Tích phân mặt ôn thi cao học

Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ TÍCHMẶT LOẠI I Tóm tắt lý thuyết ∬f dS hi ch h i S Tích phân m t lo i có tính chấ ươ g ự hư ch h i ch c a S Cách g h ch h ới ∬f dS hai ớp ∬ dS đường lo i I h ∬ f( )√ g ∬ (g ) (g ) d d √ đ h h chiế c a S gO ướ Giải √ h chiế c a gO √ ∬√ ∬ dS √ ∫d ∫ √ dS √ S d d ( √ ) d d √ d d Ch a g a độ cực đ c i √ d đ ấ √ h chiế c a dS S ∬ dS √ ∬ Tính ) i ∬ Giải ( √ d d gO √ d d i d d √ ∫d ∫ d BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU K ÁN ∬ Người soạn: Nguyễn Anh Quốc √ ∫ ĐẠI HỌC CẦN T Ơ Trang √ d ấ quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∬ ấ ∬ ∬( ) Giải ∬ dS h chiế c a √ S d d gO ấ i √ ∬ dS ∬ √ d d ∫d ∫ √ d ∫ d ∬ √ dS h chiế c a S ấ d d gO i √ ∬ dS ∫( √ √ ∬ √ ∫( d d ∫d ) |√ √ √ ∫ d d )d ∬ √R √R √R Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ √ dS √ ( ) √R R R R √R S h chiế c a ∬ dS R∫ d ∫ i d d ch √R d R∫ d ∫ √R d d R∫ √R R R∫ R R d d R R R ∬ √ ) d d d d gO √R Đ ( √R R (R d d R )| R a g a độ cực d √R TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II Tóm tắt lý thuyết ∬P d d Q d d R d d hi ch h i Cách tính tích phân m t lo i II Cách 1:Liên h tích phân m t lo i I tích phân m t lo i II ∬P d d Nhận xét Nế Sc ̂ N hươ g ⃗ ⃗ ⃗ √ d d ⃗ ⃗ √ d d h h ộc dS √ ∬ Pc Qc Rc h h chiế c a S gO dS ( ) d d hướ g ới O g c h ( ) ⃗ ̂ N √ ⃗ ⃗ hướ g ới O g c ( ) ∬ P Hay R ( ) ⃗ ̂ N Q ( ( Q √ ( ) Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ) √ R ( ) Trang dS √ ( ) ) quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∬ (P( ) Q( )( ) R( ̂ hướ g Dấu + ng với N Cách 2:Tính tích phân c a bi u th c giả tính tích phân ∬R )) d d a đ hợp kết Ch ng h d d Giả s đường th ng song song với tr c Oz cắt m t S không mộ S có th viế d ng z =z(x,y) với z(x,y) h ị G i Dxy hình chiếu c a S xu ng m t ph ng Oxy ∬R hư d d ∬R Khi đ hươ g hc a d d ̂ hướng theo phía S (t o với Oz góc nh n) Dấu + ng với éc ị N T ường hợ đường th ng song song với Oz cắt S nhi hơ ộ m ta chia S thành nhi u mảnh nhỏ soa cho mảnh có tính chấ Khi đ ch h S b ng tổng tích phân lấy mảnh nhỏ Tươ g ự ∬P d d ∬P d d ∬Q d d ∬Q d d ∬P d d Tổng hợp l i ∬P d d ∬Q d d Cách 3: Áp d ng công th c Gauss – Ostrogragski ∭( P Q R )d d d ∬P d d Q d d R d d T g đ S bi c a V tích phân lấy theo m t c a S Lư Khi m t S biên c a mi n kín lấy theo m t ngồi áp d g cơng th c Gauss – Ostrograski Công th c Gauss – Ostrograski áp d g đ chuy n từ tích phân m t lo i II sang tích phân ba lớp cịn gược l i không dễ làm Nế h Mà V mi K ∬P ∬P d d Q d d R d d ấ he g g ic aS ic aS t o S1 S2 d d Q Người soạn: Nguyễn Anh Quốc d d R d d Trang ấ he quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∭( P Q R )d d d K Công th c Stokes ∬( ) ( ) ( ) ∫ L biên c a S, tích phân m t lấy theo phía c a S cị ch h đường lấy theo chi dươ g ươ g ng (theo quy tích v n nút chai) Lư g h c Stokes đ h ch h đường lo i II sau chuy n sang tích phân m t lo i II cịn gược l i khơng dễ dàng ∬ đ Giải Cách (chuy n sang tích phân m t lo i I) √ h chiế c a S gO √ √ dS i √ ( √ Phía ngồi c a m t c ( ) d d √ ươ g ng với phía c a S ∬* √ Ch a g √ ∫d ∫( ) d d √ +d d a độ cực c √ i c √ ) d ∫( c i c )d Cách é ∬ e Sc i ∬ d d √ hươ g h h h chiế c a S d d ch Người soạn: Nguyễn Anh Quốc g Ph a g i c a h h c h gO h a g g ới h a c aS a độ cực Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫d ∫ c é e d ∫c d ∫ d ∬d d i Sc √ hươ g h h h chiế c a S g ∬d d é Ph a g i c a h h c h gO h g ới h a c aS Ph a g i c a h h c h gO h g ới h a c aS S ∬ d d e Sc i √ hươ g h h h chiế c a S ∬√ d d ch ∫d ∫√ d g a g a độ cực Vậ Cách é S é S é S é S S S S hướ g g V Áp d ng công th c Gauss - Ostrograski P Q R P Q R ∬ d d ch d d a g d d P i bi h a h h a h h a h c a i V Q R d ∫d ∫d ∫ )d d d ∭ dươ dươ dươ ác đị gO g gO g gO g h hư c c c a d d d a độ c ∫d ∫d ∫ ∫d ∫( ∭( hướ g hướ g hướ g i c c i i Người soạn: Nguyễn Anh Quốc c c i )d ∫( Trang c i c i c d )d quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ K ∬ d d d d d d dS ới S d d h h chiế c a S h hướ g h a hướ g h a gO K L ∬ d d d d dS L d d ới S d d h h chiế c a S gO ∬d d M ∬ d d d d dS M Ta c K ô d d ới S hướ g d d h h chiế c a S L M K L Giải P P ch Q R d d a g R d d d d ∭( P Q R )d d d ∭ d d d a độ c ∫ d ∫d ∫ i a d ∮ a ượ ò giới h ế đ Giải Áp d ng công th c Stoke P Q R R Q P R h gO đ Q ∬ h h a M ∬ S h P Q Người soạn: Nguyễn Anh Quốc a hướ g h a Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∮ d d ∬d d d ∬( d d d d R Q )d d ( P R )d d ( Q P )d d Chuy n sang tích phân m t lo i I ∬d d Tính d d d d √ ∬ dS a √ BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU K ÁN ∬ ướ Đ CẦN T Ơ ò ∬ ∬ Giải a∬ d d S m i S c a c a m ò h h chiế c a S ∬ ∫d ∫ b∬ d d d d d d d ò R hướng c a vecto ị hướng xu ng g h gO hi đ ∬ d d ch a g R a độ cực a R d d S g i c a Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski P Q R P Q R V mi n kín giới h n m t c u Người soạn: Nguyễn Anh Quốc a Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∬ d d c∬ d d d d d d ∭( d d P Q d d R )d d d Với S g √ √ Phía ngồi c a m t nón ng với vecto pháp tuyến c a m i h h chiế c a S gO hi đ ∬ d d d d ∬ *( √ ) ∬ *( √ )( ∬ ic a h (√ )( ) √ a g c S hướng xu ng h d d d d ch ∫d ∫ i ) (√ +d d )( ∬ é K d d ∬ d ∫ c d d d d h i ∬[ h a g d d d d i ( +d d d ∫ ) d ò ∭( P h Q R )d d d ∭ d d d d d h h chiế c a S h ) √ a độ cực a Cách 2: Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski é ò S h Khi đ S S hướ g a g i bi c a i V Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski P Q R P Q R ch a √ Ta c K ∭ d d d g ]d d h ∬ gO ac h d d a độ cực a Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ K ∫d ∫ c i d Ta có J=I + K suy I = J – K = Tính ∬ ∬ ậ ậ Giải ∬ Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski P Q R P Q R ∬ d d d d Chuy n sang t a độ tr ∫ d ∫d ∫ d P ∭( Q R )d d d P Q ∭ d d d a ∫ d ∬ Giải Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski P Q R P Q R ∬ d d ∫d ∫ d d d ∫ d d ∭( d ∫d ∫ * ∫d ∫ * Người soạn: Nguyễn Anh Quốc +d Trang 10 R )d d d ∭ +| d ∫d ∫ [ d d d ]d quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∫* +| d ∫* +d 3.Tính ∮ đườ Giải M h g Á d g cô g h c S Ta c P Q R Q P ∮ d e R ấ ượ ag c ới S R a độ d ∬ d d d d ế đ L g h Q d ò ướ ươ đườ g ò L c a c giới h L hướ g P ∬( R Q )d d ( P R )d d ( Q P )d d d d 4.Tính ∮ đườ ∮ ế Lấ gược chi Giải i đườ Đườ g ò L gia c a Á d g cô g h c S e ới S Ta c P Q R R Q P R ∮ ∬ ac d d đ ng h nhìn từ hướ g dươ g c a tr c Oz ∮ i ò d ò R g h ∬( Q P R Q )d d ới giới h ( P L hướ g R )d d ( Q P )d d d d h h chiế c a S g h gO d S hướ g R Người soạn: Nguyễn Anh Quốc Trang 11 quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ ∬ d d ch ∫d ∫ i a g c a độ cực a d ∫ ∮ i c d ∫ ế R d Lấ gược chi i đ ng h nhìn từ hướ g dươ g c a tr c Oz Đườ g ò L ch ế c a a giác C Á d g cô g h c S e ới S h g C a giới h Ta c P Q R R Q P R Q P ∮ d d ∬ d d d ∬( d d R Q )d d ∬[ a ( h ( a a )| d a P R )d d ( Q P )d d d d Chuy n sang tích phân m t lo i I Phươ g h S a i h h chiế c a S g ac a ∫d ∫ ( L hướ g ∫ ) gO d ]d d a S hướ g ]d d ∬[ a a d ∫ ∬ a d d a d a Đợ ĐỀ THI THẠC SĨ CÁC NĂM Đ ∯ Giải é V ậ h giới h V V h ậ h giới h S ch h Áp d ng công th c Gauss – Ostrogradski Ta c P Q R Người soạn: Nguyễn Anh Quốc ấ a a ấ he Trang 12 g i S quoctoantin2009@gmail.com Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ P Q ∯ R d d d d ∭ Ch d d ∭( P Q R )d d d d d d a g c i ∫ ∫ a độ c a i ∫ i d Người soạn: Nguyễn Anh Quốc c hi đ ac i V a a Trang 13 quoctoantin2009@gmail.com