Để đạt được điểm 7 môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ Logarit 5-Tích Phân Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz 8-Hình Học Khơng Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp Xác Suất Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Tài liệu đƣợc tinh giảm phần cần thiết, vừa đủ để em học nhanh nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 tới Chỉ cần nắm bắt đƣợc vấn đề tài liệu điểm 6,5-7 điều khơng khó khăn Chú ý tập tài liệu đề cập đến kiến thức xuất kì thi Quốc Gia 2015 mơn Tốn nên khơng có phần nâng cao Các em học sinh ôn thi vào trƣờng lớn hay trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần kiến thức tài liệu không đầy đủ Do tài liệu đƣợc biên soạn tác giả nên khơng tránh đƣợc thiếu xót Nếu có mong em thơng cảm Chúc em học tốt vƣợt qua kì thi năm cách dễ dàng Thân! Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A Lý thuyết: I Các bƣớc khảo sát hàm số:  Tập xác định  Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)  Đạo hàm  Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)  Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị II Tổng kết dạng đồ thị: Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d , a   Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn  Dạng đồ thị vào: Số nghiệm y '  dấu hệ số a  Có trường hợp:  TH1: y '  có nghiệm phân biệt  có cực trị a0 a0  TH2: y '  có nghiệm kép  khơng có cực trị a0 a0 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015  TH3: y '  vơ nghiệm  khơng có cực trị a0 a0 2 Hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c, a   Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy  Đồ thị có dạng vào : Số nghiệm y '  dấu hệ số a  TH1: y '  có nghiệm phân biệt  có cực trị a0 a0  TH2: y '  có nghiệm  có cực trị a0 a0 ax  b 2 ,a  c  cx  d Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Hàm phân thức: y  Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015  Đồ thị có tiệm cận đứng tiệm cận ngang  Đồ thị hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm hai đường tiệm cận  Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu y‟ TCN TCN TCĐ TCĐ - y '  0, x  D  hàm số đồng biến - y '  0, x  D  hàm số nghịch biến B Các dạng toán liên quan: I Đồng biên nghịch biến:  Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 Cho phương trình: y  ax  bx  c  a   b c  Hệ thức Vi-et: S  x1  x2   ; P  x1 x1  a a  Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  P     Để phương trình có hai nghiệm dấu   P      Để phương trình có hai nghiệm dương   P  S       Để phương trình có hai nghiệm âm   P  S    So sánh nghiệm x1 , x2 phương trình với số ,  cho trước: Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thõa mãn:    x1    x2   a f ()    x1    x2   a f ()       x1  x2    a f ()  S   2       x1  x2  a f ()  S   2   a f ()     x    x  a f ()    S      a f ()   x1    x2    a f ()   S      a f ()     x1  x2    a f ()      S       x1      x2  a f ()  a f ()   Chú ý: Nếu đề có dấu “=” ta thêm dấu ”=” tương ứng điều kiện  Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến TXD hay khoảng sau đây:  a, b  ,  a, b ,  a,   ,  a,   ,  , b  ,  , b  Phƣơng pháp chung:  Dựa vào tính chất đồ thị hàm số suy luận  Quy toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước số a, b khoảng Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  mx   3m   x Xác định m để hàm số đồng biến R Giải: Do a   nên để hàm số đồng biến R đồ thị hàm số khơng có cực trị Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015  y '  có nghiệm kép vơ nghiệm Ta có y '  x  2mx  3m  ' Để hàm số đồng biến R   y '  m  3m     m  Vậy  m  Ví dụ 2: Cho hàm số y   m  1 x3  mx   3m   x Xác định m để hàm số nghịch biến R Giải: Để hàm số nghịch biến R a  y '  có nghiệm kép vơ nghiệm Ta có: y '   m  1 x  2mx  3m  Để hàm số nghịch biến R m  a  m  m     '     y '  m   m  1 3m    2m  5m   m   m   m Vậy m  Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  3x  6(m  1) x Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng  2,  Giải: Ta có: y '  x  x  6(m  1) Từ tính chất đồ thị, a  để hàm số có khoảng nghịch biến đồ thị hàm số phải có cực đại cực tiểu Gọi điểm cực trị x1 , x2 Khi hàm số nghịch biến khoảng  x1 , x2  Vậy để hàm số nghịch biến  2,  x1  2   x2   4m      a f (2)   6(m  3)   m  3 a f (0)  6(m 1)    Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  6mx Xác định m để hàm số đồng biến khoảng  2,   Giải: Ta có: y '  x  x  6m Từ tính chất đồ thị, a  để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số khơng có cực trị      36m   m  suy hàm số đồng 36 biến R nên hàm số đồng biến khoảng  2,   + TH2: Hàm số có cực trị    Gọi điểm cực trị x1 , x2 hàm số đồng biến khoảng  , x1  ,  x2 ,   Để hàm số đồng biến  2,   x1  x2    m     36   14  a f (2)   6  28  6m      m  36 S   2   2  Vậy m   14 hàm số đồng biến khoảng  2,   Ví dụ 5: Cho hàm số y  xm x  4m a) Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b) Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến 1,   Giải: Ta có TXD: D   ; 4m    4m;   y '  3m  x  4m  a) Để hàm số nghịch biến khoảng xác định y '  với x  D Có nghĩa y '  3m  x  4m  0m0 Vậy m  hàm số nghịch biến khoảng xác định Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 b) Ta có m  hàm số nghịch biến khoảng xác định là:  m   4 m,   Để hàm số nghịch biến 1,   1,     4m,   Có nghĩa 4m   m   Kết hợp với điều kiện để nghịch biến    m  Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số y  x  3x  mx  a) Xác định m để hàm số đồng biến R b) Xác định m để hàm số nghịch biến R c) Xác định m để hàm số đồng biến khoảng     2/Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định b) Xác định m để hàm số nghịch biến tập xác định c) Xác định m để hàm số đồng biến khoảng  2,   3/Cho hàm số y  mx  xm a) Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định b) Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng xác định c) Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng   4/Cho hàm số y  x 1 Xác định m để: xm a) Hàm số nghịch biến khoảng xác định b) Hàm số đồng biến khoảng  0,   5/Cho hàm số y  x  2mx  3m  Xác định m để a) Hàm số đồng biến  0,   b) Hàm số đồng biến  2,   Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 c) Xác định giá trị m để hàm số đồng biến 1,  2 6/Cho hàm số y   x  2mx  m Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến khoảng 1,   b) Hàm số nghịch biến khoảng  1,  7/Cho hàm số y  x  3mx  3x  3m  Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài 1 8/Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến  2,   2 9/Cho hàm số y  x  3(2m 1) x  (12m  5) x  Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời khoảng     2,   10/Cho hàm số y  x  3x  (m  1) x  4m Xác định m để hàm số nghịch biến  1,1 11/Cho hàm số y  mx  2(m  1) x  (m  1) x  m Xác định m để: a/Hàm số đồng biến  , 0 b/Hàm số nghịch biến  2,   c/Hàm số đồng biến khoảng  , 1   2;   Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 10 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Chọn số cho a3 : Có cách chọn (do phải khác hai số chọn) Theo quy tắc nhân ta có 9.9.8  648 số tự nhiên thỏa mãn c) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Số chia hết cho số chẵn nên a3 số : 0, 2, 4, 6, Do a1 phải khác nên ta chia hai trường hợp TH1 : Chọn a3  : Chọn số cho a1 : Có cách chọn Chọn số cho a2 : Có cách chọn (do phải khác số hạng đầu 0) Theo quy tắc nhân ta có 1.9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn TH2: Chọn a3 số 2,4,6,8 : có cách chọn Chọn số cho a1 : Có cách chọn (do phải khác a3 khác 0) Chọn số cho a2 : Có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.8.8  256 số tự nhiên thỏa mãn Vậy ta có 72  256  328 số tự nhiên thỏa mãn d) Số chia hết cho có số hàng đơn vị Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Do a1 phải khác nên ta chia hai trường hợp TH1 : Chọn a3  : Chọn số cho a1 : Có cách chọn Chọn số cho a2 : Có cách chọn (do phải khác số hạng đầu 0) Theo quy tắc nhân ta có 9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn TH2: Chọn a3  Chọn số cho a1 : Có cách chọn (do phải khác a3 khác 0) Chọn số cho a2 : Có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 8.8  64 số tự nhiên thỏa mãn Vậy ta có 72  64  136 số tự nhiên thỏa mãn Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 135 Lớp Tốn 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ví dụ 2: Từ số 1, 2, 3, 4, Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác đôi chia hết cho Giải: Số chia hết cho số có tổng chia hết cho Nên ta chọn số có số khác từ số 1, 2,3, 4,5 mà có tổng chia hết cho Bao gồm bộ: (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) Một lần hoán vị số cho ta số cần tìm Mỗi số cho ta 3! số Vậy ta có 3.3! số tự nhiên thỏa mãn Ví dụ 3: Từ số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số tự nhiên có: a) Có chữ số khác đơi b) Có chữ số khác khác số số xuất lần c) Có chữ số khác số xuất lần Giải: a) Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 với 0,1, 2, , 6 Các em tự chọn tiếp kết 6.6.5.4.3.2.1  4320 số tự nhiên thỏa mãn Cách 2: Ta thấy từ 0-6 có số mà ta lập số có chữ số nên số số cần tìm số hốn vị 7, ta có 7! số tự nhiên Nhưng số có số nên xuất số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 không thỏa mãn nên ta cần tìm số số trừ Ta có số số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 lập từ 0-6 có : 6! số Vậy theo phần bù số số thỏa mãn 7! 6!  4320 số tự nhiên b) Số có chữ số khác khác số số xuất lần có nghĩa số có số 1, số số 2,4,5,6 xuất lần Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 Do số số xuất lần không xét đến thứ tự nên ta coi xếp số vào vị trí cho trước : Chọn vị trí cho số : C8 cách Chọn vị trí cho số : C6 cách Các vị trí lại số xuất lần nên ta cần xếp tùy ý nên có 4! cách 2 Vậy ta có C8 C6 4! số tự nhiên thỏa mãn Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 136 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Bài tập vận dụng: 1) Có số tự nhiên: a) Là số chẵn có chữ số b) Là số lẻ có chữ số c) Là số lẻ có chữ số đơi khác d) Là số có chữ số đôi khác chia hết cho 2) Cho số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi lập số tự nhiên từ cac số trên: a) Có chữ số số chẵn b) Có chữ số số lẻ c) Có chữ số chia hết cho d) Có chữ số chia hết cho 3) Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hỏi có số tự nhiên lập từ số và: a) Là số chẵn có chữ số khác b) Là số chẵn có chữ số khác không bắt đầu 12 c) Là số có chữ số khác ln ln chứa số d) Là số có chữ số cho số xuất lần số lại khác 4) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên: a) Có chữ số phân biệt mà chữ số đứng liền b) Có số phân biệt mà chữ số không đứng liền c) Có chữ số số số xuất lần số lại xuất lần 5) Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà có mặt số số 6) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt tối đa lần 7) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác đôi chia hết cho 8) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000 9) Từ chữ số đến lập số tự nhiên có chữ số Có số tự nhiên: a) Có chữ số đứng b) Có chữ số đứng đơi khác c) Có chữ số chẵn chữ số lẽ xen kẽ Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 137 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 10 ) Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên: a) Có chữ số khác bé 345 b) Có chữ số bé 345 11 ) Tìm tất số tự nhiên có chữ số đó: a) Chữ số đứng sau bé chữ số đứng liền trước b) Chữ số đứng trước bé chữ số đứng liền sau 12 ) Phương trình x  y  z  2014 có nghiệm (x ;y ;z) nguyên dương ? 13 ) Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập số có chữ số : a) Các chữ số khác đôi b) Các chữ số khác đơi ln có chữ số c) Các chữ số khác đơi ln có chữ số 6, hai số 1, phải đứng cạnh 14 ) Từ số 1, 2, 3, 4, Có thể lập số có chữ số khác đơi một, tính tổng tất số 15 ) Từ số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập số có chữ số khác đơi một, tính tổng tất số Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 138 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Bài toán: Rút ra-Phân chia  Chia nhóm n đối tƣợng thành k nhóm nhỏ  Do kết nhóm đối tượng nên khơng có thứ tự: ta dùng tổ hợp  Chia làm nhiều giai đoạn phân chia: giai đoạn chọn đối tượng cho nhóm  Rút từ n đối tƣợng k đối tƣợng có tính chất khác nhau:  Tùy vào yêu cầu đề mà ta phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp  Nếu n đối tượng có nhiều nhóm đối tượng (a ,b ,c …) khác loại chọn đối tượng cho nhóm đối tượng ta dùng qui tắc nhân  Nhừng tốn có dạng: Số đối tượng cần chọn thuộc khơng q i nhóm, thuộc nhóm a khơng q m đối tượng … ta dùng phần bù để làm Ví dụ 1: Một tổ 12 thành viên gồm nam nữ Có cách chia 12 thành viên thành nhóm nhỏ: a) Mỗi nhóm người b) Mỗi nhóm người có nam nữ Giải: a) Chia 12 thành viên thành nhóm cách chọn không phân biệt thứ tự: Chọn thành viên cho nhóm có: C12 cách Chọn thành viên cho nhóm có: C9 cách Chọn thành viên cho nhóm có: C6 cách Nhóm cuối thành viên lại 3 Vậy theo quy tắc nhân ta có C12C9 C6 cách chia b) Chọn thành viên cho nhóm có: C8 cách chọn bạn nam C4 cách chọn bạn nữ nên ta có C8 C4 cách chọn thành viên cho nhóm Chọn thành viên cho nhóm có: C6 cách chọn bạn nam C3 cách chọn bạn nữ nên ta có C6 C3 cách chọn thành viên cho nhóm 2 Chọn thành viên cho nhóm có: C4 cách chọn bạn nam C2 cách chọn bạn nữ nên ta có C4 C2 cách chọn thành viên cho nhóm 2 Nhóm cuối gồm thành viên lại Vậy ta có C8 C4 C6 C3 C4 C2 cách chia Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 139 Lớp Tốn 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ví dụ 2: Anh Dương có tờ 50000đ, tờ 20000đ tờ 10000đ tờ tiền mệnh giá khác Đang dịp Tết nên anh Dương định lì xì cho em học sinh học sinh tờ Hỏi có cách lì xì để sau lì xì xong anh Dương lại đầy đủ mệnh giá Giải: Để sau lì xì xong anh Dương lại đầy đủ mệnh giá mệnh giá tiền lại tờ Do anh Dương lì xì cho học sinh nên khơng có trường hợp mệnh giá lì xì hết Ta dùng phần bù sau: Chọn cách để anh Dương lì xì hết mệnh giá lấy phần bù số cách lì xì mà lại đầy đủ mệnh giá TH1: Lì xì hết tờ 50000đ: Chọn tờ 50000đ: có cách Chọn mệnh giá lại có: C10 cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có C10 6! cách TH2: Lì xì hết tờ 20000đ: Chọn tờ 20000đ: có cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có 6! cách TH3: Lì xì hết tờ 10000đ: Chọn tờ 10000đ có: cách Chọn mệnh giá lại có: C11 cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có C11 6! cách Suy có C10 6! 6! C11 6!  66.6! cách lì xì để hết mệnh giá Số cách lì xì tùy ý A15 cách Vậy số cách để anh Dương lì xì mà lại đầy đủ mệnh giá là: A15  66.6! cách Cách 2: Các em xem toán đếm đếm, xảy nhiều trường hợp dài Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 140 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Bài tập vận dụng: 1) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ hỏi có cách phân cơng đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ Đáp số: C124 C31C84C21 2) Các thành viên đoàn trường gồm 12 thành viên, gồm thành viên lớp A, thành viên lớp B, thành viên lớp C Cần chọn thành viên làm nhiệm vụ, Có cách chọn để: a) Bốn thành viên phải có đủ học sinh lớp b) Bốn thành viên thuộc không lớp Đáp số: 1 1 a) C5 C4C3  C5C4 C3  C5C4C3 b) 225 3) Một hộp đựng 18 viên bi khác nhau, có viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Hỏi có cách chọn từ hộp viên bi cho: a) Bốn viên bi có đủ màu b) Ln có bi màu trắng c) Bốn bi lấy khơng có đủ màu Đáp số: a) 1440 b) 1320 c) 1620 4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dể Hỏi thầy giáo lập đề kiểm tra từ 30 câu hỏi biết đề kiểm tra có câu hỏi khác , cho đề phải có đủ loại câu số câu hỏi dể khơng Đáp số: 56875 5) Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lí nam Có cách lập đồn cơng tác người mà có nam có nữ có Tốn Lí Đáp số: 90 6) Một thầy giáo có 12 sách khác gồm sách Văn, sách Tốn sách Lí Thầy lấy sách tặng cho học sinh Có cách tặng mà sau tặng xong loại sách Đáp số: 579600 7) Có đội bóng tham gia giải đấu có đội bóng Việt Nam, đội chia thành ba bảng bảng đội bóng Hỏi có cách chia bảng cho ba đội Việt Nam thuộc ba bảng khác Đáp số: Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 3!C62C42 141 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 B NHỊ THỨC NEWTƠN I Các đại lƣợng tổ hợp: Lý thuyết:  Pn  n!  1.2.3 (n  1).n Qui ước : 0!   Ank  n!  n  k ! Cnk  Cnnk Công thức : Cnk  n! k ! n  k ! Cnk  Cnk 1  Cnk11 Ank  Cnk Pk Bài tập : 1/Giải phương trình, bất phương trình sau : a/ Cx  Cx  Cx  x k k 2 k 1 c/ C14  C14  2C14 e/ A2 x  Ax2  Cx3  10 x  2 b/ Px Ax  72  Ax  2Px  d/ Cx  6Cx  6Cx  x  14 x f/ Ax  Ax  21x  Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 142 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 II Nhị thức Newton : Lý thuyết :  Nhị thức Newton :  a  b n  Cn0 an  Cn1 an1.b  Cn2 an b2   Cnn1a.bn1  Cnn bn  Có n  số hạng k nk k  Số hạng tổng quát : Cn a b  Số hạng thứ k : Cnk 1a nk 1.bk 1  Số hạng đầu ứng với k   Các dạng thƣờng gặp :   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1.b  Cn2 a n2 b2    1 Cnnbn n k nk k Số hạng tổng quát :  1 Cn a b k  1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn1 x n1  Cnn x n k k Số hạng tổng quát : Cn x  1  x  n k k Hệ số x : Cn  Cn0  Cn1 x  Cn2 x    1 k k Số hạng tổng quát :  1 Cn x k n 1 Cnn1 x n1   1 Cnn x n n k k Hệ số x :  1 Cn k Các dạng toán thƣờng gặp : k a Dạng tốn : Tìm số hạng thứ k hay hệ số x khai triển P(x)  Bƣớc : Viết số hạng tổng quát của khai triển P(x)  Bƣớc : - Nếu đề yêu cầu tìm số hạng thứ k ta lấy số hạng tương ứng với (k-1) k - Nếu đề yêu cầu tìm hệ số x ta tìm k tương ứng suy hệ số  Đặc biệt : k  Nếu P(x) cho dạng tổng nhiều khai triển hệ số x P(x) k tổng hệ số x khai triển nhỏ  Nếu P(x) cho dạng tích nhiều khai triển (thường 2) ta phải chia nhiều trường hợp để tìm số hạng Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 143 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Bài tập vận dụng : 1) Viết ba số hạng khai triển :   2x  2) Tìm hệ số x khai triển biểu thức : b/ Q( x)   3x   a/ P( x)    3x  10 3) Tìm hệ số x khai triển biểu thức : a/ A( x)  1  x   1  x   1  x  b/ B( x)  1  x   1  x   1  x  10 11 c/ C ( x)  1  x 1  x  10 11 12 d/ D( x)   x  3 1  x   4) Tìm số hạng đứng khai triển x  xy  30  1 1002 5) Tìm hệ số x khai triển  x   2001 x   6) Tìm số hạng không chứa x khai triển : 18  3 b/  x   ; x  x   2 a/  x   x   n   n n 1 x   Cnn2  79 c/   Biết : Cn  Cn x   18 1  n 1 n 7) Tìm số hạng chứa x khai triển   x  Biết Cn4  Cn3  7(n  3) x  8) Tìm hệ số x khai triển thành đa thức 1  x (1  x)  9) Tìm hệ số lớn khai triển 1  2x  12 28  y 10 ) Tìm số hạng khai triển  x   có số mũ x gấp bốn lần số mũ y x  n 11 ) Biết hệ số x n2 1  khai triển  x   31 Tìm n 4  n 3 12 ) Với n nguyên dương, a3n 3 hệ số x khai triển thành đa thức biểu    x  2 Tìm n để a thức : x  n n n 3  26n Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 144 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 III Xác suất : Lý thuyết :  Không gian mẫu : Tất khả xảy phép thử Kí hiệu   Biến cố : Một biến cố A liên quan đến phép thử T mô tả tập  A khơng gian mẫu Biến cố A xảy kết T thuộc tập  A Mỗi phần tử  A gọi kết thuận lợi A  Xác suất biến cố : Giả sử phép thử T có không gian mẫu  kết T đồng khả Nếu A biến cố  A tập hợp mô tả A xác suất A tính cơng thức : P( A)  A  Với  A : tất biến cố thuận lợi A ;  : độ lớn khơng gian mẫu Tính chất :  P( A)  với biến cố A  Biến cố xung khắc : Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy  A  B    Biến cố đối : Là biến cố không A hay A khơng xảy Kí hiệu : A Ta có : P(A)   P(A)  Biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy A không ảnh hưởng đến xác suất xảy B ngược lại  Biến cố hợp : Biến cố hợp hai biến cố A B biến cố xảy A xảy B Kí hiệu : A  B  Biến cố giao : Biến cố giao hai biến cố A B biến cố xảy đồng thời A B Kí hiệu : AB Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 145 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015  Các qui tắc xác suất :  Nếu hai biến cố A B xung khắc : P( A  B)  P( A)  P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi xung khắc A1 , A2 , , An P( A1  A2   An )  P( A1 )  P( A2 )   P( An )  Nếu hai biến cố A B độc lập : P( AB)  P( A).P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi độc lập A1 , A2 , , An P( A1 A2 An )  P( A1 ).P( A2 ) P( An ) Phƣơng Pháp Giải Toán :  Bài toán :  Bƣớc : Tính độ lớn khơng gian mẫu :   Bƣớc : Gọi biến cố cần tìm xác xuất Tính kết thuận lợi A :  A  Bƣớc : Dùng cơng thức tính xác suất  Các bước tìm độ lớn KGM kết thuận lợi A ta làm phần toán đếm  Dùng qui tắc xác suất :  Bƣớc : Tính độ lớn khơng gian mẫu :   Bƣớc : Gọi biến cố Ai liên quan Tính P( Ai ) , P( Ai )  Bƣớc : Dựa vào câu hỏi đề gọi biến cố cần tìm Quy biến cố cần tìm trở thành biến cố hợp biến cố giao biến cố Ai  Bƣớc : Dùng qui tắc xác suất để tính Bài toán xác suất thực tế toán tổ hợp  Xác định không gian mẫu  Định hình đƣợc đề câu hỏi tìm khả xảy biến cố  Xác định chỉnh hợp tổ hợp để tránh trƣờng hợp sai đáng tiếc  Xử dụng phần bù tránh đƣợc lỗi lặp  Đề thi cho mức độ Trung Bình-Khá nhƣng phải hiểu làm đƣợc Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 146 Lớp Tốn 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ví dụ : Có 10 học sinh xếp vào dãy ghế 10 chổ ngồi có hai bạn A B Tính xác suất để A B ngồi gần Giải : Không gian mẫu số cách xếp 10 người vào 10 vị trí   10! Goi A biến cố : „„ Hai bạn A B ngồi gần ‟‟ Số kết thuận lợi A :  A  2!9! Xác suất để A B ngồi gần P  A  A   2!9!  10! Ví dụ : Bạn A đưa người yêu mắt gia đình Cả nhà người ăn nhà hàng xếp vào ngồi bàn tròn Cả nhà ngồi vào bàn cách ngẫu nhiên tính xác suất để A người u khơng ngồi gần Giải : Ta có không gian mẫu số cách xếp người vào bàn tròn   7! Gọi A biến cố : „„ A người yêu không ngồi gần nhau‟‟ Suy A biến cố : „„ A người yêu ngồi gần nhau‟‟ Số kết thuận lợi A  A  2!6!   Ta có xác suất để A người yêu ngồi gần P A  A   2!6!  7!   Vậy xác suất để A người yêu không ngồi gần : P  A   P A    7 Ví dụ : Một thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi khác nhau, câu hỏi có đáp án để học sinh lựa chọn Một học sinh cá biệt khoanh đáp án cách ngẫu nhiên, tính xác suất để học sinh đạt điểm ( Mỗi câu điểm) Giải : Gọi Ai biến cố : „„ Học sinh khoanh đáp án câu thứ i‟‟ với i  1, ,10 Suy Ai biến cố : „„ Học sinh khoanh sai đáp án câu thứ i‟‟ Ta có : P  Ai      P Ai   P  Ai   4 Gọi B biến cố : „„ Học sinh đạt điểm‟‟ Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 147 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Để đạt điểm học sinh phải đánh đáp án câu sai câu Ta có : C10 cách    Theo quy tắc xác suất : P  B   C10  P  Ai   P Ai 5  0.0583992 Bài tập: 1) Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc nhỏ b) Ít có xúc xắc xuất mặt chấm c) Có xúc xắc xuất mặt chấm Đáp số: a) 7/12 b) 11/36 c) 5/18 2) Một bình đựng bi xanh khác nhau, bi đỏ khác Lấy ngẫu nhiên bi, tính xác suất để: a) Ba bi chọn ba bi xanh Đáp số : 14/55 b) Ba bi chọn ba bi đỏ Đáp số : 1/55 3) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chon viên bi từ hộp Tính xác suất để số bi lấy khơng có đủ ba màu Đáp số : 48/91 4) Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Chi tổ thành nhóm người Tính xác suất để chia ngẫu nhiên nhóm có nữ Đáp số : 16/55 5) Gieo ba xúc xắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất ba xúc xắc Đáp số : 25/216 6) Một bình đựng bi xanh bi đỏ Chọn bi, tính xác suất để : a) Hai bi chọn màu Đáp số : 5/11 b) Hai bi chọn khác màu Đáp số : 6/11 7) Một xe máy có hai động cơ, hai động hoạt động độc lập với Xác suất để động chạy tốt 0,8 Xác suất để động chạy tốt 0,7 Tính xác suất để : a) Cả hai động chạy tốt Đáp số : 14/25 b) Có động chạy tốt Đáp số : 19/50 c) Có động chạy tốt Đáp số : 47/50 8) Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu 0,7 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Đáp số : Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 47/50 148 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 10 ) Có hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tìm xác suất để bi đỏ Đáp số : 29/50 11 ) Xác suất bắn trúng hồm tâm cung thủ 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập : a) Người bắn trúng hồng tâm lần Đáp số : 48/125 b) Người bắn trúng hồng tâm lần Đáp số : 61/125 12 ) Có hộp bi, hộp có bi đỏ bi trắng Các viên bi khác màu Chia cho người hộp bi lấy ngẫu nhiên viên từ hộp Tìm xác suất để số bi đỏ lấy Đáp số : 33/75 13 ) Một gia đình người vào tiệm ăn đường Hùng Vương Thực đơn tiệm có ăn, thành viên chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để bốn người gọi bốn khác Đáp số : 105/256 14 ) Một tổ gồm 12 học sinh có bạn nam bạn nữ Tổ chia thành nhóm nhỏ, nhóm học sinh gồm nam nữ A bạn nam, B bạn nữ tổ Tính xác suất để A B chia nhóm Đáp số : 1/16 15 ) An Linh bạn khác chia làm nhóm nhóm bạn để chơi rượt bắt Hỏi xác suất để An Linh chung nhóm ? Đáp số : 3/7 16 ) Cuộc thi bóng đá VFF tổ chức có đội bóng tham gia, có đội bóng Việt Nam đội bóng từ nước khác Các đội bóng tham gia chia làm bảng bảng đội Bang tổ chức cho đội bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để đội bóng Việt Nam nằm bảng khác Đáp số : 9/28 17 ) Trong thi „„Rung chuông vàng‟‟ thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi Bang tổ chức chia bạn thành nhóm A, B, C, D nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Đáp số : 1/15504 18 ) Hai thí sinh A B tham gia buổi thí vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi ; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống Đáp số : Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 1/120 149 ...Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Tài liệu đƣợc tinh giảm phần cần thi t, vừa đủ để em học nhanh nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 tới Chỉ cần... 0932589246 19 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 IV Giao điểm hai đồ thị:  Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) y  g ( x) Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x)... cắt đồ thị y  x  x  m điểm phân biệt  m    m  Vậy m   phương trình x  x  m  có nghiệm phân biệt  Bài toán 2: Bài toán giao điểm đồ thị đƣờng thẳng  Giao điểm đồ thị hàm số y  ax