Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm)  x +4   x +5 Cho biểu thức: A =  +  : 1 −  − x − + x x     a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x + 1)( x − 2)( x + 6)( x − 3) = 45 x b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x ( x + x + 1) = y − Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên x, y thỏa mãn 3x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x − y + xy + x + y − Câu (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C thuộc đoạn AB cho < AC < AB ; CE CA = = CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt điểm tia Cx vuông góc với AB C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt cho thứ hai H (H không trùng với C) a) Chứng minh ADC = EBC ba điểm A, H , E thẳng hàng b) Xác định vị trí C để HC ⊥ AD c) Chứng minh điểm C thay đổi đường thẳng HC qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y , z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ (2 − x)(2 − y )(2 − z ) Câu (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng bốn điểm thuộc đường tròn Chứng minh tồn đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm lại có điểm nằm bên đường tròn -Hết Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:…….…………… … SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm toàn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh không vẽ hình phần không cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: Câu Ý Nội dung trình bày  x +4   x +5 Cho biểu thức: A =  +  : 1 −  x −2  x +2   x−4 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên a  x ≥ x ≥  Điều kiện:  x − ≠ ⇔ x ≠  x + 1 − ≠0  x +2 Ta có: A = ⇔ A= b ( x +3 x−4 ) : −( x +3 ) x +2 2− x Để x, A∈ ℤ − x ước Suy − x nhận giá trị ±1; ±2 − x = ⇔ x = 1, A = 2 − x = −1 ⇔ x = , A = −2 − x = ⇔ x = , A = − x = −2 ⇔ x = 16 , A = −1 Vậy x nhận giá trị là: 0; 1; 9; 16 a) Giải phương trình: ( x + 1)( x − 2)( x + 6)( x − 3) = 45 x b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x ( x + x + 1) = y − a Phương trình tương đương: ( x + x + 6)( x − x + 6) = 45 x Nhận thấy x = không nghiệm phương trình 6    Phương trình cho tương đương:  x + −  x + +  = 45 x x    + , ta được: t − 81 = ⇔ t = ±9 x Với t = , ta có: x + − = ⇔ x − x + = ⇔ x = ± 10 x Với t = −9 , ta có: x + + 10 = ⇔ x + 10 x + = ⇔ x = −5 ± 19 x Đặt t = x + Vậy phương trình cho có nghiệm: x = ± 10 ; x = −5 ± 19 b x ( x + x + 1) = y − ⇔ ( x + 1) ( x + 1) = y Do x, y ∈ ℤ ⇒ x, y ≥ Nếu x = ⇒ y = , suy ( 0;0 ) nghiệm phương trình cho Nếu x > ⇒ y > ⇒ x + chẵn, đặt x = 2k + 1, k ≥ Khi ( k + 1) ( 2k + 2k + 1) = y −1 Do 2k + 2k + số lẻ, suy k = ⇒ x = ⇒ y = Suy (1;1) nghiệm phương trình cho Vậy, phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 0;0 ) (1;1) Cho số nguyên x, y thỏa mãn 3x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x − y + xy + x + y − Do x, y ∈ ℤ 3x + y = , suy x, y trái dấu 3x + y = ⇔ y = − x + 1− x 1− x ⇒ = t ∈ℤ 2 ⇒ x = − 2t; y = 3t − Khi H = t − 3t + t − Nếu t ≥ ⇒ H = ( t − 1) − ≥ −2 , dấu “=” xảy t = Nếu t < ⇒ H = t − 4t − > −1 > −2  x = −1 Vậy, H = −2 t = ⇒  y = 2 Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C thuộc đoạn AB cho < AC < AB ; tia Cx vuông góc với AB C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân CE CA = = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác BEC cắt điểm thứ hai H (H không trùng với C) biệt cho a) Chứng minh ADC = EBC ba điểm A, H , E thẳng hàng b) Xác định vị trí C để HC ⊥ AD c) Chứng minh điểm C thay đổi đường thẳng HC qua điểm cố định x E H D C A B I a Từ giả thiết, có: CE > CD ; CE CA = = 3; DCA = BCE = 90o CB CD suy hai tam giác ADC , EBC đồng dạng Suy ra: ADC = EBC Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra: AHC = ADC (1) (2) Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra: EBC + CHE = 1800 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AHC + CHE = 1800 , suy ba điểm A, H , E thẳng hàng b Ta có: tan ADC = AC = ⇒ ADC = 60o ⇒ EBC = 60o CD Do AD ⊥ HC ⇒ ACH = ADC = 60o Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy AEB = HCA = 60o Suy ∆ABE ⇒ C trung điểm AB c Do AHB = 90o ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AB cố định Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB điểm thứ hai I (I khác H) Suy AHI = 60o ⇒ I cố định Vậy HC qua I cố định C thay đổi đoạn AB Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ (2 − x)(2 − y )(2 − z ) Đặt x + y = 2a; y + z = 2b; z + x = 2c ⇒ a, b, c ≥ 0; a + b + c = Bất đẳng thức trở thành: a + b ≥ 4abc Ta có: = a + b + c ≥ (a + b)c Dấu “=” ⇔ a + b = c ⇒ ≥ ( a + b)c ⇒ a + b ≥ (a + b) c ≥ 4ab.c a = b   a = b = Dấu “=” ⇔  a + b = c ⇔ a + b + c = c =  Vậy x + y + z ≥ (2 − x)(2 − y )(2 − z ) x + y = y + z = x = z =  Dấu “=” ⇔  z + x = ⇔ y = x + y + z =  Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng bốn điểm thuộc đường tròn Chứng minh tồn đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm lại có điểm nằm bên đường tròn Từ điểm có + + + = 10 đoạn thẳng tạo thành Do có đoạn thẳng có độ dài nhỏ Giả sử điểm A, B, C , D, E hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ Khi điểm C, D, E lại có hai khả sau: TH1 Cả ba điểm nằm phía nửa mặt phẳng bờ AB A B E C D Vì điểm thuộc đường tròn nên C , D, E nhìn AB với góc nhọn khác Giả sử: ACB > ADB > AEB , đường tròn qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên điểm E bên TH2 Có điểm khác phía hai điểm khác hai nửa mặt phẳng bờ AB Giả sử E khác phía hai điểm C, D E B A C D Vì điểm thuộc đường tròn nên C , D nhìn AB với góc nhọn khác Giả sử: ACB > ADB , đường tròn qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên điểm E bên Vậy có đường tròn thỏa mãn điều kiện -Hết ... GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh. .. tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh không vẽ hình phần không cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: Câu Ý Nội dung trình bày  x +4   x +5 Cho biểu... t = 9 x Với t = , ta có: x + − = ⇔ x − x + = ⇔ x = ± 10 x Với t = 9 , ta có: x + + 10 = ⇔ x + 10 x + = ⇔ x = −5 ± 19 x Đặt t = x + Vậy phương trình cho có nghiệm: x = ± 10 ; x = −5 ± 19 b