SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. ————————— Câu 1 (3,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 x 4x-8 x+7 + 3 x 4x-10 x+7 = 1. b) Giải hệ phương trình: î í ì 2x 3 +3x 3 y=8 xy 3 -2x-6=0 Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm số nguyên tố p để 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiện . b) Trong bảng 11x11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý ( mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau ( tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5. Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D, E, F tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A,B,C; gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC; gọi N,P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh CA,AB. a) Chứng minh rằng HE.MN = HF.MP. b) Chứng minh rằng tứ giác EFPN nội tiếp. c) Chứng minh rằng BD.BM CD.CM = è ç æ ø ÷ ö AB AC 2 . Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 2+a 2 b + 1 2+b 2 c + 1 2+c 2 a ³ 1. Câu 5 (1,0 điểm). Điểm M (x; y) của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên ( trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0) . HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:……………………………… HNG DN S LC LI GII Cõu 1: a) K: x 0 4 x 4x-8 x+7 + 3 x 4x-10 x+7 = 1 4 x 4x-8 x+7 - 1 2 + 3 x 4x-10 x+7 - 1 2 = 0 4x-16 x+7 2(4x-8 x+7) + 4x-16 x+7 2(4x-10 x+7) = 0 (4x-16 x+7). ố ỗ ổ ứ ữ ử 1 2(4x-8 x+7) + 1 2(4x-10 x+7) = 0 (1) Ta thy: 4x-8 x+7 = 4( x - 1) 2 + 3 > 0 v 4x-10 x+7 = (2 x + 5 2 ) 2 + 3 4 > 0 ị ố ỗ ổ ứ ữ ử 1 2(4x-8 x+7) + 1 2(4x-10 x+7) > 0 (2) T (1) v (2) suy ra 4x -16 x+7 = 0 (2 x - 7)(2 x - 1) = 0 ị ở ờ ờ ộ x= 49 4 x= 1 4 ( tha món iu kin) b) Vỡ x = 0 khụng l nghim ca h nờn x 0 ợ ớ ỡ 2x 3 +3x 3 y=8 xy 3 -2x-6=0 ợ ớ ỡ x 3 (2+3y)=8 x(y 3 -2)=6 ợ ù ớ ù ỡ 3y+2= ố ỗ ổ ứ ữ ử 2 x 3 y 3 -2= 6 x Cng theo v ta c y 3 + 3y = ố ỗ ổ ứ ữ ử 2 x 3 + 6 x . t y = a, 2 x = b ta cú : a 3 + 3a = b 3 + 3b (a - b)(a 2 + ab + b 2 + 3) = 0 Vỡ a 2 + ab + b 2 + 3 = ố ỗ ổ ứ ữ ử a+ b 2 2 + 3 4 b 2 + 3 > 0 " a,b nờn a - b = 0 hay y = 2 x Suy ra x( 8 x 3 - 2) = 6 2x 3 + 6x 2 - 8 = 0 (x - 1)(x + 2) 2 = 0 ị ở ờ ộ x=1,y=2 x=-2,y=-1 . Cõu 2: a) Gi n l s t nhiờn tha món 2p + 1 = n 3 ị n l s l 2p = n 3 - 1 = (n -1)(n 2 + n + 1) Do p l s nguyờn t v n l nờn ị ợ ớ ỡ n-1=2 n 2 +n+1=p ( n 2 + n + 1 > n -1 ) ị ợ ớ ỡ n=3 p=13 . Vy p =13 . b)Gi s khụng tn ti hai ụ vuụng k nhau cú hiu hai s t trong hai ụ ú ln hn 5. ỏnh s ct v hng nh hỡnh v Xột ụ nghi s 1 ụ (a,b) ( hng ct b) Xột ụ nghi s 121 ụ (c,d) Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s c a, d b Cỏc trng hp khỏc tng t t x (a,b) l s ghi ụ (a,b) Ta cú 121 = x (c,d) Ê x (c - 1, d) + 5 Ê x (c - 2, d) + 10 Ê x (a, d) + 5( c - a) Ê x (a, b) + 5( c - a) + 5(d - b) Ê 1 + 5(11 -1) + 5(11 - 1) = 101 ( vụ lý) ị iu gi s l sai (pcm) 1 2 3 4 1 2 3 4 Câu 3: Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K Þ $ ABK = $ ACK = 90 0 Ta có $ AKC = $ ABC ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Mà $ ADB = $ ACK = 90 0 Þ $ BAD = $ KAC Þ $ DAC = $ BAC - $ BAD = $ BAC - $ KAC = $ BAK a) Xét DAFH và DANM có: î ï í ï ì $ FAH= $ MAN $ AFH= $ ANM=90 0 Þ DAFH ∽ DANM (g.g) Þ FH MN = AH AM (1) Xét DAMP và DAHE có î ï í ï ì $ PAM= $ EAH $ AEH $ =APM=90 0 Þ DAMP ∽ DAHE (g.g) Þ EH MP = AH AM (2) Từ (1) và (2) suy ra: FH MN = EH MP Þ HE.MN = HF.MP (đpcm) b) Theo câu a: î ï í ï ì DAFH∽DANM DAMP∽DAHE Þ AP AE = AM AH = AN AF Þ AP.AF = AE.AN Þ tứ giác EFPN nội tiếp. c) Các tứ giác APDM, ANMD là các tứ giác nội tiếp Þ î í ì BD.BM=BP.BA CM.CD=CN.CA Þ BD CD . BM CM = AB AC . BP CN (3) Mặt khác BK / PM (cùng vuông góc với AB) CK/MN (cùng vuông góc với AC) Suy ra BP AB = MK AK = CN AC Þ BP CN = AB AC (4) Từ (3) và (4) suy ra BD CD . BM CM = AB AC . BP CN = AB AC . AB AC = è ç æ ø ÷ ö AB AC 2 (đpcm) Câu 4: Ta có: 1 2+a 2 b + 1 2+b 2 c + 1 2+c 2 a ³ 1 Û 2 2+a 2 b + 2 2+b 2 c + 2 2+c 2 a ³ 2 Û a 2 b 2+a 2 b + b 2 c 2+b 2 c + c 2 a 2+c 2 a £ 1 (*) Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có: 2 + a 2 b = 1 + 1 + a 2 b ³ 3 3 a 2 b Tương tự 2 + b 2 c ³ 3 3 b 2 c 2 + c 2 a ³ 3 3 c 2 a Nên từ (*) ta có a 2 b 2+a 2 b + b 2 c 2+b 2 c + c 2 a 2+c 2 a £ a 2 b 3 3 a 2 b + b 2 c 3 3 b 2 c + c 2 a 3 3 c 2 a = 1 3 3 a 4 b 2 + 1 3 3 b 4 c 2 + 1 3 3 c 4 a 2 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có: (ab) + (ab) + a 2 ³ 3 3 (ab)(ab)(a 2 ) = 3 3 a 4 b 2 Þ 1 3 3 a 4 b 2 £ 1 9 (ab + ab + a 2 ) Tương tự : 1 3 3 b 4 c 2 £ 1 9 (bc + bc + b 2 ) 1 3 3 c 4 a 2 £ 1 9 (ca + ca + c 2 ) Vậy : 1 3 3 a 4 b 2 + 1 3 3 b 4 c 2 + 1 3 3 c 4 a 2 £ 1 9 (ab + ab +a 2 ) + 1 9 (bc+ bc + b 2 ) + 1 9 (ca + ca + c 2 ) = 1 9 (a + b + c) 2 = 1. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c = 1. Câu 5: Xét DABC có tọa độ A(x 1 ; y 1 ) , B(x 2 ; y 2 ), C(x 3 ; y 3 ) Từ đó ta có S DABC = 1 2 [ ] (x 3- x 1 )(y 2- y 1)- (x 3- x 1 )(y 3- y 1 ) - Xét tam giác bất kỳ, có tọa độ đỉnh là các điểm nguyên luôn tồn tại một hình chữ nhật có cạnh song song với hai trục thỏa mãn một đỉnh của hình chữ nhật trùng với một đỉnh của tam giác, hai đỉnh còn lại của tam giác nằm trên cạnh hoặc trùng với đỉnh của hình chữ nhật - Bây giờ xét hình bên, các trường hợp khác xét tương tự: Þ î ï í ï ì x 1 £x 3 £x 2 y 1 £y 2 £y 3 Gọi hình chữ nhật bao quanh là APQR nên S APQR = (x 2 - x 1 )(y 3 - Y1 ) S ABC = S ADQR - S APC - S BCQ - S ABR (*) Với S APC = (x 3 - x 1 )(y 3 - Y1 ) S BCQ = (x 2 - x 3 )(y 3 - Y2 ) S ABR = (x 2 - x 1 )(y 2 - Y1 ) Nên thay vào (*) ta có : S ABC = S ADQR - S APC - S BCQ - S ABR = 1 2 [ ] (x 2 -x 1 )(y 3-Y1 )-(x 3 -x 1 )(y 2-Y1 ) Vì A, B có cùng dạng nên î í ì x 2 -x 1 +2 y 2 -y 1 +2 Þ [ ] (x 2 -x 1 )(y 3-Y1 )-(x 3 -x 1 )(y 2-Y1 ) + 2 Þ 1 2 [ ] (x 2 -x 1 )(y 3-Y1 )-(x 3 -x 1 )(y 2-Y1 ) là số nguyên Þ S ABC nguyên (thỏa mãn đề bài) Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn là 5. HẾT Trần Mạnh Cường - GV Trường THCS Kim Xá - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc. . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian. nguyên Þ S ABC nguyên (thỏa mãn đề bài) Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn là 5. HẾT Trần Mạnh Cường - GV Trường THCS Kim Xá - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc. . 4 x 4x-8 x+7 - 1 2 + 3 x 4x -10 x+7 - 1 2 = 0 4x-16 x+7 2(4x-8 x+7) + 4x-16 x+7 2(4x -10 x+7) = 0 (4x-16 x+7). ố ỗ ổ ứ ữ ử 1 2(4x-8 x+7) + 1 2(4x -10 x+7) = 0 (1) Ta thy: 4x-8