Tích phân đường ôn thi cao học

Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ TÍCH ĐƯỜNG LOẠI I Tóm tắt lý thuyết ∫ ( ) s ̂ L u ý tr ∫ ( ) s t ng lo Đ t t ô qu √( ) s T ∫ ( ( ) s Nếu ) ( ) ) s t ) s ( ) ( )) √ ( t ) ( ) t t t t t ) st ) s √ ( (t) (t) tr (t) ) s t ∫( ( ( )vớ L ∫ ( ịnh m số { (t) vớ (t) L { ∫( Giải T t ∫ ( (t) (t) (t)) √( ) tr ∫ ( cung AB t ∫ ( (t) (t)) √( ) Nếu ∫ s tr tr ∫ ( t m ế t L t √s s ∫( s t s t t t )√ s t t √ t √ ∫( t t ) t √ (t t )| ) ∫( T ô ng lo i I có tính chất giố ng lo i I Nếu ( Giải t t L T Cá P u ) ủ ̂ ) tr t ấ m số u s t st st Người soạn: Nguyễn Anh Quốc s √ s s t vớ t t Trang s t t t quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫( ) s ∫( s t s t) t ∫ s s t t t | ̂ ( ∫ ) ế ( ̂ Giải P tr T u O A vớ √ s ) -6 -4 O -2 -1 ∫ ∫ √ s ̂ ∫√ ( ) (√ ) √ | -2 -3 BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH (ĐẠI HỌC CẦN THƠ) ∫ ủ ( ) ( ) ( ) ( ) Giải C B Đ t ∫ Tr s O ∫ tr t t A -6 -4 O -2 -1 s -2 Tr s tr Tr s -3 √ ∫ vớ s vớ s t t , - ∫ CO ∫ - tr √ Tr , ∫ C ∫ t thấy tr t t s V Tính ∫( ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫ ∫( √ ) ∫ ố ế ế ( ∫( ) ủ ) Giải P tr t m số ủ L s t s t vớ t T s ts t Su r √( s s t s t) s t st ( s t -6 st) -4 t s t st t t -2 -1 ∫( ) s ∫( s t ∫( s t s t s t s t) st) t s t st t ( ∫( s t s -2 t)s t st t ) ∫ P tr T Su r s ∫( T tr u st s t vớ t s t t u ∫√ √ s s t t t t Đ tu u ( u ) t s t u √ st t u /| √ ) t t st sts t√ ∫ ∫ u√ P m số ủ L s t √ s s ∫ t m số ủ L s t st s t vớ t st Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ Su r √ s ∫( s t ) s s t t ∫( t st t ( s t s t) t ∫ ố ế ế P tr T Su r s ∫ ( t m số ủ L t t vớ t { st) | / ủ t t √ s ) t ∫ t √ t t | √ √ TÍCH ĐƯỜNG LOẠI II Tóm tắt lý thuyết ∫ P( ) Q( ) ∫ P( ) Q( R( ) t ) u t ̂ ) ∫ P( ) Q( L L uý ∫ P( ) Q( ) ) ∫ P( ̂ Q( ) ) Q( ̂ Nếu L t m m t C u m u Cá t t Nếu u t vớ t t ∫ P( ) Q( tr ý u ∮ P( Lt u ng lo i I ) s t ấ m tr t m số ∫ [P( (t) (t)) (t) ) Qu ớ L (t) u tr ất (t)vớ m t L m u t t trá t t Q( (t) (t)) (t)] t ̂ Nếu u ∫ P( ̂ ) Liên h gi ( )v tr Q( t ) ∫,P( ( )) Q( ủ ủ t t ( )) ( )- ng lo i I lo i II Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ s tr s ) ∫ P( O v v s s ) Q( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( tu ế MT t ∫ (P( ̂ ) s ̂ P ) ∫P Q ếu Công th c di n tích t S( ) ∮ t ủ s)t ) s ng lo i II Công th c Green Q v )s Q( Liên h gi a tích phân hai lớp tích ∬( tr L t ủ m t t L ấ t ng lo i II ∬ S( ) ∮ S( ) ∮ Đ u ki t ng không ph thu v ng lấy tích phân Định lý m t ả s hàm P(x,y) ,Q(x,y) liên t c vớ mi K m s u t ut P Q v t ủ m tr m P Q t m m( ) ∮P Q ∮P Q tr ô ̂ v m uố Chú ý Nếu P ∮P L t u ủ Q Q ất v t u t (Cu ị tr ấ t ấ t t mt ất ý m v t m t u t ý ̂ u ∮P ( Q ̂ ∫ ủ v m u ) tr t t o hàm riêng ∫ ( { ) P Q ) ( ( ) ) ế Giải Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫ ∫[ ∫ [ (t t s t ] t st s t) s t ( st * t st) s t] t st ( | st|+ | st √ ) ∫ ( ố ) ế ( ) A Giải -6 -4 O -2 t -1 ∫ ∫ -2 ∫ ∫( ∫( ) ) ( ) ủ ấ Giải P( ) Q( ) ) ) Q( P( -6 ∫( ) ( ) -4 ∬( Q( -2 ) P( ) ) ) ∬( -1 C u s t r s rs vớ v r -2 ∫ ∫ r Tính r BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH (ĐẠI HỌC CẦN THƠ) ∫ Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ( Trang ) ế ( ) quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∮ | | | | ∫ ( ) ủ ( ô ) ( ấ ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) Giải ( ∫ ) ế ( ) Ta có dy = 2xdx ∫ ) ∫( ∫ ∮ | | | | ủ ô ( ) ( ) ( ) ) Giải Tr tr T B ế C ∫ -10 | | | | Tr tr ∫ | | | | C ∫ | | T | ∫ | -2 ∫ -4 T ế C | | tr | | | | ế C tr Tr ∫ -5 D C ∫ A | | Tr ∮ ( ∫ | | | | T | | ế ∫ | | ∫ ( Tr ) ( O ) ấ tr ( T O ế ) ( ) ( ) A ∫ ( ) ( ) ∫( ) ∫( T ế -10 Tr tr ) O B -5 -2 Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com -4 Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫ ( ) ∫ ( ) ( ∫( ( Giải ( ( ( ( ) ∫( ) t ) ị s t tv ( s ) ∫( ủ ( ( { ) ) ) st) t ∫( ) ∫( ) ) ) ế ) t ( ∫ [( st)) ( st) ( ( st)) s t] t sts t) t ∮( ) ( ) Giải P ế ô tr t Rs t t m số ủ R st t -10 tr R st Rs t vớ -5 t -2 ∫ ,( R ∫ (R s t)Rs t( Rs t) s t R s t R st( R s t)R st- t -4 R s t) t b Áp d ng công th c Green ) Q ( ) P ( Q P ∬( C u ∫ Q s P ) t ∫r ∫( ) ∬( r s r R R ) ( Người soạn: Nguyễn Anh Quốc rs vớ ) Trang v r R ủ quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ( ) ế ( ) Giải ∮( s H ) ( ) s O(0,0) -6 Vớ L -4 tr A(a,0) -2 tr v tr -1 ∮( s ) ( ) s ∬( s ) s ∬ -2 ∮( s T ) H ( ) s vớ ) ế t O( ( ) H ( ) ∫ ( ) ) ( ∫ ( ( ( ) Giải ( ) ấ ) ô ắ ) ∫ ( t Tr ) t ô ấ t tr ∫ Tr t u v ) ( C vớ ( ấ t ) C( vớ ) B(-1,3) ∫ Ct A(-1,2) tr ∫ C(2,3) vớ ∫ -8 -6 -4 -2 -1 T ( ) ∫ ( t c u ∫ ( ) ( ) ấ ) ) ( ( ) ) ô ắ -3 ô t lấ t ( ( -2 thu v ng lấy tích phân theo yêu ng không cắt y = - x ta ch ng T qu t r ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc -10 Đ tt -5 t -2 Trang quoctoantin2009@gmail.com -4 Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ t ∫ t (t ( t ) t t t (t t t t ) ∫ t t (t t ) t ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM Đ ) (Đ ) C(3;2) B(-2;2) ,( ∫ ( ∫ ) ( ) - A(-2;1) ) Giải T ch Tr -10 -5 ô thu ng lấy tích phân ch ph thu ng gấp khúc ABC với A(-2;1), B(-2;2) C(3;2) v ∫ ( Tr ( ) ) | Đ tu u ) v C( ) t -2 v ∫ C m A(- 10 | v ( ∫ ( ) ) Đ tu | u v ∫ | ( ) T (Đ ) Đ ( ∮ ) ( ) ủ A(1,1) Giải Á n ô P Q t r r t t 0,5 m ấ t u -4 Q P ủ Om -3 m -2 vớ O * + / ∮ ∫ ( O(0,0) -1 -0,5 -1 r t ∬( )| Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Q ∫, ( P ) ∫ ) ( Trang 10 ∫ )- ∫ ∫ ( ) ∫ quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ Đ tu u v ∫ | ∫ r t (Đ ∫( Giải C P )( ) ủ m ất )( ) u tu ế ) Đ ế t | u Á ấ ô t r Q ∫( Q ∬( P ) ∬( (Đ ∫( ) ) ) ( ) ( ố Giải Do tích phân không ph thu c vào ng lấy tích phân mà ch ph thu nên ta ch L ng gấp khúc AMB với A(-1;1), M(-1;e) B(4;e) Tr M vớ ∫( Tr ) ( M ) ∫( ) ∫( ) v ( ) m A(-1;1) B(4;e) ) vớ ∫( ) ( ) (Đ ∫( ) ) ấ Giải P S tr √( t m số u ) ( R s t ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc t √ R| Rs t vớ t | Trang 11 quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫( ) S ∫ R √ R|s t| t √ R ∫s (Đ ∮ √ R t t s t | √ R ) √ ả L ng kín G i D mi n giới h n b i L theo chi u Áp d ng công th c Green P Q Q P -10 * + √ -5 10 -2 ∮ Q ∬( ( ∫, P √ ) ∬ ,( ∫ ∫ | √ ) (Đ ∮ ∫ -4 ) ) - Giải L ng kín G i D mi n giới h n b i L theo chi u Áp d ng công th c Green P ( ) Q Q P ( ) ( ) ∮ ,( ) - ∬( Q P ) ( + ) ) ế ) ế ( vớ ∬ (Đ ∫ * ( ủ ) Giải P tr s t ∫ t m số ủ L st ∫ s t st√ st s t s Người soạn: Nguyễn Anh Quốc s t √( ) s t vớ ( ) t t Đ tu Trang 12 s t ( ) u t t √ s s t t t t quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫ √ T u u Đ tu ∫| sv| √ s v sv v ∫ s v v ∫ (Đ ∫( ) * Tr ) + * ) ) ∫( ) vớ ∫( ∫( + ( C T vớ ∫( T ) ( Giải Tr C s v v ) ( ( Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ) ) ) m( Trang 13 ) ( ) quoctoantin2009@gmail.com [...]...Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ Đ tu u v ∫ | ∫ r t (Đ ∫( Giải C P )( ) ủ m ất )( ) u tu ế ) Đ ế t | u Á ấ ô t r Q ∫( Q ∬( P ) ∬( (Đ ∫( ) ) ) ( ) ớ ( ố Giải Do tích phân không ph thu c vào ng lấy tích phân mà ch ph thu nên ta ch L ng gấp khúc AMB với A(-1;1), M(-1;e) và B(4;e) Tr M vớ ∫( Tr )... quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫( ) S ∫ R √ R|s t| t √ R ∫s (Đ ∮ √ R t t s t | √ R ) ớ √ ả L ng kín G i D là mi n giới h n b i L theo chi u Áp d ng công th c Green P Q Q P -10 * 4 + √ 2 -5 5 10 -2 ∮ Q ∬( ( ∫, P √ ) ∬ ,( ∫ ∫ | √ ) (Đ ∮ ∫ -4 ) ) - ớ Giải L ng kín G i D là mi n giới h n b i L theo chi u Áp d ng công th c Green P ( ) Q Q P ( ) ( ) ∮... ) Giải P tr s t ∫ t m số ủ L st ∫ s t st√ st s t s Người soạn: Nguyễn Anh Quốc s t √( ) s t vớ ( ) t t Đ tu Trang 12 s t ( ) u t t √ s s t t t t quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫ √ T u u Đ tu ∫| sv| √ s v sv v ∫ s v v ∫ (Đ ∫( ) * Tr ) + * ) ) ∫( ) vớ ∫( ∫( + ( C T ớ vớ ∫( T ) ( Giải Tr C s v v ) ( ( Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ) ) ) m( Trang 13 )