Kì thi học sinh giỏi cấp trường Môn: Toán 6. ( năm học 2007-2008) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) 4 2008 + 4 2007 + 4 2006 chia hết cho 21. b) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 207 + 5 208 chia hết cho 6. Bài 2: Tìm x, biết: a) 360 : ( x – 7 ) = 10 . 3 2 b) x 2 1 3 − x = 7 20 − c) ( x + 5) - ( x - 9 ) = x + 2 d) 2 x + 3 + 2 x = 144 Bài 3: Hiện nay tuổi cha là 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi lúc nào thì tuổi cha gấp 7 lần tuổi con? Bài 4: Một bể có hai vòi nước, vòi thứ nhất chảy 7 giờ thì bể đầy, vòi thứ hai chảy 9 giờ thì bể đầy. Bể đang cạn, nếu mở hai vòi cùng một lúc thì sau 2 1 3 giờ lượng nước có được trong bể bao nhiêu? Bài 5 : Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: a) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. b) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Bài 6: Cho đoạn thẳng MN dài 6 cm. Trên tia MN lấy điểm D sao cho MD = 4 cm. Trên tia NM lấy hai điểm P, Q sao cho: NP = 1 cm, NQ = 4 cm. a) Đường tròn ( Q; 2cm ) có đi qua điểm D không? b) chứng tỏ rằng: Điểm P nằm ngoài đường tròn ( Q ; 2cm ) và nằm trong đường tròn đường kính MN. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) Bài (3 điểm) a Tính giá trị biểu thức 5 18 × − × − ÷− × 13 9 13 13 b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 Bài (4 điểm) x2 + Cho biểu thức A = x−2 a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2 điểm) Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z − 6y 6x − 4z 4y − 5x = = 3x − 2y + 5z = 96 Tìm x; y; z Bài 4: (3 điểm) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vô nghiệm Bài (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA K Chứng minh ∆BMK = ∆CMD c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Nội dung Bài Bài (3đ) a Tính giá trị biểu thức Điểm 5 18 × − × − ÷− × 13 9 13 13 5 18 × − × − ÷− × 13 9 13 13 = 18 18 − − ÷− = + − ÷ 13 13 13 19 13 13 13 = −9 13 = − 13 1.5đ b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 (a + 4b) M 13 ⇒ 10(a + 4b) M 13 0.5đ Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b M 13 0.5đ 0.5đ Do 10(a + 4b) M 13 nên (10a +b ) M Bài2 (4đ ) x2 + Cho biểu thức A = x−2 a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định Giá trị biểu thức A không xác định x-2 = Kết luận : Giá trị biểu thức A không xác định x = 0.5đ 0.5đ b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? Nhận xét : x2 ≥ ∀ x ⇒ x2 +3 > ∀ x A nhận giá trị số âm x-2 nhận giá trị số âm A nhận giá trị số âm x < c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên x + = x − + = ( x + 2) + A= x−2 x−2 x−2 A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x−2 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ nhận giá trị nguyên M (x-2) x−2 x-2 nhận giá trị : -7 ; -1 ; 1; Giải ra, thử lại kết luận: x ∈ { −5;1; 3; 9} Bài 3(2đ) 0.5đ Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z − 6y 6x − 4z 4y − 5x = = 3x − 2y + 5z = 96 Tìm x; y; z Từ 5z − 6y 6x − 4z 4y − 5x = = 0.5đ 20z − 24y 30x − 20z 24y − 30x 20 z − 24 y + 30 x − 20 z + 24 y − 30 x ⇒ = =0 = = 10 + 25 + 36 16 25 36 ⇒ 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = ⇒ 20z = 24y = 30x ⇒ 10z = 12y = 15x ⇒ x y z 3x y z 3x − y + z 96 = = ⇒ = = = = =3 12 10 30 12 − 10 + 30 32 0.5đ 0.5đ 0.5đ Giải kết luận : x = 12 ; y = 15 z = 18 Bài (3đ) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c Tính = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 tính a = Kết luận : a = 4025 ; b= 2 4025 ; b= 2 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ c = b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vô nghiệm Tính : 2012 = f(1) = a + b +c (1) 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2) 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3) Từ (1) (2) có a – b = (4) Từ (2) (3) có a + b = (5) 0.5đ 0.5đ Từ (4) (5) tìm a = ; b = -4 tìm c = 2012 Như f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1)2 + 2011 > ∀ x Kết luận: Đa thức vô nghiệm Bài (8đ) 0.5đ Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD B N M E D A K C 1.0đ a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN * Chứng minh được: ∆ BAD = ∆ BAC (c.g.c) suy BD = BC 0.5đ · · · = 450 + 450 = 900 DBC = DBA + ABC 0.5đ 1.0đ Kết luận ∆ BDC vuông cân B Chứng minh ∆ BDM = ∆ BCN ⇒ DM = CN * b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA K Chứng minh ∆BMK = ∆CMD · · Vì ∆ BDM = ∆ BCN suy BNC = BMD · · ∆ BNC vuông B nên BNC + BCN = 900 · · ∆ CME vuông E nên MCE + CME = 900 · · Từ suy CME = BMD · · · · Vì CME = BMD ⇒ BMK = CMD Chứng minh ∆ BMK = ∆ CMD (g.c.g) c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính BC = a áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC a Và tính BD = BC = a ; BM = BC = 2 * Vì ∆ BMK = ∆ CMD suy MD = MK Vậy chu vi ∆ DMK 2MD + DK a Tính DM = áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM Chứng ming ∆BDK = ∆BCK ⇒ DK = BC = a Chu vi tam giác DMK 2DM + DK = 2a + a = a 10 + a = a 10 + 2 ( Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình hình vẽ không chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) Bài 1: Thực phép tính (6 điểm) a 5 : − + ; 3 9 −1 b −1 −1 45 − + + ; 19 5.415.9 − 4.320.89 c 5.210.619 − 7.2 29.27 Bài 2: (6 điểm) ) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; b Tìm x, biết: : x − = c Tìm x, y, z biết: 21 22 2x − y y − 2z = x + z = 2y 15 Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c = b d Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA ... Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 9 - bảng a Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11. b. Chứng tỏ rằng: 3 3 7 50 7 50 + + là số tự nhiên. Bài 2: (4,0 điểm) a. Giải phơng trình: 2 2 4x 5x 1 3 2 x x 1 9x+ + + = + + b. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y z 29 xyz 24 xy 2x 3y 6 y 2 + + = = = > Bài 3: (4,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 = 1. a. Chứng minh : 1 a + b 2 b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 2a 1 2b+ + + Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: Nếu x + y + z > 1 1 1 x y z + + thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. Bài 5: (5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F. Chứng minh: a. MN vuông góc với AB. b. NE = NF. ---------Hết--------- Họ và tên: .Số báo danh: . Đề chính thức Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 9 - bảng B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11. b. Chứng tỏ rằng: 3 3 7 50 7 50 + + là số tự nhiên. Bài 2: (3,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 4x 5x 1 3 2 x x 1 9x+ + + = + + Bài 3: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 = 1. Chứng minh : 1 a + b 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: Nếu x + y + z > 1 1 1 x y z + + thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. Bài 5: (6,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F. Chứng minh: a. MN vuông góc với AB. b. NE = NF. ---------Hết--------- Họ và tên: .Số báo danh: . Đề chính thức ĐỀ KIỂM TRA 2 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Giải phương trình căn thức: b) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện: (1) a) Chứng minh bất đẳng thức : (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao? b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức: Bài 4: Gọi a,b là là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai nghiệm của phương trình h . Chứng minh hệ thức : Bài 5: Cho hai đường tròn (O, R) , (I, r) (R>r) tiếp xúc ngoài với nhau với A là tiếp điểm. Gọi B, C là hai điểm di động lần lượt trên (O), (I) sao cho a) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên 1 đường tròn cố định khi B, C thay đổi. b) Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh H cũng nằm trên một đường tròn cố định khi B, C thay đổi. c) Chứng minh rằng: ĐỀ KIỂM TRA 1 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Tính giá trị của biểu thức với Bài 2: Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có: chia hết cho 91 Bài 3: a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: . Tính giá trị lớn nhất của: b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm: Bài 4: Cho phương trình: (x là ẩn số) a) Giải phương trình khi a=1 b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm . Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của: Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF. a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB. c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp : 9 Năm học 2007 - 2008 Bài 1: Hãy chọn đáp án đúng. Câu 1: Phơng trình 2 4 4x x+ + = x - 2 a. Vô nghiệm b. Vô số nghiệm c. Có 1 nghiệm âm d. Có 1 nghiệm dơng Câu 2: giá trị của biểu thức. 5 2 5 2 3 2 2 5 1 N + + = + bằng a. 1 ; b. 2 2 - 1 ; c. 5 2 ; d. 5 2 Câu 3: Cho tam giác ABC, biết B = 2 C; AC - AB = 2 BC = 5 Độ dài cạnh AB là: a. 3 ; b. 4 ; c. 5 ; d. 6 , Độ dài cạnh AC là. a. 6 ; b. 7 ; c. 8 ; d. 9 Câu 4: Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Biết AC. BC = 2AD . DB. Số đo góc C là a. 30 0 ; b. 60 0 ; c. 90 0 ; d. 120 0 Bài 2: (2,5đ) Cho biểu thức: P = 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x x x x x x + ữ ữ ữ ữ + a. Rút gọn P b. Tính gía trị của x để P = -1 c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m ( 3x )P > x + 1 Bài 3: (2,5đ) Cho phơng trình y = |2 - x| + |2x + 1| a. Vẽ đồ thị của phơng trình. b. Minh hoạ nghiệm của phơng trình trên đồ thị trong trờng hợp y = 2 1 2 c. Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm của phơng trình Bài 4: (2,5đ) Cho nửa đờng tròn tâm O. đờng kính AB từ một điểm M trên nửa đ- ờng tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD xy và Bc xy. a. Chứng minh MC = MD b. Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không đổi. c. Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Đáp án và biểu điểm Bài 1: (2,5đ) hãy chọn đáp án đúng Câu 1: Đúng là a (0,5đ) Câu 2: Đúng là a (0,5đ) Câu 3: Đúng là b (0,5đ) Đúng là a (0,5đ) Câu 4: Đúng là c (0,5đ) Bài 2: (2,5đ) a. Rút gọn P (1,5đ) (0,5đ) Điều kiện a O ; x 4 và x 9 (0,5đ) P = 4 (2 ) 8 ( 1) 2( 2) : (2 )(2 ) ( 1) x x x x x x x x x + + (0,25đ) = 8 4 3 : (2 )(2 ) ( 2) x x x x x x x + + (0,25đ) = 8 4 ( 2) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x + + (0,25đ) = 4 3 x x (0,25đ) b. (0,5đ) P = -1 4x + x - 3 = 0 (0,25đ) ( x + 1) (4 x - 3)= 0 x = 3 4 x = 9 16 (0,25đ) c. Biết phơng trình đa về dạng 4mx > x + 1 (4m - 1) x > 1 (0,25đ) Nếu 4m - 1 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m - 1 > 0 thì nghiệm bất phơng trình là x > 1 4 1m . do đó bất phơng trình thoả mãn với mọi x > 9 9 1 4 1m và 4m - 1 > 0 Ta có m 5 18 (0,25đ) Bài 3: Vẽ đờng thẳng của phơng trình: y = |2 - x| + | 2x + 1| với x - 1 2 ta có thể y = 2 - x - 2x - 1 y = -3x + 1 (1/4đ) với - 1 2 < x 2 ta có y = 2 - x + 2x + 1 y = x + 3 (1/4đ) với x > 2 ta có y = x - 2 + 2x + 1 y = 3x - 1 (1/4đ) ta đi vẽ đờng thẳng y = |2 - x| + |2x+ 1| 1 3 1 2 1 3 2 2 3 1 2 x x x x x x + + < > nếu nếu nếu Vậy đồ thị y = |2 - x| + | 2x + 1| là. đờng ABCE b. Phơng trình đã cho. Khi y = 2,5 thì x = - 1 2 c. Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm. của phơng trình nhìn vào đồ thị. Ta nhận thấy: y = 2,5 phơng trình có 1 nghiệm x = - 1 2 y < 2,5 phơng trình vô nghiệm y > 2,5 phơng trình có 2 nghiệm Bài 4: (2,5đ) a. AD // BC // CM (vì OM xy . AB xy) BC xy tứ giác ABCD là hình thang. và OM là đờng trung bình Suy ra M là trung điểm của DC và MC = MD (1/2đ) b. Theo tính chất đờng tròn của hình thang ta có 20M = AD + BC mà 20M = AB ; AB là đờng kính của đờng tròn (O) nên không đổivậy. AB = AD + BC không đổi. c. SABCD = 1 2 CD (AD + BC) = 1 2 AB . CD (theo chứng minh trên AB = AD + BC) AB không đổi SABCD lớn nhất khi CD lớn nhất. Mà CD AB vậy CD lớn nhất khi CD = AB. tức là lúc ấy M là điểm chính giữa cung AB SABCD đặt giá trị lớn nhất là 1 2 AB 2 khi M là điểm chính giữa của cung AB Ghi chú (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) y E 6 A 5 C 4 3 2,5 y = 2,5 B 2 1 -3 -1 -1/2 0 1/2 1 2 x y C M D x A H O D