Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H H không trùng với C.. c Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đ
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm)
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: (x+1)(x−2)(x+6)(x− =3) 45x2
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( )x y thỏa mãn: ; ( 2 )
1 4y 1
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x+2y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 0 3
4
tia Cx vuông góc với AB tại C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt sao cho CE = CA = 3
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H (H không trùng với C)
a) Chứng minh rằng ADC=EBC và ba điểm ,A H E thẳng hàng ,
b) Xác định vị trí của C để HC⊥ AD
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố
định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho ba số thực không âm x y z thỏa mãn , , x+ + =y z 2 Chứng minh rằng:
Câu 6 (1,0 điểm)
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó
II) Đáp án và thang điểm:
1
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
a
Điều kiện:
0
0
4 0
4
2
x
x x
x x
x
≥
≠
+
Ta có: 2( 3) ( 3)
:
A
=
2 2
A
x
⇔ =
−
b Để ,x A∈ℤ thì 2− x là ước của 2 Suy ra 2− x nhận các giá trị ± ±1; 2
2− x = ⇔ =1 x 1, khi đó A=2
2− x = − ⇔ =1 x 9, khi đó A= −2
2− x = ⇔ =2 x 0, khi đó A=1
2− x = − ⇔ =2 x 16, khi đó A= −1
Vậy x nhận giá trị là: 0; 1; 9; 16
Trang 32
a) Giải phương trình: (x+1)(x−2)(x+6)(x− =3) 45x 2
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( )x y thỏa mãn: ; ( 2 )
1 4y 1
(x +7x+6)(x −5x+ =6) 45x
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình
Phương trình đã cho tương đương: x 6 5 x 6 7 45
Đặt t x 6 1
x
= + + , ta được: t2− = ⇔ = ±81 0 t 9
Với t =9, ta có: x 6 8 0 x2 8x 6 0 x 4 10
x
Với t = −9, ta có: x 6 10 0 x2 10x 6 0 x 5 19
x
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x= ±4 10; x= − ±5 19
b ( 2 1) 4y 1 ( 1) ( 2 1) 4y
Do ,x y∈ℤ⇒x y, ≥0
Nếu x=0⇒ y=0, suy ra ( )0; 0 là nghiệm của phương trình đã cho
Nếu x>0⇒ y>0⇒x+1 chẵn, đặt x=2k+1,k ≥0
Khi đó ( ) ( 2 ) 1
k+ k + k+ = −
Do 2k2+2k+1 là số lẻ, suy ra k =0⇒ x=1⇒y=1
Suy ra ( )1;1 là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm ( )x y là ; ( )0;0 và ( )1;1
3
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x+2y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:H =x2 −y2+ xy + + −x y 2
Do ,x y∈ℤ và 3x+2y=1, suy ra x, y trái dấu
ℤ
1 2 ; 3 1
⇒ = − = −
Khi đó H = − + −t2 3t t 1
Nếu t<0⇒H = − − > − > −t2 4t 1 1 2
Trang 44
Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho
3 0
4
< < ; tia Cx vuông góc với AB tại C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân
biệt sao cho CE = CA = 3
CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H (H không trùng với C)
a) Chứng minh rằng ADC =EBC và ba điểm ,A H E thẳng hàng ,
b) Xác định vị trí của C để HC⊥ AD
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một
điểm cố định
x
I
H
D E
C
B A
a
Từ giả thiết, có: CE >CD;CE CA 3;DCA BCE 90o
suy ra hai tam giác ADC , EBC đồng dạng Suy ra: ADC =EBC (1)
Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra: AHC = ADC (2)
Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra: EBC+CHE =1800 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AHC+CHE=1800, suy ra ba điểm A H E thẳng hàng , ,
b
Ta có: tanADC AC 3 ADC 60o EBC 60o
CD
Do AD ⊥HC⇒ ACH = ADC =60o
Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra AEB= HCA=60o
Suy ra ∆ABE đều⇒C là trung điểm của AB
Trang 5c Do 90o
AHB = ⇒H thuộc đường tròn đường kính AB cố định
Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H)
Suy ra AHI =60o ⇒ cố định I
Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB
5 Cho ba số thực không âm x y z thỏa mãn , , x+ + =y z 2 Chứng minh rằng:
Đặt x+ =y 2 ;a y+ =z 2 ;b z+ =x 2c⇒a b c, , ≥0;a+ + =b c 2
Bất đẳng thức trở thành: a+ ≥b 4abc
Ta có: 2= + + ≥a b c 2 (a b c+ ) Dấu “=” ⇔ + =a b c
1 (a b c)
⇒ ≥ +
2
a b a b c ab c
Dấu “=”
1 2 1 2
a b
a b
a b c
c
a b c
=
= =
Vậy x+2y+ ≥ −z (2 x)(2−y)(2−z)
Dấu “=”
1
1 2
0 2
x z
z x
y
x y z
+ = + =
= =
=
6
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn
Từ 5 điểm có 4 3 2 1 10+ + + = đoạn thẳng tạo thành Do đó có ít nhất một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất Giả sử 5 điểm là A B C D E và hai điểm ,, , , , A B có độ dài
AB nhỏ nhất Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau:
TH1 Cả ba điểm này nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ AB
E C
D
B A
Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C D E nhìn AB với các , ,
Trang 6TH2 Có một điểm khác phía hai điểm khác ở hai nửa mặt phẳng bờ AB Giả sử E .
khác phía hai điểm C, D
E
C
D
B A
Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C D nhìn AB với các góc ,
nhọn khác nhau Giả sử: ACB> ADB, khi đó đường tròn đi qua ba điểm A B D , ,
chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài
Vậy luôn có một đường tròn thỏa mãn điều kiện
-Hết -