Đề cương giải tích ngẫu nhiên

CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Một số khái niệm Thí nghiệm (phép thử) ngẫu nhiên thí nghiệm có nhiều kết mà ta đoán trước kết xảy Tập hợp tất kết có thí nghiệm gọi không gian mẫu kí hiệu  Mỗi tập A   gọi biến cố Một họ biến cố A gọi  - đại số nếu: (i) A chứa không gian mẫu, tức là,   A (ii) A kín phép lấy phần bù, tức A  A A c  A , A c   \ A (iii) A kín phép lấy hợp đếm được, tức  A n  A , n  1, 2,  A n  A n 1 Chú ý Cho  A n  dãy tập  Ký hiệu     lim sup A n    A k , lim inf A n    A k n n 1 k  n n n 1 k  n Khi  không gian metric E, ta ký hiệu B(E)   đại số sinh từ tập mở, gọi B(E)   đại số Borel E Ta hiểu độ đo   đại số A ánh xạ  : A  [0, ) cho tồn A  A với   A    A n  A, n  1, 2, dãy tập rời cặp       An      An   n 1  n 1 Xác suất P độ đo chuẩn hóa, tức P     Trong trường hợp đó, ba  , A , P  gọi không gian xác suất Xác suất có điều kiện định nghĩa theo công thức P  A B  P  A  B , P  B  P  B Biến ngẫu nhiên ánh xạ X :    cho  X  x     X    x  A, x   Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định theo công thức F  x   P  X  x  , x   Hàm số có tính chất (cần đủ) sau: (i) không giảm, (ii) (iii) liên tục bên phải, lim F  x   0, lim F  x   x  x  Biến ngẫu nhiên X gọi rời rạc tập tất giá trị hữu hạn hay đếm Ký hiệu  x1 , x , tập giá trị x Ta đặt p n  P  X  x n  ,  n  1, 2, gọi  p n  dãy phân phối xác suất X Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân phối xác suất có đạo hàm Trong trường hợp ta gọi f  x   F  x  , x   hàm mật độ Kỳ vọng phương sai  Trường hợp rời rạc Kỳ vọng X số thực xác định theo công thức EX   x n p n   x n P  X  x n  n n chuỗi hội tụ tuyệt đối Kì vọng có điều kiện X biến cố B cho số thực xác định theo công thức E  X B   x n P  X  x n B n Phương sai X số thực không âm xác định theo công thức   DX  E  X  EX   EX   EX    p n x 2n    p n x n   n  n Phương sai có điều kiện X biến cố B cho số thực xác định theo công thức    D  X B   E  X  E  X B  B  E  X B   E  X B      Trường hợp liên tục Kỳ vọng X l số thực xác định theo công thức  EX   xf (x)dx  Phương sai X số thực không âm xác định theo công thức DX  E  X  EX   EX   EX        x f (x)dx    xf (x)dx       2 Định nghĩa tổng quát kì vọng có điều kiện  - đại số Giả sử  , A , P  không gian xác suất F  - đại số A Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X  F biến ngẫu nhiên suy rộng không âm   E X F :    0,   cho   (i) E X F F- đo được, (ii) với A F  XdP   E  X F dP A A Phương sai có điều kiện định nghĩa theo công thức     D X F  E  X  E X F    F   Các tính chất kỳ vọng có điều kiện:     Nếu X F- đo E X F  X Đặc biệt, C số E C F  C     Nếu X  Y E X F  E Y F Đặc biệt ta có bất đẳng thức    E XF E X F        Nếu a, b   E  aX  bY  F  aE X F  bE Y F   E  E X F   EX     Nếu   X  F độc lập E X F  EX Đặc biệt X, Y độc lập E  X Y   EX Nếu F1  F2 E  E  X F2  F1   E  E  X F1  F2   E  X F1  Nếu Y F- đo     E XY F  YE X F Một số phân phối quan trọng a Phân phối nhị thức B(n, p) X ~ B(n, p)  p  X  k   C kn p k 1  p  n k , k  0, , n X số lần biến cố A xuất dãy n phép thử có hai biến cố A, A c xuất b Phân phối Poisson P    X số lần biến cố A xuất khoảng thời gian t cố định X có phân phối Poisson tham số  , tức Px  k   k e  , k  0,1, k!  k e  , với   np k! X ~ B  n, p   lim P  X  k   n  X ~ P     EX  , DX   c Phân phối mũ Exp    .e x x  X ~ Exp     f X  x    0 x < EX  1 , DX    d Phân phối chuẩn N  a,   Nếu X ~ N  a,   thì: + Hàm mật độ: f X  x   + Z  2 e  x  a 2 2 , x Xa ~ N  0,1  + EX  a, DX   Khi a = 0,   X có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) với hàm mật độ  x2 e 2 fX  x   Một số bất đẳng thức cần nhớ  Bất đẳng thức Holder 1 Nếu X  L r , Y  Ls , r, s số cho  r  ,   r s    E XY F   E X   r F  1r  s    E Y F   1/s    Bất đẳng thức Minkowski Nếu X, Y  L r ,1  r  E XY  r   F E X F r  1r  E Y r F  1r Bất đẳng thức Jensen Nếu g :    hàm lồi, tức g  ax  by   ag(x)  bg  y  ,  a, b  1, x, y       E g  X  F  g E XF CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Cho không gian xác suất (,F , P) + X :[0, )     gọi trình ngẫu nhiên t  X t F- đo + Dãy  - đại số Fn  F gọi lọc Fn  Fm , n  m +  X t  gọi tương thích với lọc Ft X t Ft - đo với t  + Cố định w   X  w  :  0, T    t  Xt w  gọi quĩ đạo thông tin + X gọi trình ngẫu nhiên liên tục P  w : t  X t  w  liên tuc   + X gọi liên tục phải (trái) với hầu chắn (h.c.c) w   t  X t  w  liên tục phải (trái) + X gọi có giới hạn phải (trái) với h.c.c w    lim X t  w  , t  tt0 lim X  w  , t  0 tt0 t + Với A  2 ta đặt P* (A) : inf P  B  : B F , B  A A gọi tập không (null set) P* (A)  + Lọc (Ft ) t 0 gọi thỏa mãn điều kiện thông thường (i) Ft liên tục phải:  Fs  Ft s t (ii) Ft chứa tất tập không với t + X, Y hai trình ngẫu nhiên X Y gọi bất khả phân biệt P  w : t : X t (w)  Yt (w)   X gọi Y P  w : X t (w)  Yt (w)   1, t  Nhận xét Nếu X Y bất khả phân biệt X Y Chiều ngược lại chưa CHƯƠNG ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP Câu Định nghĩa chuyển động Brown Chứng minh trình ngẫu nhiên trình Brown Trả lời a Định nghĩa Cho không gian xác suất (,F , P) Quá trình ngẫu nhiên B :[0, )     gọi chuyển động Brown (quá trình Wiener) (i) B0  h.c.c, (ii) t  s : Bt  Bs ~ N  0, t  s  (có số gia dương) (iii) Với t Bt Ft - đo được, (iv) t  s : Bt  Bs độc lập với Fs (có số gia độc lập) (v) Bt có quĩ đạo liên tục h.c.c b Ví dụ chứng minh trình ngẫu nhiên chuyển động Brown Cho B chuyển động Brown a  Khi X  a.Bt a chuyển động Brown Thật vậy, (i) X  B0    (ii) t  s : X t  X s  a Bt a  Bs a , B chuyển động Brown nên B t a2   t s   Bs a ~ N  0,   a  Do X t  X s ~ N  0, t  s  (iii) Gọi Fs lọc tự nhiên sinh trình ngẫu nhiên B Đặt Gs  Fs a Khi X t  a.Bt a ~ Ft a  G t - đo (iv) t  s :   X t  X s  a Bt a  Bs a độc lập với Fs a  Gs , tức X có số gia độc lập (v) Cố định w   t  X t  w   a.Bt a liên tục Câu Định nghĩa Martingale liên tục Chứng minh trình cho trước martingale Trả lời a Định nghĩa Giả sử Ft  lọc, không thiết phải thỏa mãn điều kiện thông thường Quá trình ngẫu nhiên  M t  t 0 gọi martingale thời gian liên tục ứng với lọc Ft  độ đo xác suất P nếu: E  M t    với t; M t Ft - đo với t; E  M t Fs   M s h.c.c với t  s Nếu điều kiện thứ ba thay E  M t Fs   M s h.c.c với t  s  M t  gọi martingale  M t  gọi martingale  M t  martingale (hoặc thay E  M t Fs   M s ) b Các ví dụ chứng minh trình cho trước martingale Ví dụ Giả sử X biến ngẫu nhiên khả tích, Ft  lọc Đặt X t  E  X Ft  Khi  Xt  martingale gọi martingale quy Ví dụ Giả sử  Wt  chuyển động Brown Khi trình sau martigale: M t  Wt M t  Wt2  t M t  e a.Wt  a2t T M t  Wt3  3 Ws ds Giải Với t > s ta có    E   W  W  F   2E   W  W  W F   E  W F  E  Wt Fs   E  Wt  Ws  Ws  Fs 2 t s s t s s s s s  E  Wt  Ws    2Ws E  Wt  Ws Fs   Ws2 (do Wt  Ws độc lập với Fs )     t  s    Ws2 (do Wt  Ws ~ N  0, t  s   E  Wt  Ws    t  s )   Do E  Wt Fs   t  s  Ws2  E  Wt  t Fs   Ws2  s h.c.c Với t > s ta có  a.Wt  a t   a t E  M t Fs   E  e Fs   e E eaWt Fs    e e e e  a2t  E e a (Wt  Ws )  aWs  a t  a2t  a2t  Fs   e  eaWs E ea (Wt  Ws ) Fs  a2t   E ea (Wt  Ws ) eaWs Fs   eaWs Eea (Wt  Ws ) (do Wt  Ws độc lập với Fs ) e aWs e a (t s) e aWs  a2 s  Ms Với t > s ta có t s t     E  M t  M s Fs   E  Wt3  Ws3  3 Wu du   Wu du Fs   E  Wt3  Ws3  3 Wu du Fs  0 s     t   E  Wt  Ws  Ws   Ws3 Fs  3E   Wu du Fs  s        t  E  Wt  Ws  Fs  3E  Wt  Ws  Ws Fs  3E   Wt  Ws  Ws2 Fs   3 E  Wu Fs du s t  E  Wt  Ws   3Ws E  Wt  Ws   3W E  Wt  Ws   3 Ws du 2 s s   3Ws  t  s   3Ws2  3Ws  t  s   , E  Wt  Ws   Thật vậy, ta đặt X  Wt  Ws X ~ N  0, t  s   x2   2 t s EX   x f X  x  dx   x e   dx  (do hàm số dấu tích phân hàm lẻ) 2  t  s    3 Do E  M t  M s Fs    E  M t Fs   M s Ví dụ Cho  Wt  chuyển động Brown Chứng minh X t  e t cos Wt martingale Chú ý Sử dụng công thức vi phân Itô tính chất sau : “Giả sử f  t  trình ngẫu nhiên tương thích với lọc Ft  t M t   f (s).dBs ,  t  T t  ếu N E   f (s)ds     M t ,Ft 0 t T martingale 0  t  Nếu P   f (s)ds      M t ,Ft 0 t T martingale địa phương ” 0  Giải Ta có: dWt  0.dt  1.dWt  a  0, b  Xét hàm F  x, t   e t cos x F t F 2F t  e cos x;  e s inx;  e t cos x t x x Khi 1  dX t   e t cos Wt  e t cos Wt  dt  e t sin Wt dWt  e t sin Wt dWt 2  t  X t    es sin Ws dWs Ta có t  1  E    es sin Ws  ds   E   es ds   e    0  0  t  martingale    es sin Ws dWs  0 0 t 1 Gọi Fs    Wu ,  u  s  với t  s  :  t  E  X t Fs   E 1   e u sin Wu dWu Fs    s t    E   e u sin Wu dWu Fs     e u sin Wu dWu  X s 0  Vậy  X t ,Ft 0 t 1 martingale Câu Phát biểu khai triển Doob – Meyer Chứng minh tính khai triển Trả lời Trước tiên ta đề cập đến số định nghĩa mệnh đề sau Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên  A t  t 0 gọi + tăng A  ánh xạ t  A t liên tục phải tăng h.c.c + khả tích E  A t    với t  + tự nhiên với martingale bị chặn  m t  t 0 , ta có t  t  E   ms dA s   E   ms  dA s  , t  , 0  0  tích phân dấu kì vọng hiểu th eo nghĩa Lebesgue -Stieltjes ms   lim m t t s Mệnh đề Giả sử  A t  t 0 trình tăng khả tích Khi  A t  t 0 tự nhiên với martingale bị chặn  m t  t 0 đẳng thức t  E  m t A t   E   ms  dA s  0  nghiệm với t  t  (Tức cần phải chứng minh E  m t A t   E   ms dA s  0  a Định nghĩa Kí hiệu ST tập thời điểm dừng bị chặn T  Martingale  X t  t 0 gọi thuộc lớp (DL) họ biến ngẫu nhiên X  :   ST  khả tích với T 0 b Định lí (Khai triển Doob - Meyer) Giả sử  X t  t 0 martingale thuộc lớp (DL) Khi  X t  có biểu diễn dạng Xt  Mt  At ,  A t  t 0 trình tăng, khả tích tự nhiên  M t  t 0 martingale Chứng minh Ta chứng minh tính khai triển Giả sử X có hai khai triển thỏa mãn điều kiện định lí X t  M t  A t  M t  A t Với martingale bị chặn  m t  t 0 , ta có:   E m t A t  A t    t   E   ms  d A s  A s  0  n 1  lim E  m kt n n  k 0 A (k 1)t n  A(k 1)t n    A kt n  Akt n  10  n 1  lim E  m kt n n  k 0   M (k 1)t n  M (k 1)t n    Mkt n  M kt n    n 1    lim E  m kt n E M(k 1)t n  M (k 1)t n Fkt n   Mkt n  M kt n  n  k 0  Áp dụng tính chất martingale M M ta   E M(k 1)t n  M (k 1)t n Fkt n   Mkt n  M kt n  nên   E m t A t  A t   Với biến ngẫu nhiên bị chặn  bất kì, m t  E   Ft  martingale bị chặn Do đó:    E E   Ft  A t  A t   E   A  A   t t Vậy nên với t  0, A t  At h.c.c Do A liên tục phải nên A t  At với t  h.c.c M t  Mt với t  h.c.c Câu Định nghĩa martingale địa phương Chứng minh martingale địa phương bị chặn martingale Trả lời a Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên  M t  t 0 gọi martingale địa phương tồn dãy thời điểm dừng  n n 0 tăng tới  h.c.c cho với n  , trình ngẫu nhiên M nt  M t n martingale Martingale địa phương  M t  t 0 gọi martingale bình phương khả tích địa phương  E M nt    với n  , t  b Chứng minh: Một martingale địa phương bị chặn martingale Câu Trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên đơn giản Chứng minh tính chất đẳng cự Trả lời a Xây dựng vi phân ngẫu nhiên Kí hiệu L tập tất trình ngẫu nhiên đơn giản f t có dạng n 1 f t  w    f j  w  1(t j ,t j1 ]  t  , j1 11  t    t n f j biến ngẫu nhiên Ft j - đo 2,c Giả sử ta cố định trình ngẫu nhiên M M Với f  L , ta xác định tích phân Itô sau n 1  I  f    f s dM s   f j M t j1  M t j j1  b Tính chất đẳng cự Định lí Với f  L , ta có:   E   f s dM s     E     fsdMs    E   f d M  2 s s Chứng minh Đẳng thức thứ suy từ E     n 1  n 1 f dM E f M M   j t j1 t j    E f j M t j1  M t j  s s   j1  j1   n 1      E f j.E M t j1  M t j Ft j j1    Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta ý rằng:   f dM    f  M s s n 1 j1 j t j1  Mtj   2 0 j k  n 1   f jf k M t j1  M t j M t k 1  M t k  I1  I Ta có:  n 1 E  I1   E   f j2 M t j1  M t j  j1     n 1     E  f j M t j1  M t j  j1  n 1    E  f j2 E  M t j1  M t j   j1    Ft j    Ta thấy:   E  M t  M s  Fs  E  M 2t  2M t M s  M s2 Fs   E  M 2t Fs   2M s E  M t Fs   M s2 12      E M   E M t Fs  M s2  M s  2M s2  M s2 t   M s Fs Do đó:  n 1 E  I1    E f j M j1 t j1  M tj   E  f d M s s Mặt khác: E  I2    0 j k  n 1     E f jf k M t j1  M t j E M t k 1  M t k Ft k   Từ suy điều phải chứng minh Câu Phát biểu công thức vi phân Itô cho semimartingale liên tục chứng minh cho trường hợp chiều Trả lời Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên d- chiều  X t  t 0 gọi semi-martingale liên tục X t  X0  M t  A , M1 , , M d martingale địa phương liên tục A1 , , A d trình liên tục có biến phân hữu hạn a Định lí (Công thức vi phân Itô) Giả sử X semi-martingale liên tục d - chiều F  C   d  Khi d d d F  X t   F  X      i F  X s  dM si    i F  X s  dA si  i 1 i 1 d d   ij2 F  Xs  d M i , M j i, j1 0 s (1) b Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp d  Đặt 0 n   inf t : M t  n or Var  A t  n or M t  n if X  n if X  n với Var  A  t biến phân toàn phần A đoạn  0, t  Rõ ràng n   h.c.c Ta cần chứng minh (1) với t thay t  n , sau cho n   Vì vậy, ta giả sử X , M t , Var  A  t M t trình bị chặn số K F  C02   d  Ở C02   d  tập hàm khả vi đến cấp hai có giá trị compact  d Đặt t i  it n với i  0,1, Khi áp dụng công thức khai triển Taylor, 13 n      F  X t   F  X    F X ti  F X ti1 i 1  n   F X ti1 i 1   X ti  X ti1   n  F  i  X ti  X ti1 i 1   I1n  I 2n với i nằm X ti1 X ti Khi n   : n  I1n   F X ti1 i 1  M ti   n  M ti1   F X ti1 i 1  A ti t t 0   A ti1   F  X s  dM s   F  X s  dA s (2) Mặt khác :  n  2I n2   F  i  M ti  M ti1 i 1 I I I n 21 n 22  n  2 F  i  M ti  M ti1 i 1  A   n  A ti1   F  i  A ti  A ti1 ti i 1 n 23 Do A t liên tục có biến phân hữu hạn M liên tục nên:     n     I n23   F   sup A t j  A t j1  A ti  A ti1  F   sup A t j  A t j1   A t  A   1 j n  1 j n  i 1    I n22  F   sup M t j  M t j1   A t  A   h.c.c 1 j n  Đặt  k  Vkn   M ti  M ti1 , k  1, , n i 1 Khi đó:  E  Vnn     E M n i 1 n ti  M ti1     E M ti  M ti1 i 1 n     2   1i  j n  E  M  4K E  Vnn   2K  E M ti  M ti1 1i  n    4K  2K  E  Vnn     M  E  E  M t j  M t j1   1i  j n 2  4K  E M ti  M ti1 i 1  E  M t j  M t j1  1i  j n  2   4K  2K  E  Vnn   Do đó: 14 tj   M ti  M ti1     Ft   M t  M t j1 t j1  . M i ti  M ti1 i 1   2      E  Vnn     4K  2K  2 Đặt  n I3n   F X ti1 i 1  M ti   n  M ti1 , I 4n   F X ti1 i 1  M  M ti t i1  Ta có: E  I n  I n21     E  max F  i   F X ti1  1i n    E V n    n  (3) t I n4   F  X s  d M h.c.c s (4) Mặt khác:  E I3n  I n4   E   F X n i 1 t i1    M ti  M ti1  n  F  E   M ti  M ti1  i 1    M   M ti ti  M     M t i1    t i1 Kết hợp khẳng định với (3) (4) ta được: t I   F  X s  d M n 21 s Lại kết hợp với (2) ta điều phải chứng minh (1) Chú ý Với d = Xt  Xu  Mt  At 2,c với A biến phân bị chặn,  M t  t 0  Mloc F  C Khi đó: t t u u F  X t   F  X u    F  X s dM s   F  X s  dA s  t F  X s  d M u s Câu Giả sử M martingale bình phương khả tích Chứng m inh biến phân bậc hai M trùng với trình Meyer Trả lời a Một số định nghĩa: + Với trình ngẫu nhiên  X t 0 t T Biến phân bậc hai X xác định sau n  X t  lim  Xt n  i 1 15 i  X ti1 + Giả sử  M t  t 0 martingale bình phương khả tích có quĩ đạo liên tục phải Khi tồn trình tăng, tự nhiên, A t cho M 2t  A t martingale Ta kí hiệu A t  M gọi M đặc trưng hay trình Meyer martingale  M t  b Chứng minh biến phân bậc hai M trùng với trình Meyer 2,c Giả sử M  M loc Giả sử  t in  dãy thỏa mãn  t 0n  t1n    t nn  t 0i  n max  t nj  t nj1   n   1 j n Khi  n lim  M t n  M t n n  j1 j1 j M t Chứng minh Đặt X t  M t  M t n , t  t nj j1 Áp dụng công thức vi phân Itô với d = cho F  x   x ta được:  M t  M tn j1     M tn  M tn   M t  M tn j1 j1 j1  M   s  t M s  M nt j1 dM s  t nj1 d M s t nj1  t   t   M nt j1 dM s  M t  M t nj1 t nj1 Do  n j1 M tn  M tn j j1   tj     M s  M t n dM s  M j1 j1  t n  j1 n n   t nj1     t nj t n j1 t n j1 t n j1   M s dM s  2  M t nj M t nj1 dM s  M t  M    M s dM s  2 M t n M t n  M t n j1 j1 j  M t n    M t, n theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,   M tn M tn  M tn j1 j1 j j1  t   M s dM s Vậy  M t  M t Câu Phát biểu chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown Trả lời Gọi * chuyển vị vectơ hay ma trận   jk  I( j k ) kí hiệu delta Kronecker 16 t 2,c Định lí (Đặc trưng Levy) Giả sử X t   X1t , , X dt  thỏa mãn X j  M loc , X  * X j, Xk t   jk t, j, k  1, , d Khi  X t  chuyển động Brown d - chiều Chứng minh Giả sử    d Áp dụng công thức Itô cho hàm F     ei x ta có với t  s  , * e i X t  e i  X s  F  X t   F  X s  * * t t s s   F  X u  dM u   F  X u  dA u  t   F  X u  dX u  s t   i*ei X u dX u  * s t F  X u  d M s u t F  X u  d X s u t *  ei Xu du  2s Lấy kì vọng điều kiện hai vế với Fs , ta được: t  t *  * * * E ei X t Fs  ei Xs  E   i*ei Xu dX u Fs   E    ei Xu Fs  s  s     t   *  E ei Xu Fs du  2s Chia hai vế cho ei Xs ta được: *   E ei (X t  Xs ) Fs     * t   *  E ei (X u  Xs ) Fs du  2s  Đặt m u  E ei (Xu  Xs ) Fs với u  s ms  và: * t mt    Do ms  nên m t  e  m u du  2s   t dm t dm t 2    m t     dt  m t  c.e dt mt 2    t  s  , tức   E ei (X t  Xs ) Fs  e *    t  s  Theo tính chất hàm đặc trưng X t  X s độc lập với Fs X t  X s có phân phối chuẩn N  0,  t  s  Id  Vậy nên X t chuyển động Brown d - chiều 17 Câu Phát biểu chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương khả tíc h tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown Trả lời Định nghĩa + Martingale  M t  t 0 gọi martingale bình phương khả tích, kí hiệu M  M , E  M 2t   , t  Nếu M liên tục, ta kí hiệu M  M 2,c + Giả sử L họ tất ánh xạ đo X :     , B      F    , B     , cho với t  , X t :    Ft - đo với w   , ánh xạ t  X t  w  liên tục trái Đặt P    X 1  B  : B  B    , X  L  , X 1  B    t, w       : X t  w   B Có thể hiểu P  - đại số bé     , B      F  cho với X  L , ánh xạ X :     , P    , B     đo Quá trình ngẫu nhiên X   X t  w   khả báo ánh xạ X :     , P    , B     đo a Định lí Giả sử M i  M 2,c , i  1, , d Giả sử  ij :      , i, j  1, d trình khả báo thỏa mãn t Mi , M j t d     ik  s   jk  s  ds k 1 Nếu det    s    h.c.c với s tồn chuyển động Brown d - chiều  Bt  cho t d M     ik  s  dBsk i t k 1 Chứng minh Với N > đặt N s      max  1 (s)  N 1 i , j d  ma tr ận nghịch đảo  Đặt 18 ij , t      1  d i,N t B i,N Khi B k 1 ik  s . N  s .dM sk , i  1,2,,d M 2,c t t      1  d Bi,N ,B j,N k,l 1  s .  1  jl  s . N  s .  km  s . lm  s .ds ik d m 1 t d    im  jm  N  s  ds m 1 t  ij   N  s .ds Áp dụng bất đẳng thức Doob, ta có: T   Bi,N E  sup Bi,N t t  0 t  T  i,N Suy B   4E  s   s ds  N,N 0  N  N      dãy Cauchy nên B hội tụ M i,N 2,c i tới B đó, theo nghĩa E  sup Bi,N  Bi   N   0 t  T  Bi ,B j  ijt t   chuyển động Brown d- chiều Theo định lí đặc trưng Levy, Bt  Bt ,,Bt d Mà d t t     s .dB k 1 k,N s ik    N  s  dM is Cho N    N  s   nên d t M     ik  s  dBsk i t k 1 Câu 10 Phát biểu chứng minh định lí nghiệm phương trình vi phân Trả lời Định nghĩa (Nghiệm mạnh) Quá trình ngẫu nhiên X   X t  t 0 xác định không gian xác suất  ,F , P  gọi nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt , với điều kiện ban đầu  19 (*) X tương thích với lọc Ft  t 0 ; P  X     ; với  i  d,  j  r , ta có: t  P   a  x, X s   ij2  s, X s  ds     0    biểu diễn dạng tích phân (*) là: t t 0 X t  X   a  s, X s  ds     s, X s  dWs ,  t   tương đương t r j1 X t i   X 0i    a i  s, X s  ds   ij  s, X s  dWs j ,  t  ,1  i  d , nghiệm hầu chắn a Định lí (Xét trường hợ p d = r =1) Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn A1 (Điều kiện đo được) a  đo từ  0, T      A2 (Điều kiện Lipschitz) Tồn số K > cho a  t, x   a  t, y     t, x     t, y   K x  y , với t   0, T  , x, y   phương trình vi phân ngẫu nhiên dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt , (*) với điều kiện ban đầu  có tính nghiệm b Chứng minh Giả sử  X t  t0,T  hai nghiệm phương trình (*) với quĩ đạo liên tục hầu chắn, tức là: t t 0 X t     a  s, X s  ds     s, X s  dWs t   t       a s, X X t  s ds    s, Xs dWs 0 Với N > 0, xét   w   N, u   0, t  1 X u  w   X u It N   w    hợp khác  trường Ta có It N  Ft - đo It N   It N  Is N  với t  s  Đặt Zt 20 N    , ta có  It N  X t  X t Khi  N Zt  N  It  t t  N       dW   X t  X t  I t   a  s, X s   a s, X s ds     s, X s    s, X s s     0       t t   ds  I N    s, X    s, X   dW   It N    Is N  a  s, X s   a s, X s s s s s      0      Áp dụng điều kiện Lipschitz A2, ta có với s   0, t      N   2KN    I N     s, X    s, X    K.I N X  X Is  a  s, X s   a s, X s s s s s s s     (**) Do áp dụng tính chất đẳng cự tích phân Itô ta  N E Zt  2  t   t  N N      2E   Is a  s, X s   a s, X s ds   2E   Is   s, X s    s, X s dWs  0  0       t N   2T.E   Is  a  s, X s   a s, X s 0    t        t N   ds   2E   Is    s, X s    s, X s   0   t   N  ds  ds  2E I N  K X  X  2T.E  Is  K X s  X s s s s 0 t     2K  T  1  E IsN  X s  X s t   2K  T  1  E Zs N    ds .ds Do  E Zt N   t    L  E Zs N  ds, t   0, T  , với L   T  1 K Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được:  E Zt N   E  I N t  X  X  t t    I N  X  I N  X  h.c.c, t   0, T  , N  t t t t   liên tục nên bị chặn h.c.c, xác suất: Do quĩ đạo X X     N   N   , P It N   1, t   0, T   P  sup X t  N   P  sup X  0 t  T   0 t  T  tức It N   h.c.c     Suy ra:  h.c.c, hay P X  X Do với t cố định, ta có: X t  X t t t    , t     0, T   P Xt  X t 21   ds      Thật vậy, đặt A t  w   : X t  X t X t   , t     0, T   X t  t  0,T  At Ta có     P   \  At   P    \ At      t0,T  t  0,T        P  \ At   t  0,T       P   \  At    P   At     t   0,T      t  0,T    Để kết thúc chứng minh ta chứng minh X t     , t   0, T   X  X  , t     0, T  X t t t Thế thì:      , t   0, T   P X  X  , t     0, T   , P Xt  X t t t  h.c.c với t   0, T  tức X t  X t Thật , giả sử      , t   0, T  B  X  X  , t     0, T  A  Xt  X t t t Rõ ràng A  B   w  , t     0, T  Mặt khác với w  B X t  w   X t Xét t   0, T  bất kì, tồn t n n 1    0, T  cho lim t n  t n   trình ngẫu nhiên liên tục X  w   X   w  Cho n   ta Do X t , X t tn tn   w   w  A  B  A Vậy A = B Định lí chứng minh Xt  w   X t CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Bài Tính vi phân Itô a X t  Wt3 b X t  t.Wt c X t  e Wt  t Giải 22 Chú ý Trường hợp d = 1: dX t  a(t).dt  (t).dWt Yt  F  t,X t  với F  C  F  F  2F F dYt   (t,X t )  a(t) (t,X t )   (t) (t,X t )  dt  (t) (t,X t ).dWt X t X t X t  t  Ta thấy ba trường hợp a, b, c dWt  0.dt  1.dWt  a(t)  0, (t)  a Xét F(t, x)  x F 2F F  3x ,  6x,  nên x x t dWt3  3Wt dt  3Wt2 dWt b Tương tự với hàm F(t, x)  t.x ta được: d  t.Wt   Wt dt  t.dWt c Tương tự với hàm F(t, x)  e x  t ta được:  d e Wt  t  2.Wt2 e Wt  t dt  2Wt e Wt  t dWt 2 Bài dX t  X t dt  2.X t dWt a Cho X t thỏa mãn Tính vi phân Itô Yt  ln  X t  Từ tìm X t b Câu hỏi tương tự phần a, với dX t  X t dt  dWt Yt  e  t X t Giải a Tương tự 1, ta được: dYt  dt  2dWt Do đó: t t t 0 Yt  Y0   dYs    ds   dWs   t  2Wt  ln(X t )  ln(X )  2Wt  t  X t  X e 2Wt  t b Tương tự phần a, ta có: dYt  e  t dWt t t 0  Yt  Y0   dYs   e  s dWs t    e X t  X   e dWs  X t  e  X   e  s dWs  0   t t s t 23 Bài Giải phương trình vi phân sau: a dX t  2X t dt  t.X t dWt , X  b dX t  3X t dt  dWt , X  Giải a Nhận xét Từ dX t  2X t dt  t.X t dWt  dX t  2dt  t.dWt (dạng giống 2a) nên xét hàm Xt Yt  ln  X t  Từ tính được:  t2  dYt   2   dt  t.dWt 2  Tương tự bà i 2, suy t Xt  e 3   2t  t   s.dWs    b Chọn hàm Yt  e 3t X t dYt  e 3t dWt Do t   e X t  X   e dWs  X t  e  X   e 3s dWs  0   t 3t 3s 3t Bài (Bài thi điều kiện môn GTNN) Giả sử Wt chuyển động Brown chiều Sử dụng công thức vi phân Itô tìm ngiệm phương trình sau: a dYt  2Yt dYt  3dWt , Y0  b dX t  2X t dt  3X t dWt , X  Tính kì vọng phương sai X t Gợi ý a Xét hàm Z t  e 2t Yt b Xét hàm Yt  ln  X t  Để tính kì vọng phương sai X t ta sử dụng số tính chất sau: (i) Wt chuyển động Brown nên Wt  Ws ~ N  0, t  s  (ii) DX t  EX   EX  2      x f (x)dx    xf (x)dx       2 Bài Cho s X   t.dWt 24 Tính hàm đặc trưng X Từ xác định phân phối biến ngẫu nhiên X Giải     Để tính hàm đặc trưng X, tức tính E eiuXs ta tính d eiuXs s Từ X   t.dWt suy dX s  s.dWs  a(s)  0, (s)  s Bằng cách xét hàm F  s, x   eiux , ta tính được:   d eiuXs   s u eiuXs ds  ius.eiuXs dWs s  eiuXs    s 2 iuX t t u e dt   iut.eiuX t dWt 0 (*) Ta có: 1  1  u2 E   iut.eiuX t dt   E   u t dt    0  0  s  s  Do   iut.eiuX t dWt  martingale nên E   iut.eiuX t dWt   0  0  Lấ y kì vọng hai vế (*) ta được: s s   E eiuXs    E   t u eiuX t dt     t u E eiuX t dt 0 20       Đặt f (t)  E eiuX t s f (s)     2 t u f  t  dt 0 df df   s u f  s     s u ds ds f t 1  ln f  t   ln f      s u ds   t u 20  f (t)  e  u t3 Do đó:  E e iuX t e  u t3  E e iuX e 25 u2  X ~ N  0,3  [...]... bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên đơn giản Chứng minh tính chất đẳng cự Trả lời a Xây dựng vi phân ngẫu nhiên Kí hiệu L 0 là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản f t có dạng n 1 f t  w    f j  w  1(t j ,t j1 ]  t  , j1 11 trong đó 0  t 0    t n và f j là biến ngẫu nhiên Ft j - đo được 2,c Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M M Với f... phương bị chặn là một martingale Trả lời a Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên  M t  t 0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng  n n 0 tăng tới  h.c.c sao cho với mọi n  0 , quá trình ngẫu nhiên M nt  M t n là martingale Martingale địa phương  M t  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích địa phương nếu  E M nt 2    với mọi n  1 , mọi t  0... bình phương khả tích Chứng m inh rằng biến phân bậc hai của M trùng với quá trình Meyer của nó Trả lời a Một số định nghĩa: + Với các quá trình ngẫu nhiên  X t 0 t T Biến phân bậc hai của X được xác định như sau n  X t  lim  Xt n  i 1 15 i  X ti1 + Giả sử  M t  t 0 là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải Khi đó tồn tại duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên, A t sao... trình ngẫu nhiên X   X t  t 0 xác định trên không gian xác suất  ,F , P  được gọi là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt , với điều kiện ban đầu  nếu 19 (*) 1 X tương thích với lọc Ft  t 0 ; 2 P  X 0     1 ; 3 với mọi 1  i  d, 1  j  r , ta có: t  P   a  x, X s   ij2  s, X s  ds     1 0    4 biểu diễn dưới dạng tích. .. là chuyển động Brown d - chiều 17 Câu 9 Phát biểu và chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương khả tíc h bởi tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown Trả lời Định nghĩa + Martingale  M t  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích, kí hiệu M  M 2 , nếu E  M 2t   , t  0 Nếu M liên tục, ta kí hiệu M  M 2,c + Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được X :...     t nj t n 0 j1 t n j1 t n 0 j1  2  M s dM s  2  M t nj M t nj1 dM s  M t  M   2  M s dM s  2 M t n M t n  M t n j1 j1 j  M 0 t n    M t, n vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,   M tn M tn  M tn j1 j1 j j1  t   M s dM s 0 Vậy  M t  M t Câu 8 Phát biểu và chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown Trả lời Gọi * là chuyển vị của vectơ... tại t n n 1    0, T  sao cho lim t n  t n   là các quá trình ngẫu nhiên liên tục và X  w   X   w  Cho n   ta được Do X t , X t tn tn   w   w  A  B  A Vậy A = B Định lí được chứng minh Xt  w   X t CHƯƠNG 4 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Bài 1 Tính vi phân Itô của a X t  Wt3 b X t  t.Wt c X t  e Wt  t 2 Giải 22 Chú ý Trường hợp d = 1: dX t  a(t).dt  (t).dWt Yt  F  t,X t...  Ws ~ N  0, t  s  (ii) DX t  EX   EX  2 2      x f (x)dx    xf (x)dx       2 2 Bài 5 Cho s X   t.dWt 0 24 Tính hàm đặc trưng của X Từ đó xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X Giải     Để tính hàm đặc trưng của X, tức là tính E eiuXs ta sẽ tính d eiuXs s Từ X   t.dWt suy ra dX s  s.dWs  a(s)  0, (s)  s 0 Bằng cách xét hàm F  s, x   eiux , ta tính được:... t j E M t k 1  M t k Ft k   Từ đó suy ra điều phải chứng minh Câu 6 Phát biểu công thức vi phân Itô cho semimartingale liên tục và chứng minh cho trường hợp 1 chiều Trả lời Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên d- chiều  X t  t 0 được gọi là semi-martingale liên tục nếu X t  X0  M t  A , trong đó M1 , , M d là các martingale địa phương liên tục và A1 , , A d là các quá trình liên tục có biến... được từ  0, T      A2 (Điều kiện Lipschitz) Tồn tại hằng số K > 0 sao cho a  t, x   a  t, y     t, x     t, y   K x  y , với mọi t   0, T  , x, y   thì phương trình vi phân ngẫu nhiên dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt , (*) với điều kiện ban đầu  có tính duy nhất nghiệm b Chứng minh Giả sử  X t  t0,T  là hai nghiệm của phương trình (*) với quĩ đạo liên tục hầu