THÔNG TIN TÀI LIỆU
Version (27/7/2013) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CAO HỌC TOÁN MÔN GIẢI TÍCH - PHẦN GIẢI TÍCH THỰC -1 Hàm nhiều biến Hàm số, giới hạn, liên tục Đạo hàm riêng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm riêng cấp cao, vi phân Cực trị hàm hai biến (cực trị không điều kiện cực trị có điều kiện) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm hai biến miền đóng bị chặn Giải tập tài liệu Tích phân bội Tính tích phân hai lớp, ba lớp Ứng dụng tích phân bội; - Tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong - Tính thể tích vật thể - Tính khối lượng, tính moment quán tính tọa độ trọng tâm Giải tập tài liệu Tính tích phân đường Tính trực tiếp tích phân đường loại loại (dùng công thức đưa tích phân xác định) Tính công thức Green (nếu đường cong lấy tích phân đường cong kín) Định lý mệnh đề tương đương ứng dụng Ứng dụng tích phân đường loại loại (tính khối lượng, moment tĩnh tọa độ trọng tâm, diện tích hình phẳng) Giải tập tài liệu Tích phân mặt Tính tích phân mặt loại loại (tính trực tiếp gián tiếp) Ứng dụng tích phân mặt loại loại ( tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể, thông lượng trường vector) Giải tập tài liệu Phương trình vi phân Giải số Phương trình vi phân cấp Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Cần phân biệt rõ đề cho “ Giải phương trình” hay “Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình”, chúng có cách làm khác Giải tập tài liệu Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Khánh, Giáo trình Vi Tích Phân A2, ĐHCT Nguyễn Đình trí, Toán cao cấp, NXB Giáo dục, 1995 (Tập 3) Adam R A., Calculus, Addision-Wesley Publishers Limited, 3rd Edition, 1995 Version (27/7/2013) NỘI DUNG ÔN TẬP HÀM NHIỀU BIẾN Chương I Hàm nhiều biến Định nghĩa hàm nhiều biến Cho tập D n Hàm f n biến qui luật cho ứng điểm ( x1 , x2 , , xn ) D với số thực f ( x1 , x2 , , xn ) Kí hiệu u f ( x1 , x2 , , xn ) Liên tục f(x, y) liên tục (x0, y0) lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) x x0 y y0 f(x, y) liên tục D f (x, y) liên tục x, y) D Đạo hàm riêng f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) hay x 0 x f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y' ( x0 , y0 ) lim hay y 0 y f x' ( x0 , y0 ) lim f x' ( x0 , y0 ) f ( x, y0 ' f y' ( x0 , y0 ) f ( x0 , y x x0 ' y y0 Chú ý: f x' ( x0 , y0 ) , f y' ( x0 , y0 ) không suy f ( x , y ) liên tục ( x0 , y0 ) Chứng minh hàm x3 y , x2 y f ( x, y ) x y x2 y gián đoạn điểm (0, 0) hàm có đạo hàm riêng điểm 2 f f x thỏa điều kiện Tìm hàm f ( x, y ) thỏa phương trình 12 x y , y x f (0, 0) , f (1,1) ĐS: f ( x, y ) x y Đạo hàm hàm ẩn i) y y ( x) hàm ẩn biến xác định phương trình F(x, y) = y ' ii) z = z(x, y) hàm ẩn hai biến xác định phương trình F(x, y, z) = Fy' z Fx' z ' , ' x Fz y Fz Cho z z ( x, y ) hàm ẩn xác định phương trình x y z f (3 x y z ) , Fx' Fy' Version (27/7/2013) z z f hàm khả vi Chứng minh G ( x , y, z ) không phụ thuộc vào y x hàm f ĐS: G ( x , y, z ) 1 Hàm khả vi vi phân Hàm f(x,y) khả vi (x0, y0) f Ax By x y , A, B số , x, y z z Nếu z f ( x, y ) dz dx dy x y Tính chất: Nếu f ( x , y ) khả vi ( x0 , y0 ) f ( x , y ) tồn đạo hàm riêng liên tục điểm Định lí Nếu hàm f ( x , y ) có đạo hàn riêng lân cận điểm ( x0 , y0 ) đạo hàm riêng liên tục ( x0 , y0 ) f ( x , y ) khả vi điểm f df ( x y ) Định lí f khả vi ( x0 , y0 ) lim 0 Xét tính khả vi hàm sau điểm (0, 0): a) f ( x, y ) x y ; b) f ( x, y ) x y ĐS: a) không khả vi f x' (0, 0) không tồn tại; b) không khả vi Tìm cực trị hàm f (x, y) - Tìm điểm tới hạn - Tại điểm dừng ( x0 , y0 ) : A f xx'' ( x0 , y0 ) , B f xy'' ( x0 , y0 ) , C f yy'' ( x0 , y0 ) , = B2 - AC Kết luận ( x0 , y0 ) : i) < 0: A > cực tiểu; A < cực đại ii) > 0: không đạt cực trị iii) = 0: ( x0 , y0 ) điểm nghi ngờ - Tại điểm kỳ dị: dùng định nghĩa xét Tìm cực trị hàm sau: a) z 4( x y ) x y ; b) z x y 3xy ; c) z xy 50 20 (x > 0, y > 0); x y d) z x y ; e) z ( x y ) ( x y ) ; f) z x y ; Version (27/7/2013) 2 g) z ( x y )e ( x2 y ) ĐS: a) zCD (2, -2), b) zCT 1 (1, 1), z không đạt cực trị (0, 0); c) zCT 30 (5, 2); d) zCT (0, 0); e) zCT (0, 0); f) zCT (0, 0); g) zCT (0, 0), đặt t = x y zCD e 1 điểm đường tròn x y Tìm cực trị hàm z z ( x, y ) xác định phương trình z e z ( x y ) ĐS: zCĐ = (0; 0) Tìm cực trị hàm ẩn z z ( x, y ), z , xác định phương trình: x y z x y z 11 ĐS: z đạt cực đại M(1, -2) zCĐ = z(1, -2) = Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm z f ( x , y ) với điều kiện ràng buộc ( x , y) Lập hàm L'Agrange: F ( x , y, ) f ( x , y) . ( x , y ) Fx' Giải hệ Fy' Ta nghiệm ( x0 , y0 , 0 ) ' F Tính d F ( x0 , y0 , 0 ) Fxx'' ( x0 , y0 , 0 )dx Fxy'' ( x0 , y0 , 0 )dxdy Fyy'' ( x0 , y0 , 0 ) dy , xét với ' ' điều kiện x dx y dy , dx dy i) d F ( x0 , y0 , 0 ) f ( x0 , y0 ) đạt cực đại có điều kiện ( x0 , y0 ) ii) d F ( x0 , y0 , 0 ) f ( x0 , y0 ) đạt cực tiểu có điều kiện ( x0 , y0 ) iii) d F ( x0 , y0 , 0 ) có dấu không xác định f ( x0 , y0 ) không đạt cực trị ( x0 , y0 ) Tìm cực trị hàm z x y với điều kiện ĐS: zCT x y 36 12 ( 18 13 , 13 ) 13 Tìm cực trị hàm f ( x , y) x y với điều kiện x y ĐS: zCT = 45 , 35 zCĐ = 11 45 , 53 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm liên tục f (x, y) miền đóng bị chặn D - Tìm điểm tới hạn f(x, y) thuộc phần D tính giá trị hàm điểm - Tìm giá trị nhỏ lớn biên (dùng phép phương pháp nhân tử L'Arange) So sánh giá trị vừa tính f = số nhỏ nhất, f max = số lớn Version (27/7/2013) 10 Tìm cực trị hàm miền đóng bị chặn a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = x2 + 2y2 + 4xy - 4x miền D = {x 0, y 0, x + y 3} Hệ Giải f x' x y ' f y x y nghiệm miềm mở x > 0, y > 0, x + y < Do GTNN GTLN f đạt biên D Trên biên x = ( y 3); y = (0 x 3) x + y = (0 x 3) hàm có điểm nghi ngờ M1(3; 0), M2(0; 3), M3(0; 0), M4(2; 0) So sánh giá trị f điểm ta fmin = - M4(2; 0) fmax = 18 M2(0; 3) b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = xy2 tập D = {(x,y): x2 + y2 1} Giải * Điểm dừng tập mở x2 + y2 < điểm có dạng (x0, 0) Ta có f (x0, 0) = * Trên biên: x2 + y2 = y = 1 x f = -x3 + x (-1 x 1) 2 2 Có giá trị cần xét f ; ; f ; 3 3 3 3 Vậy fmin = 3 , 2 2 , fmax = 3 3 3 c) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm f (x, y) = x + y tập D = {(x,y): x2 + y2 1} Giải * Điểm tới hạn tập x2 + y2 < 1: f x' ' f y * Lập hàm Lagrange: Không có điểm tới hạn F ( x, y, ) x y ( x y 1) Giải hệ Fx' 2x Fy' 2y F' x2 y Ta hai điểm tới hạn f ( M ) 2 M ( 22 , 22 ) ứng với f ( M ) Vậy f M1 ( 22 , 22 ) f max M ( M1 ( 2 , ) ứng với 2 , ) Version (27/7/2013) d) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x x y hình chữ nhật D:{0 x 2, y 1}; ĐS: zmin 2 , zmax / ; e) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x y hình tròn D:{ x y }; ĐS: zmin 4 (0, -2), (0, 2) zmax (-2, 0), (2, 0); f) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x y (4 x y ) miền D:{x = 0, y = 0, x + y = 6} ĐS: zmin 64 (4, 2) zmax (2, 1); g) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z sin x sin y sin( x y ) miền D:{ x 2 , y 2 }; ĐS: zmin (0, 0) zmax 3 ( 3 , 3 ) ; h) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x xy x y miền D:{ x 1, y 2}; ĐS: zmin 3 (1, 0) zmax 17 (1, 2); i) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x y xy x y miền D:{x 0, y 0, x + y -3}; ĐS: zmin 1 (-1, -1) zmax (-3, 0), (0, -3); j) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x xy miền D:{0 x 1, y 1 x }; ĐS: zmin x = (0 y 1) zmax (1, 0) k) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x x y miền D: { x y } ĐS: zmin 12 , 0 zmax 94 12 ; 11 Một hộp hình hộp chữ nhật hở phía tích 32 cm3 Hỏi cạnh phải có độ dài để hộp có diện tích chung quanh nhỏ nhất? 1 ĐS: Hộp có diện tích toàn phần S ( x, y ) xy 64( ) S đạt x = y = x y Các cạnh có độ dài 4, 4, Version (27/7/2013) TÍCH PHÂN BỘI Chương Tích phân hai lớp tọa độ Descartes Tính I f ( x , y )dxdy D D: { a x b , 1 ( x ) y 2 ( x ) } i) D hình thang cong loại 1: 2 ( x ) b I = dx f ( x , y)dy 1 ( x ) a ii) D hình thang cong loại 2: D: {c y d, ( y) x ( y ) } d ( y) I = dy f ( x , y)dx 1 (y) c iii) D hình chữ nhật: D: { a x b , c y d} b d d b I = dx f ( x , y)dy = dy f ( x , y )dx a c c a * Đặc biệt: Khi f ( x , y) f1 ( x ) f2 ( y) b d I = f1 ( x )dx. f2 ( y )dy a c Tính tích phân: a) sin( x y ) dxdy với D: {y = 0, y = x, x y 2 }; D b) x ydxdy với D: {y = 0, y ax x }; D c) | x | | y | dxdy với D: {| x | + | y | 1} D ĐS: a) ; b) a5 ; c) Tích phân hai lớp tọa độ cực Tính tích phân I = f ( x , y)dxdy , D f ( x , y) chứa biểu thức x y D có dạng hình tròn Đặt x r cos , y r sin (*) (0 2 - ; r 0) Ta có x y r ; J = r D' miền , r có ảnh D qua phép biến đổi (*) I f (r cos , r sin )rd dr D' Tính tích phân: a) xdxdy với D: { x y x }; D Version (27/7/2013) y x x b) arctan dxdy với D:{ D y x , x y }; c) xy dxdy với D: { x ( y 1)2 , x y y }; D d) D y x dxdy với D:{ x y x } 2 ĐS: a) ; b) ; c) 0; d) 3 Tính tích phân ( y x ) dxdy với D: {y = x + 1, y = x - 3, y 13 x 79 , y 13 x } D ĐS: -38/3 Thể tích vật thể hình trụ Vật thể hình trụ giới hạn phía mặt cong z f2 ( x , y) , phía mặt cong z f1 ( x , y) có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D Vật thể tích cho V [ f2 ( x , y ) f1 ( x , y )]dxdy D Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: a) z x y , x y , z = 0; b) z x y , y x , y = 1, z = 0; c) z cos x cos y , z = 0, | x y | 2 , | x y | 2 ĐS: a) V = 88 105 ; b) V = , c) V = Tính diện tích a) phần mặt nón z x y nằm bên mặt trụ x y ; b) phần mặt cầu x y z (z 0) nằm mặt trụ x y y ĐS: a) S = 2 ; S = 1 Tích phân lớp hệ tọa độ Descartes Tính I = f ( x , y, z)dxdydz V V : {a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ), ( x , y ) z ( x , y)} b I = dx a 2 ( x ) 1 ( x ) ( x,y ) dy f ( x , y, z )dz ( x ,y) Tính y cos( x z )dxdydz với V:{ y x , y = 0, z = 0, x z 2 } V ĐS: 2 1 Tích phân lớp tọa độ trụ Version (27/7/2013) Tính I = f ( x , y, z)dxdydz V trường hợp V có dạng hình trụ f ( x , y, z ) chứa biểu thức x y Đặt x r cos , y r sin , z = z (*) (0 2 - ; r 0; - < z < ) Ta có x y r V' miền , r, z có ảnh V qua phép biến đổi (*) I= f (r cos , r sin , z)rd drdz V' Tính tích phân sau tọa độ trụ: a) x y dxdy với V:{ x y z , z = 1}; V b) x y dxdydz với V:{ x y z , z = 2} V ĐS: a) 16 ; b) Tích phân lớp tọa độ cầu Tính I = f ( x , y, z)dxdydz V trường hợp V có dạng hình cầu f ( x , y, z ) chứa biểu thức x y z Đặt x r cos sin , y r sin sin , z r cos (*) (0 2 - ; ; r 0) Ta có x y r V' miền , r, z có ảnh V qua phép biến đổi (*) I= f (r cos sin , r sin sin , r cos )r sin d drdz V' Tính tích phân sau tọa độ cầu: a) xyzdxdydz với V:{ x y z , x = 0, y = 0, z = 0}; V b) x y z dxdydz với V:{ x y z z }; V c) x y dxdydz với V:{ x y z , z 0} V ĐS: a) 1/48; b) 10 ; c) 124 15 Ứng dụng học Cho phẳng chiếm miền D mặt phẳng Oxy, có khối lượng riêng điểm (x, y) (x, y) Version (27/7/2013) ( x, y)dxdy i) Khối lượng phẳng: M = D ii) Moment quán tính phẳng trục Ox, Oy gốc O I x y 2 ( x , y )dxdy ; I y x 2 ( x , y)dxdy ; Io ( x y ) ( x , y)dxdy D D D iii) Moment tĩnh trục Ox, Oy: I x y ( x , y)dxdy ; I y x ( x , y)dxdy D D iv) Tọa độ trọng tâm C bản: xc My M , yc Mx M Tìm tọa độ trọng tâm hình đồng chất giới hạn đường y x , y x , x = 1, x = HD & ĐS: S(D) = ; xc S xdxdy 4528 ; yc D S ydxdy 279 70 D 10 Tìm moment quán tính trục Oz vật thể V có khối lượng riêng = điểm V V:{ z x y , x y 2ay } HD & ĐS: Izz ( x y )dxdydz = d V Chương a sin r dr r 3dz = 512 75 a5 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tính tích phân sau: a) xyds , với L biên hình chữ nhật với đỉnh O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(0, 2) L b) x ds , với L giao hai mặt phẳng x - y + z = x + y +2z = từ gốc O đến L điểm (3, 1, -2) c) ( x y) ds , với L: y ax x L ĐS: a) 24; b) 14 ; c) a2 ( 2) Tính tích phân a) 2( x y ) dx x ( y 3) dy , L đường gấp khúc OAB với O(0, 0), L A(1, 1), B(2, 0) b) dx dy , ABCDA biên hình vuông với A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), ABCDA | x | | y | D(0, -1) 10 Version (27/7/2013) ĐS: a) ; b) 0; Công thức Green Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục với đạo hàm riêng miền D x Py dxdy Pdx Qdy Q D L L biên miền D Tính tích phân sau: a) (1 x ) ydx x (1 y ) dy L: x y R L x x (e sin y ky )dx (e cos y k )dy , AmO nửa đường tròn b) AmO x y ax chạy từ A(a, 0) đến O(0, 0) c) ( x y )2 dx ( x y) dy , L chu tuyến dương tam giác OAB với L O(0, 0), A(2, 0), B(4, 2) d) 2( x y ) dx x ( y 3) dy , L đường gấp khúc OAB với O(0, 0), L A(1, 1), B(2, 0) ĐS: Dùng công thức Green a) R 2 b) ka 8 ; c) 16; d) Tính tích phân ( ,3) a) xdy ydx ; ( 1,2 ) ( 3,1) b) ( x y) dx ydy ( x y)2 (1,1) ĐS: a) 8; b) ln 14 Tính diện tích hình giới hạn đường sau: a) y x , y x x , x = 0, x = b) x a cos3 t , y a sin t ĐS: a) S = (a > 0) 3 a2 , b) S = ln Chương TÍCH PHÂN MẶT Tích phân mặt loại Cho mặt cong S: z = g(x, y), g đơn trị có đạo hàm riêng liên tục miền D, với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy 11 Version (27/7/2013) '2 '2 f ( x , y, z )dS f x , y, g ( x , y) g x g y dxdy S D Tính tích phân sau: a) z x 43 y dS , S phần mặt phẳng x 3y 4z nằm góc phần S tám thứ b) x y dS , S nửa mặt cầu x y z R2 S ĐS: a) 61 ; b) R4 Tích phân đường loại Cho mặt cong S: z = g(x, y), g đơn trị có đạo hàm riêng liên tục miền D, với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy P( x , y, z)dydz Q( x , y, z)dzdx R( x, y, z )dxdy S [ P( x , y, z ( x , y))( xz ) Q( x , y, z ( x , y ))( yz ) R( x , y, z ( x , y ))]dxdy D dấu + lấy theo phía S dấu - lấy theo phía S Tính tích phân sau: a) x y dxdy , S mặt mặt tròn S: { x y R , z = 0} S b) xdydz ydzdx zdxdy , S phía mặt cầu x y z a S c) ( y z)dydz (z x )dzdx ( x y )dxdy , S phía mặt nón 2 S z x y , (0 z h) ĐS: a) R ; b) 4 a3 ; c) Công thức Ostrogradski Nếu hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng miền V Px V Q y Rz dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy S Tính tích phân sau: a) xzdydz yxdzdx zydxdy , S mặt hình chóp S V: {x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1} b) x dydz y dzdx z dxdy , S mặt hình lập phương S V: {0 x a, y a, z a} 12 Version (27/7/2013) 2 c) xz dydz ( x y z )dzdx (2 xy y z )dxdy S với S biên nửa hình cầu giới hạn mặt x y z a (a > 0) z = Tích phân mặt lấy theo phía S ĐS: Dùng công thức Ostrogradski a) ; b) 3a c) P = xz2, Q = x2y - z3, R = 2xy + y2z 2 P z Qy x a 2 r r sin dr x2 , , R z y2 I = V ( x y z )dxdydz = 0 d 0 d 2 = 0 d 0 sin d ( r5 ) |a0 = a5 ( |02 ).( cos |0 ) = 2 a5 Công thức Stoke Nếu hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng mặt S Ry S Q z dydz P z Rx dzdx Q x Py dxdy Pdx Qdy Rdz L L biên S, tích phân mặt lấy theo phía S, tích phân đường lấy theo chiều dương tương ứng Tính tích phân sau: a) ( y z )dx ( z x ) dy ( x y) dz , L đường tròn giao mặt cầu 2 L x y z a với mặt phẳng x + y + z = lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ dương trục Oz hướng b) y dx z dy x dz , L chu tuyến tam giác với đỉnh A(1, 0, 0), L B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz ĐS: Dùng công thức Stoke a) 0; b) -1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương Phương trình có biến phân ly * Dạng: M(x)dx + N(y)dy = * Tich phân tổng quát: M ( x)dx N ( y)dy C 1) Giải phương trình vi phân sau: a) y dx xydy ĐS: Tích phân TQ: ln | x | C b) y2 1 ( x 1) y ' xy , y(0) = ĐS: Nghiệm riêng ứng với ĐKBĐ y(ln|x2 - 1| + 1) = 13 c) Version (27/7/2013) 2x2yy' + y2 = ĐS: TPTQ y C e1 x , y d) y '.cot x y , y(0) = -1 ĐS: y = -3cosx + e) ye x dx (1 e2 x )dy ĐS: y C e x f) y ' cos( x y) HD & ĐS: Đặt u = x - y nghiệm y x k 2 tích phân TQ x cot x 2 y C Phương trình đẳng cấp dy f ( x, y ) , với f ( x, y ) g ( xy ) dx y dy du * Cách giải: Đặt u ux x dx dx * Dạng: 2) Giải phương trình a) dy y2 dx xy x ĐS: y Ce y b) x dy y (2 x y ) dx x3 ĐS: x y ln | Cx | , y = c) ( y xy ) dx x dy ĐS: y = Cx(x - y) d) xy ' y x.e y x ĐS: y = -xlnln|Cx| e) xy ' y x tan y x ĐS: sin yx Cx Phương trình vi phân tuyến tính * Dạng: y' + P(x)y = Q(x) P ( x ) dx P ( x ) dx dx C * Nghiệm tổng quát: y e Q ( x )e 3) Giải phương trình 14 Version (27/7/2013) a) xy ' y x sin x ĐS: y = x(C - cosx) b) (1 x ) y ' xy (1 x ) ĐS: c) y ' xy xe x ; ĐS: d) y (1 x )( x C ) y e x C x2 y ' y cos x xe sin x , y() = 0; ĐS: y ( x )e sin x e) y ' y x ln x , x ln x ĐS: y f) y' x2 y (e) e2 ln x y ; x y3 ĐS: x y y2 C Phương trình Bernoulli * Dạng: y ' P( x ) y Q( x ) y , ; P(x), Q(x) liên tục * Cách giải: + Khi = = PTVP tuyến tính + Khi 0, 1: chia hai vế phương trình cho y đặt z y1 PTVP tuyến tính theo z 4) Giải phương trình a) y ' y 3x y ; x b) y ' y e x y ; y(0) ĐS: y 1 Cx x ; b) y e x ex C Phương trình vi phân toàn phần Dạng: M ( x , y)dx N ( x , y )dy (*) với M ( x , y )dx N ( x , y)dy d ( x , y) Điều kiện để (*) PTVP toàn phần: N M x y Cách giải: - Khi biết ( x , y) Tích phân tổng quát: ( x , y) C - Không biết ( x , y) Tích phân tổng quát: 15 Version (27/7/2013) y x x y M ( x , y0 )dx N ( x , y)dy C hay M ( x , y)dx N ( x0 , y)dy C x0 y0 x0 y0 Thừa số tích phân: ( x , y)[ M ( x , y)dx N ( x, y)dy] phương trình vi phân toàn phần + ( x) e + ( y) e M N x y N N M y x M dx dy 5) Kiểm tra phương trình sau phương trình vi phân toàn phần giải chúng a) xydx ( x y )dy ; b) (2 x sin y ye x )dx ( x cos y cos ye x )dy ; c) y dx ( y3 ln x )dy ; x x ( x 1) cos y d) dx dy sin y sin y y3 C ; b) x ( x 1) sin y e x y C ; c) d) 2xsin1y x C ĐS: a) x y y4 y ln x C ; 6) Giải phương trình y3 (2 xy x y )dx ( x y )dy b\ cách tìm thừa số tích phân dạng ( x ) HD & ĐS: = ex; e x ( x y y3 ) C 7) Giải phương trình (1 x y ) dx x ( y x ) dy cách tìm thừa số tích phân dạng ( x ) HD & ĐS: x2 1x xy y2 C Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi * Dạng: y " py ' qy f ( x ) (1) * Nghiệm tổng quát: y y Y với y nghiệm tổng quát phương trình y " py ' qy (3) Y nghiệm riêng (1) Tìm nghiệm tổng quát y phương trình y " py ' qy (2): Xét phương trình đặc trưng: k pk q Phương trình có hai nghiệm k1 , k2 i) k1 , k2 hai nghiệm thực phân biệt y C1ek1 x C2e k2 x ii) k1 k2 y (C1 C2 x )e k1 x 16 Version (27/7/2013) x iii) k1,2 i y e (C1 cos x ) C2 sin x ) Tìm nghiệm riêng Y phương trình không y " py ' qy f ( x ) ) f ( x ) e x Pn ( x ) , Pn ( x ) đa thức bậc n So sánh với hai nghiệm k1 , k2 phương trình đặc trưng: i) k1 , k2 Y e x Qn ( x ) ii) k1 , k2 Y e x x.Qn ( x ) iii) k1 k2 Y e x x Qn ( x ) ) f ( x ) e x [ Pn ( x ) cos x Qm ( x ) sin x ] So sánh i với hai nghiệm k1 , k2 phương trình đặc trưng: i) i k1 , k2 Y e x [Ur ( x ) cos x Vr ( x ) sin x ] với r max(n, m) ii) i k1 Y e x [ xUr ( x ) cos x xVr ( x ) sin x ] 7) Giải phương trinh vi phân sau: a) y " y ' y e x ; ĐS: y C1e x C2 e3 x 15 e x b) y " y sin x ; ĐS: y C1 cos x C2 sin x x cos x ; c) y " y ' 20 y x e x ; ĐS: y C1e4 x C2 e5 x ( 13 x x x )e x d) y " y ' y cos x sin x , y(0) = 1, y'(0) = ĐS: Nghiệm TQ: y C1e2 x C2 e x sin x Nghiệm riêng y e x sin x ; 8) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình sau: a) y " y ' y e2 x s in2x ; ĐS: y Ae2 x B cos x C sin x b) y " y ' 5y e x cos x ; ĐS: y C1e x C2e 5 x Axe x B cos x C sin x ; c) y " y xe x 2e x ; ĐS: y C1 cos x C2 sin x ( Ax B )e x Ce x 17 [...]... Dùng công thức Green a) R 4 2 b) ka 2 8 ; c) 16; d) 7 3 4 Tính các tích phân ( 2 ,3) a) xdy ydx ; ( 1,2 ) ( 3,1) b) ( x 2 y) dx ydy ( x y)2 (1,1) ĐS: a) 8; b) ln 2 14 5 Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường sau: a) y 2 x , y 2 x x 2 , x = 0, x = 2 b) x a cos3 t , y a sin 3 t ĐS: a) S = (a > 0) 3 4 3 a2 , b) S = ln 2 3 8 Chương 4 TÍCH PHÂN MẶT Tích phân... y)dy d ( x , y) Điều kiện để (*) là PTVP toàn phần: N M x y Cách giải: - Khi biết ( x , y) Tích phân tổng quát: ( x , y) C - Không biết ( x , y) Tích phân tổng quát: 15 Version 1 (27/7/2013) y x x y M ( x , y0 )dx N ( x , y)dy C hay M ( x , y)dx N ( x0 , y)dy C x0 y0 x0 y0 Thừa số tích phân: ( x , y)[ M ( x , y)dx N ( x, y)dy] 0 là phương trình vi phân... x y )dx ( x 2 y 2 )dy 0 b\ 3 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng ( x ) 2 HD & ĐS: = ex; e x ( x 2 y y3 ) 3 C 7) Giải phương trình (1 x 2 y ) dx x 2 ( y x ) dy 0 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng ( x ) HD & ĐS: 1 x2 1x xy y2 2 C Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi * Dạng: y " py ' qy f ( x ) (1) * Nghiệm tổng quát:... C(0, 0, 1) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ chiều dương của trục Oz ĐS: Dùng công thức Stoke a) 0; b) -1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương 5 Phương trình có biến phân ly * Dạng: M(x)dx + N(y)dy = 0 * Tich phân tổng quát: M ( x)dx N ( y)dy C 1) Giải các phương trình vi phân sau: a) y 2 1 dx xydy ĐS: Tích phân TQ: ln | x | C b) y2 1 ( x 2 1) y ' 2 xy 2 0 , y(0) = 1 ĐS: Nghiệm... 2 x dx (1 e2 x )dy 0 ĐS: y C 1 e 2 x f) y ' cos( x y) HD & ĐS: Đặt u = x - y nghiệm y x k 2 và tích phân TQ x cot x 2 y C Phương trình đẳng cấp dy f ( x, y ) , với f ( x, y ) g ( xy ) dx y dy du * Cách giải: Đặt u ux x dx dx * Dạng: 2) Giải các phương trình a) dy y2 dx xy x 2 ĐS: y Ce y b) x dy y (2 x 2 y 2 ) dx 2 x3 ĐS: x y ln | Cx | ,... y 2 z 2 a 2 (a > 0) z = 0 Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S 1 8 ĐS: Dùng công thức Ostrogradski a) ; b) 3a 4 c) P = xz2, Q = x2y - z3, R = 2xy + y2z 2 2 và P z 2 Qy x a 2 2 r r sin dr 0 x2 , , R z y2 I = V ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz = 0 d 0 d 2 2 5 = 0 d 0 sin d ( r5 ) |a0 = a5 5 ( |02 ).( cos |0 2 ) = 2 a5 5 Công thức Stoke Nếu các hàm P(x,... hàm riêng trên mặt S thì Ry S Q z dydz P z Rx dzdx Q x Py dxdy Pdx Qdy Rdz L trong đó L là biên của S, tích phân mặt lấy theo phía trên của S, còn tích phân đường lấy theo chiều dương tương ứng 4 Tính các tích phân sau: a) ( y z )dx ( z x ) dy ( x y) dz , trong đó L là đường tròn giao của mặt cầu 2 2 L 2 x y z a 2 với mặt phẳng x + y...Version 1 (27/7/2013) ĐS: a) 7 3 ; b) 0; Công thức Green Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền D thì x Py dxdy Pdx Qdy Q D L L là biên miền D 3 Tính các tích phân sau: a) (1 x 2 ) ydx x (1 y 2 ) dy trong đó L: x 2 y 2 R 2 L x x (e sin y ky )dx (e cos y k... y3 ĐS: x y y2 2 C Phương trình Bernoulli * Dạng: y ' P( x ) y Q( x ) y , trong đó ; P(x), Q(x) liên tục * Cách giải: + Khi = 0 hoặc = 1 PTVP tuyến tính + Khi 0, 1: chia hai vế phương trình cho y và đặt z y1 PTVP tuyến tính theo z 4) Giải các phương trình a) y ' 2 y 3x 2 y 4 3 ; x b) y ' y e x 2 y ; y(0) 9 4 3 ĐS: y 1 3 Cx 2 3 x 3 ; b) y e x 7... f ( x , y, z )dS f x , y, g ( x , y) 1 g x g y dxdy S D 1 Tính các tích phân sau: a) z 2 x 43 y dS , trong đó S là phần mặt phẳng x 2 3y 4z 1 nằm trong góc phần S tám thứ nhất b) x 2 y 2 dS , trong đó S là nửa trên của mặt cầu x 2 y 2 z 2 R2 S ĐS: a) 4 61 ; b) 4 3 R4 Tích phân đường loại 2 Cho mặt cong S: z = g(x, y), trong đó g đơn trị và có các
Ngày đăng: 04/05/2016, 16:42
Xem thêm: Đề cương giải tích thực ôn thi cao học