Đề cương giải tích ngẫu nhiên k23 cao học sư phạm toán hà nội

Đề cương bao gồm 2 phần chính, phần 1 là tóm tắt lý thuyết môn giải tích ngẫu nhiên.Phần 2 là đề cương ôn tập gồm 10 câu hỏi, có kèm lời giải chi tiết.Ngoài ra còn thêm phần bài tập mở rộng

1 CHƯƠNG 1. CÁC KI ẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. M ột số khái niệm Thí nghi ệm (phép thử) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà ta không thể đoán trước k ết quả n ào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm được gọi là không gian m ẫu và đư ợc kí hiệu là  . M ỗi tập con A   đư ợc gọi là một biến cố. M ột họ các biến cố A đư ợc gọi là  - đ ại số n ếu: (i) A chứa không gian mẫu, tức là,  A . (ii) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là A A thì c A  A , ở đó c A \ A  . (iii) A kín đ ối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu n A , n 1,2,  A thì n n 1 A    A Chú ý. Cho   n A là dãy các t ập con của  . Ký hi ệu n k n k n n n 1 k n n 1 k n limsupA A , liminf A A              Khi  là không gian metric E, thì ta ký hi ệu B(E) là   đ ại số sinh từ các tập mở, và gọi B(E) là   đ ại số Borel c ủa E. Ta hiểu độ đo trên   đại số A là ánh xạ : [0, )  A sao cho tồn tại A A với   A   và n ếu n A n 1,2,,  A là dãy các t ập rời nhau từng cặp thì   n n n 1 n 1 A A                Xác su ất P là đ ộ đo chuẩn hóa, tức là   P 1  . Trong trư ờng hợp đó, bộ ba   , ,P A đư ợc g ọi là không gian xác su ất . Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức         P A B P A B ,P B 0 P B    Bi ến ngẫu nhiên là ánh x ạ X :   sao cho       X x X x , x        A Hàm phân ph ối xác su ất c ủa biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức     F x P X x , x    Hàm s ố n ày có các tính chất (cần và đủ) sau: (i) không gi ảm, 2 (ii) liên t ục bên phải, (iii)     x x lim F x 0, lim F x 1     . Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cả các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm đư ợc. Ký hiệu   1 2 x ,x , là t ập các giá tr ị của x. Ta đ ặt     n n p P X x , n 1,2,    và g ọi   n p là dãy phân ph ối xác suất của X. Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất của nó có đạo hàm. Trong trư ờng hợp này ta gọi     f x F x ,x    là hàm m ật độ. 2. K ỳ vọng và phương sai  Trư ờng hợp rời rạc K ỳ vọng của X l à s ố thực xác định theo công thức   n n n n n n EX x p x P X x     n ếu chuỗi hội tụ tuyệt đối. Kì v ọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức     n n n E X B x P X x B   Phương sai c ủa X là số thực không âm xác định theo công thức     2 2 2 2 2 n n n n n n DX E X EX EX EX p x p x               Phương sai có đi ều kiện của X khi biến cố B đ ã cho là s ố thực xác định theo công thức             2 2 2 D X B E X E X B B E X B E X B          Trư ờng hợp liên tục K ỳ vọng của X l à s ố thực xác định theo công thức EX xf(x)dx     Phương sai c ủa X là số thực không âm xác định theo công thức     2 2 2 2 2 DX E X EX EX EX x f (x)dx xf(x)dx                    Đ ịnh nghĩa tổng quát của kì vọng có điều kiện đối với  - đ ại số Gi ả sử   , ,P A là không gian xác su ất và F là  - đ ại số con của A. K ỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X 0 đ ối với F là bi ến ngẫu nhiên suy rộng không âm 3     E X : 0,  F sao cho (i)   E X F là F- đo đư ợc, (ii) v ới mọi AF   A A XdP E X dP   F Phương sai có đi ều kiện được định nghĩa theo công thức       2 D X E X E X         F F F  Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện: 1. N ếu X là F- đo đư ợc thì   E X XF . Đ ặc biệt, nếu C là hằng số thì   E C CF . 2. N ếu X Y thì     E X E YF F . Đ ặc biệt ta có bất đẳng thức     E X E XF F 3. N ếu a,b  thì         E aX bY aE X bE Y  F F F . 4.   E E X EX      F . 5. N ếu   X và F đ ộc lập thì   E X EXF . Đ ặc biệt nếu X, Y độc lập thì   E X Y EX . 6. N ếu 1 2 F F thì       2 1 1 2 1 E E X E E X E X           F F F F F . 7. N ếu Y là F- đo đư ợc thì     E XY YE XF F . 3. M ột số phân phối quan trọng a. Phân ph ối nhị thức B(n, p)     n k k k n X ~ B(n,p) p X k C .p 1 p , k 0, ,n        X là s ố lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử chỉ có hai biến cố A, c A xu ất hiện. b. Phân ph ối Poisson   P  X là số lần biến cố A xuất hiện trong 1 khoảng thời gian t cố định thì X có phân phối Poisson tham s ố  , t ức 4   k .e P x k , k 0,1, k!           k n .e X ~ B n,p limP X k k!       , v ới np  .   X ~ P EX , DX      . c. Phân ph ối mũ   Exp      x X .e X ~ Exp f x 0         2 1 1 EX , DX    d. Phân ph ối chuẩn   2 N a, Nếu   2 X ~ N a, thì: + Hàm m ật độ:     2 2 x a 2 X 2 1 f x .e , x 2        . +   X a Z ~ N 0,1    + 2 EX a,DX   Khi a = 0, 1  thì X có phân ph ối chuẩn tắc N(0, 1) với hàm mật độ   2 x 2 X 1 f x .e 2    4. M ột số bất đẳng thức c ần nhớ  B ất đẳng thức Holder N ếu r s X L ,Y L  , trong đó r, s là các s ố sao cho 1 1 1 r , 1 r s      thì       1 r 1/s r s E XY E X . E Y              F F F  B ất đẳng thức Minkowski N ếu r X,Y L ,1 r  thì       1 r 1 r r r r E X Y E X E Y  F F F  B ất đẳng thức Jensen N ếu g :   là hàm l ồi, tức l à     g ax by ag(x) bg y , 0 a,b 1, x, y      khi x 0 khi x < 0 5 thì         g E X E g XF F . CHƯƠNG 2. CÁC KHÁI NI ỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Cho không gian xác suất ( , ,P) F . + X :[0, )    đư ợc gọi là một quá trình ng ẫu nhiên n ếu t 0 thì t X là F- đo đư ợc. + Dãy  - đại số con   n F của F được gọi là một lọc nếu n m , n m  F F . +   t X đư ợc gọi là tương thích v ới lọc t F n ếu t X là t F - đo đư ợc với mọi t 0 . + C ố định w  thì       t X w : 0,T t X w    đư ợc gọi là qu ĩ đạo c ủa thông tin. + X đư ợc gọi là quá trình ng ẫu nhiên liên tục n ếu   t P w : t X w liên tuc 1      . + X đư ợc gọi là liên tục phải (trái) nếu với hầu chắc chắn (h.c.c) mọi w  thì   t t X w liên t ục phải (trái). + X đư ợc gọi là có gi ới hạn phải (trái) nếu với h.c.c m ọi w  thì       0 0 t 0 t 0 t t t t limX w , t 0 limX w , t 0         . + Với mọi A 2   thì ta đặt     * P (A): inf P B :B , B A  F A đư ợc gọi là t ập không (null set) n ếu * P (A) 0 + L ọc t t 0 )(  F đư ợc gọi l à th ỏa m ãn điều kiện thông thường n ếu (i) t F liên t ục phải: s t s t F F . (ii) t F ch ứa tất cả các tập không với mọi t. + X, Y là hai quá trình ng ẫu nhiên. X và Y đư ợc gọi là b ất khả phân biệt n ếu   t t P w : t :X (w) Y (w) 1   . X đư ợc gọi là b ản sao c ủa Y nếu   t t P w : X (w) Y (w) 1, t 0    . 6 Nh ận xét. N ếu X và Y là bất khả phân biệt thì X là bản sao của Y. Chiều ngược lại chưa chắc đúng. CHƯƠNG 3. Đ Ề C ƯƠNG ÔN T ẬP Câu 1. Đ ịnh nghĩa chuyển động Brown. Ch ứng minh một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình Brown. Tr ả lời a. Đ ịnh nghĩa . Cho không gian xác su ất ( , ,P) F . Quá trình ng ẫu nhiên B:[0, )    đư ợc gọi là chuy ển động Br own (quá trình Wiener) n ếu (i) 0 B 0 h.c.c, (ii)   t s t s:B B ~ N 0,t s    (có s ố gia dương) (iii) V ới mọi t thì t B là t F - đo đư ợc, (iv) t s t s:B B   đ ộc lập với s F (có s ố gia độc lập) (v) t B có qu ĩ đạo li ên tục h.c.c. b. Ví dụ chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là chuyển động Brown Cho B là chuy ển động Brown và a 0 . Khi đó 2 t a X a.B c ũng là chuyển động Brown. Th ật vậy, (i) 0 0 X B 0  . (ii)   2 2 t s t a s a t s:X X a B B     , nhưng do B là chuy ển động Brown n ên   2 2 2 t a s a t s B B ~ N 0, a         Do đó   t s X X ~ N 0,t s  . (iii) G ọi s F là l ọc tự nhiên sinh bởi quá trình ngẫu nhiên B. Đ ặt 2 s s a G F Khi đó 2 2 t t t a t a X a.B ~ F G - đo đư ợc. (iv) t s:    2 2 t s t a s a X X a B B   đ ộc lập với 2 s s a F G , t ức là X có số gia độc lập. 7 (v) C ố định w  thì   2 t t a t X w a.B liên t ục. Câu 2. Đ ịnh nghĩa Martingale liên tục. Chứng minh một quá trình cho trước là martingale. Tr ả lời a. Đ ịnh nghĩa. Gi ả sử   t F là m ột lọc, không nhất thiết ph ải thỏa m ãn điều kiện thông thường. Quá trình ng ẫu nhiên   t t 0 M  đư ợc gọi là một martingale thời gian liên tục ứng với lọc   t F và đ ộ đo xác suất P nếu: 1. t E M      v ới mọi t; 2. t M là t F - đo đư ợc với mọi t; 3. t s s E M M     F h.c.c với mọi t s . N ếu điều kiện thứ ba được thay bởi t s s E M M     F h.c.c v ới mọi t s thì   t M đư ợc gọi là martingale dư ới.   t M đư ợc gọi là martingale trên nếu   t M là martingale dư ới (ho ặc thay b ởi t s s E M M     F ). b. Các ví d ụ về chứng minh một quá trình cho trước là martingale Ví d ụ 1. Gi ả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích,   t F là m ột lọc. Đặt t t X E X     F . Khi đó   t X là m ột martingale v à được gọi là martingale chính quy. Ví dụ 2. Giả sử   t W là chuyển động Brown. Khi đó các quá trình sau đều là martigale: 1. t t M W . 2. 2 t t M W t  . 3. 2 t a t a.W 2 t M e   . 4. T 3 t t s 0 M W 3 W ds   . Gi ải 2. V ới t > s ta có       2 t s t s s s E W E W W W  F F           2 2 t s s t s s s s s E W W 2E W W .W E W    F F F     2 2 t s s t s s s E W W 2W .E W W W          F (do t s W W đ ộc lập với s F )   2 s t s 0 W    (do     2 t s t s W W ~ N 0,t s E W W t s           ) 8 Do đó     2 2 t s s t s s E W t s W E W t W s      F F h.c.c 3. V ới t > s ta có     2 2 t t a t a t a.W aW 2 2 t s s s E M E e e .E e             F F F       2 2 t s s t s s 2 s t s a t a t a(W W ) aW a(W W ) aW 2 2 s s a t aW a(W W ) 2 s e .E e e .E e .e e .e .E e           F F F 2 s t s a t aW a(W W ) 2 e .e .Ee    (do t s W W đ ộc lập với s F ) 2 2 2 s s a t a (t s) a aW .s aW 2 2 2 s e .e .e e M       . 4. V ới t > s ta có   t s t 3 3 3 3 t s s t s u u s t s u s 0 0 s E M M E W W 3 W du W du E W W 3 W du                        F F F     t 3 3 t s s s s u s s E W W W W 3E W du             F F               t 3 2 2 t s s t s s s t s s s u s s E W W 3E W W .W 3E W W .W 3 E W du        F F F F       t 3 2 2 t s s t s s t s s s E W W 3W .E W W 3W E W W 3 W .du            2 s s s 0 3W . t s 3W .0 3W . t s 0       , ở đó   3 t s E W W 0  . Th ật vậy, ta đặt t s X W W  thì   X ~ N 0,t s và       2 2 x 2 t s 3 3 3 X 1 EX x .f x .dx x . .e .dx 0 2 t s              (do hàm số d ưới d ấu tích phân là hàm lẻ) Do đó     t s s t s s E M M 0 E M M   F F Ví d ụ 3. Cho   t W là chuy ển động Brown. Ch ứng minh rằng t 2 t t X e .cosW là martingale. Chú ý. Sử dụng công thức vi phân Itô và tính chất sau : 9 “Gi ả sử   f t là quá trình ng ẫu nhiên tương thích với lọc   t F và t t s 0 M f(s).dB , 0 t T    . N ếu t 2 0 E f (s)ds          thì   t t 0 t T M ,   F là martingale. N ếu t 2 0 P f (s)ds 1           thì   t t 0 t T M ,   F là martingale đ ịa ph ương ”. Gi ải Ta có: t t dW 0.dt 1.dW a 0, b 1     . Xét hàm   t 2 F x,t e .cos x thì 2 t 2 t 2 t 2 2 F 1 F F e .cosx; e .sinx; e .cosx t 2 x x            Khi đó t 2 t 2 t 2 t 2 t t t t t t t 1 1 dX e .cos W e .cosW .dt e .sin W .dW e .sin W .dW 2 2            t s 2 t s s 0 X 1 e .sin W .dW    . Ta có   t 1 2 s 2 s s 0 0 E e .sin W .ds E e .ds e 1                    t s 2 s s 0 0 t 1 e .sin W .dW           là martingale. G ọi   s u W , 0 u s   F thì v ới t s 0  :   t u 2 t s u u s 0 E X E 1 e .sin W .dW          F F t s u 2 u 2 u u s u u s 0 0 1 E e .sin W .dW 1 e .sin W .dW X              F . V ậy   t t 0 t 1 X ,   F là martingale. Câu 3. Phát biểu khai triển Doob – Meyer. Chứng minh tính duy nhất của khai triển. Tr ả lời Trư ớc tiên ta đề cập đến một số định nghĩa và mệnh đề sau. Đ ịnh nghĩa. Quá trình ng ẫu nhiên   t t 0 A  đư ợc gọi là 10 + tăng n ếu 0 A 0 và ánh x ạ t t A là liên t ục ph ải v à tăng h.c.c. + kh ả tích n ếu   t E A   v ới mọi t 0 . + t ự nhi ên n ếu với mọi martingale bị chặn   t t 0 m  , ta có t t s s s s 0 0 E m dA E m .dA , t 0                   , trong đó tích phân trong d ấu k ì vọng được hiểu th eo ngh ĩa Lebesgue -Stieltjes và s t t s m limm    . M ệnh đề. Gi ả sử   t t 0 A  là quá trình t ăng và khả tích. Khi đó   t t 0 A  là t ự nhiên nếu với mọi martingale b ị chặn   t t 0 m  đ ẳng thức   t t t s s 0 E m A E m .dA          đư ợc nghiệm đúng với mọi t 0 . (T ức l à cần phải chứng minh   t t t s s 0 E m A E m dA         . a. Đ ịnh nghĩa. Kí hi ệu T S là t ập các thời điểm dừng bị chặn bởi T 0 . Martingale dư ới   t t 0 X  đư ợc gọi l à thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên   T X : S   là kh ả tích đều với mọi T 0 . b. Đ ịnh lí (Khai triển Doob - Meyer). Gi ả sử   t t 0 X  là martingale dư ới thuộc lớp (DL). Khi đó   t X có bi ểu diễn duy nhất dạng t t t X M A ,  trong đó   t t 0 A  là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và   t t 0 M  là martingale. Ch ứng minh Ta chỉ chứng minh tính duy nhất của khai triển. Gi ả sử X có hai khai tri ển thỏa mãn điều kiện của định lí t t t t t X M A M A       V ới mọi martingale bị chặn   t t 0 m  , ta có:       t t t t s s s 0 E m A A E m d A A                    n 1 kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt n n k 0 lim E m A A A A             [...]... bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên đơn giản Chứng minh tính chất đẳng cự Trả lời a Xây dựng vi phân ngẫu nhiên Kí hiệu L 0 là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản f t có dạng n 1 f t  w   f j w  1(t j,t j1 ] t , j1 11   trong đó 0  t 0    t n và f j là biến ngẫu nhiên Ft j - đo được 2,c Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M M Với f ... Gợi ý a Xét hàm Z t  e2t Yt b Xét hàm Yt  ln  X t  Để tính kì vọng và phương sai của X t ta sử dụng một số tính chất sau: (i) Wt là chuyển động Brown nên Wt  Ws ~ N  0, t  s  2    (ii) DX t  EX   EX    x f (x)dx    xf (x)dx       2 2 2 Bài 5 Cho s X   t.dWt 0 24 Tính hàm đặc trưng của X Từ đó xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X Giải    Để tính hàm đặc trưng... phương khả tích Chứng m inh rằng biến phân bậc hai của M trùng với quá trình Meyer của nó Trả lời a Một số định nghĩa: + Với các quá trình ngẫu nhiên  X t  0 t  T Biến phân bậc hai của X được xác định như sau n lim  X   n   X t t i 1 15 i  X ti1 + Giả sử  M t  là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải Khi đó tồn tại t 0 duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên, A t... tính chất của hàm đặc trưng thì X t  X s độc lập với Fs và X t  X s có phân phối chuẩn N  0,  t  s I d Vậy nên X t là chuyển động Brown d - chiều   17 Câu 9 Phát biểu và chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương khả tíc h bởi tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown Trả lời Định nghĩa + Martingale  M t  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích, kí hiệu... trình ngẫu nhiên X   X t  t 0 xác định trên không gian xác suất  ,F , P được gọi là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên  dX t  a  t, X t dt   t, X t dWt  ,   với điều kiện ban đầu  n ếu 19 (*) 1 X tương thích với lọc Ft 0 ; t 2 P  X 0   1 ; 3 với mọi 1  i  d, 1  j  r , ta có: t  P   a  x, X s  ij  s, X s ds     1  2 0    4 biểu diễn dưới dạng tích. .. bị chặn là một martingale Trả lời a Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên  M t  n 0 n một dãy các thời điểm dừng  t 0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại tăng tới  h.c.c sao cho với mọi n  0 , quá trình ngẫu nhiên M n  M t n là martingale t Martingale địa phương  M t  E Mn t 2  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích địa phương nếu    với mọi n  1 , mọi t  0 b Chứng... t t s t 23 Bài 3 Giải các phương trình vi phân sau: a dX t  2X t dt  t.X t dWt , X 0  1 b dX t  3X t dt  dWt , X 0  1 Giải a Nhận xét Từ dX t  2X t dt  t.X t dWt  dX t  2dt  t.dWt (dạng giống bài 2a) nên xét hàm Xt Yt  ln  X t  Từ đó tính được:  t2  dYt   2   dt  t.dWt 2  Tương tự bà i 2, suy ra t Xt  e 1 3   2t  t   s.dWs 6   0  b Chọn hàm Yt  e3t X t thì... dt  3Wt2 dWt b Tương tự trên với hàm F(t, x)  t.x ta được: d  t.Wt  Wt dt  t.dWt  c Tương tự với hàm F(t, x)  e x  2 t ta được:  d e Wt  t  2.Wt2 e Wt  t dt  2Wt e Wt  t dWt 2 2 2 Bài 2 dX t  X t dt  2.X t dWt a Cho X t thỏa mãn Tính vi phân Itô của Yt  ln  X t  Từ đó tìm X t b Câu hỏi tương tự phần a, với dX t  X t dt  dWt và Yt  e  t X t Giải a Tương tự bài 1, ta được: dYt...    tn j t n 0 j1 t n j1 t n 0 j1  2  M s dM s  2  M tn j M t n1 j dM s  M t  M   2  M s dM s  2 M t n M t n  M t n j1 j1 j  M 0 t n   M t ,  n vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,  M tn j1 j1  M t n  M tn j j1  t   Ms dMs 0 Vậy  M t  M t Câu 8 Phát biểu và chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown Trả lời Gọi * là chuyển vị của vectơ... n 1    0, T sao cho lim t n  t n    Do X t , X t là các quá trình ngẫu nhiên liên tục và X t n  w  X t n  w  Cho n   ta được  X t  w  X t  w  w  A  B  A Vậy A = B Định lí được chứng minh CHƯƠNG 4 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Bài 1 Tính vi phân Itô của a X t  Wt3 b X t  t.Wt c X t  e Wt  t 2 Giải 22 Chú ý Trường hợp d = 1: dX t  a(t).dt  (t).dWt với Yt  F  t,X t  F . hàm mật độ   2 x 2 X 1 f x .e 2    4. M ột số bất đẳng thức c ần nhớ  B ất đẳng thức Holder N ếu r s X L ,Y L  , trong đó r, s là các s ố sao cho 1 1 1 r , 1 r s      thì   . Brown. Tr ả lời G ọi *  là chuy ển vị của vectơ hay ma trận  và jk (j k) I    là kí hi ệu delta Kronecker. 17 Đ ịnh lí (Đặc trưng Levy). Gi ả sử   * 1 d t t t X X , ,X  th ỏa mãn j. quá trình kh ả báo thỏa mãn     t d i j ik jk t k 1 0 M ,M s s ds       N ếu     det s 0  h.c.c v ới mọi s thì tồn tại chuyển động Brown d - chi ều   t B sao cho   t d i