Phuong phap chung giai phuong trinh vo ty on thi dai hoc 2014

Cách giải các dạng toán thường gặp về phương trình vô tỷ trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng

AOTRANGTB.COM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088- 01256813579 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp  Thơng thường ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương vế , điều đơi lại gặp khó khăn  Khi gặp phương trình dạng: A  B  C Ta lập phương vế phương trình  A  B  3 A.B   A  B  C sử dụng phép : A  B  C ta phương trình : A  B  3 A.B.C  C Ví dụ Ví dụ 1) Giải phương trình sau : Giải: Đk x  x   3x   x  x  Bình phương vế khơng âm phương trình ta được:   x  3 3x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình khơng khó Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa mãn x  x   x  12 x  x  Nhận xét : Nếu phương trình : f  x  g  x  h x  k  x Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương ,giải phương trình hệ giải xong nhớ kiểm tra lại nghệm xem có thỏa mãn hay khơng? Ví dụ 2) Giải phương trình sau : x3   x   x2  x   x  x 3 Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : (2)  x3  x   x  x  x  , từ nhận xét ta có lời giải sau : x 3 x3   x   x2  x   x  x3 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bình phương vế ta được: x  1 x3   x2  x   x  x     x3 x  1  Thử lại : x   3, x   l nghiệm Qua lời giải ta có nhận xét : Nếu phương trình : f  x  g  x  h x  k  x Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  ta biến đổi f  x  h  x  k  x  g  x Trục thức 2.1) Trục thức để xuất nhân tử chung Phương pháp Khi gặp phương trình vơ tỉ mà ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích  x  x0  A  x   ta giải phương trình A  x   chứng minh A  x   vô nghiệm , Để giải triệt để ta cần ý điều kiện nghiệm phương trình để đánh giá phương trình A  x   phương pháp đạo hàm sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1) Giải phương trình sau : 3x  x   x    x  x  1  x  3x  Giải: Ta nhận thấy : 3x  x   x  x   2  x   v  x     2   x  3x     x  2 Ta trục thức vế : 2 x  x  x    x  x  1  ( x  2)    3x2  5x   x  x       3x  x   x  3x   0 2 x   x  3x     Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Ví dụ 2) Giải phương trình sau : x  12   3x  x  Giải: Để phương trình có nghiệm : x  12  x   x    x  Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng  x   A  x   , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x  12   x   x    x2  x  12   3 x  2  x2  x2     x2 x 1   x  2    3   x  2 x2     x  12  Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com x2 Dễ dàng chứng minh : x2  x  12  Ví dụ 3) Giải phương trình : x   x    0, x  x 5 3 x3  Giải :Đk x  Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   x    x   x     x  3 1    x3 Ta chứng minh :     x  3  x  x    2 3 x3    x  1  x      1  x  1  x2   x3 x 3   2 x  3x  x2 1   x3   Vậy pt có nghiệm x=3 Ví dụ 4) Giải phương trình: x    x  x  x  Giải: Điều kiện:  x  Nhận thấy phương trình có nghiệm x  nên ta nghĩ đến cách giải phương trình phương pháp nhân lượng liên hợp x 3 x 3    x  3 x  1 PT  x     x   x  x   x  1  x 1 x   1    x  1(*)  x  1  x 1  1  1;     VT (*)   Ta có: x  1  x 1 1 Mặt khác x   VP(*)  x    (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x=3 Ví dụ 5) Giải phương trình: x  x    x   x  x  PT  x  x    x     x   x  x    2   x  x    x  2  x  x    x  x      x2   x  x   1      x  2x  7   x  2x       x  2  x  x   x2  2x   0    x  1  0 x  2x      x  1 x  1   x2  x      x  1  Tại ta phát lượng x  x  Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Ta thấy x=-2 khơng nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x+2 ta có x2  x 1 x2  x   Giả sử ta cần thêm vào hai vế phương trình lượng mx+n ta x2 x2  x 1 x  x   (mx  n)   (mx  n)  x2 có 1  m2  x  2(1  mn) x   n2  1  m  x2  (1  2m  n) x   2n x2 x  x   (mx  n)  m 2(1  mn) n  Ta cần chọn m, n cho   Từ ta có m=0, n=3  m 2m  n  2n  Ví dụ 6) Giải phương trình: x    x  x   x  x Giải: Điều kiện xác định:  x  PT  x     x   x    x  x    x 3 x  1    3 x  x 1     x  3 2x  1    x  1 x  3 1     x  3       x  1 x  3  x 1 x  1   x  1 * Với x    x  (thỏa mãn điều kiện)    x  (2) * Nếu x   suy ra: x  1 2x  1  x 1 5 Với điều kiện  x  , ta có: VP (2)  x     6;VT      2 Do pt(2) vơ nghiệm Hay pt(1) khơng có nghiệm khác Vậy pt(1) có nghiệm x  Ví dụ 7) Giải phương trình sau: x3  x  x  16 x  12 x  x   x  x  x  Giải: Điều kiện: x3  x  x   x  x  x     x  Phương trình viết lại sau:  2( x  1)2  x3   (2 x  1)    (2 x  1)  (2 x  1)  4(2 x  1)    x  1  x  1      x   x  1 1     x  1  x  1   x3  1    (2 x  1)   A B A B  Với A  2( x  1)2  x   (2 x  1) B  (2 x  1)2  (2 x  1) (2 x  1)3  4(2 x  1)  (2 x  1)3  4(2 x  1)    Vì x   A  1; B     x   A B Suy PT  x    x  2 2.2) Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C dây C số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : A B C A B  A B C   A  C  A  B   , ta có hệ:  A B    b) Ví dụ Ví dụ 1) Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy : x  x   x  x    x       x  4 nghiệm Xét x  4 Trục thức ta có : 2x  2  x   2x2  x   2x2  x   2x  x   x  x  x   2x2  x   x2  x    Vậy ta có hệ:   2x  x   x    2 x   2x  x   x  x   x    Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x2  x   x  x   3x Ta thấy :  x  x  1   x  x  1  x  x , khơng thỏa mãn điều kiện trên.Tuy Ví dụ 2) Giải phương trình : nhiên Ta chia hai vế cho x đặt t  toán trở nên đơn giản x Nhận thấy x=0 nghiệm, chia hai vế pt cho x ta có Đặt t  2 1 1   1   x x x x ta có phương trình t  t   t  t   việc giải phương trìn.h x hồn tồn đơn giản Ta có  t2  t   t2  t 1   t  t   t  t   2t   t  t   t  t   2t  Từ ta có hệ sau :  t2  t   t2  t 1  t  x  2t  10     2t   t  t     t     x    t  t   t  t 1     Ví dụ 3) Giải phương trình: x  x  24  x  59 x  149   x Giải: Phương trình xác định với x thuộc R Phương trình có dạng:   5(5  x )2 5(5  x)   x    x  1  0 x  x  24  x  59 x  149 x  x  24  x  59 x  149   x5   5(5  x) 1   (*)  x  x  24  x  59 x  149  (*)  x  x  24  x  59 x  149  5( x  5) Kết hợp với phương trình đề ta có hệ :  x  x  24  x  59 x  149  5( x  5)   x  x  24  x  10   x  x  24  x  59 x  149   x   x  4( L) x     x  19 (TM ) x  x  24  (2 x  10)2   19 Vậy phương trình có nghiệm : x  5; x  3 Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức *) u  v   uv   u  1 v  1  *) au  bv  ab  vu   u  b  v  a   *) A2  B Ví dụ 1) Giải phương trình : Giải: PT    x 1 1 x   x    x  3x  x  x  1     x  1  Ví dụ 2) Giải phương trình : x   Giải: + x  , nghiệm x2  x  x2  x  x 1  x 1  x  1 x 1    1 x x   + x  , ta chia hai vế cho x: Ví dụ 3) Giải phương trình: Giải:Điều kiện : x  1   x 1   x  x   x x   x  x2  4x  PT   x   2x  x 1 x 1 1    x   4x 4 x x3 x3 Ví dụ 4) Giải phương trình : Giải: Đk: x  Chia hai vế cho  4x 4x 4x  x  : 1 2  1     x 1 x3 x3 x3  Ví dụ 5) Giải phương trình: x   x  x   x  x   Giải: Điều kiện  x  Đặt a   x , b  x  1; a, b   ab   x  x  Phương trình cho trở thành: b  2a  2b  ab   a  b  b     a  b  b  - Nếu a=b  x  x    x  x   x  thỏa mãn điều kiện đề - Nếu b=2 x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x=3  Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak  B k Ví dụ 1) Giải phương trình : 3x  x 3x Giải: Đk:  x  pt đ cho tương đương 3  10 10   : x  3x  x     x   x  3 3  Ví dụ 2) Giải phương trình sau : x   x  x  Giải: Đk: x  3 phương trình tương đương : 1  3 x  x 1  x    3x  9x2     x  5  97  x    3 x   18  Ví dụ 3) Giải phương trình sau :  3 x  x    x  3 x  x   Giải : PT   x   3x    x 1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường * Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t  f  x  ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hoàn toàn t  f  x  thường phương trình dễ Ví dụ 1) Giải phương trình: Điều kiện: x  Nhận xét x  x2 1  x  x2 1  x  x  x  x   1 x  x  phương trình có dạng: t    t  t Thay vào tìm x  Ví dụ 2) Giải phương trình: x  x   x  Đặt t  Giải Điều kiện: x   t2  Đặt t  x  5(t  0) x  Thay vào ta có phương trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t  t  22t  8t  27  16  (t  2t  7)(t  2t  11)  Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1  2; t3,4   Do t  nên nhận gái trị t1  1  2, t3   Từ tìm nghiệm phương trình l: x   x   Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x  x   Ta được: x ( x  3)  ( x  1)  , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y   x  hệ) đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa Ví dụ 3) Giải phương trình sau: x   x   Điều kiện:  x  Đặt y  x  1( y  0) phương trình trở thành: y  y    y  10 y  y  20  ( với y  5)  ( y  y  4)( y  y  5)   y  Từ ta tìm giá trị x   21 1  17 (loaïi), y  2 11  17  Ví dụ 4) Giải phương trình sau : x  2004   x 1 1 x  Giải: đk  x  Đặt y   x PT  1  y  y  y  1002    y   x   3x  x Ví dụ 5) Giải phương trình sau : x  x x  Giải: Điều kiện: 1  x  Chia hai vế cho x ta nhận được: x  x  1  3 x x , ta giải x Đặt t  x  Ví dụ 6) Giải phương trình : x  x4  x2  2x    Giải: x  nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:  x  1  x  x x 1 , Ta có : t  t    t   x  x Đặt t= x   Ví dụ 7) Giải phương trình sau: x  x  x  x   x  x   x2 x Lời giải: Điều kiện x   ; 1   0;1 2 Nếu x từ (1) suy x0 hệ vô nghiệm Xét x