Tài liệu để đạt điểm 7 môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN  Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn... b Ta có khi m0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: a Xác định m để hàm số đồng

5-Tích Phân và Ứng Dụng

6-Số phức 7-Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz

8-Hình Học Không Gian Thuần Túy

9-Tổ Hợp và Xác Suất

Tài liệu đã được tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa

đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt được phù hợp với kiến thức THPT cũng như kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới

Chỉ cần nắm bắt được các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không hề khó khăn

Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong

kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao Các em học sinh ôn thi vào các trường lớn hay các trường có tổ chức thi xét tuyển lần

2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ

Do tài liệu được biên soạn bởi tác giả nên không tránh được sự thiếu xót Nếu có thì mong các em thông cảm

Chúc các em học tốt và vượt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng

Thân!

VIETMATHS.NET

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

 Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn

 Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của 'y 0 và dấu của hệ số a

 TH3: ' 0y  vô nghiệm  không có cực trị

a0 a0

2 Hàm trùng phương: yax4 bx2 c a, 0

 Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy

 Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của ' 0y  và dấu của hệ số a

 TH1: ' 0y  có 3 nghiệm phân biệt  có 3 cực trị

 Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

 Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận

 Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟

 Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  P 0

 Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0

P S

P S

Để phương trình có nghiệm x x thõa mãn: 1, 2

0 ( ) 0

Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện

 Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một

khoảng nào đó sau đây:  a b, , a b, ,a,,a,  , ,b , ,b

 Phương pháp chung:

 Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận

 Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở đây là các số a, b trong các khoảng đó

Ví dụ 1: Cho hàm số 1 3 2  

3 23

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x x1, 2

Vậy để hàm số nghịch biến trên 2, 0 thì x1   2 0 x2

( 2) 0 6( 3) 0 3 (0) 0 6(m 1) 0

biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng 2,

+ TH2: Hàm số có cực trị   0 Gọi các điểm cực trị là x x thì hàm số đồng biến 1, 2trên các khoảng ,x1 , x2,

4

m y

b) Ta có khi m0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 

a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số đồng biến trên khoảng 0,

5/Cho hàm số yx4 2mx23m1 Xác định m để

a) Hàm số đồng biến trên 0,

b) Hàm số đồng biến trên 2,

c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên  1, 2

6/Cho hàm số y  x4 2mx2m2 Xác định m để:

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1, 0

7/Cho hàm số yx33mx23x3m4 Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1

"( ) 0

o o

"( ) 0

o o

a) Để hàm số có 3 cực trị thì 'y 0 có 3 nghiệm phân biệt x2 m có 2 nghiệm phân biệt  m 0

b) Để hàm số có 1 cực trị thì 'y 0 có 1 nghiệm x2 m vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0   m

c) Để hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại thì a0 và hàm số có 1 cực trị

0

00

a

m m

"(1) 0

a y y

1

4 1 2.1 0 1/ 2

21/ 6

12 1 2 0

m m

 Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức hay

một yêu cầu về hình học phẳng của đề bài ( như tam giác, khoảng cách…)

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)

 Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy ra phương trình theo m Giải tìm m

 Bước 3: So sánh m tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận

Ví dụ 1: Xác định m để hàm số

3

23

x

y  mx x có cực đại, cực tiểu tại x x và các 1, 2

điểm cực đại cực tiểu thõa mãn: 2 2

So sánh với (*) ta nhận cả 2 giá trị của m

Vậy m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị với A(0, )m ; B( m m m,  2); C  ( m m m,  2)

Do đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A Nên ABC là một tam giác vuông thì vuông tại A

b) Xác định m để hàm số có 1 cực trị

c) Xác định m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại

3/Cho hàm số: 1 3 2

( 6) (2 1)3

III Tiếp tuyến:

 Lý thuyết:

 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị (C) Tiếp tuyến tại điểm M x y o; o( )C có dạng:

( ) ( )

(*)'( ) '( )

 Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị

 Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau

 Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm M x y o; o( )C :

 Phương pháp chung:

 Bước 1: Gọi tiếp tuyến tại M có dạng : y f x'( )(o xx o)y o

 Bước 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta đi tìm x o

 Bước 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài

 Các kiến thức liên quan:

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng yax b thì f ' x o a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng yax b thì a f ' x o  1

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

y x  x  a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng 1

c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y 3x

d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng 1 1

9

y   x

Giải:

a) Với x o   1 y o  f( 1)  9

' '( ) 12 12

y  f x  x  x Suy ra: f '( 1) 24Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình:

'( 1)( ( 1)) ( 9)24( 1) 9

c) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y f x'( )(o xx o)y o

Do tiếp tuyến song song đường thẳng y 3x nên

 Tìm điểm M( )C để tiếp tuyến của ( )C tại M

cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB

11

o o

o o

x

x x

 2

01

21

o o o

x x x

 Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y f x( ) biết tiếp tuyến đi qua điểm (A x A;y A)

Phương pháp:

 Bước 1: Gọi tiếp tuyến qua ( ;A x A y A)là đường thẳng (d) có dạng: yk x( x A)y A

 Bước 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc:

(d) tiếp xúc (C)

( ) ( )'( )

 Bước 3: Giải tìm k suy ra tiếp tuyến cần tìm

Nhận thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M x y o; ovà tiếp tuyến qua điểm M

Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường

Ví dụ 1: Cho hàm số: 3

3

yx  x(C) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến

đi qua điểm A1, 2 

Giải:

Gọi tiếp tuyến qua A1, 2  có phương trình  d :yk x(  1) 2

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:   3





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến đi qua giao điểm của đồ thị và trục hoành

Giải:

Giao điểm của (C) và trục hoành có tọa độ  2, 0

Gọi tiếp tuyến qua  2, 0 có phương trình  d :yk x( 2)

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:

 

 2

22

13

1

x

k x

x k

13

3 3

31

x x

Bài tập vận dụng:

1/Cho hàm số: 3

3 1

y  x x

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng:

9

y  x

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng

133

y   x

2/Cho hàm số: 2 1

1

x y x







a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y3x6 3/Cho hàm số: 3 2

3 2

yx  x 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (0,3)A

b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại những điểm cách đều hai trục tọa độ

x



 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho tam giác OAB cân tại O





 (C)

a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A

và B sao cho MA=MB

IV Giao điểm của hai đồ thị:

-1

VIETMATHS.NET

b) Ta có x33x2   m 0 x33x2   2 2 m

Số nghiệm của phương trình x33x2  m 0 là số giao điểm của hai đồ thị:

3 22

+ Nếu 2   m 2 m 0 thì y 2 m cắt (C) tại 1 điểm

+ Nếu 2    m 2 m 4 thì y 2 m cắt (C) tại 1 điểm

+ Nếu 2   m 2 m 0 thì y 2 m cắt (C) tại 2 điểm

+ Nếu 2    m 2 m 4 thì y 2 m cắt (C) tại 2 điểm

+ Nếu 2      2 m 2 0 m 4 thì y 2 m cắt (C) tại 3 điểm

Kết luận:

+ Nếu m0 hoặc m4 phương trình (1) có 1 nghiệm

+ Nếu m0 hoặc m4 phương trình (1) có 2 nghiệm

+ Nếu 0 m 4 phương trình (1) có 3 nghiệm

Ví dụ 2: Cho hàm số 3

3

yx  x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Xác định m để phương trình sau có đúng 6 nghiệm phân biệt: x3 3x m

c) Xác định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: x33 x  m 0

b) Ta có x33x m

Số nghiệm của phương trình x33x m là số giao điểm của hai đồ thị:

33

Dựa vào đồ thị để phương trình x33 x  m 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường

thẳng y m cắt đồ thị y x33 x m tại 3 điểm phân biệt      m m 0

Vậy m  thì phương trình x33 x  m 0 có 3 nghiệm phân biệt

 Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đường thẳng

 Giao điểm của đồ thị hàm số 3 2

yax bx  cx d và đường thẳng ykx m

Phương pháp chung:

 Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm

 Bước 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích:  2 

 Bước 4: Dựa vào đề bài mà ta suy ra các điều kiện tương ứng

Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình 2

 Lập phương trình hoành độ giao điểm

 Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất của đồ thị hàm số để suy ra bài toán bậc 2

 Sử dụng Viet

Ví dụ: Cho hàm số 1

1

x y x

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 3x2 4 m

c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 1 3 2 4

3x x  3 m

d) Xác định m để phương trình sau có 1 nghiệm 1 3 2

3 x x m

e) Xác định m để  C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

f) Xác định m để  C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

2/Cho hàm số 1

1

x y x

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x42x2  m 0

c) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt x42x2  3 m

yx  x  Gọi (d) là đường thẳng qua A3, 20 có hệ số góc là m Tìm m

để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt

b) Xác định m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt





 (C) Xác định m để đường thẳng ymx m 1 cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị

7/Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C) và đường thẳng (d) y  2x m

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

b) Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 9/Cho hàm số yx4 2(2m1)x24m Xác định m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm x x x x 1, 2, ,3 4thỏa mãn x12x22 x32 x42 17

10/Cho hàm số 1

2

x y x





 Xác định k để đường thẳng ykx k 1 cắt (C) tại 2 điểm A, B

sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy

V Các bài toán liên quan đên hình học phẳng đơn giản:

 Dạng toán: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y f x( ) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương pháp chung:

 Gọi điểm cần tìm có tọa độ a f, (a)

 Dựa vào giả thuyết suy ra phương trình theo a Giải tìm a

 Các công thức liên quan:

 Khoảng cách giữa điểm M x y o, o và đường thẳng : ax by c  0 được tính bằng công thức:

 

2 2, ax o by c

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

1

x y x







2 2

2

21

1 3

1

m m

m m

21

1 12

2122

01

22

21

m m m

d M

m m m

m m

m m

Các bài toán trong các kì thi:

TNTHPT-2014: Cho hàm số 2 3

1

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viêt phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

TNTHPT-2012: Cho hàm số 1 4 2 2

4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x biết o f " x o  1

TNTHPT-2011: Cho hàm số 2 1

2 1

x y x







a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y x 2

B-2014: Cho hàm số y x3 3mx1 Cho điểm A 2,3 Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

D-2014: Cho hàm số yx33x2(C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại

M có hệ số góc bằng 9

A-2013: Cho hàm số y  x3 3x2 3mx1 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 0,

D-2013: Cho hàm số y2x3 3mx2 (m1)x1 Tìm m để đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt





 Tìm k để đường thẳng ykx2k1 cắt đồ thị hàm số tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

VIETMATHS.NET

 Bước 1: Tìm tập xác định D suy ra hàm số liên tục trên   a b, , a b,  , a b, , a b,

 Bước 2: Tìm đạo hàm y' f ' x cho y'  0 tìm các nghiệm x i

 Bước 3: Tính các giá trị f x     i , f a , f b hoặc lim  , lim  

Ta có : 2

' 3 12 9

1' 0

3

x y

x





Giải : Tập xác định D0,

x y

1) Tìm GTLN-GTNN của hàm số yx33x2 trên đoạn 1; 2

 Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Hai góc đối nhau

 Công thức lƣợng giác cơ bản:

cos( k2 ) cos sin(k2 ) sin

tan(k)tan cot(k)cot

cos 2 cos sin  2cos   1 1 2sin 

sin 2 2sincos tan 2 2 tan2

cos3 4cos 3cos

 Công thức biến tích thành tổng:

1cos cos cos( ) cos( )

2

1sin sin cos( ) cos( )

2

1sin cos sin( ) sin( )

2

 Công thức biến tổng thành tích:

cos cos 2 cos cos

 Nếu: a 1 phương trình vô nghiệm

 Nếu: a 1 phương trình có nghiệm

 Thay acos , asin rồi sử dụng công thức cơ bản

 tanxa cotxa

 Đặt điều kiện cho x

 Thay atan , acot rồi sử dụng công thức cơ bản

VIETMATHS.NET

Với t  2  tanx 2  tan   x  k

Vậy phương trình có nghiệm ,

4

VIETMATHS.NET

b Phương trình đối xứng theo sinx, cosx

 Phương trình chỉ chứa: sinxcosx và sin cosx x

 Đặt:

21sin cos sin cos

t t

 Các nhân tử chung cơ bản:

 Nhân tử: sinxcosx

2

1 cos 1 costan

2

1 sin 1 sincot

Giải tiếp ta được nghiệm 2 , 2

sin cos 03cos sin 4 0

1 sin cos 1 5 sin 1 0

1 sin 1 sin cos 1 5 sin 1 0

1 sin sin cos sin cos 5 0sin 1

sin cos sin cos 5 0

2 cos 1 2sin cos sin 2 cos 1

2 cos 1 sin cos 0

2 cos 1 0sin cos 0

C Các hướng đánh giá biến đổi một phương trình lượng giác:

Đối với việc giải một phương trình lượng giác thường sẽ có rất nhiều cách và các bài toán về lượng giác trong đề thi càng ngày càng đơn giản Chỉ cần nắm vững các biến đổi

cơ bản là được nhưng nếu ta đánh giá được sự đặc biệt của bài toán thì sẽ giải nó gọn gàng hơn Sau đây là một vài định hướng về giải Phương Trình Lượng Giác:

 Bài toán chứa mũ bậc chẵn theo sinx, cosx: Hạ bậc hoặc biến đổi

sin xcos x sin xcos x sin xsin xcos xcos x  1 3sin xcos x

 Bài toán chứa nhiều số hạng của x như: x, 2x, 3x, 4x, 5x, …

 Nếu cho dưới dạng tổng thì ta biến tổng thành tích để đặt nhân tử chung

 Nếu cho dưới dạng tích thì ta biến tích thành tổng để rút gọn

 Nhóm hạng tử sao cho các số hạng của x tỉ lệ

 Nếu chỉ chứa các số hạng x, 2x, 3x thì ta dùng công thức nhân đôi, nhân ba

 Bài toán chứa số hạng của x và ; ;

  rồi tách để xuất hiện sinxcosx

 Bài toán có chứa 3; 2 :

 Biến đổi thành 3 sin cos hay 3 cos sin đưa về phương trình cơ bản

 Nhóm thừa số chung tương ứng với giá trị chứa 3; 2 để đưa về phương trình tích

 Bài toán chứa số hạng tự do : Hướng biến đổi là làm triệt tiêu số hạng tự do, nếu

không triệt tiêu được thì ta nghĩ đến đặt ẩn phụ hoặc nhóm nhân tử chung

Thường thì số hạng tự do là 1: ta dùng các công thức sau để triệt tiêu 1

 2

1 sin 2 x sinxcosx

22cos x 1 cos 2x 2