Tư duy giải Toán: khi đối mặt với Bài Toán: đầu tiên các em phải đọc thật kĩ đề bài sau đó hình dung ra những hướng suy nghĩ lối tư duy khác nhau có thể vận dụng, sau đó tùy dấu hiệu của từng bài, kết hợp với sự liên tưởng đến các dạng, các phương pháp, các công cụ các bài toán phụ hay các bổ đề đã học để các em có được sự định hướng tốt nhất cho bài toán, đồng thời có thể thấy ngay mấu chốt của Bài Toán, định hướng đầu tiên bao giờ cũng làđúng nhất. Sau khi loại bỏ hết những hướng đi không công dụng việc còn lại là các em biến đổi theo hướng vừa chọn thì lời giải sẽ dần hé mở.Như thế các em sẽ tránh được mất thời gian do dự nên đi theo hướng này hay hướng kia, đang biến đổi dở theo hướng này lại nhảy qua hướng khác, thiếu sự định hướng trước mỗi BT sẽ làm cho các em rất rối, và việc tìm lời giải trở nên rất khó khăn. Hãy đọc thật kĩ đề bài và định hướng, đừng háu táu lao đầu vào làm mà thiếu sự định hướng liên tưởng thì rất dễ sa lầy và hệ quả tiếp theo là mất bình tĩnh, rối chí.
Trang 1www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Chuyên đề 1: Các phương pháp tính tích phân Các phương pháp tính tích phân
Thông thường ta gặp các loại tích phân sau đây:
+) Loại 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ
+) Loại 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức
+) Loại 3: Tích phân của hàm số lượng giác
+) Loại 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit
Đối với các tích phân đó có thể tích theo các phương pháp sau:
I) Phương pháp biến đổi trực tiếp
Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng được ( x ) dx F ( x ) b F ( b ) F ( a )
a b
x x
x
2xlndx)x
2x
1(I
2
1 2
4 x x 2
1
2 e
1 2
/
x
43x
3
1 x x 4
3 / 2 3 / 1
4
207x
x4
3x3
4dxx3
1xx34
+) Biến đổi nhờ các công thức lượng giác
2 /
xdx 5 cos x cos I
xsin2
1dxxcosxcos2
1 /2
2 /
2 /
2 /
2 /
xdx 7 sin x sin J
xsin5
xsin2
1dxxcos)xcos(
2
1 /2
2 /
2 /
2 /
2 /
xdx 7 sin x cos K
xcos2
1dxx10sinxsin2
1xdx3cosxsin
2 /
2 /
2 /
2 /
2 /
2 /
=
0xcos16
1xcos4
1dx2
xcos1x
====∫∫∫∫
ππππ
0
2 xdx cos x sin
=
0xcos16
1xcos4
1dx2
xcos1xsin
5 ==== ∫∫∫∫ ++++ ++++++++
2 /
6 /
dx x cos x sin
x cos x sin 1 G
ππππ
ππππ
xdxcos2dxx
cosxsin
xsinxcos)xcosx
6 /
2 / 6 /
2 /
6 /
2 2 2
ư++
π
π π π
π
6 ==== ∫∫∫∫
2 /
0
4 xdx sin E
ππππ
16
3x
sin4xsinx8
1dxxcos4xcos38
1dx2
xcos
0
2 /
0
2 /
0
2
π
π π
=
ư+
0
2 xdx tan F
ππππ
4
4xxtandx1xcos
0
4 /
0 2
π
π π
4 /
2
1 cot xdx F
4
)1x(2
1)1x(d)1x(2
0
4 1
1 1
2 2
ư
Trang 2www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
3 ==== ∫∫∫∫ −−−−
3 / 7
1
dx 3 x K
9
16)
3x(9
2)3x(d)3x(3
1 3 3
/ 7
1
2 /
3
13210)
x25(3
2)x25(d)x25(3
0
2 / 1 4
0
2 /
1 G
3
123dx)1x1x(2
1dx)1x()1x(
1x1x
=+
−
−
−
−+
(Nhân cả tử và mẫu với bt liên hợp của mẫu số)
) c b ( a
1 dx c ax b ax
4dxx1)x1(d1)1x(dxx1)11x(
2
0 x 1 1
0
2 x
1 2 − =− 2 = −
Đề xuất
15 2 6 4 dx x 1 x Q 1
0
2 3 1
2 /
0
3
2 ====ππππ∫∫∫∫ ==== và I e sin xdx e 1
2 /
0
x cos
3 ====ππππ∫∫∫∫ ==== −−−−
4 /
0
1 ====ππππ∫∫∫∫ ==== ; J cot xdx ln 2
2 /
6 /
x sin J
4 /
e
1
1 ====∫∫∫∫ ==== −−−− ; dx 1 cos 2
x ) x cos(ln K
1 K
1 x x
e 2
e H
e2
5lne
=
==== ∫∫∫∫ ++++−−−−
2 ln
0 x x
e 1
e 1
+
−
=+
−+
=
2 ln
0
2 ln
0 x x 2
ln
0
x
x x
3ln22ln3dxe1
e2dxdxe1
e2e1
2 ln
0 x 3
5 e
dx H
7
12ln5
15eln5
1x5
15e
dxe5
1dx5
15
e
dx)e5e(5
0 x 2
ln
0 x x 2
ln
0
2 ln
0 x
x x
−
=+
−+
e e
dx e
+
=1
0
2 1
0
x x
x
21eln2
11eln2
11e
dxe
+) Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tính ====∫∫∫∫
b
a
dx ) m , x ( I
- Xét dấu hàm số f(x,m) trong đoạn [a; b] và chia [ ]a;b =[a;c1]∪[c1;c2]∪ ∪[cn;b] trên mỗi đoạn hàm số f(x,m) giữ một dấu
b
c c
c c
dx)m,x(dx)m,x(I
I Ta xét pt: x2+2x 3=0⇔x=1∨x=3 Bảng xét dấu f(x)
Trang 3www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2
1 2 1
0 2 2
1 2 1
1
0 3 0
2 3 2
1 4 dx 4 2 K
0
=+
=
π
π π
22dxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsin
2 / 3
4 / 3
4 / 3
4 /
4 /
0 0
=+
++
++
=+
II) Phương pháp đổi biến số
I ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1 Đặt x = u(t)
- Bước 2 Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- Bước 3 Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β
- Bước 4 Biến đổi =∫
β
α
dt)t(g
I (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
2 dx x
x 1
A ta đặt x=sint t∈[ưπ/2;π/2]⇒dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = π/4; khi x
= 1 thì t = π/2 Khi đó
4
4dt.tsin
tsin1dt.tsin
tcosdt
.costsin
tsin1A
2 /
4 / 2 2 2
/
4 / 2 2 2
/
4 / 2
)tcos2(B
2 /
3 /
2 /
3 / 2 3
/
2 /
2
2
ư
=+
dx x 4 x
0
2 2
dx2x.31x2
32dt2
t4cos133
4tdtcostsin3
3
16
C
3 /
0
3 /
Trang 4www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
- Nếu hàm số chứa a−−−−x 2 , a>>>>0thì ta viết
2 2
a
x1ax
]2/
;2/[ttsinax
π
ππ
- Nếu hàm số chứa a−−−−bx 2 , a , b>>>>0thì ta viết
2 2
xa
b1abx
]2/
;2/[ttsinxab
π
ππ
Ví dụ 2 Tính:
1 ==== ∫∫∫∫ −−−−
2
3 / 2
2 dx 1 x x
3 / 2
2 2
dxx/11x
3 /
4 /
3 / 2
3
2 dx x
4 x
3 / 2
3
2
dxx
x/21.x.3
x
2
ππ
33
G
3 /
4 /
2 dx x 1
1
M ta đặt x=tant t∈(−π/2;π/2) suy ra
6dtM
3 /
6 /
1
N ta đặt x=tant t∈(−π/2;π/2) suy ra
3
3218dt.sin
tcosN
3 /
4 / 2
2 dx ; a 0 )
x a (
0
2 2 4
dx)a
x(1a
0
2 3
a4
2tdtcosa
=1
0
2 dx)2
1x(3
21
13
4
2
1x3
2
ππ
33
4Q
2 2
xa
b1ax
2 2
xa
b1abx
Trang 5www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Cách đặt 3 Nếu tích phân có chứa
x a
x a
++++
ưưưư hoặc
x a
x a
ưưưư
++++ thì ta đặt ta đặt
] 2 /
; 0 [ t t 2 cos a
=
ư
tcos2t2cos
1
tsin2t2cos
1
2 2
; dx x a
x a
2 /
dt)t2sina2(t2cos1t2cos1I
0
dx x 1
x 1
4 /
dt)t2sin2(t2cos1t2cos1J
π
π
=
4224tdtcos
I ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1 Đặt t = v(x)
- Bước 2 Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- Bước 3 Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β
- Bước 4 Biến đổi =∫
β
α
dt)t(g
I (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
0
2 dx x cos 4
x sin I
ππππ
ta có thể đặt t = 4 - cos2x suy ra
3
4lnt
dtI
0
2
x cos 2 x sin
x sin J
ππππ
đặt t=sin2x+2cos2x=1+cos2xsuy ra = ∫ =
2
2 /
3lnt
dtJ
{có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đưa sin2x vào trong vi phân}
Đề xuất: ==== ∫∫∫∫ ++++
2 /
0
2 2 2 2
x cos b x sin a
x cos x sin J
ππππ
với a2 +b2 >0
3 ==== ∫∫∫∫ ++++
2 ln
0
x dx 5 e
1t
5tln5
1)5t(t
dt)
5e(e
dxeK
7
6 7
6
2 ln
0 x x
{Có thể biến đổi trực tiếp
7
12ln5
1dx5e
e5
1dx5e
5e5
1dx5e
e5e5
1K
2 ln
0 x x 2
ln
0 x x 2
ln
0 x
x x
=+
ư+
+
=+
ư+
4 ==== ∫∫∫∫ ưưưư ++++ ++++
2 /
0
2 dx ) 4 x cos x sin 2 (
x cos x sin H
ππππ
ta đặt t=2sinxưcos x+4⇒
21
2dtt
12
1H
7
3
2 =
= ∫{đôI khi không đặt cả MS}
5 ==== ∫∫∫∫ ++++
2 /
0
2
3 dx x cos 1
x cos x sin G
ππππ
chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt
xcos
1
t= + 2 ⇒ cos2x=tư1⇒ 2sinxcosxdx=ưdtkhi đó:
22ln1)tlnt(2
1dtt)1t(2
1G
2
1 2
Trang 6www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4 /
0
dx 2 x cos x sin
x cos M
ππππ
ta đặt t=sinx+cosx+2⇒ dt=(cosxưsinx)dxlưu ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx)
322ln12t
ln2ttdt)2t(dx2
xcosxsin
)xsinx)(cosxsinx(cosM
2 2
3
2 2 3
4
/
0
++
+
ư+
4 /
0
3 dx ) 2 x cos x (sin
x cos N
ππππ
đặt t=sinx+cosx+2 suy ra
)21(2
19
23
19
122
1)22(
1t
1t
1t
dt)2t(N
2
2 2
3
2 2
3 2
0
2 x cos x sin
x cos M
ππππ
4 /
0
3
) 2 x cos x (sin
x cos N
3 x
427
2dtt2
69
2dt3t8t49
2dtt2t13t49
2
I
2
1 2
1 2 2
1
3
ư
=+
ư+
ư
=+
x
x1
t= + ⇒ x2 =t3ư1⇒ 2xdx=3t2dt⇒
20
141dt)tt(2
3J
1
x1
t= + ⇒ x2 =t2ư1⇒ xdx=tdt⇒
5
2 5
2
1tln2
1t)1t(
tdtJ
1
H ta đặt t= 1+x3 ⇒ x3 =t2ư1⇒ x 2 dx=2 tdtnhân cả tử và mẫu số với x2 ta được:
2
12ln3
21t
1tln3
11t
dt3
2x1x
xdxH
3
2 3
2 2 2
1
3 2
+
=+
ư
=
ư
=+
3
0 2
3 5 dx 1 x
x x
x1
t= + ⇒ x2 =t2ư1⇒ xdx=tdtnhóm x2.x.(x2 +2) ta được:
5
26t5
tt
tdt)1t)(
1t(dx1x
x.x)2x(
G
2
1
5 2
1
2 2 3
0
2
2 2
=+
ư+
ư
=+
=+
ln6
113
2dt)1t
11tt(3
21t
dtt3
2tt
dtt3
2M
2
1 2 2
1
3 2
1 2 3 5
Ví dụ 2 Tính:
2 /
0
dx x cos 3 1
x sin x sin P
ππππ
ta đặt t= 1+3cosx ⇒ (t 1)
3
1xcos = 2ư ⇒ tdt
3
2xdx
nhân tử sinx ta có: = ∫ ++
2 /
0 1 3cosx
xdxsin)1xcos2(P
π
t3t29
2dx1t29
1
3 2
= ∫
Trang 7www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
x sin 3 1
x sin x cos Q
3
2xdx
xsin31
xcosxsin2xcos3xcos4Q
xsin23xsin44
4(27
2Q
405
206t
t3
14t5
427
x sin R
ππππ
ta đặt t= 1+3sin2x ⇒ (t 1)
3
1xsin2 = 2 − ⇒
tdt3
2xdx
2
3
2t3
2t
tdt3
2R
2
1 2
x ln 3 1 x ln P
Ta đặt t= 1+3lnx ⇒ (t 1)
3
1x
ln = 2 − ⇒ tdt
3
2x
dxtt9
2P
x ln 2 3
Ta đặt t= 1+2lnx ⇒ (t 1)
2
1x
tt4dt)t4(t
tdt)1t(3
Q
3
1
3 2
1 2 2
2 ln
x 1 e
dx
−
=5
3 2
13
13.15
15ln1t
dt2R
4 =∫ +
3
0
3 x e 1
0
x
x x
3 e
dx 1 e e X
2
x tan thì ta đặt
2
x tan
2 t 1
t 2
t 1
t 1 x cos
1Q
2 /
t= ⇒
2
t1
dt2dx
+
= và
5
8ln3
14t1tln3
1dt4t5t
1Q
1
0 1
=∫
2xcos2
xtanL
3 /
t= ⇒
2
t1
dt2dx
+
= và
9
10ln3
tln3t
tdt2
0 2 3
/ 1
0
+
= ∫
Trang 8www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4
0
dx1xsinxcos
xcosV
π
ta đặt t=tanx ⇒
2
t1
dtdx
+
+
=+
+
=
1
0 2 1
0 2 1
0 2
)t1(2
tdt)
t1(2
dt)
t1(2
dt)t1(V
dtV
y tan t 1
0 2 1
π
=
=+
8
2ln2dx1xsinxcos
xcosV
4
0
+
=++
2
dx1xsinxsinxcos
xtan1N
xtan1N
dtdx
+
4
2ln231tlnt2
t2
1dt1t
t12
1N
1
0
2 1
=+
0
dx)xcosxsin1(2xsin
4xsinF
xcosxsin2
1F
π
dựa vào mối quan hệ giữa sinx+cosxvà sinxcosxta đặt t=sinx+cosx⇒ dt=(cosx−sinx)dxvà
21txcos
=++
−
=++
2
1 2
22
122
11
t
12
11t2t
dt2
1)t1(21t
dt2
1F
Cách đặt 4 Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân
Nếu tích phân có dạng ∫
−
=a
a
dx)x(
−
a
0 0
a
dx)x(dx)x(
−
=0
I thì ta có thể đặt t = π - x Nếu tích phân có dạng =∫
π
2
0
dx)x(
I thì ta có thể đặt t = 2π - x Nếu tích phân có dạng = ∫
2 /
0
dx)x(I
− 0
1
2008sinxdxx
xsinx
+
=
π π
π
0 2 0
tcos1
tsintdttcos1
tsin
2
dttcos1
tsinJ
2 u tan t cos
0
2 1
ππ
tsintJ
x t
0 2 2
dx
1t2
t1x
2+
−
1t2
dt2I
dx
)1t3(2
1tx
11t3
dtJ
2 2
Trang 9www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
-Giả sử cần tính tích phân =∫
b
a
dx)x(
I Khi đó ta thực hiện các bước tình:
Bước 1 Viết tích phân dưới dạng: =∫ =∫
b
a b
a
dx)x(h)
x(gdx)x(I
x(hdv
)x(gu
dx)x('gdu
Bước 3 áp dụng công thức: hay ∫ = ư∫
b
a
b a b
a
du.vv.udv.u
x(P
)x(Pu
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng ∫b
a
dx.axcos)
x(
)x(Pu
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng∫b
a
ax
dx.e)
x(
)x(Pu
dx)x('Pdu
1x(
dx3du
⇒
2
3dx.xcos2
32
xcos)1x(I
0 0
π
π π
ư
=+
0
2
dx.xcos)
1x(J
1x
xdx2du
2
0
2 / 0
4
4dx
.xsin
2xsin)1x(
2 /
0
1 x.sinx.dxJ
0
2 / 0
4
42
4
4J
dv
1xx
1edx.e)
1x(3
1e)1xx(3
1xu
9
4e4L
3 1
ư
27
5e5L
π π π
π
0 0 2
0 0
2
xdx2cosx2
14
xdx.2xcos1dx.xsinxM
x u
xdx 2 cos dv 0
dx.xsinM
π
ta đổi biến t= x để đưa = ∫
2 /
tdtsint2M
t2u
⇒ M=2
Trang 10www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
b
a
axsinbx.dxe
bxsinu
bxdxcosbdu
bxcosu
bxdxsinbdu
ax
VÝ dô 6 TÝnh:
1 = ∫
2 /
0
x
dx.xsin.eI
xsinu
xdx3cos3du
x
0 x 2
/
0
x
I2
32
edx.xcose2
32
exsin
xcosu
I2
32
1dx.xsine2
32
excos
I
0 x 2
12
32
eI
π
13
3e2
(
π π
π
0 x
0 x
0
2
1dx.e2
1dx.2
xcos1eF
Ta xÐt
2
1edx.e2
1F
2
0
x 1
1F
2
0
x 2
x(Qdv
)x(Plnu
dx)x(P
)x('Pdu
.x
1xlnu
dx1x
1du
5
2
2 5
2
2
dx2x
x)
1xln(
2
xI
x1xln
=
xv
dxx1
1du
xln
u 2
e
1 e
1 2 2
xdxln.xxln2
1eK
2 2
xln
xlnu
5 suy ra
256
2ln415dxx4
1xlnx
1H
e
1 5 2
1 4
−
=+
−
5 = ∫
3 /
6 /
2 dxxcos
)xln(sinG
)xln(sin
xdxcotdu
3 / 3 / 6
)xln(sinxtanI
π π
2ln343ln3
=
Trang 11www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
)xcos(lnu
dxx)xsin(ln
xcos(lnx
)xsin(lnu
dxx
)xcos(ln
du ⇒F xsin(lnx) cos(lnx)dx F
e
1
e 1
π π
thay
vµo (*) ta cã:
2
1eFF1e
) x ( P
I víi P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc cña x
B−íc 1: NÕu bËc cña P(x) ≥bËc cña Q(x) th× ta lÊy P(x) chia cho Q(x) ®−îc th−¬ng A(x) vµ d− R(x),
tøc lµ P(x) = Q(x).A(x) + R(x), víi bËc R(x) < bËc Q(x)
Suy ra :
) x ( Q ) x ( R ) x ( A ) x ( Q ) x (
P ==== ++++ ⇒ ∫∫∫∫ ====∫∫∫∫ ++++∫∫∫∫ dx
) x ( Q ) x ( R dx ) x ( A dx ) x ( Q ) x ( P
B−íc 2: Ta ®i tÝnh : ====∫∫∫∫ dx
) x ( Q
) x ( R
I , víi bËc R(x) < bËc Q(x)
Cã thÓ x¶y ra c¸c kh¶ n¨ng sau :
c bx ax
N x M ) x ( Q
) x ( R
2
B x x
A ) x x )(
x x ( a
N x M )
x ( Q ) x ( R
Q ==== −−−−
0 0
2
B x
x
A ) x x ( a
N x M ) x ( Q ) x ( R
B ) x ( Q
) x ( ' Q A ) x ( Q
) x ( R
1 3
2
C x x
B x x
A ) x x )(
x x )(
x x ( a
) x ( R )
x ( Q ) x ( R
x ( a ) x (
Q ==== −−−− −−−−
0 0
1 2
0
C x
x
B x x
A ) x x )(
x x ( a
) x ( R )
x ( Q ) x ( R
0 0
3
C )
x x (
B x
x
A ) x x ( a
) x ( R ) x ( Q ) x ( R
C Bx x
x
A ) x ax )(
x x (
) x ( R )
x ( Q
) x ( R
2 1 2
1
VÝ dô 1 TÝnh c¸c tÝch ph©n:
Trang 12www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 x x
=0
1
2xx
1x1
2x
B1x
A2xx
1x
x
J ta viết x = A(x2 + x + 1)’ + B suy ra A = 1/2; B = - 1/2 Vậy J=J1+J2với
3ln2
11xx
)1xx(d2
++
++
0 2 2
12
1x32
dx3
4.2
11xx
dx2
1J
2
1x3
32J
3 /
6 / 2
1
3x
cBxx
Axx
1
2
++
=+ sau đó chọn đ−ợc A = 1/3, B = - 1/3, C = 0 Vì thế viết đ−ợc
3ln6
1dx)3x(3
xdx
1
=+
xcosbxsina
I (c, d ≠0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ tức là chọn A, B sao cho:
dcosx)'B(csinx
dcosx)A(csinx
bcosx asinx + = + + + hoặc đặt
2
xtan
t= ⇒
2
t1
t2xsin
+
t1
t1xcos
0
dxxcosxsin
xcos5xsin3I
π
ta viết 3sinx +5cosx =A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)suy ra A = 4; B = 1
π π
2xcosxsinlnxxcosxsin
)xcosx(sinddx4
0
2 /
0
2 /
0
=+
+
=+
++
= ∫ ∫
2 /
0
3dx)xcosx(sin
xcosxsin3J
π
ta viết 3sinx +cosx =A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx) suy ra A = 2; B = -1
)xcosx(sin2
1)
4xcot(
)xcosx(sin
)xcosx(sinddx)xcosx(sin
2I
2 /
0 2
2 /
0
3
2 /
+
−
=+
+
−+
π π
mxcosbxsina
I (c, d ≠0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C Chọn A, B,C sao cho:
Cn)'dcosxB(csinxn)
dcosxA(csinxm
t2xsin
+
t1
t1xcos
0
dx5xcos3xsin4
7xcosxsin7I
π
ta viết 7sinx −cosx+7=A(4sinx+3cosx+5)+B(4cosx-3sinx)+C
++
++
−
=
2 /
0
2 /
0
2 /
0
dx5xcos3xsin4
2dx
5xcos3xsin4
)5xcos3xsin4(ddxI
π π
π
Trang 13www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2 /
0
5xcos3xsin4
2I
π
đặt
2
xtan
t= ⇒
2
t1
t2xsin
+
t1
t1xcos
12
12I5xcos3xsin4lnx
++
π
Khi đó:
2J
I+ =π (*)
xcosxsin
)xcosx(sindx
cosxsin
dx)xcosx(sinJ
I
2
0 2
0
=+
+
ư
=+
xsinI
2
0
n n
xcosJ
2
0
n n
0
n n
n 2
0
n n n
xcosxsin
xcosdt
tcostsin
tcos
+
=+
xsinI
2
0
n n
xcosJ
2
0
n n
In = n =π
xcos3xsin
xsinE
xcosF
1F
E
6
0
=+
1
E= ư ư và
4
313ln
xcosE
1 + ư
xcos3xsin
xcosL
e 1
dx ) e 1 ( M
+ Bình phương và phân tích thành 2 phân số đơn giản + Biết đổi biến
0
x x
e 1
dx e e
1
dx e
1
1
0 x x 1
e 1
dx e
M đặt e x ====tan t , t∈((((ưưưưππππ/ 2 ;ππππ/ 2)))) khi đó với tanα=e và
tcos)ttan
1
(
tdttan
2
2
e1lnt
tan1
1ln2t
cosln2tdttan2
2
4 / 2 4
/ 4
/
+
=+
xdx sin 3
Giải:
Trang 14www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2 [§HTCKT.97] ∫2 +
0
3
x cos 1
xdx sin 3
e 1
dx ) e 1 (
2 [§HTCKT.97] ∫2 +
0
3
x cos 1 xdx sin 3
dx ) x cos x (sin x cos
ππππ
4 [§HDL§.98] ∫2 + + −
1 x 1 x 1 dx
) x ln(ln x
x sin 1
x sin
ππππ
10 [§HNNI.01] ∫2
4 4
6 dx x sin
x cos
3
2
2 dx x x
14 ∫ππππ
0
dx x sin x
dx 2 x g cot x tg
ππππ
ππππ
Trang 15www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
3
0
2 3
dx x x x
3
2 2
−
−
−+
5
3
dx 2 x 2
1 x x
21 ∫ +
ππππ
0
dx x cos 2
ππππ
2 4
1
0
R a
; dx a
−
1 m 0
~ 2 / 1 m m
0 m
~ 2 / 1 m 2
x cos
xdx cos ) x cos e
29 [§H.2003.B] ∫∫∫∫/ 4 −−−−++++
0
2 dx x sin 1
x sin 2 1
x sin N
Trang 16www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
B – Phương pháp đổi biến
1 [CĐBN.01] ∫1 +
0
3 2
3 dx ) x 1 (
dx x 1 x
3 ln∫3 +
0
x
2 e
dx
4 [CĐXD.01] ∫2 +
0
2 dx x cos 1
x sin
6 [ĐHQG.97.B] ∫1 +
0 1 x dx
7 [ĐH.2004.A] ∫2 + ư
1 1 x 1 xdx
``8 [ĐH.2003.A] ∫
+
3 2
5 2 4 x x dx
9 [ĐHSPHN.00.B] ∫ ư
ππππ
0
2 2 2
dx x a x
10 [ĐHBK.00] ∫
+
2 ln
0 x x
1 e
dx e
x sin
ππππ
13 ∫4
0
3 x cos
) x ln(ln x ln
17 ∫4 +
2
dx x
1 x
0
2 2
2 3
dx 1 x ) x 1 (
x 10 1 x 3 x 10
Trang 17www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
19 ∫e −
1
2 dx x ln 1 x
x ln
0
1 x 1 x 1
7
2 9 x
x cos x
ππππ
ππππ
27 [§HAN.97] ∫∫∫∫ππππ ++++
0 2 x cos 1
xdx sin x
28 [§HLN.00] ∫∫∫∫2 ++++ ++++
0
dx x cos x sin 2 1
ππππ
30 [§HVH.01] ∫∫∫∫4 ++++
0
dx x cos x sin
x cos x sin
ππππ
31 [HVBCVT.98] ∫∫∫∫2 ++++
0
2 3
x cos 1
xdx cos x sin
1 I
33 [§HTN.01] ++++∫∫∫∫ −−−− ++++ ++++
2 ) 5 1 (
1
2 4
2 dx 1 x x
1 x
34 [§HTCKT.00] ∫∫∫∫1 ++++ ++++
0 2
1 x x x
36 [PVB¸o.01] ∫∫∫∫ −−−−
1
0
2 3
dx x 1 x
37 [§H.2004.B] ∫∫∫∫e ++++
1
dx x
x ln x ln 3 1
38 [§H.2005.A] ∫∫∫∫ ++++ ++++
2
0
dx x cos 3 1
x sin x sin
ππππ
Trang 18www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
x sin
x cos x sin
ππππ
41 [§H.2005.B] ∫∫∫∫ ++++ −−−− −−−−
5 ln
3 ln
x
x 2 e 3 e
dx
42 [§H.2003.A] 2∫∫∫∫3 ++++
5
2 4 x x dx
43 [§H.2004.A] ∫∫∫∫2 ++++ −−−−
1
dx 1 x 1 x
44 [§H.2008.A] ∫∫∫∫/ 6
0
4 dx x cos
x tan
x sin
x ln 1 x
48 [§Ò thi thö §H] ∫∫∫∫2 ++++
0
3 dx ) x sin 1 ( 2
x sin
ππππ
HD: §Æt t====1++++sin x ⇒
8
1 t
2
dt ) 1 t 2 2
16 x I
50 ====∫∫∫∫ −−−− ++++ ++++
4
2
dx x
1 x 1 x J
51 ====∫∫∫∫ ++++++++ ++++ ++++++++
1
0
2 2
2 3
dx 1 x ) x 1 (
x 10 1 x 3 x 10 K
52 −−−−∫∫∫∫
−−−− −−−−
====
2 ln
2 ln
x
x dx e 1
e H
53 ==== ∫∫∫∫ ++++
3 ln
0 x 1 e
dx G
54 ====∫∫∫∫ ++++ ++++
2
0 3 5 sin x 3 cos x
dx F
x cos D
ππππ
56 ==== ∫∫∫∫ ++++−−−−
5 ln
0 x
x x
3 e
dx 1 e e S
57 ====∫∫∫∫ ++++ −−−−
ππππ
ππππ 2 sin x cos x
dx T