C t ch phân t ng tc pt phương trình Đi u ki n c phương trình ( Đ t h the ) h the h i vế t c ) th v phương trình t c ( c c c h phương trình c viết d d d d t ch phân h i vế t c ∫ ∫ C c c t n n C t n n C t ch phân t ng t c pt c ( ) c ng nghi c phương trình Đi u ki n c phương trình ( Đ t h the ) h the h i vế t c ) th v phương trình t c ( t n t n h phương trình c viết d d d d t ch phân h i vế t c ∫ ∫ nC t n t n n| in | n nC in C t ch phân t ng t c pt Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang t n quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ t n ( V i th v ( Đ t phương trình t V i ∫ nghi h c ∫ V i V i d d V i ) ∫ t t ch phân h i vế t Ce d C h ( d rct n ) d n c c C e h i vế the t c t ch phân h i vế t C ) ( ) rct n n C c t ch phân t ng tc pt ( ( ) ) ( Đ t ( )d ∫( b ∫d ( C ) ) th v )d d d phương trình c viết i d ∫d ) c t ch phân h i vế t ) ( ) c C v i ( ) th V i ( phương trình t ( C Đ t C n| v phương trình t d | tích phân t ng quát c phương trình The i i nb n ầ ( ) C | n| )d ( )d c( V i h i vế the ) c ng nghi phương trình v nghi phương trình Gi i c c phương trình vi phân ( Gi i ∫ h ( c ng nghi phương trình nghi phương trình ( h the ) phương trình t c d ) nC phương trình viết i ∫ phương trình d n| | nC v V i Đ t th v c the ( phương trình viết i d V i V i c ng ) C Vậ nghi c t ch phân h i vế t ( ) n| ng v i i c | C i nb n ầ phương trình c viết i Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ t Đ t{ th t v t( Đ t t t có phương trình t h the t) t ∫ t h )t ∫ dt t t C t t tích phân t ng quát c v nC t | ( C ( t t ch phân h i vế n| t t h i vế t có dt t d d ( c n|t| ) )( ) nC ( )( ( ) ) ( C ) phương trình nghi phương trình Phương trình t ến tính c p Đ nh ngh Phương trình vi phân t ến tính c p phương trình có d ng: ( ) tr ng ó P( ) ( ) c c h P( ) i nt c Nế ( ) t c P( ) phương trình t ến t nh th ần nh t Nế ( ) c g i phương trình t ến t nh h ng th ần nh t phương trình vi phân th ần nh t c p d t phương trình t ến t nh th ần nh t P( ) d d P( )d Nế t có H Nế C e ∫ () c ng nghi t ch phân h i vế t c n| | ∫ P( )d Ce ∫ ( ) c phương trình ng v i C Ce∫ Vậ nghi t ng t c phương trình vi phân th ần nh t c p ột Cách gi i Xem C hàm c t c nh C C ( ) ch ( ) ∫ C ( )e th phương trình (Phương ph p biến thi n h ng d dC e ∫ () C ( )P( )e ∫ ( ) d d Th v phương trình v y tích phân hai vế t c e ∫ ( ) ( ( )e∫ ( ) C) nghi c phương trình vi phân t th ần nh t ì Gi i Tìm nghi m t ng quát c n|C | ươ ầ ì ( ) ( ) gr nge) ến t nh c p ột h ng ì ( ) phương trình th ần nh t tương ng : Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Nế ∫ d ∫ V i d n|C | c ng Vậ nghi e d phương trình tr th nh C C C c h C C n| | nghi n| | t ch phân h i vế t c C n|C | c phương trình t ng tc phương trình vi phân th ần nh t tương ng the t có th C t ng tc t ch phân h i vế t cC K phương trình th ần nh t ∫ d (K h ng V i i i nb n ầ ( ) K Vậ nghi ri ng ng v i i Phương trình Bern i Đ nh ngh Phương trình Bern i phương trình có d ng ( ) P( ) tr ng ó R P( ) ( ) c c h i nt c Cách gi i Khi h t c phương trình t ến t nh Khi v T th hi nghi phương trình Khi Chi h i vế phương trình ch T c phương trình ( ) P( ) ( Đ t P( ) Đâ C phương trình th ần nh t ( ) v C Vậ nghi d ( )h ) ( Th )P( ) v ( K (K h ng ) ) i n b n ầ phương trình Bern it c ) ( ) phương trình vi phân c p tuyến tính c p ươ ì √ Gi i : Chi h i vế phương trình ch T th V i nghi t c √ phương trình chi h i vế phương trình ch t c ( ) Đ t th h v phương trình ( ) t c ( ) Phương trình th ần nh t tương ng v i ( ) V i V i n| | Đ tC nghi phương trình phương trình tr th nh n| | n|C | C Nghi t ng C tc Người soạn: Nguyễn Anh Quốc d d t ch phân h i vế t phương trình th ần nh t tương ng Trang c C quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Ta xem C hàm s theo x T có C C th v C C C ∫ Nghi C d phương trình ( ) t C n| | K (K t ch phân h i vế t Nghi m t ng quát c ( n| | c ) h ng phương trình ( ) c c ( n| | K) phương trình cần tìm K) K h ng Phương trình vi phân t n phần thừa s tích phân Phương trình vi phân t n phần Đ nh ngh Phương trình vi phân t n phần phương trình có d ng : M(x,y)dx + N(x,y)dy = Tr ng ó ( )d N( )d d ( ), v i h n ó c g i hàm tích phân c phương trình vi phân N( ) ( ) Đi i n phương trình tr n phương trình vi phân t n phần ( ) Cách gi i i)Nế biết ( ) t c d ( ii) Nế chư biết bi th c ( ( ) ∫ ( )d ) )the ( ) C nh ý nh )d ∫ N( ( C h ) tương ương t có ∫ ( )d ) Tr ng ó ( i ch c c h P( ) ( ) i n t c t i i Tóm l i tích phân t ng quát c phương trình vi phân t n phần ∫ ( )d ∫ N( )d ∫ ( Ch ) ươ ì ( Gi i ( d Phương trình viết i d d( ) d( ) d( n C ) d d( ) tc phương trình ươ ó e ( e Ch n d ) )d ∫ N( C ) T ch phân t ng Gi i t ( )d )d ∫ N( N ì )N e ( e ) N t có t ch phân t ng Người soạn: Nguyễn Anh Quốc C ươ Phương trình tc Trang ch ì phương trình vi phân t â ầ n phần phương trình quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ∫e ( )d T e c Vì ∫ e ( ∫ ∫ e )d e d C Ch e ( ( e d ) )e | e | C ( ∫e d )e (e ) e e ) C (C h ng ) Vậ t ch phân t ng t c phương trình e ( b Thừa s tích phân Một phương trình vi phân c p có th bi u diễn dư i d ng d Nd (*) Phương trình n thường không ph i phương trình vi phân t n phần Tuy nhiên có th nhân hàm ( ) vào ( )N( )d phương trình c phương trình ( ) ( )d ( ) phương trình vi phân toàn phần Khi ó h ( ) c g i thừa s tích phân c phương trình vi phân (*) Cách tìm thừa s tích phân : Gi s phương trình (**) phương trình vi phân t n phần Khi ó ( ( ) ( )) ( ( )N( )) ( h ) Vi c tìm h e ∫ ( ( ) t có N( ) e ươ ì Gi i t )( t trường h p h d d â ∫ ( ( ì n( th ) thừ t ch phân hàm biến N d d N( ) ) ó ó ươ ì biến ∫ BÀI TẬP ih ) h ng ph th ộc v ) d N )h ( )( v Thừ t ch phân c ch b i e Nhân h i vế phương trình ch t c( phần Ch n v T ch phân t ng ∫ ) â ỉ ộ â N N N( N ) ( ) tương t t có Khi )( h ng ơn gi n Ta ( ) từ ( Khi ) N( ∫ d C ươ ì Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ( ) tc n n phương trình có thừ e∫ e )d d phương trình t ch phân ph phương trình vi phân t n C â Trang quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ( ) ( ) ( ( ) Gi i ( Phương trình T có ( ) ) ( ) ch có th viết i ( N( ) )d ∫ T tì thừ t ch phân ( ) e ( ) e∫ Nhân h i vế c phương trình v i e t c e ( phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d ( Vì ∫ ( ) ) )e d ∫( )e d e )d e d phương trình vi v C C d )e d ∫( ( )e )e d ∫( ( )e ( )e ( )e e )e Vậ t ch phân t ng t c phương trình ( C V i i u ki n b n ầu ( ) t c C = Vậy tích phân ng v i i u ki n ( ( ) ( ) T có ( ) N( ) N Phương trình ch phương trình vi phân t n phần Ch n ∫ t ch phân t ng d )d ∫( tc phương trình C C Vậ t ch phân t ng t c phương trình ( ) T có ( ) e N ( e ) ∫ T tì thừ t ch phân ( ) e ( ) e∫ Nhân h i vế phương trình ch e t c e d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫d ∫( e e e )d e e )e Kv iK e ( e e C )d v C C Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 10 quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vì ∫d ∫( e )d e e e Phương trình viết i ( ( ) N( ) T tì )d d t ch phân ( ) thừ e e Nhân h i vế phương trình ch ∫ t ( e ) ∫ c ( )d d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d ∫ d C n | | e v n C C ( ) ( ) Phương trình viết i in c c V i in h ng th phương trình ( ) Chi h i vế phương trình ( ) ch V i in phương trình ( ) d c phương trình c viết i c ng V i ∫ d e ∫ c C C in in h c the t có c C in C in Vậ nghi ( ( Gi i ( ( ) in t ng tc ươ ì ) c C in c C in ) th c in ( ) v C in phương trình ( ) t in h ng ) ( ) ( c K K (K in c c ( ) tc C ) ( t ng ( ( in t ch phân h i vế t Vậ nghi phương trình ( ) ( ) ) C in C in n|C | d d in c ( ) in nghi c c c t phương trình th ần nh t tương ng V i in t ) ) ) N( ) T tì thừ t ch phân ( ) Nhân h i vế phương trình ch Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ∫ e ( ) t c ( e ∫ Trang 11 )d ( e ∫ ( ) )d e | | quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d )d ∫( ( ( T tì C C ( ) ) t ch phân t ng t ch phân ( ) e ∫ ( e ) ∫ e∫ c e ( ( ( )d ) ) in C ( N( c e ( ) C ) c t ch phân t ng in )d t ch phân ( ) thừ Nhân h i vế phương trình ch ∫ e ( in C ∫ ( t c e ) d ∫( n t ch phân t ng Tóm tắt lý thuyết )d tc C in )d phương trình e ( in e∫ c e )d v in ) c C d e ∫ d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ tc in t ch phân t ng t c phương trình ( ) )d Phương trình c viết i ( n ( ) ) N( n T tì )d ) ∫ ∫e ( c e ( v T tì thừ t ch phân ( ) e ( ) e Nhân h i vế phương trình ch e t c e ( c phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d e )d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫e ( phương trình ) Nhân h i vế phương trình ch e t ∫ d tc ) N( thừ v n e ( ∫ e n )d v C n C phương trình PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 12 quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Phương trình vi phân t ến tính c p hai h s h ng có vế ph i c bi t D ng t ng t f( ) ( ) Đ gi i t t phương trình th ần nh t tương ng ( ) ( ) phương trình c trưng G i phương trình Nế ( ) có h i nghi phân bi t nghi t ng tc ( ) C e ( ) ( ) (C )e Nế có nghi p nghi t ng tc C Nế ( ) có nghi ph c i nghi t ng tc ( ) e (C c Nế f( ) e P ( )tr ng ó h ng n óP( ) th c bậc n Trường h p I f( ) α C e C in ) eα P ( ) n ó 𝛼 không ph i nghi m c phương trình c trưng 𝛼 nghi ơn c a phương trình c trưng 𝛼 nghi m kép c a phương trình c trưng 𝑦 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) nghi m riêng c phương trình ( ) 𝑦 𝑥𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) nghi m riêng c phương trình ( ) 𝑦 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) nghi m riêng c phương trình ( ) Trường h p II f( ) 𝛼 c eα (P ( )c β α n m( ) inβ ) ó 𝛽𝑖 không ph i nghi m phương trình c trưng 𝛼 𝛽𝑖 nghi m kép c a phương trình c trưng 𝑦 eα (H ( )c β ( ) inβ ) nghi m riêng c phương trình ( ) s = max(n,m) ươ 𝑦 eα (H ( )c β ( ) inβ ) nghi m riêng c phương trình ( ) s = max(n,m) ì ( ) Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng (C Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C )e )v i Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e ( v n h ng ph i nghi phương trình c trưng n n nghi ri ng c ( ) có d ng h B v th v ( ) t c B Nghi ri ng c ng nh t th c t có { phương trình ( ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 13 B { e ( B) B quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vậ nghi t ng ươ tc ì phương trình ( ) ( (C C )e )( ) Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C e C e )v i Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e ( v n nghi ơn c phương trình c trưng n n nghi ri ng c e ( B) e ( B ) ( e ( B ) e ( B) e ( B) B) ( ( e ( B) B) e ( B) e ( Th v phương trình ( ) t c: ( ( e ( B) B) e ( B) B) e ( e ( Vậ nghi t ng ươ B) e ( ) tc ì phương trình ( ) ng nh t th c t có { C e ( ) C e B phương trình ( )có d ng B) B ) { e ( B) B e ( ) ) Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng Nghi t ng t c phương trình c trưng e (C C ) Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i v n V i nghi p c phương trình c trưng n n nghi ri ng c phương trình ( ) e B B e B e e ( B B ) e ( B B ) e ( B B) e ( B B B) Th v phương trình t c e ( B B B) e ( B B ) e B e e B e B Vậ nghi t ng t c phương trình ( ) e (C C ) e ươ ì ( ) Gi i Phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C c C in Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( ) tr ng ó f ( ) e f ( ) e v if ( ) e v i v P ( ) v in V if ( ) e v i v P ( ) v in ( ) ( ) ( ) e ( Nghi ri ng c phương trình có d ng B) e C Tr ng ó ( ) nghi ri ng c phương trình h ng th ần nh t ng v i vế ph i f ( ) ( ) nghi ri ng c phương trình h ng th ần nh t n v i vế ph i f ( ) e ( B) e Ce e ( B) Ce e ( B) e Ce e ( B) Ce Th v phương trình ( ) t c e ( B) Ce e ( B) e C e e e ( B) Ce Người soạn: Nguyễn Anh Quốc e e ng nh t th c t Trang 14 c B C quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vậ nghi t ng tc ươ ì phương trình ( ) C c e ( C in ) e ( ) Gi i: t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C C e Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) v i f ( ) e f ( ) e f ( ) f ( ) e t có v n f ( ) e t có v n f ( ) t có v n ( ) ( ) ( )v i ( ) ( )v ( ) Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng c c nghi ri ng c phương trình h ng th ần nh t ng v i vế ph i f ( ) f ( )v f ( ) (C Nghi ri ng c ( ) e e B D) e B e Be C D e e (B B) C D e Be e (B B) C e e (B B) C Th v phương trình ( ) t c e e (B B) C ( e e (B B) C D) e e e Be C C D e e ng nh t th c t có B Vậ nghi C D t ng tc phương trình ( ) C C e e e ươ ì ( ) Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C c C in ( ) ) ( ) Vế ph i c phương trình f( in e c in Khi ó nghi c phương trình c trưng v th c bậc n nh t b ng Nghi ri ng c ( )có d ng [( (C (C B)c D) in ] [( B )c D ) in ] [( ( ( C (C B)c B ) in D) in D )c ] [(C ( ( ( C B) D) B)c D) in ] ( C (C ( D)c D) B) in ( ( ( C B) C B) in D)c ( ( C B) ( C ( D)c D) C B) in Th v phương trình ( ) t c: ( ( C B) ( C ( D)c D) C B) in ( )c (C ) B D in in ( C ( D)c C B) in in ng nh t th c t c C C D D { { C Nghi B t ng tc ươ Gi i Phương trình B phương trình C c ì ch c viết l i: Người soạn: Nguyễn Anh Quốc C in ( ) Trang 15 c in quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ c ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C C e Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( )v i f ( ) f ( ) c V if ( ) t có v n V if ( ) c t có v bậc n nh t c th c b ng ( ) ( )v i ( ) Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng nghi ri ng ng v i vế ph i c ( ) f ( ) f ( ) (Bc T th C in ) Bc C in B in Cc Bc C in Th v phương trình ( ) t c Bc C in B in Cc c ( B ( B C)c C) in c ng nh t th c t c { B B C C ( ) ần t c c B {C Vậ nghi t ng phương trình ( ) tc C C e c in Phương trình vi phân t ến tính h s h ng có vế ph i h ng c bi t Đ gi i phương trình n t dùng phương ph p biến thiên h ng s Lagrange: ( )v ( ) h i nghi Nế ộc ập t ến t nh c phương trình th ần nh t tương ng nghi ri ng c phương trình h ng th ần nh t C ( ) ( ) C ( ) ( ) tr ng ó C ( ) ( ) C ( ) ( ) C ( ) C ( ) nghi c h { C ( ) ( ) C ( ) ( ) f( ) e V d Gi i phương trình ( ) e Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình c trưng C e C e e Vế ph i c phương trình ( ) f( ) h ng ph i d ng c bi t e d ng phương ph p biến thi n h ng gr nge Tì nghi c phương trình ( ) dư i d ng C ( )e C ( )e tr ng ó C ( )v C ( ) nghi c h ( )e ( )e C C e gi i r t c { C ( )e C ( )e e C ( ) vậ nghi [ ) n(e t ng tc K ] C ( ) phương trình Người soạn: Nguyễn Anh Quốc [e e [ Trang 16 n(e n(e ) K ] ) K ] e [e n(e ) K ] quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ươ ì BÀI TẬP â Gi i ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C e C e ( ) ) ( ) Vế ph i c phương trình f( in e c in v i nghi c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng c B in in Bc c B in th v phương trình ( ) t c c B in in Bc c B in in ( Nghi ( B)c ri ng c Vậ nghi B) in in ng nh t th c t phương trình ( ) t ng tc c phương trình ( ) h ng ph i B B c { { B in C e C e c in ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng ih c i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C c C in Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i h ng ph i nghi c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e e e th v phương trình ( ) t c e Nghi e ri ng c Vậ nghi e phương trình ( ) t ng tc e phương trình ( ) C c C in e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C C e )v i Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e ( nghi c trưng ( Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng B) B B th v phương trình ( ) t c B B ng nh t th c t c { B { ơn c phương trình B Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 17 quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Nghi ri ng c phương trình ( ) Vậ nghi t ng t c phương trình ( ) C C e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng √ ih c √ i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng e (C c √ Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e c e (c in ) v i v h ng ph i nghi ơn c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e ( c B in ) ( c ( ( B in )e in Bc )e e (( B)c ( ( e (( B)c B) in ) e (( B) in B)c ) e ( Bc in ) th v phương trình ( ) t c ( e ( Bc in ) e (( B)c B) in ) e ( c ( e (( B)c B) in ) e c ng nh t th c t c B B { Nghi phương trình ( ) t ng e (C c √ tc e ( c B B) in ) B in ) e c in ) phương trình ( ) C in√ ) e ( c in ) ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i (C c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Vế ph i c phương trình ( ) f( ) in e ( c in ) v i v nghi c phương trình c trưng ( c Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng B in ) ( B )c ( c in B in B c ( B ) in ( Bc in B)c ( ( B ) in B)c ( ) th v phương trình t c ( ( B ) in B)c c B in in Bc in in ng nh t th c t c { ) { B ri ng c Vậ nghi C in√ C in c ) B in B) in { B Nghi ri ng c Vậ nghi t ng phương trình ( ) tc c phương trình ( ) C c C in c ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 18 quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ (C Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i nghi p c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e e e e ( ) ) ) e ( e ( e ( ) th v phương trình ( ) t c ) ) e ( e ( e e e Đ ng nh t t c Nghi ri ng c phương trình ( ) e (C Vậ nghi t ng t c phương trình ( ) C )e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C e Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i nghi ơn c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e ( B C) ( e ( B C ) e ( B C) e ( ( ( B e ( B) C) C) e ( ( ( e ( B) B C) B C) Th v phương trình ( ) t c ( ( e ( B) B C) B C) ( ( B e ( B) C) C) e ( ( e [ B) B C] e ng nh t th c t B Vậ nghi C t ng Nghi tc ri ng c phương trình ( ) phương trình ( ) C e C e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i nghi ơn c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e e e e ( ) ) e e ( e ( ) Th v phương trình ( ) t c ) ) e ( e ( e e e e ng nh t th c t c Nghi Vậ nghi ri ng c t ng tc phương trình ( ) phương trình ( ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc C )e e e C e e ( ( B e ( ) ( C e C ) C) c e e C ) ( B C) B) B C) B B) ) C e e C e Trang 19 C e e quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ươ ì â Gi i ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng e (C c C in ) Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e c e ( c in ) v i hi ó i nghi c phương trình c trưng (C Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e (( B)c D) in ) (C e (( B )c D ) in ) ( e (( C B D B)c C B C D D) in e [( C B C D B D)c ( C B C D B C D) in Th v phương trình ( ) t c ( e [( C D)c B C) in e c ng nh t th c t c B Nghi Vậ nghi t ng tc phương trình ( ) ri ng c phương trình ( ) e (C c ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng phương trình ( ) Vế ph i c V if ( ) f ( ) ( c C c ) ) e in ) ( c in ) C in f ( ) f ( ) n c t th Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m Nghi ri ng c phương trình ( ) nghi c C in ( c c f ( ) f ( ) f( ) e ) ri ng c phương trình ươ ( ) v ( ) tr ng ó c ( ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 20 ( ) ần t (G ri ng c ( ) có d ng B C (D E F)c ( D B ( D E)c E F) in ( G ( G H) in H I)c ( D B ( G D H E I)c E G F ( G ( G D H)c D H E I) in ( D ( D E G) in E G F H)c ( D ( G G E D F H)c D H Th v phương trình ( ) t c ( D B C G E D F H)c Nghi ì H I) in H) in E G I) in quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ( G D B Nghi H C ri ng c Vậ nghi G D c I) in E F G ng nh t th c t H phương trình ( ) t ng C c E I ( )c ( )c in ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng phương trình ( ) V if ( ) f ( ) c f ( ) c f ( ) c f( ) c c C c C in f ( ) c f ( ) c t th i h ng ph i t th i Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m Nghi ri ng c phương trình ( ) ( ) nghi c ri ng c in phương trình ( ) tc C in Vế ph i c c phương trình nghi nghi c phương trình phương trình ( ) tr ng ó v c ( ) c trưng c trưng ( ) ần t c ri ng c ( ) có d ng (Cc c B in D in ) c B in in Bc Cc C in D in D c (C D )c ( C in Bc D) in ( C D ) in c B in Dc C in ( C ( D c B in D)c C) in Th v phương trình ( ) t c ( C ( D c B in D)c C) in Nghi c ( C c D in D)c B in C c D in c c B in B Nghi Vậ nghi C c C c C ri ng c Dc C in C in c ng nh t th c t c D phương trình ( ) t ng c tc c in phương trình ( ) c in ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 21 e (C C ) quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vế ph i c phương trình ( ) V if ( ) e f ( ) e f ( ) e f ( ) f( ) e e c nghi pc c phương trình t th Nghi Th ri ng c phương trình ri ng c ( ) có d ng e e (Bc C in v phương trình ( ) t e [( e B e ( e ( e B Vậ nghi C c f ( ) c f ( ) ( ) e ) i c trưng nghi c ( ) tr ng ó v e e e (Bc phương trình ( ) c trưng ( ) ần t c C in ) c ( C C)c ] B) in e e c C ) e [( C B ) e [( B C e ( B c C in ) [( Nghi e c Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m Nghi ri ng c phương trình ( ) nghi e ri ng c ) ( ) phương trình ( ) t ng C in tc ( B ( B C)c B)c c ] B C) in C) in ] C e e c in phương trình ( ) c Người soạn: Nguyễn Anh Quốc in Trang 22 quoctoantin2009@gmail.com [...]... trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d e )d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫e ( phương trình ) Nhân h i vế phương trình ch e t ∫ d tc ) N( thừ v n e ( ∫ e n )d v C n C phương trình PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 12 quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ 1 Phương trình. ..PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vì ∫d ∫( e )d e e e Phương trình vi t i ( ( ) N( ) T tì )d d t ch phân ( ) thừ e e Nhân h i vế phương trình ch ∫ t ( e ) ∫ ư c ( )d d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d ∫ d C n | | e v n C C ( ) ( ) Phương trình vi t i in c c V i in h ng th phương trình ( ) Chi h i vế phương trình ( ) ch V i in phương trình. .. quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ (C Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i nghi p c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e e e e ( ) ) ) e ( e ( e ( ) th v phương trình ( ) t ư c ) ) e ( e ( e e e Đ ng nh t t ư c Nghi ri ng c phương trình ( ) e (C Vậ nghi t ng t c phương trình ( ) C )e ( ) t phương trình th ần... c D phương trình ( ) t ng c tc c in phương trình ( ) c in ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 21 e (C C ) quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vế ph i c phương trình ( ) V if ( ) e f ( ) e f ( ) e f ( ) f( ) e e c nghi pc c phương trình t th Nghi Th ri ng c phương. .. n(e ) K ] quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ ươ ì BÀI TẬP â Gi i ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng C e C e ( ) ) ( ) Vế ph i c phương trình f( in e c in v i nghi c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng c B in in Bc c B in th v phương trình ( ) t ư c c B in in Bc c B in... phương trình ch ∫ e ( in C ∫ ( t ư c e ) d ∫( n t ch phân t ng Tóm tắt lý thuyết )d tc C in )d phương trình e ( in e∫ c e )d v in ) c C d e ∫ d phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ tc in t ch phân t ng t c phương trình ( ) )d Phương trình ư c vi t i ( n ( ) ) N( n T tì )d ) ∫ ∫e ( c e ( v T tì thừ t ch phân ( ) e ( ) e Nhân h i vế phương trình ch e t ư c e ( c phương. .. quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Vậ nghi t ng ươ tc ì phương trình ( ) ( (C C )e )( ) Gi i t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t C e C e )v i Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e ( v n nghi ơn c phương trình c trưng n n nghi ri ng c e ( B) e ( B ) ( e ( B ) e ( B) e ( B) B) ( ( e ( B) B) e ( B) e ( Th v phương trình ( )... Nhân h i vế phương trình ch Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ∫ e ( ) t ư c ( e ∫ Trang 11 )d ( e ∫ ( ) )d e | | quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ phương trình vi phân t n phần T tì t ch phân t ng t c phương trình ch n ∫ d )d ∫( ( ( T tì C C ( ) ) t ch phân t ng t ch phân ( ) e ∫ ( e ) ∫ e∫ ư c e ( ( ( )d ) ) in C ( N( c e ( ) C ) c t ch phân t ng in )d t ch phân ( ) thừ... phương trình ( ) phương trình ( ) C e C e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng h c Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e v i nghi ơn c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e e e e ( ) ) e e ( e ( ) Th v phương trình ( ) t ư c ) ) e ( e ( e e e e ng nh t th c t ư c Nghi Vậ nghi ri ng c t ng tc phương trình ( ) phương trình. .. quoctoantin2009@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ Nghi ri ng c phương trình ( ) Vậ nghi t ng t c phương trình ( ) C C e ( ) t phương trình th ần nh t tương ng Phương trình c trưng √ ih c √ i Nghi t ng t c phương trình th ần nh t tương ng e (C c √ Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e c e (c in ) v i v h ng ph i nghi ơn c phương trình c trưng Nghi ri ng c phương trình ( ) có d ng e ( c B in )