Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀILuật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định, không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này. Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn.Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải. Vì vậy , trong dạy học toán GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để dễ dàng áp dụng khi cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một số bài toán mới. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan” II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1. Cơ sở lý luận của đề tài.1.1. Đổi mới phương pháp giáo dục.Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy được. Về cách dạy, phư¬ơng pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó nh¬ư là động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng thú của một ngư¬ời tự mình tìm ra chân lí. Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt. Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi d¬ưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định h¬ướng hoạt động hóa người học, học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình ch¬ưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã đ¬ược sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm đ¬ược kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm đ¬ược ph¬ương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, đ¬ược bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3). 1.2 Mục tiêu của dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng boán gốc .Từ cơ sở lí luận và kết quả khảo sát chúng ta có thể rút khẳng định để nâng cao chất lượng giáo dục trong giai đoạn hiện nay người giáo viên cần có sự kết hợp linh hoạt giữa phương pháp dạy học truyền thống và các phương pháp dạy học tích cực như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, dạy học khám phá,..... Dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng người GV cần bồi dưỡng một số năng lực dạy học như: Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên cơ sở quy luật biện chứng, khả năng liên tưởng, chuyển hóa liên tưởng. Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề tìm tòi lời giải bài toán. Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học bao gồm: + Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề. + Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ. + Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi vấn đề biến đổi bài toán về dạng tương tự. Năng lực tự lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề đặt ra. Năng lực tự đánh giá phê phán..v.v...Vì vậy giáo viên cần nắm chắc các phương pháp dạy học tích cực, hiểu rõ các ưu, nhược điểm các phương pháp đó. Trước khi lên lớp giáo viên phải nghiên cứu kỹ nội dung bài dạy, lựa chọn phương pháp dạy phù hợp cho nội dung mỗi bài, mỗi phần, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm tổ chức hiệu quả các hoạt động để học sinh tự tìm tòi kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình1.3. Bài toán gốc.1.3.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định nghĩa sau:G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định: Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán). Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán). Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng: Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể. Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình. Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học., Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.1.3.2 Bài toán gốc.Theo quan điểm của luận văn bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau: Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.1.3.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán.1.3.4 Vai trò của bài toán gốc. Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác. Vì vậy, trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan trọng như: Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới. Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng. Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn. Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới. Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc.2. Thực trạng của đề tài.Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới. Đối với HS+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay tìm tòi, PH kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải. + Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết.+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập.Đối với GV Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu dạy học giải bài tập toán lớp 10 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó+ Hầu hết giáo viên đang nặng về thuyết trình, chưa phát huy được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS trong dạy học. Việc mở rộng khai thác các bài toán cơ bản trong SGK ít có thời gian và điều kiện để thực hiện. Chưa chú ý đến việc xây dựng các bài toán gốc để tạo ra cơ sở cho HS vươn tới giải các bài toán nâng cao, bài toán khó+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ giảng dạy bằng cách chữa các bài tập, một cách thuần tuý, chưa làm nổi bật được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó. Khi dạy xong một chương GV thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải rác trong chương. Hay khi giải các bài tập một số GV không khuyến khích HS tìm nhiều lời giải khác nhau cho nhiều bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Chẳng hạn khi học xong chương vectơ GV chưa tổng kết lại cho HS có thêm những phương pháp nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, phương pháp chứng minh một vectơ bằng vectơ không...+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằng lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hoặc đặc biệt hoá bài toán để tìm ra các bài toán mới. Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy nên một số GV ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học sinh. Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cần thiết.3. Các biện pháp tổ chức thực hiện3.1. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng nào đó. Khái niệm đóng vai trò quan trọng trong tư duy khoa học. Khái niệm là những vật liệu tạo thành ý thức tư tưởng là phương tiện để con người tích luỹ thông tin, suy nghĩ và trao đổi tri thức với nhauMột khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố như sau: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm, đặc biệt là hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá. Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần. Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em. Quy trình của việc khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình sau: Khi dạy học sinh khái niệm về vectơ không sau khi học xong khái niệm này GV cần hướng dẫn HS khắc sâu khái niệm bằng việc vận dụng giải bài toán cơ bản sau và tiến hành khai thác nó.“Vectơkhông là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau” ( , … là các vectơkhông). Từ điều này cho ta xác định các dạng toán liên quan đến vectơ – không, ở đây vì khuôn khổ luận văn nên chúng tôi xin trình bày dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ. Phương pháp chứng minh một vectơ là vectơ không ta chứng minh điểm đầu trùng điểm cuối. Ta sẽ áp dụng điều này để chứng minh bài toán sau:Ví dụ 1: (Đây là bài toán gốc cho dạng toán này): Cho ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng: (Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)Phân tích: Đứng trước bài toán này GV cần đặt các câu hỏi đối với học sinh:+ Điểm G có tính chất gì? + Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em có được điều gì? + Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành? Từ đó ta có được:Lời giải: Ta có: = ( (với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC)mà Suy ra Vậy . HS thường có thói quen giải xong bài toán là hoàn thành nhiệm vụ (kể cả HS khá giỏi) mà ít quan tâm đến kết quả của bài toán, GV cần hướng dẫn HS khai thác bài toán trên theo các hướng sau:+ Nếu cho C ≡ B thì các em có được điều gì? Hãy phát biểu bài toán đó?+ Ta mong đợi HS trả lờiBài toán 3.1.1: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. CMR .Bây giờ ta tiếp tục đặt vấn đề, giả thiết của bài toán 2.1.2.1 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả mãn MA = MB. Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?Bài toán 3.1.2: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho MA=kMB(k là số thực). CMR .(Với bài toán trên k = 1)Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta gọi I là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( ) Từ đó sử dụng kết quả của ví dụ ta có được bài toán mới.Bài toán 3.1.3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Chứng minh rằng .Tổng quát bài toán 2.1.2.3 ta cóBài toán 3.1.4: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc đoạn AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM . CMR : .Bây giờ ta tiếp tục khai thác ví dụ theo hướng tìm điểm chia các cạnh AB, BC theo một tỷ số khác để có bài toán mới.Bài toán 3.1.5: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc AB, N là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB .Gọi G là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng .Xem đoạn thẳng AB ở bài toán 3.1.1 là trường hợp riêng của đa giác đều ta cóBài toán 3.1.6: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O. Chứng minh rằng .Như vậy từ khái niệm vectơ không ta có thể khai thác thành các bài toán mới ở mức độ khó khăn nâng cao dần. Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật là đáng tiệc, chúng ta đã bỏ phí đi một mảnh đất “màu mỡ” mà cần phải khai thác. Các bài toán tương tự có được từ bài toán trên.Tóm lại nếu sau khi dạy học sinh về khái niệm nếu GV không đưa ra các dạng toán, các bài tập để khắc sâu khái niệm thì sẽ như gió thoảng qua. Rõ ràng với việc khai thác bài toán gốc như đã trình bày HS sẽ khắc sâu khái niệm, sẽ nắm chắc khái niệm từ đó nắm được sự kết nối giữa khái niệm và chuổi bài tập toán liên quan tạo niềm tin và hứng thú trong học tập.3.2. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh. Việc thể hiện định lý được rèn luyện thông qua việc giải các bài toán của chuỗi. Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố định lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn giản hơn. Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú của các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát huy khả năng sáng tạo của các em.Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các đối tượng và định lí khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.Trong quá trình dạy học định lí giáo viên phải tổ chức được các hoạt động nhận thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lí và khai thác định lí dưới nhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn. Khi đó các em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứng dụng định lí trong Toán học. Nhờ đó các em khắc sâu định lí. Trong luận văn này chúng tôi xin được trình bày một vài định lí quen thuộc ở SGK và việc xây dựng chuỗi bài toán nhằm khắc sâu nó. Ta xét các định lí sau: Ví dụ 2: Định lí cosin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ta đều có: a2 = b2 + c2 2bc cosA; b2 = a2 + c2 2ac cosB; c2 = a2 + b2 2ab cosC Từ định lí trên ta suy ra (hệ quả 1): cosB = ; cosC = ; cosA = Ta có các nhận xét sau:Nếu biết ba cạnh của tam giác thì có thể tính được 3 góc của nó.Tính cạnh nếu biết hai cạnh và góc xen giữa.Chứng minh các hệ thức, bất đẳng thức lượng giác.Nhận dạng tam giác: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù thông qua các cạnh của tam giác. Cụ thể: A nhọn  b2 + c2 > a2 ; A tù  b2+ c2 < a2; A vuông  b2 + c2 = a2(hệ quả 2) ABC có 3 góc nhọn (I)  ABC có góc tù (II)  ABC vuông (III) Viết công thức a2 = b2 + c2 2bc. cosA dưới dạng a2 = b2 + c2 2bcsinA. cot A a2 = b2 + c2 4S. cotA suy ra cot A = . tương tự ta cũng có cotB = , cotC = (Hệ quả 3)Như vậy từ định lí cosin ta suy ra được định lí “cosin suy rộng” còn được gọi là định lí cot. Định lí này có hiệu lực trong việc giải nhiều bài toán và nó cho ta lập mối liên hệ giữa cot của các góc với các cạnh và diện tích của tam giác. Mặt khác cũng từ định lí ta có thể biến đổi theo các cách khác như sau :a2 = b2 + c2 2bc cosA = (b + c)2 4bc.cos2A2a2 = b2 + c2 2bc cos A = (b c)2 + 4bc.sin2A2a2 = b2 + c2 4S cot Aa2 = (bsinC + c sinB)2 + (b cosC ccosB)2b2 + c2 a2 = 2bc cosATa có thể xem các hệ quả có được từ đinh lí cosin là những bài toán gốc bây giờ ta vận dụng nó vào để giải một vài dạng toán.Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới các đại lượng giữa góc và cạnh trong tam giácBài toán 3.2.1: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB Đẳng thức này được chứng minh dễ dàng nhờ thay trực tiếp cosB và cosC vào vế phải.Tương tự như ở bài toán 2.1.3.1 ta cũng có: b = a.cosC + c.cosA (2) c = b.cosA + a.cosB (3)cộng các đẳng thức trên và biến đổi ta có được các bài toán mớiBài toán 3.2.2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:a a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.b b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c a(cosB + cosC) Bài toán 3.2.3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c b)(b + c a) (a+b).c. abc(cosA + cosB + cosC) a2(p a) = b2(p b) + c2(p c).d. bc(b2 c2)cosA + ac(c2 a2)cosB + ab(a2 b2)cosC = 0.Dạng 2: Nhận dạng tam giácBây giờ vận dụng kết quả (I) ta đi tìm lời giải cho bài toán nâng cao sau:Bài toán 3.2.4: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.Làm thế nào để chứng minh tam giác ABC nhọn?Ở bài toán này chúng ta có nhất thiết biến đổi về Hay chỉ cần chỉ ra một bất đẳng thức trong ba bất đẳng thức trên? Nếu vậy thì chỉ ra bất đẳng thức nào?Từ đẳng thức a5 = b5+c5 A là góc lớn nhất. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh góc A nhọn tức là chỉ cần chứng minh b2+c2 > a2Làm thế nào để chứng minh được điều này? Các em hãy vận dụng giả thiết kết hợp với các điều kiện ta có được điều gì? Ta có: a5 = b5+c5< a3.b2 + a3c2 b2+c2 > a2 (chia 2 vế cho a3) A nhọn tam giác ABC là tam giác nhọn.Bài toán trên được phát biểu dưới dạng tổng quát sau: Bài toán 3.2.5: a, Cho an = bn + cn. CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3.b, Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C. Chứng minh rằng  ABC nhọn.Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.Bài toán 3.2.6: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = p (0  p  a). Tính AD.Ta vận dụng kết quả tính được của bài toán náy để áp dụng vào giải các bài toán khác (đây là bài toán gốc cho dạng toán thứ 3)Hướng dẫn: Ta có AD2 = c2 + p2 – 2pccosB. Thay cosB = và biến đổi ta có: aAD2 = pb2 + (a p)c2 p(ap)a. ( Định lý Stewart)Bây giờ ta tiến hành khai thác bài toán trên để được các bài toán nâng cao mức độ khó dần.Khi cho D là trung điểm BC ta được công thức độ dài đường trung tuyến. Khi AD là phân giác ta được công thức tính độ dài đường phân giác .Nhận xét rằng nếu đặt DC = n thì a p = n từ đó ta có: Bài toán 3.2.7 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D. Đặt BD = p, CD = n và AD = d. Chứng minh rằng : ad2 = pb2 + nc2 pna.Nhìn bài toán 2.1.3.7 dưới dạng khác như sau: Thay giả thiết BD = p, CD =q bởi giả thiết , lúc đó và . Thay BD và CD vào kết quả bài toán 2.1.3.6 ta có d2 = . Từ đó ta có: Bài toán 3.2.8: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng : AD2 = .Trong bài toán 2.1.3.8 ta chọn ta có được bài toán :Bài toán 3.2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng : AD2 = .Trong bài toán 2.1.3.7 ta có thể chọn p + q =1. Từ đó có được Bài toán 3.2.10: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho với .Chứng minh rằng : AD2 = .Trên đây là một vài khai thác từ định lí hàm số cosin bằng việc khai thác và nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng toán, bài toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học.Tóm lại với quy trình: Vận dụng lược đồ trên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu Khái niệm, Định lí; vừa bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nâng cao. Thông qua việc học tập những định lí Toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn Toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện được khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ yêu cầu của chương trình phổ thông.3.3. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập.Trong trường phổ thông có thể xem việc giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của HĐ toán học đối với HS. Các bài toán là một phương tiện không thể thay thế được, trong quá trình giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế. HĐ giải các bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy toán ở trường phổ thông. Vì vậy việc tổ chức giải các bài tập toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với chất lượng dạy học toán.Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Tất nhiên các bài tập toán thường không chỉ nhằm vào một mục đích đơn nhất nào đó mà thường bao hàm nhiều dụng ý khác nhau. Bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Ta thấy rằng bài tập sách giáo khoa được biên soạn khá công phu và có nhiều tiềm năng để phát triển năng lực sáng tạo cho HS, tuy nhiên để làm tốt hơn việc này thì cần phải bổ sung một lượng bài tập thích hợp nhằm phát huy được tối đa khả năng sáng tạo của các em, trong đó phải có những bài tập khó dành riêng cho HS khá và giỏi, đặc biệt là những bài tập có thể tương tự hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá... Thầy giáo là người tổ chức cho HS làm việc, HĐ tìm tòi phát hiện chân lí khoa học. Lớp học phải trở thành một cộng đồng xã hội trong đó có sự hợp tác học tập của tất cả các thành viên sao cho mọi người được phát huy đầy đủ năng lực và trách nhiệm của mình. Sau đây chúng ta hãy phân tích một vài ví dụ của việc xây dựng chuỗi bài toán để thấy rõ hơn vai trò của chuỗi đối với việc nâng cao chất lượng hoạt động nhận thức cho HS.Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức:Ta hãy xét bài toán trong SGK sau:Ví dụ 3.3.1 (Bài toán gốc ):“Cho là ba số thực dương. Chứng minh: ” (1) (Bài 8Sách Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục). Có một số cách để chứng minh cho bài toán này. Tôi xin giới thiệu một lời giải cho bài toán+ Theo BĐT CauChy ta có . Suy ra: (đpcm).+ Bây giờ ta đặt x = a + b c; y = b + c – a; z = c + a – b với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Khi đó BĐT (1) trở thành: Từ đó ta xây dựng được bài toán mới như sau:Bài toán 3.3.2: “Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ” (2). Ta thử “đi tìm” cách chứng minh BĐT(2) khi là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Giả sử không là ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: . Với ta có: ; ; . Suy ra . Tương tự cho các trường hợp còn lại. Ta thu được bài toán “mạnh hơn” sau:Bài toán 3.3.3: “Cho là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: ” (3). Bây giờ ta khai thác các BĐT(1), BĐT(2); BĐT(3) để “tạo ra” chuổi bài toán. a, Ta đi “khai thác” BĐT(1) như sau: Áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của một tam giác ta có: Ta thu được bài toán quen thuộc sau:Bài toán 3.3.4: “Cho tam giác . Chứng minh rằng: ”.Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của một tam giác ta có: . Ta thu được bài toán quen thuộc sau:Bài toán 3.3.5: “Cho tam giác . Chứng minh rằng: ”. Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của tam giác nhọn ta có: Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.5: “Cho tam giác nhọn . CMR: Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: ; trong đó là ba cạnh của một tam giác và ta có: Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.6: Cho tam giác có diện tích . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: Đẳng thức xảy ra khi nào? ” ( Bài T7376 THTT năm 2008). b. Ta đi “khai thác” BĐT(2) như sau:BĐT(2) . Ta có Bài toán 3.3.7: “Cho tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp lần lượt là . Chứng minh rằng: ”. Tiếp tục “khai thác” BĐT(2) ta cóBĐT(2) Ta áp dụng BĐT quen thuộc cho ba số dương ta được BĐT . Kết hợp với ta có . Từ đó ta thu được bài toán.Bài toán 3.3.8: “Cho tam giác có diện tích bằng . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: ”.Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán 3.3.8 như sau Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.9: “Cho tam giác có diện tích bằng .Đặt . CMR: ”.Tiếp tục “khai thác” BĐT thu được trong Bài toán 2.1.4.8 như sauÁp dụng BĐT quen thuộc: “ ”cho ba số dương ta được BĐT: . Kết hợp với BĐT ta có BĐT Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.10: “Cho tam giác có diện tích bằng . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: ”.Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán III.8 như sau Dạng 2: Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của một đoạn thẳngVí dụ 3.3.11: ( Bài toán gốc ) Cho đường tròn tâm I bán kính R, H là một điểm nằm ngoài đường tròn . Tìm điểm M nằm trên đường tròn sao cho:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H. Giả sử A, B là các giao điểm của đường tròn và đường thẳng d sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và H. Khi đó, với một điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ta luôn có: Thật vậy: +) Ta chứng minh: . Khi điểm M trùng điểm A ta có: MH = AH Khi điểm M không trùng điểm A ta có: suy ra tù. Từ đó, trong tam giác AMH ta có: suy ra AH > MH. Như vậy, khi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: , MH = AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.+) Ta chứng minh: Khi điểm M trùng điểm B: MH = BH Khi điểm M không trùng điểm B: Trong tam giác MBH ta luôn có, là góc tù tức là ta có . Suy ra MH > BH. Từ đó, khi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: , MH = BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B.Vậy, với một điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ta luôn có: ,MH=BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B, MH=AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.Ví dụ 3.3.11 là bài toán đơn thuần nếu ta chỉ dừng lại ở đó nhưng nếu ta gắn các yếu tố của bài toán vào mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy thì ta sẽ có bài toán mới về hình học giải tích như sau:Bài toán 3.3.12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường tròn sao cho:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.Lời giải: Đường tròn có tâm , bán kính .Ta có: . Suy ra, điểm H nằm ngoài đường tròn . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H. Khi đó, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là , suy ra đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là . Suy ra, đường thẳng d có phương trình tổng quát là: hay đường thẳng d có phương trình: . Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình: hoặc Vậy đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm và .Ta có: Suy ra, điểm B nằm giữa hai điểm A và H.Áp dụng kết quả ví dụ 3.3.12, ta có:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất bằng khi điểm .b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất bằng khi điểm . Từ kết quả này, ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác:Bài toán 3.3.13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình: và điểm H= (4;1). M là một điểm nằm trên đường tròn . Chứng minh rằng: Lời giải: Sử dụng kết quả bài toán 3.3.13Khi điểm và điểm suy ra . Tức là, ta có thêm bài toán mới: Chứng minh rằng: . Bài toán 3.3.13 là bài toán đơn thuần trong hình học giải tích nếu ta dừng lại ở đây nhưng nếu ta bỏ đi các yếu tố về điểm và đường tròn với hệ tọa độ Oxy thì ta được bài toán mới về bất đẳng thức đại số:Bài toán 3.3.14. Cho hai số thực a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng: Lời giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm . Từ giả thiết, suy ra điểm M nằm trên đường tròn có phương trình: .Khi đó, ta có: với điểm .Áp dụng kết quả Bài toán 3.3.11, ta có: tương đương với khi và chỉ khi , khi và chỉ khi .Vậy , khi , khi và chỉ khi .4. Kết quả thực nghiệm của đề tài: Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:4.1. Kết quả định tính.Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm: Đa số các giáo viên nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ các giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài. Các thấy cô đều đồng tình với phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát hiện bằng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Các thấy cô rất đồng ý với cách phát phiếu học tập cho từng nhóm học sinh với mục đích thể hiện sự hợp tác tạo mỗi tương tác cho các em học tập hiệu quả hơn.Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng kiến thức; mức độ tiếp thu bài học; đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo như sau:Phần lớn HS cho rằng: tiết học sôi nổi, cuốn hút nhiều HS tham gia vào bài học, các em thích thú với phần thảo luận nhóm, tạo cho các em có cơ hội phát biểu ý kiến của mình đồng thời cũng để khẳng định được năng lực của mình chính xác hơn, từ đó có hướng phấn đấu thích hợp. Nội dung bài học là phù hợp với hầu hết HS.Về cách tiếp cận tiết học 100% học sinh có ý kiến là các em khám phá kiến thức mới dưới sự huy động kiến thức đã có, rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề để tìm tòi cái mới.Qua quan sát các giờ học được tiến hành theo tiến trình đó được xây dựng, chúng tôi nhận thấy học sinh lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm: Học sinh hứng thú trong giờ học Toán : điều này được giải thích là do trong khi các em được hoạt động, được suy nghĩ, được tự do bày tỏ quan điểm, được tham gia vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhiều hơn; được tham gia vào quá trình khám phá và kiến tạo kiến thức mới. Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa của học sinh tiến bộ hơn: điều này để giải thích là do giáo viên đó chú ý hơn trong việc rèn luyện các kỹ năng này cho các em. HS tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn: điều này được giải thích là do trong quá trình nghe giảng theo cách dạy học mới, HS phải theo dõi, tiếp nhận nhiều hơn các nhiệm vụ học tập mà giáo viên giao, nghe những hướng dẫn, gợi ý, điều chỉnh,... của giáo viên để thực hiện các nhiệm vụ đề ra. Việc ghi chép, ghi nhớ thuận lợi hơn: điều này được giải thích là do trong dạy học, giáo viên đó quan tâm tới việc tạo điều kiện để học sinh ghi chép theo cách hiểu của mình. Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân được sát thực hơn: điều này do trong quá trình dạy học, giáo viên đó cho học sinh thảo luận giữa thầy và trò, trò với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm và khả năng suy luận của bản thân. Học sinh tự học, tự nghiên cứu ở nhà thuận lợi hơn: điều này được giải thích là do trong các tiết học ở trên lớp , giáo viên đó quan tâm tới việc hướng dẫn học sinh tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu ở nhà. Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc bộc lộ kiến thức của chính mình: điều này là do trong quá trình dạy học, giáo viên yêu cầu học sinh phải tự phát hiện và tự giải quyết một số vấn đề; tự khám phá và tự kiến tạo một số kiến thức mới, học sinh được tự thảo luận với nhau và được tự trình bày kết quả làm được.4.2. Kết quả định lượng.Trong năm học 2014 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 Trường THPT Yên Định 2. Kết quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:LớpSĩ sốGiỏiKháTrung bìnhYếu KémSL%SL%SL%SL%SL%10C645817,81022,22453,336,70010C7471429,81531,9163424,300Phương án tổ chức các tình huống dạy học định lí, khái niệm theo hướng vân dụng và phát hiện cho học sinh như đã đề xuất là khả thi. Thực hiện các biện phát đó sẽ góp phần phát triển năng lực nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán cho học sinh phổ thụng.Như vậy, mục đích của thực nghiệm đó đạt được và giả thuyết khoa học rút ra đó được kiểm nghiệm.III. KẾT LUẬNĐề tài đã thu được một số kết luận như sau: Đưa ra được một số quan niệm về bài toán, bài toán gốc, bài toán nâng cao Nêu được vai trò của bài toán gốc. Đưa ra cách thức xây dựng và các phương thức phát hiện bài toán mới trong việc mở rộng tiềm năng ứng dụng. Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát hiện và vận dụng các bài toán mới, chuổi bài toán thông qua việc khai thác bài toán gốc ở trường THPT. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp được đề xuất. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài của mình.Tôi xin chân thành cảm ơnXÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa, ngày 1552015Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi không sao chép nội dung của người khác.Tác giảTÀI LIỆU THAM KHẢO1Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.2Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội.3Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.4Cruchetxki V.A. (1978), Tâm lí năng lực toán của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội.5 Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bích Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội.6Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.7Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và sách giáo khoa, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.8Nguyễn Bá Kim (2002), Ph¬ương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.9Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán (dạy học những nội dung cơ bản), Nxb Giáo dục, Hà Nội.10Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.11Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.12Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.13Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..14Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.15Đào Tam (2005), Giáo trình hình học sơ cấp, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 16Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THPT năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán”, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục (1), tr. 19, 22.16Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một số thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán”, Tạp chí Giáo dục (165), tr. 26, 27.17Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội..MỤC LỤCTrangI. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI1II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ21. Cơ sở lí luận của đề tài242. Thực trạng của đề tài463. Các biện pháp tổ chức thực hiện63.1. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm683.2. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc8123.3 Phát hiện và vận dung bài toán gốc trong dạy hoc giải bài tập12184. Kết quả thực nghiệm của đề tài1820III. KẾT LUẬN20Tài liệu tham khảo21DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀIVIẾT TẮTVIẾT ĐẦY ĐỦTHPTTrung học phổ thôngHSHọc sinhGVGiáo viênVDVí dụPPDHPh­¬ng ph¸p d¹y häcPPGDPh­¬ng ph¸p gi¸o dôcBPSPBiÖn ph¸p s­ ph¹mDHD¹y häc§C§èi chøngGQV§Gi¶i quyÕt vÊn ®ÒGVGi¸o viªnH§Ho¹t ®éngHSHäc sinhKNKÜ n¨ngNLN¨ng lùcPBPh©n bèPHPh¸t hiÖnPPDHPh­¬ng ph¸p d¹y häcQLTKQuy luËt thèng kªSGKS¸ch gi¸o khoaSLDDSuy luËn diÔn dÞchSLHLSuy luËn hîp lýTBCTrung b×nh céngTDTKT­ duy thèng kª

I Lí DO CHN TI Lut Giỏo dc nc cng ho xó hi ch ngha Vit Nam (2005) quy nh: Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca HS; phự hp vi c im ca tng lp hc, mụn hc; bi dng phng phỏp t hc, rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin Nh vy, quan im chung v hng i mi PPDH ó c khng nh, khụng cũn l tranh lun v cng thy cp thit hn i vi kỡ thi THPT quc gia ln u tiờn c t chc nm hc ny Ct lừi ca vic i mi PPDH mụn Toỏn trng THPT l lm cho HS hc tớch cc, ch ng, chng li thúi quen hc th ng Phi lm mi tit hc HS c suy ngh nhiu hn, tho lun nhiu hn, hot ng nhiu hn Trong dy hc mụn Toỏn, t sỏng to ca HS phn ln c hỡnh thnh quỏ trỡnh gii toỏn, thụng qua hot ng ny HS phi hot ng tớch cc t chim lnh tri thc cho bn thõn C s hc sinh hot ng chớnh l nhng tri thc v kinh nghim ó cú ng trc mt t tri thc m bn thõn ó cú, ó tớch lu c vic la chn tri thc no, s dng lm luụn luụn l nhng cõu hi ln, m vic tr li c nhng cõu hi ú l mu cht vic gii quyt Vic tỡm li gii mt bi toỏn nhiu khụng phi l quỏ khú, nhng thc sau mi bi toỏn cú bit bao iu lớ thỳ Nu chỳng ta khụng bit dy hc sinh úc tũ mũ, s tỡm tũi khỏm phỏ nhng gỡ n sau mi bi toỏn m ch gii xong bi toỏn l kt thỳc thỡ vic dy hc tr nờn nht nho iu quan trng l nu sau mi bi toỏn chỳng ta tỡm c nhiu cỏch gii khỏc cho bi toỏn, xõy dng c chui bi toỏn gc liờn quan t d n khú thỡ cú th rốn luyn nng lc t sỏng to cho hc sinh, ng thi kin thc s c m rng hn, h thng hn Trong tỏc phm ni ting Gii bi toỏn nh th no ?, G.Polya cho rng : Vớ nh dũng sụng no cng bt ngun t nhng sui nh, mi bi toỏn dự khú n õu cng cú ngun gc t nhng bi toỏn n gin, cú rt quen thuc i vi chỳng ta Vỡ vy, G.Polya ó núi rng: Tht khú m c mt bi toỏn mi, khụng ging chỳt no vi bi toỏn khỏc, hay l khụng cú mt im no chung vi mt bi toỏn trc ú ó gii Vỡ vy , dy hc toỏn GV nờn to cho hc sinh thúi quen khc sõu bi toỏn gc d dng ỏp dng cn thit v t ú giỳp hc sinh cú c hi o sõu, kin to nờn mt s bi toỏn mi Vi nhng lý trờn tụi ó chn ti nghiờn cu l: Rốn luyn t sỏng to cho hc sinh lp 10 THPT thụng qua vic dy hc theo hng phỏt hin v dng bi toỏn gc cú liờn quan II GII QUYT VN C s lý lun ca ti 1.1 i mi phng phỏp giỏo dc V PPGD, iu 4, lut GD 2003 quy nh: PPGD phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, t sỏng to ca ngi hc, bi dng nng lc t hc, lũng say mờ hc v ý lờn Trong hot ng dy toỏn trng THPT, rốn t cho HS l giỳp cho HS cú kh nng phõn tớch tỡnh hoc m bỡ toỏn nờu v cao hn na l t sỏng to cỏc bi toỏn mi trờn nn tng kin thc ó tớch ly c V cỏch dy, phng phỏp mi quan tõm nhiu n vic to nim vui, hng thỳ hc cho hc sinh Xem ú nh l ng lc phỏt huy tớnh t giỏc, tớch cc, ch ng quỏ trỡnh hc ca hc sinh, c bit l nim vui, hng thỳ ca mt ngi t mỡnh tỡm chõn lớ "Nu hc sinh c c lp quan sỏt, so sỏnh, phõn tớch, khỏi quỏt húa cỏc s kin, hin tng thỡ cỏc em s hiu sõu sc v hng thỳ bc l rừ rt" Do ú, phng phỏp ging dy, giỏo viờn cn phi bit dn dt hc sinh luụn tỡm thy cỏi mi, cú th t tỡm ly kin thc, phi lm cho hc sinh thy mỡnh mi ngy mt trng thnh (Ti liu Bi dng giỏo viờn 2005, tr 2) Hn na, thc hin nh hng "hot ng húa ngi hc", hc sinh cn c cun hỳt vo cỏc hot ng hc giỏo viờn t chc v ch o, thụng qua ú t lc khỏm phỏ nhng iu mỡnh cha bit, ch khụng phi l th ng tip thu tri thc ó c sp sn Cn t hc sinh vo nhng tỡnh thc t, trc tip quan sỏt lm thớ nghim, tho lun, gii quyt theo cỏch riờng ca mỡnh Qua ú hc sinh va nm c kin thc mi, k nng mi, va nm c phng phỏp lm kin thc, k nng ú, khụng nht thit phi rp khuụn theo nhng mu sn cú, c bc l v phỏt huy tim nng sỏng to" (Ti liu Bi dng giỏo viờn 2005, tr 3) 1.2 Mc tiờu ca dy hc theo hng phỏt hin v dng boỏn gc T c s lớ lun v kt qu kho sỏt chỳng ta cú th rỳt khng nh nõng cao cht lng giỏo dc giai on hin ngi giỏo viờn cn cú s kt hp linh hot gia phng phỏp dy hc truyn thng v cỏc phng phỏp dy hc tớch cc nh dy hc gii quyt , dy hc kin to, dy hc khỏm phỏ, Dy hc theo ng phỏt hin v dng ngi GV cn bi dng mt s nng lc dy hc nh: - Nng lc d oỏn phỏt hin da trờn c s quy lut bin chng, kh nng liờn tng, chuyn húa liờn tng - Nng lc nh hng tỡm tũi cỏch thc gii quyt tỡm tũi li gii bi toỏn - Nng lc huy ng kin thc gii quyt Toỏn hc bao gm: + Nng lc la chn cỏc cụng c thớch hp gii quyt mt + Nng lc chuyn i ngụn ng + Nng lc quy l v quen nh bin i bin i bi toỏn v dng tng t - Nng lc t lp lun logic, lp lun cú cn c gii quyt chớnh xỏc cỏc t - Nng lc t ỏnh giỏ phờ phỏn v.v Vỡ vy giỏo viờn cn nm chc cỏc phng phỏp dy hc tớch cc, hiu rừ cỏc u, nhc im cỏc phng phỏp ú Trc lờn lp giỏo viờn phi nghiờn cu k ni dung bi dy, la chn phng phỏp dy phự hp cho ni dung mi bi, mi phn, phự hp vi i tng hc sinh nhm t chc hiu qu cỏc hot ng hc sinh t tỡm tũi kin thc, phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng, sỏng to ca mỡnh 1.3 Bi toỏn gc 1.3.1 Bi toỏn: Thut ng Bi toỏn c hiu theo ngha rng thụng qua mt s nh ngha sau: G Polya cho rng: Bi toỏn t s cn thit phi tỡm kim mt cỏch cú ý thc, phng tin thớch hp t ti mt mc ớch rừ rng nhng khụng th t c Fanghaenel, Stoliar nh ngha thut ng Bi toỏn nh sau: Bi toỏn l mt s ũi hi hnh ng, ú ó quy nh: - i tng ca hnh ng (cỏi ó cú bi toỏn) - Mc ớch ca hnh ng (cỏi phi tỡm bi toỏn) - Cỏc iu kin ca hnh ng (mi liờn h gia cỏi ó cú v cỏi phi tỡm) Nh vy, khỏi nim bi toỏn c gn lin vi hnh ng ca ch th, khụng th nghiờn cu bi toỏn tỏch ri vi hnh ng ca ch th Cỏc hnh ng ca ch th gii Toỏn l: Phõn tớch bi toỏn, mụ hỡnh hoỏ v c th hoỏ cỏc mi liờn h bn cht bi toỏn, phỏt hin hng gii v xõy dng k hoch gii bi toỏn, hnh ng thc hin gii bi toỏn, kim tra ỏnh giỏ tin trỡnh gii bi toỏn, hnh ng thu nhn kin thc mi bi toỏn em li trng ph thụng, dy Toỏn l dy hot ng Toỏn hc cho hc sinh ú gii toỏn l hỡnh thc ch yu Do vy dy bi toỏn cú v trớ quan trng dy hc Toỏn nhm t nhiu mc ớch khỏc th hin cỏc chc nng: * Chc nng dy hc: - Bi nhm cng c, rốn luyn k nng, k xo nhng lớ thuyt ó hc Qua ú hc sinh hiu sõu hn v bit dng nhng kin thc ó hc vo vic gii quyt cỏc tỡnh c th - Cú bi li l mt nh lớ, m vỡ lớ no ú khụng a vo lớ thuyt Cho nờn qua vic gii bi hc sinh m rng c tm hiu bit ca mỡnh * Chc nng giỏo dc: Qua vic gii bi m hỡnh thnh cho hc sinh th gii quan vt bin chng, hng thỳ hc tp, nim tin v phm cht o c ca ngi lao ng mi * Chc nng phỏt trin: Bi nhm phỏt trin nng lc t cho hc sinh, c bit l rốn luyn nhng thao tỏc trớ tu, hỡnh thnh nhng phm cht ca t khoa hc *, Chc nng kim tra: Bi nhm ỏnh giỏ mc , kt qu dy hc, ỏnh giỏ kh nng c lp hc Toỏn v trỡnh phỏt trn ca hc sinh 1.3.2 Bi toỏn gc Theo quan im ca lun bi toỏn gc cú th hiu l bi toỏn tng i d, ch nhm cng c dng kin thc, k nng ó hc mc n gin ng thi bi toỏn gc phi tha mt ba iu kin sau: - Kt qu bi toỏn c s dng nhiu vic tỡm tũi li gii cỏc bi toỏn khỏc - Phng phỏp gii bi toỏn c s dng nhiu vic tỡm tũi li gii cỏc bi toỏn khỏc - Nu thay i (mt phn) gi thit hoc kt lun thỡ c bi toỏn mi 1.3.3 Bi toỏn nõng cao: Theo GS o Tam bi toỏn nõng cao l bi toỏn gii dng nhiu bc ca quy trỡnh gii toỏn v s dng nhiu kin thc b tr, khc sõu quy trỡnh v khc sõu cỏc kin thc ca mt dng toỏn 1.3.4 Vai trũ ca bi toỏn gc Qua thc tin quỏ trỡnh dy hc ng thi thụng qua vic tỡm hiu, iu tra t giỏo viờn v hc sinh cỏc trng THPT trờn a bn; tng hp cỏc thụng tin cú c tỡm hiu trờn cỏc phng tin thụng tin tụi nhn thy gii mt bi toỏn, ta luụn luụn phi li dng nhng bi toỏn ó gii, dựng kt qu, phng phỏp hay kinh nghim cú c gii cỏc bi toỏn ú Hin nhiờn, nhng bi toỏn dựng ti, phi cú liờn h no ú vi bi toỏn hin cú.Mt bi toỏn, cú th bt ngun t mt bi toỏn, mt khỏc, cng cú th l mt b phn ca mt bi toỏn, mt khỏc Vỡ vy, t rong dy hc Toỏn, bi toỏn gc cú vai trũ quan trng nh: - Bi toỏn gc nhm cng c, rốn luyn k nng, k xo v lớ thuyt ó hc Nhiu rốn luyn cho HS cỏc bi toỏn gc l mt hỡnh thc rt tt dn dt HS t mỡnh i n kin thc mi - Khc sõu c cỏc nh lớ, khỏi nim v mi quan h gia chỳng - Qua cỏc bi toỏn gc giỳp HS ỏp dng vo gii quyt cỏc bi toỏn liờn quan mt cỏch n gin hn, lp lun li gii c thu gn hn - Qua cỏc bi toỏn gc giỳp HS huy ng, kin to c cỏc bi toỏn mi - Qua bi toỏn toỏn gc GV v HS cú th xõy dng thnh chui bi toỏn vi phng phỏp gii c thự nh vo bi toỏn gc Thc trng ca ti Qua thc tin quỏ trỡnh ging dy tụi nhn thy bi SGK l h thng bi c bn, nhm cng c kin thc cho HS sau mi gi hc lớ thuyt Bi SGK cng cha ng ni dung kin thc quan trng, qua ú cú th m rng, xõy dng c h thng cỏc bi toỏn mi i vi HS + HS ch cú th lnh hi c kin thc nu cú mt nn tng kin thc vng vng v kh nng s dng kin thc ú vo vic gii thớch, chng minh hay tỡm tũi, PH kin thc mi Trong ú tỡnh trng ph bin ca hc sinh hin l kin thc rt m mng Cht lng i tr ca HS cũn yu, s HS t mỡnh tỡm tũi kin thc mi v gii quyt c khụng nhiu Do ú vic kin to nờn h thng tri thc mi trờn nn tri thc c b hn ch + Trong quỏ gii bi tõp toỏn, HS thng yu vic chuyn i ngụn ng quy l v quen Dn n, vic dng v phỏt trin tri thc gp khú khn ng thi s dn n nhng sai lm rt d mc phi + a s hc sinh hc sinh thng cú thúi quen gii xong mt bi toỏn xem nh l mỡnh ó hon thnh cụng vic c giao v dng li ú, ớt cú em hc sinh no bit ch ng, khai thỏc, tỡm tũi, suy ngh, dng nú gii mt s bi toỏn khỏc Vi nhng kin thc ú thỡ cha HS gii cỏc bi toỏn nõng cao, bi toỏn khú Khi ng trc mt bi toỏn nõng cao HS thng gp lỳng tỳng ko nh hng c cỏch gii, khụng hỡnh dung hng gii quyt + HS cha bit cỏch chn lc cỏc kin thc, khụng th liờn kt nhng kin thc c liờn quan vi t hoc khụng bit cỏch dng kin thc c vo mi nh th no ú nh hng ln n vic phỏt hin v gii quyt iu ny hn ch n vic huy ng kin thc ca HS, hn ch n vic phỏt trin t ca HS hc i vi GV Thi gian hc ca HS trờn lp cũn hn ch so vi lng tri thc cn truyn t K hoch dy hc phi theo phõn phi chng trỡnh nờn nu dy hc gii bi toỏn lp 10 THPT theo hng phỏt hin v dng cỏc bi toỏn gc liờn quan, thỡ mt khỏ nhiu thi gian cho vic cng c kin thc liờn quan dn n vic khụng th hon thnh bi ging Do ú + Hu ht giỏo viờn ang nng v thuyt trỡnh, cha phỏt huy c nng lc ch ng, tớch cc v sỏng to ca HS dy hc Vic m rng khai thỏc cỏc bi toỏn c bn SGK ớt cú thi gian v iu kin thc hin Cha chỳ ý n vic xõy dng cỏc bi toỏn gc to c s cho HS ti gii cỏc bi toỏn nõng cao, bi toỏn khú + Thng sau mi tit lý thuyt l n tit bi tp, GV ch ging dy bng cỏch cha cỏc bi tp, mt cỏch thun tuý, cha lm ni bt c mi quan h gia cỏc bi ny vi bi khỏc, gia nhng kin thc ang hc vi nhng kin thc trc ú Khi dy xong mt chng GV thng khụng h thng cỏc du hiu nhn bit mt i tng toỏn hc nm ri rỏc chng Hay gii cỏc bi mt s GV khụng khuyn khớch HS tỡm nhiu li gii khỏc cho nhiu bi toỏn di nhiu khớa cnh khỏc Chng hn hc xong chng vect GV cha tng kt li cho HS cú thờm nhng phng phỏp no chng minh ba im thng hng, phng phỏp chng minh mt vect bng vect - khụng + Thng HS ó gii c mt bi toỏn thỡ GV cng thng bng lũng vi li gii ú m cha khuyn khớch cỏc em tỡm cỏc bi toỏn tng t, bi toỏn tng quỏt hoc c bit hoỏ bi toỏn tỡm cỏc bi toỏn mi * i vi sỏch giỏo khoa hin lng kin thc a cú phn dn tri, cỏc khỏi nim, nh lớ ch yu l gii thiu ng dng, khụng chng minh Dn n vic coi nh hỡnh thnh khỏi nim, nh lớ Vỡ vy nờn mt s GV ớt dnh thi gian rốn luyn t duy, to hng thỳ kớch thớch t tỡm tũi nghiờn cu m ch yu bt hc sinh tha nhn khỏi nim, nh lớ, a quy tc v yờu cu dng gii bi tp, iu ny nh hng khụng nh n cht lng hc ca hc sinh ni dung ny dy hc theo ng phỏt hin v dng l rt cn thit Cỏc bin phỏp t chc thc hin 3.1 Phỏt hin v dng bi toỏn gc nhm khc sõu khỏi nim Khỏi nim l mt hỡnh thc ca t tru tng, phn ỏnh nhng mi liờn h v thuc tớnh bn cht, ph bin ca mt hp cỏc s vt, hin tng no ú Khỏi nim úng vai trũ quan trng t khoa hc Khỏi nim l nhng vt liu to thnh ý thc t tng l phng tin ngi tớch lu thụng tin, suy ngh v trao i tri thc vi Mt khỏi nim sau ó c hc thng cú nhng hot ng cng c nh sau: Nhn dng v th hin, hot ng ngụn ng, khỏi quỏt hoỏ, tng t hoỏ, c bit hoỏ v h thng hoỏ nhng khỏi nim ó hc Vic xõy dng bi toỏn sau ú phỏt trin thnh chui bi toỏn khc sõu khỏi nim s gúp phn nõng cao c cỏc hot ng cng c khỏi nim, c bit l hot ng ngụn ng, khỏi quỏt hoỏ, tng t hoỏ Chui bi toỏn úng vai trũ l cu ni cỏc khỏi nim, vi cỏc bi toỏn mc khú khn cao dn Vic gii c cỏc bi toỏn chui s to lp c HS thúi quen c lp suy ngh, giỳp cỏc em cú cỏch nhỡn cỏc khỏi nim toỏn hc mt cỏch cú chiu sõu, cú h thng, iu ú gúp phn nõng cao cht lng hc ca cỏc em Quy trỡnh ca vic khc sõu khỏi nim cú th c th hin theo quy trỡnh sau: Khỏi nim Cỏc dng toỏn Bi toỏn gc Bi toỏn nõng cao Chui bi toỏn Khi dy hc sinh khỏi nim v vect - khụng sau hc xong khỏi nim ny GV cn hng dn HS khc sõu khỏi nim bng vic dng gii bi toỏn c bn sau v tin hnh khai thỏc nú Vect-khụng l vect cú im u v im cui trựng ( AA , BB l cỏc vect-khụng) T iu ny cho ta xỏc nh cỏc dng toỏn liờn quan n vect khụng, õy vỡ khuụn kh lun nờn chỳng tụi xin trỡnh by dng toỏn chng minh mt ng thc vect Phng phỏp chng minh mt vect l vect khụng ta chng minh im u trựng im cui Ta s ỏp dng iu ny chng minh bi toỏn sau: Vớ d 1: (õy l bi toỏn gc cho dng toỏn ny): Cho ABC vi trng tõm G Chng minh rng: GA + GB + GC = O (Hỡnh hc 10 trang 11, ban c bn) Phõn tớch: ng trc bi toỏn ny GV cn t cỏc cõu hi i vi hc sinh: + im G cú tớnh cht gỡ? + Nu gi M, N, P ln lt l trung im cỏc cnh BC, AB, CA thỡ cỏc em cú c iu gỡ? + Th dng quy tc im v quy tc hỡnh bỡnh hnh? T ú ta cú c: uuuu uuu uuuu Li gii: Ta cú: GA + GB + GC = ( MA + PB + NC ) (vi M, N, P ln lt l trung im ca BC, AB, AC) A m MA = MB + BA = CB + BA P PB = PC + CB = AC + CB N G NC = NA + AC = BA + AC C B M 3 Suy MA + PB + NC = (CB + BA + AC ) = CC = D 2 uuu uuu uuuu Vy GA + GB + GC = HS thng cú thúi quen gii xong bi toỏn l hon thnh nhim v (k c HS khỏ gii) m ớt quan tõm n kt qu ca bi toỏn, GV cn hng dn HS khai thỏc bi toỏn trờn theo cỏc hng sau: + Nu cho C B thỡ cỏc em cú c iu gỡ? Hóy phỏt biu bi toỏn ú? + Ta mong i HS tr li Bi toỏn 3.1.1: Cho on thng AB cú M l trung im CMR MA + MB = Bõy gi ta tip tc t , gi thit ca bi toỏn 2.1.2.1 cú th vit di dng M l im thuc on AB tho MA = MB Thay i gi thit ny cú bi toỏn mi? Bi toỏn 3.1.2: Cho on thng AB, M l mt im thuc on AB cho MA=kMB(k l s thc) CMR MA + k MB = (Vi bi toỏn trờn k = 1) Quay tr li vi vớ d ban u, nu ta gi I l trung im ca AM cỏc em cú c iu gỡ? ( AM = IM ) T ú s dng kt qu ca vớ d ta cú c bi toỏn mi Bi toỏn 3.1.3: Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC, I l trung im ca AM Chng minh rng IA + IB + IC = Tng quỏt bi toỏn 2.1.2.3 ta cú Bi toỏn 3.1.4: Cho tam giỏc ABC, M l im thuc BC, I l im thuc on AM tho MB = kMC v IA = hIM CMR : (k + 1) IA + h IB + hk IC = Bõy gi ta tip tc khai thỏc vớ d theo hng tỡm im chia cỏc cnh AB, BC theo mt t s khỏc cú bi toỏn mi Bi toỏn 3.1.5: (Bi toỏn nõng cao): Cho tam giỏc ABC, M l im thuc AB, N l im thuc on BC tho MA = kMB v CN = kNB Gi G l giao im ca AN v CM Chng minh rng GA + k GB + GC = Xem on thng AB bi toỏn 3.1.1 l trng hp riờng ca a giỏc u ta cú Bi toỏn 3.1.6: Cho a giỏc u A1 A2 An cú tõm O Chng minh rng OA1 + OA2 + + OAn = Nh vy t khỏi nim vect - khụng ta cú th khai thỏc thnh cỏc bi toỏn mi mc khú khn nõng cao dn Nu dng li bi toỏn ban u thỡ tht l ỏng tic, chỳng ta ó b phớ i mt mnh t mu m m cn phi khai thỏc Cỏc bi toỏn tng t cú c t bi toỏn trờn Túm li nu sau dy hc sinh v khỏi nim nu GV khụng a cỏc dng toỏn, cỏc bi khc sõu khỏi nim thỡ s nh giú thong qua Rừ rng vi vic khai thỏc bi toỏn gc nh ó trỡnh by HS s khc sõu khỏi nim, s nm chc khỏi nim t ú nm c s kt ni gia khỏi nim v chui bi toỏn liờn quan to nim tin v hng thỳ hc 3.2 Phỏt hin v dng bi toỏn gc nhm khc sõu nh lớ, quy tc Cỏc nh lớ, quy tc cựng vi cỏc khỏi nim Toỏn hc to thnh ni dung c bn ca mụn Toỏn, lm nn tng cho vic rốn luyn k nng b mụn, c bit l kh nng suy lun v chng minh Vic th hin nh lý c rốn luyn thụng qua vic gii cỏc bi toỏn ca chui Trong chui cỏc bi toỏn nhm cng c nh lý chỳng ta c gng xõy dng trờn c s khỏi quỏt hoỏ, tng t hoỏ cỏc bi toỏn quen thuc vi cỏch thc nõng cao dn mc khú khn, ng thi gii cỏc bi toỏn ca chui cng cn phi c bit hoỏ a v cỏc bi toỏn n gin hn iu ú s giỳp cho HS nhỡn nhn nhng ng dng khỏ phong phỳ ca cỏc nh lý toỏn hc, t ú giỳp cỏc em hng thỳ hn hc tp, phỏt huy kh nng sỏng to ca cỏc em Chỳng ta mun hc sinh nm c cỏc h thng nh lớ v nhng mi liờn h gia chỳng, t ú cú kh nng dng nh lớ vo cỏc hot ng gii Toỏn cng nh gii quyt cỏc thc tin Vỡ vy quỏ trỡnh dy hc nh lớ chỳng ta phi chỳ ý ti vic xem xột cỏc nh lớ mi liờn h vi cỏc i tng v nh lớ khỏc Phi luụn t nú nhng mi quan h thy c ngun gc i, iu kin tn ti v ý ngha thc tin ca nú Trong quỏ trỡnh dy hc nh lớ giỏo viờn phi t chc c cỏc hot ng nhn thc cho HS, nh hng cho cỏc em t tỡm nh lớ v khai thỏc nh lớ di nhiu hỡnh thc khỏc nhau, t ú tỡm nhng tớnh cht tng quỏt hn Khi ú cỏc em s thy c tm quan trng ca vic phỏt hin, chng minh v ng dng nh lớ Toỏn hc Nh ú cỏc em khc sõu nh lớ Trong lun ny chỳng tụi xin c trỡnh by mt vi nh lớ quen thuc SGK v vic xõy dng chui bi toỏn nhm khc sõu nú Ta xột cỏc nh lớ sau: Vớ d 2: * nh lớ cosin tam giỏc: Vi mi tam giỏc ABC ta u cú: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA; b2 = a2 + c2 - 2ac cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab cosC * T nh lớ trờn ta suy (h qu 1): a + c2 b2 a + b2 c2 b2 + c2 a cosB = ; cosC = ; cosA = 2bc 2ac 2ba Ta cú cỏc nhn xột sau: - Nu bit ba cnh ca tam giỏc thỡ cú th tớnh c gúc ca nú - Tớnh cnh nu bit hai cnh v gúc xen gia - Chng minh cỏc h thc, bt ng thc lng giỏc - Nhn dng tam giỏc: Cho phộp ta xột gúc A (hoc B, C) nhn, vuụng hay tự thụng qua cỏc cnh ca tam giỏc C th: A nhn b2 + c2 > a2 ; A tự b2+ c2 < a2; A vuụng b2 + c2 = a2(h qu 2) b + c > a 2 ABC cú gúc nhn a + c > b (I) b + a > c ABC cú gúc tự b + c < a a + c < b (II) b + a < c ABC vuụng b + c = a a + c = b (III) b + a = c - Vit cụng thc a2 = b2 + c2 - 2bc cosA di dng a2 = b2 + c2 - 2bcsinA cot A a2 = b2 + c2 - 4S cotA b2 + c2 a suy cot A = 4S a + c2 b2 b2 + a c2 tng t ta cng cú cotB = , cotC = (H qu 3) 4S 4S Nh vy t nh lớ cosin ta suy c nh lớ cosin suy rng cũn c gi l nh lớ cot nh lớ ny cú hiu lc vic gii nhiu bi toỏn v nú cho ta lp mi liờn h gia cot ca cỏc gúc vi cỏc cnh v din tớch ca tam giỏc Mt khỏc cng t nh lớ ta cú th bin i theo cỏc cỏch khỏc nh sau : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = (b + c)2 - 4bc.cos2A/2 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = (b - c)2 + 4bc.sin2A/2 a2 = b2 + c2 - 4S cot A a2 = (bsinC + c sinB)2 + (b cosC - ccosB)2 b2 + c2 - a2 = 2bc cosA Ta cú th xem cỏc h qu cú c t inh lớ cosin l nhng bi toỏn gc bõy gi ta dng nú vo gii mt vi dng toỏn Dng 1: Chng minh cỏc ng thc liờn quan ti cỏc i lng gia gúc v cnh tam giỏc Bi toỏn 3.2.1: CMR mi tam giỏc ABC ta cú a = bcosC + ccosB ng thc ny c chng minh d dng nh thay trc tip cosB v cosC vo v phi Tng t nh bi toỏn 2.1.3.1 ta cng cú: b = a.cosC + c.cosA (2) c = b.cosA + a.cosB (3) cng cỏc ng thc trờn v bin i ta cú c cỏc bi toỏn mi Bi toỏn 3.2.2: Chng minh rng tam giỏc ABC ta cú: a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC) Bi toỏn 3.2.3: Chng minh rng tam giỏc ABC ta cú: a a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB b 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b) c abc(cosA + cosB + cosC) - a2(p - a) = b2(p - b) + c2(p - c) d bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = Dng 2: Nhn dng tam giỏc Bõy gi dng kt qu (I) ta i tỡm li gii cho bi toỏn nõng cao sau: Bi toỏn 3.2.4: Cho a, b, c ln lt l di cỏc cnh BC, CA, AB ca tam giỏc ABC v a5 = b5+c5 CMR tam giỏc ABC nhn Lm th no chng minh tam giỏc ABC nhn? b + c > a 2 bi toỏn ny chỳng ta cú nht thit bin i v a + c > b b + a > c Hay ch cn ch mt bt ng thc ba bt ng thc trờn? Nu vy thỡ ch bt ng thc no? 10 a > b A > B A l gúc ln nht T ng thc a = b +c a > c A > C 5 Vỡ vy ta ch cn chng minh gúc A nhn tc l ch cn chng minh b2+c2 > a2 Lm th no chng minh c iu ny? Cỏc em hóy dng gi thit kt a>b hp vi cỏc iu kin a > c ta cú c iu gỡ? Ta cú: a5 = b5+c5< a3.b2 + a3c2 b2+c2 > a2 (chia v cho a3) A nhn tam giỏc ABC l tam giỏc nhn Bi toỏn trờn c phỏt biu di dng tng quỏt sau: Bi toỏn 3.2.5: a, Cho an = bn + cn CMR tam giỏc ABC nhn vi a, b, c l cnh ca tam giỏc ABC, n b, Cho gúc tam din vuụng Oxyz Trờn cỏc tia Ox, Oy, Oz ly ln lt cỏc im A, B, C Chng minh rng ABC nhn Dng 3: Cỏc bi toỏn liờn quan ti di cỏc on thng Bi toỏn 3.2.6: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AB = c, AC = b Trờn cnh BC ly im D cho BD = p (0 p a) Tớnh AD Ta dng kt qu tớnh c ca bi toỏn nỏy ỏp dng vo gii cỏc bi toỏn khỏc (õy l bi toỏn gc cho dng toỏn th 3) Hng dn: a + c2 b2 2 Ta cú AD = c + p 2pccosB Thay cosB = v bin i ta 2ac cú: aAD2 = pb2 + (a - p)c2 - p(a-p)a ( nh lý Stewart) Bõy gi ta tin hnh khai thỏc bi toỏn trờn c cỏc bi toỏn nõng cao mc khú dn Khi cho D l trung im BC ta c cụng thc di ng trung tuyn b2 + c a ma = Khi AD l phõn giỏc ta c cụng thc tớnh di ng phõn giỏc bc (b + c)2 a la2 = (b + c) Nhn xột rng nu t DC = n thỡ a - p = n t ú ta cú: Bi toỏn 3.2.7 : Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AB = c, AC = b Trờn cnh BC ly im D t BD = p, CD = n v AD = d Chng minh rng : ad2 = pb2 + nc2 - pna Nhỡn bi toỏn 2.1.3.7 di dng khỏc nh sau: Thay gi thit BD = p, CD =q bi DB p ap aq gi thit DC = q , lỳc ú BD = p + q v CD = p + q Thay BD v CD vo kt p q pq a T ú ta cú: qu bi toỏn 2.1.3.6 ta cú d2 = p + q b + p + q c ( p + q )2 11 Bi toỏn 3.2.8: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AB = c, AC = b, trờn cnh BC DB m = Chng minh rng : ly im D cho DC n m n mn AC + AB BC AD2 = m+n m+n (m + n) DB = ta cú c bi toỏn : Trong bi toỏn 2.1.3.8 ta chn DC k Bi toỏn 3.2.9: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AB = c, AC = b trờn cnh BC ly DB = Chng minh rng : im D cho DC k k k k AC + AB BC AD2 = k +1 k +1 ( k + 1) Trong bi toỏn 2.1.3.7 ta cú th chn p + q =1 T ú cú c Bi toỏn 3.2.10: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AB = c, AC = b, trờn cnh BC DB p ly im D cho DC = q vi p + q = Chng minh rng : AD2 = pAC + qAB pqBC Trờn õy l mt vi khai thỏc t nh lớ hm s cosin bng vic khai thỏc v nhỡn bi toỏn nhiu gúc khỏc ta ó thu c nhng dng toỏn, bi toỏn khỏc nhau, iu ny cho thy c s hp dn ca toỏn hc Túm li vi quy trỡnh: Khỏi nim, nh lớ Dng toỏn ng dng Quy trỡnh gii Xõy dng cỏc bi gc dng quy trỡnh Cỏc bi toỏn nõng cao Vn dng lc trờn nhm thc hin mc ớch kộp: va khc sõu Khỏi nim, nh lớ; va bi dng nng lc huy ng kin thc cho hc sinh gii cỏc bi toỏn nõng cao Thụng qua vic hc nhng nh lớ Toỏn hc, hc sinh bit nhỡn nhn ni dung mụn Toỏn di gúc phỏt hin v gii quyt , ng thi rốn luyn c kh nng phỏt hin v gii quyt mc yờu cu ca chng trỡnh ph thụng 3.3 Phỏt hin v dng bi toỏn gc dy hc gii bi Trong trng ph thụng cú th xem vic gii bi toỏn l hỡnh thc ch yu ca H toỏn hc i vi HS Cỏc bi toỏn l mt phng tin khụng th thay th c, quỏ trỡnh giỳp HS nm vng tri thc, phỏt trin t duy, hỡnh thnh cỏc k nng, k xo, phỏt trin nng lc sỏng to, gii quyt cỏc bi toỏn thc t H gii cỏc bi toỏn l iu 12 kin thc hin tt cỏc mc tiờu dy toỏn trng ph thụng Vỡ vy vic t chc gii cỏc bi toỏn cú hiu qu s gúp phn quan trng i vi cht lng dy hc toỏn Trong thc tin dy hc, cỏc bi toỏn c s dng vi nhng dng ý khỏc Tt nhiờn cỏc bi toỏn thng khụng ch nhm vo mt mc ớch n nht no ú m thng bao hm nhiu dng ý khỏc Bi toỏn c th c t thi im no ú ca quỏ trỡnh dy hc u cha ng mt cỏch tng minh hay n tng nhng chc nng khỏc Ta thy rng bi sỏch giỏo khoa c biờn son khỏ cụng phu v cú nhiu tim nng phỏt trin nng lc sỏng to cho HS, nhiờn lm tt hn vic ny thỡ cn phi b sung mt lng bi thớch hp nhm phỏt huy c ti a kh nng sỏng to ca cỏc em, ú phi cú nhng bi khú dnh riờng cho HS khỏ v gii, c bit l nhng bi cú th tng t hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, c bit hoỏ Thy giỏo l ngi t chc cho HS lm vic, H tỡm tũi phỏt hin chõn lớ khoa hc Lp hc phi tr thnh mt cng ng xó hi ú cú s hp tỏc hc ca tt c cỏc thnh viờn cho mi ngi c phỏt huy y nng lc v trỏch nhim ca mỡnh Sau õy chỳng ta hóy phõn tớch mt vi vớ d ca vic xõy dng chui bi toỏn thy rừ hn vai trũ ca chui i vi vic nõng cao cht lng hot ng nhn thc cho HS Dng 1: Chng minh bt ng thc: Ta hóy xột bi toỏn SGK sau: Vớ d 3.3.1 (Bi toỏn gc ): Cho x, y, z l ba s thc dng Chng minh: ( x + y)( y + z )( z + x) xyz (1) (Bi 8-Sỏch Bi i s 10, NXB Giỏo Dc) Cú mt s cỏch chng minh cho bi toỏn ny Tụi xin gii thiu mt li gii cho bi toỏn + Theo BT CauChy ta cú x + y xy > y + z yz > Suy ra: ( x + y )( y + z )( z + x) xyz z + x zx > (pcm) + Bõy gi ta t x = a + b - c; y = b + c a; z = c + a b vi a, b, c l cnh ca mt tam giỏc Khi ú BT (1) tr thnh: abc (b + c a )(c + a b)(a + b c)(2) T ú ta xõy dng c bi toỏn mi nh sau: Bi toỏn 3.3.2: Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc Chng minh rng: abc (b + c a)(c + a b)(a + b c) (2) Ta th i tỡm cỏch chng minh BT(2) a, b, c l ba s dng v khụng l ba cnh ca mt tam giỏc Gi s a, b, c khụng l ba cnh ca mt tam giỏc ú xy ba kh nng: a b + c; b c + a; c a + b Vi a b + c ta cú: a + b c b + c + b c = 2b > ; 13 b + c a b + c b c = ; c + a b c + b + c b = 2c > ( b + c a ) ( c + a b ) ( a + b c ) Suy abc > (b + c a)(c + a b)(a + b c) Tng t cho cỏc trng hp cũn li Ta thu c bi toỏn mnh hn sau: Bi toỏn 3.3.3: Cho x, y, z l ba s thc dng Chng minh bt ng thc: xyz ( y + z x)( z + x y )( x + y z ) (3) Bõy gi ta khai thỏc cỏc BT(1), BT(2); BT(3) to chui bi toỏn a, Ta i khai thỏc BT(1) nh sau: p dng BT(1) cho ba s dng: sinA, sinB, sinC vi A, B, C l ba gúc ca mt tam giỏc ta cú: (s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) 8sin A sin BsinC C A B A B C B CA 8cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 64sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A B B C CA A B C cos cos cos 8sin sin sin 2 2 2 Ta thu c bi toỏn quen thuc sau: Bi toỏn 3.3.4: Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: A B B C CA A B C cos cos cos 8sin sin sin 2 2 2 A B C Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: tan , tan , tan vi A, B, C l ba 2 gúc ca mt tam giỏc ta cú: A B B C C A A B C (tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) 8tan tan tan 2 2 2 2 C A B A B C cos cos cos sin sin sin 2 2 2 sin A sin B sin C B A B B C C A A C 2 cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 Ta thu c bi toỏn quen thuc sau: A B C Bi toỏn 3.3.5: Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: sin sin sin 2 Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: Sin2 A, Sin2 B, Sin2C vi A, B, C l ba gúc ca tam giỏc nhn ABC ta cú: (sin A + sin B)(sin B + sin 2C )(sin C + sin A) 8sin A sin B sin 2C cos( A B)cos( B C )cos(C A) Ta thu c bi toỏn sau: cos A.cos B.cos C Bi toỏn 3.3.5: Cho tam giỏc nhn ABC cos( A B)cos( B C )cos(C A) CMR: cosA.c osB.cos C 14 Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: p a, p b, p c ; ú a, b, c l a+b+c ba cnh ca mt tam giỏc v p = ta cú: ( p a + p b)( p b + p c)( p c + p a) 8( p a)( p b)( p c) abc 8( p a)( p b)( p c) 16S 1 a (b2 + c2 ) + b2 (c + a ) + c (a + b2 ) 2 2 2 16S + a2 ( b c ) + b2 ( c a ) + c2 ( a b ) 2 2 2 a 2b + b 2c + c 2a 16S + a ( b c ) + b2 ( c a ) + c ( a b ) 2 Ta thu c bi toỏn sau: Bi toỏn 3.3.6: Cho tam giỏc ABC cú din tớch S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: 2 a 2b2 + b2c + c 2a 16S + a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) 2 ng thc xy no? ( Bi T7/376- THTT nm 2008) b Ta i khai thỏc BT(2) nh sau: abc pr R R 2r BT(2) abc 8( p a)( p b)( p c) abc 8S abc p p Ta cú Bi toỏn 3.3.7: Cho tam giỏc ABC cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, bỏn kớnh ng trũn ni tip ln lt l R, r Chng minh rng: R 2r Tip tc khai thỏc BT(2) ta cú BT(2) abc(a + b + c) (a + b + c)(b + c a )(c + a b)(a + b c) abc(a + b + c) 16 p( p a)( p b)( p c) abc(a + b + c) 16S (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) 16S (*) Ta ỏp dng BT quen thuc ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) cho ba s dng ab, bc, ca ta c BT ( ab + bc + ca ) (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) Kt hp vi (*) ta cú ( ab + bc + ca ) 48S ab + bc + ca 3S T ú ta thu c bi toỏn Bi toỏn 3.3.8: Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: ab + bc + ca 3S Thờm mt bc bin i cho BT thu c bi toỏn 3.3.8 nh sau 15 ab + bc + ca 3S 1 a + b2 ( a b ) + b2 + c2 ( b c ) + c + a ( c a ) 3S 2 1 1 a + b2 + b2 + c2 + c + a 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 2 2 2 1 a + b2 + c2 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 Ta thu c bi toỏn sau: Bi toỏn 3.3.9: Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c CMR: 2 1 a + b2 + c 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 Tip tc khai thỏc BT (*) thu c Bi toỏn 2.1.4.8 nh sau p dng BT quen thuc: x + y + z xy + yz + xz cho ba s dng ab, bc, ca ta c BT: a 2b2 + b2c + c2a (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca )(ab) ( ) ( ) ( ) Kt hp vi BT (*) ta cú BT a 2b2 + b2c2 + c 2a 16S a + b4 a b2 + b4 + c4 b2 c + ( ) ( ) 1 1 + c4 + a c a2 16S a4 + b4 + b4 + c + c + a 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 a + b) ( a b) + ( b + c) ( b c) + ( c + a) ( c a ) ( 2 Ta thu c bi toỏn sau: Bi toỏn 3.3.10: Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: 2 2 1 2 a + b4 + c4 16S + ( a + b ) ( a b ) + ( b + c ) ( b c ) + ( c + a ) ( c a ) 2 (*) Thờm mt bc bin i cho BT thu c bi toỏn III.8 nh sau a + b4 + c 16S + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 a + b b2 + c + b + c c + a + c + a a + b 16S2 + 4 1 2 + ( a b ) b + c + c2 + a ( b c ) ( c a ) 2 (a + b + c ) + (a 2b + b 2c + c a ) 16S + 4 2 2 2 + ( b + c ) + ( c + a ) ( a b ) + ( c + a ) + ( a + b ) ( b c ) 8 2 + ( a + b ) + ( b + c ) ( c a ) (**) Dng 2: Tỡm di ln nht, nh nht ca mt on thng 16 Vớ d 3.3.11: ( Bi toỏn gc ) Cho ng trũn ( C ) tõm I bỏn kớnh R, H l mt im nm ngoi ng trũn ( C ) Tỡm im M nm trờn ng trũn ( C ) cho: a) di on thng MH nh nht b) di on thng MH ln nht Li gii: Gi d l ng thng i qua hai im I v H Gi s A, B l cỏc giao im ca ng trũn ( C ) v ng thng d cho im B nm gia hai im A v H Khi ú, vi mt im M bt k nm trờn ng trũn ( C ) ta luụn cú: BH MH AH Tht vy: +) Ta chng minh: MH AH - Khi im M trựng im A ta cú: MH = AH ã ã ã - Khi im M khụng trựng im A ta cú: AMH > AMB = 900 suy AMH tự ã T ú, tam giỏc AMH ta cú: ãAMH > MAH suy AH > MH Nh vy, im M nm trờn ng trũn ( C ) ta luụn cú: MH AH , MH = AH v ch im M trựng im A +) Ta chng minh: MH BH - Khi im M trựng im B: MH = BH ã - Khi im M khụng trựng im B: Trong tam giỏc MBH ta luụn cú, MBH l ã ã gúc tự tc l ta cú MBH > BMH Suy MH > BH T ú, im M nm trờn ng trũn ( C ) ta luụn cú: MH BH , MH = BH v ch im M trựng im B Vy, vi mt im M bt k nm trờn ng trũn ( C ) ta luụn cú: BH MH AH , MH=BH v ch im M trựng im B, MH=AH v ch im M trựng im A Vớ d 3.3.11 l bi toỏn n thun nu ta ch dng li ú nhng nu ta gn cỏc yu t ca bi toỏn vo mt phng vi h ta Oxy thỡ ta s cú bi toỏn mi v hỡnh hc gii tớch nh sau: Bi toỏn 3.3.12: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn ( C ) cú phng trỡnh x + y2 4x + 6y + = v im H= (4;1) Tỡm ta im M nm trờn ng trũn ( C ) cho: a) di on thng MH nh nht b) di on thng MH ln nht Li gii: ng trũn ( C ) cú tõm I = ( 2; 3) , bỏn kớnh R = Ta cú: IH = ( ) + ( + ) = 20 = > R Suy ra, im H nm ngoi 2 ng trũn ( C ) Gi d l ng thng i qua hai im I v H Khi ú, ng thng d cú uu mt vect ch phng l IH = ( 2; ) , suy ng thng d cú mt vect phỏp uu tuyn l n d = ( 2; 1) 17 Suy ra, ng thng d cú phng trỡnh tng quỏt l: ( x ) ( y + 3) = hay ng thng d cú phng trỡnh: 2x y = Ta giao im ca ng thng d v ng trũn ( C ) l nghim ca h phng trỡnh: 2x y = y = 2x x = x = hoc y = y = x + y 4x + 6y + = x 4x + = Vy ng thng d ct ng trũn ( C ) ti hai im A = ( 1; 5) v B = ( 3; 1) Ta cú: AH = BH = ( 3) ( 1) 2 + ( + ) = 45 = > IH + ( + 1) = < IH Suy ra, im B nm gia hai im A v H p dng kt qu vớ d 3.3.12, ta cú: a) di on thng MH nh nht bng BH = im M B = ( 3; 1) b) di on thng MH ln nht bng AH = im M A = ( 1; ) T kt qu ny, ta cú th phỏt biu bi toỏn di dng khỏc: Bi toỏn 3.3.13: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn ( C ) cú phng trỡnh: x + y 4x + 6y + = v im H= (4;1) M l mt im nm trờn ng trũn ( C ) Chng minh rng: MH Li gii: S dng kt qu bi toỏn 3.3.13 2 Khi im M = (a; b) v im H = (4;1) suy MH = ( a ) + ( b 1) Tc l, ta cú thờm bi toỏn mi: Chng minh rng: ( a 4) + ( b 1) Bi toỏn 3.3.13 l bi toỏn n thun hỡnh hc gii tớch nu ta dng li õy nhng nu ta b i cỏc yu t v im v ng trũn vi h ta Oxy thỡ ta c bi toỏn mi v bt ng thc i s: Bi toỏn 3.3.14 Cho hai s thc a, b tha món: a + b 4a + 6b + = Chng minh rng: ( a 4) + ( b 1) Li gii: Trong mt phng vi h ta Oxy, gi im M = ( a; b ) T gi thit, a + b 4a + 6b + = suy im M nm trờn ng trũn ( C ) cú phng trỡnh: x + y2 4x + 6y + = Khi ú, ta cú: ( a 4) 2 + ( b 1) = HM vi im H = ( 4;1) p dng kt qu Bi toỏn 3.3.11, ta cú: BH MH AH tng ng vi ( a 4) + ( b 1) ( a 4) + ( b 1) = v ch ( a 4) + ( b 1) = v ch 2 a = , b = a = b = 18 Vy ( a ) + ( b 1) , 2 ( a 4) ( a 4) + ( b 1) = + ( b 1) = khi v ch a = , b = a = b = Kt qu thc nghim ca ti: Tụi ó s dng ti nghiờn cu trờn vo quỏ trỡnh dy hc v ó t c nhng kt qu tớch cc c hai mt nh tớnh v nh lng, c th nh sau: 4.1 Kt qu nh tớnh V ý kin ca giỏo viờn d gi thc nghim: - a s cỏc giỏo viờn nht trớ vi ni dung thc nghim, c bit ng h cỏc gii phỏp v phng thc ó nờu ti Cỏc thy cụ u ng tỡnh vi phng thc t chc dy hc nh lớ, khỏi nim theo hng dng v phỏt hin bng cỏc phng phỏp dy hc tớch cc giỳp hc sinh hot ng nhiu, hc tớch cc, ch ng , sỏng to, linh hot hn Cỏc thy cụ rt ng ý vi cỏch phỏt phiu hc cho tng nhúm hc sinh vi mc ớch th hin s hp tỏc to mi tng tỏc cho cỏc em hc hiu qu hn V ý kin ca hc sinh lp dy thc nghim: Qua quan sỏt bng phiu iu tra sau mi tit dy thc nghim i vi HS, tụi rỳt nhng ý kin phn hi t phớa cỏc em v: ni dung bi hc; lng kin thc; mc tip thu bi hc; xut ý kin cho tit dy tip theo nh sau: Phn ln HS cho rng: tit hc sụi ni, cun hỳt nhiu HS tham gia vo bi hc, cỏc em thớch thỳ vi phn tho lun nhúm, to cho cỏc em cú c hi phỏt biu ý kin ca mỡnh ng thi cng khng nh c nng lc ca mỡnh chớnh xỏc hn, t ú cú hng phn u thớch hp Ni dung bi hc l phự hp vi hu ht HS V cỏch tip cn tit hc 100% hc sinh cú ý kin l cỏc em khỏm phỏ kin thc mi di s huy ng kin thc ó cú, rốn luyn k nng phỏt hin v gii quyt tỡm tũi cỏi mi Qua quan sỏt cỏc gi hc c tin hnh theo tin trỡnh ú c xõy dng, chỳng tụi nhn thy hc sinh lp thc nghim cú chuyn bin tớch cc hn so vi trc thc nghim: - Hc sinh hng thỳ gi hc Toỏn : iu ny c gii thớch l cỏc em c hot ng, c suy ngh, c t by t quan im, c tham gia vo quỏ trỡnh phỏt hin v gii quyt nhiu hn; c tham gia vo quỏ trỡnh khỏm phỏ v kin to kin thc mi - Kh nng phõn tớch, tng hp, so sỏnh, tng t, khỏi quỏt húa, c bit húa, h thng húa ca hc sinh tin b hn: iu ny gii thớch l giỏo viờn ú chỳ ý hn vic rốn luyn cỏc k nng ny cho cỏc em - HS trung chỳ ý nghe ging, tho lun nhiu hn: iu ny c gii thớch l quỏ trỡnh nghe ging theo cỏch dy hc mi, HS phi theo dừi, tip nhn nhiu hn cỏc nhim v hc m giỏo viờn giao, nghe nhng hng dn, gi ý, iu chnh, ca giỏo viờn thc hin cỏc nhim v 19 - Vic ghi chộp, ghi nh thun li hn: iu ny c gii thớch l dy hc, giỏo viờn ú quan tõm ti vic to iu kin hc sinh ghi chộp theo cỏch hiu ca mỡnh - Vic ỏnh giỏ, t ỏnh giỏ bn thõn c sỏt thc hn: iu ny quỏ trỡnh dy hc, giỏo viờn ú cho hc sinh tho lun gia thy v trũ, trũ vi trũ c tr li bng cỏc phiu trc nghim v kh nng suy lun ca bn thõn - Hc sinh t hc, t nghiờn cu nh thun li hn: iu ny c gii thớch l cỏc tit hc trờn lp , giỏo viờn ú quan tõm ti vic hng dn hc sinh t chc vic t hc, t nghiờn cu nh - Hc sinh tham gia vo bi hc sụi ni hn, mnh dn hn vic bc l kin thc ca chớnh mỡnh: iu ny l quỏ trỡnh dy hc, giỏo viờn yờu cu hc sinh phi t phỏt hin v t gii quyt mt s ; t khỏm phỏ v t kin to mt s kin thc mi, hc sinh c t tho lun vi v c t trỡnh by kt qu lm c 4.2 Kt qu nh lng Trong nm hc 2014 - 2015 tụi ó tin hnh thc nghim nhm ỏnh giỏ hiu qu ca ti ti lp 10C6 v lp 10C7 - Trng THPT Yờn nh Kt qu hc mụn Toỏn ca hai lp l tng ng (ỏnh giỏ qua quỏ trỡnh trc tip ging dy) C th tụi tin hnh dy ụn ch t chn (3 tit) cho hc sinh hai lp 10C6 v 10C7 Tụi chn lp 10C7 lm lp dy hc thc nghim (s dng ti), lp 10C6 lm lp dy hc i chng (khụng s dng ti) Sau dy thc nghim v i chng tụi tin hnh cho hc sinh hai lp lm bi kim tra 45 phỳt v ó thu c kt qu thng kờ theo bng sau: Lp S Gii Khỏ Trung bỡnh Yu Kộm s SL % SL % SL % SL % SL % 10C6 45 17,8 10 22, 24 53,3 6,7 0 10C7 47 14 29,8 15 31, 16 34 4,3 0 Phng ỏn t chc cỏc tỡnh dy hc nh lớ, khỏi nim theo hng võn dng v phỏt hin cho hc sinh nh ó xut l kh thi Thc hin cỏc bin phỏt ú s gúp phn phỏt trin nng lc nhn thc cho hc sinh, gúp phn nõng cao hiu qu dy hc mụn Toỏn cho hc sinh ph thng Nh vy, mc ớch ca thc nghim ú t c v gi thuyt khoa hc rỳt ú c kim nghim III KT LUN ti ó thu c mt s kt lun nh sau: - a c mt s quan nim v bi toỏn, bi toỏn gc, bi toỏn nõng cao - Nờu c vai trũ ca bi toỏn gc 20 - a cỏch thc xõy dng v cỏc phng thc phỏt hin bi toỏn mi vic m rng tim nng ng dng - Lm rừ c s lý lun v thc tin ca vic phỏt hin v dng cỏc bi toỏn mi, chui bi toỏn thụng qua vic khai thỏc bi toỏn gc trng THPT - ó t chc thc nghim s phm minh tớnh kh thi v hiu qu ca nhng bin phỏp c xut Mc dự ó cú nhiu c gng vic nghiờn cu, thc hnh ri hon thnh ti song ti chc chn khụng trỏnh nhng thiu xút Tụi rt mong cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn ng nghip gúp ý tụi hon thin hn ti ca mỡnh Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 15/5/2015 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca tụi khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Tỏc gi Trnh Th Huờ TI LIU THAM KHO [1] [6] Nguyn Vnh Cn, Lờ Thng Nht, Phan Thanh Quang (2002), Sai lm ph bin gii Toỏn, Nxb Giỏo dc, H Ni Hong Chỳng (1969), Rốn luyn kh nng sỏng to toỏn hc trng ph thụng, Nxb Giỏo dc, H Ni Hong Chỳng (1978), Phng phỏp dy hc toỏn hc, Nxb Giỏo dc, H Ni Cruchetxki V.A (1978), Tõm lớ nng lc toỏn ca hc sinh, Nxb Giỏo dc, H Ni Nguyn Huy oan (Ch biờn), Phm Th Bớch Ngc, on Qunh, ng Hựng Thng, Lu Xuõn Tỡnh, i s 10 (Sỏch chnh lớ hp nht nm 2000), Nxb Giỏo dc, H Ni Trn Vn Ho (Tng ch biờn), Nguyn Mng Hy (ch biờn), Nguyn Vn [7] onh, Trn c Huyờn (2007), Hỡnh hc 10, Nxb Giỏo dc, H Ni Trn Bỏ Honh (2007), i mi phng phỏp dy hc, chng trỡnh v sỏch [8] giỏo khoa, Nxb i hc S phm, H Ni Nguyn Bỏ Kim (2002), Phng phỏp dy hc mụn Toỏn, Nxb i hc S [9] phm, H Ni Nguyn Bỏ Kim (ch biờn), inh Nho Chng, Nguyn Mnh Cng, V Dng [2] [3] [4] [5] Thy, Nguyn Vn Thng (1994), Phng phỏp dy hc mụn toỏn (dy hc [10] nhng ni dung c bn), Nxb Giỏo dc, H Ni Phan Trng Ng (2005), Dy hc v phng phỏp dy hc nh trng, [11] [12] Nxb i hc S phm, H Ni Polya G (1997), Gii mt bi toỏn nh th no, Nxb Giỏo dc, H Ni Polya.G (1997), Sỏng to toỏn hc, Nxb Giỏo dc, H Ni 21 [13] [14] Polya.G (1995), Toỏn hc v nhng suy lun cú lớ, Nxb Giỏo dc, H Ni o Tam (2005), Phng phỏp dy hc hỡnh hc trng trung hc ph thụng, [15] [16] Nxb i hc S phm, H Ni o Tam (2005), Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp, Nxb i hc S phm, H Ni o Tam (2000), Bi dng hc sinh khỏ gii THPT nng lc huy ng kin [16] thc gii cỏc bi toỏn, Tp Nghiờn cu Giỏo dc (1), tr 19, 22 o Tam (2007), Rốn luyn cho hc sinh ph thụng mt s thnh t ca nng [17] lc kin to kin thc dy hc toỏn, Tp Giỏo dc (165), tr 26, 27 V Tun(ch biờn), on Minh Cng, Trn Vn Ho, Mnh Hựng, Phm Phu, Nguyn Tin Ti, Bi i s 10, Nxb Giỏo dc, H Ni MC LC I L DO CHN TI II GII QUYT VN C s lớ lun ca ti Thc trng ca ti Cỏc bin phỏp t chc thc hin 3.1 Phỏt hin v dung bi toỏn gc nhm khc sõu khỏi nim 3.2 Phỏt hin v dung bi toỏn gc nhm khc sõu nh lớ, quy tc 3.3 Phỏt hin v dung bi toỏn gc dy hoc gii bi Kt qu thc nghim ca ti III KT LUN Ti liu tham kho Trang 2-4 4-6 6-8 8-12 12-18 18-20 20 21 DANH MC NHNG T VIT TT S DNG TRONG TI VIT TT THPT HS GV VD PPDH PPGD VIT Y Trung hc ph thụng Hc sinh Giỏo viờn Vớ d Phơng pháp dạy học Phơng pháp giáo dục 22 BPSP DH ĐC GQVĐ GV HĐ HS KN NL PB PH PPDH QLTK SGK SLDD SLHL TBC TDTK Biện pháp s phạm Dạy học Đối chứng Giải vấn đề Giáo viên Hoạt động Học sinh Kĩ Năng lực Phân bố Phát Phơng pháp dạy học Quy luật thống kê Sách giáo khoa Suy luận diễn dịch Suy luận hợp lý Trung bình cộng T thống kê 23 [...]... GV VD PPDH PPGD VIT Y Trung hc ph thụng Hc sinh Giỏo viờn Vớ d Phơng pháp dạy học Phơng pháp giáo dục 22 BPSP DH ĐC GQVĐ GV HĐ HS KN NL PB PH PPDH QLTK SGK SLDD SLHL TBC TDTK Biện pháp s phạm Dạy học Đối chứng Giải quyết vấn đề Giáo viên Hoạt động Học sinh Kĩ năng Năng lực Phân bố Phát hiện Phơng pháp dạy học Quy luật thống kê Sách giáo khoa Suy luận diễn dịch Suy luận hợp lý Trung bình cộng T duy... c + p 2pccosB Thay cosB = v bin i ta 2ac cú: aAD2 = pb2 + (a - p)c2 - p(a-p)a ( nh lý Stewart) Bõy gi ta tin hnh khai thỏc bi toỏn trờn c cỏc bi toỏn nõng cao mc khú dn Khi cho D l trung im BC ta c cụng thc di ng trung tuyn b2 + c 2 a 2 ma 2 = 2 4 Khi AD l phõn giỏc ta c cụng thc tớnh di ng phõn giỏc bc (b + c)2 a 2 la2 = 2 (b + c) Nhn xột rng nu t DC = n thỡ a - p = n t ú ta cú: Bi toỏn... thc nghim (s dng ti), lp 10C6 lm lp dy hc i chng (khụng s dng ti) Sau khi dy thc nghim v i chng tụi tin hnh cho hc sinh hai lp lm bi kim tra 45 phỳt v ó thu c kt qu thng kờ theo bng sau: Lp S Gii Khỏ Trung bỡnh Yu Kộm s SL % SL % SL % SL % SL % 10C6 45 8 17,8 10 22, 24 53,3 3 6,7 0 0 2 10C7 47 14 29,8 15 31, 16 34 2 4,3 0 0 9 Phng ỏn t chc cỏc tỡnh hung dy hc nh lớ, khỏi nim theo hng võn dng v phỏt... khụng trỏnh khi nhng thiu xút Tụi rt mong cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn ng nghip gúp ý tụi hon thin hn ti ca mỡnh Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 15/5/2015 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca tụi khụng sao chộp ni dung ca ngi khỏc Tỏc gi Trnh Th Huờ TI LIU THAM KHO [1] [6] Nguyn Vnh Cn, Lờ Thng Nht, Phan Thanh Quang (2002), Sai lm ph bin khi gii Toỏn, Nxb Giỏo dc, H Ni Hong Chỳng (1969),... nh th no, Nxb Giỏo dc, H Ni Polya.G (1997), Sỏng to toỏn hc, Nxb Giỏo dc, H Ni 21 [13] [14] Polya.G (1995), Toỏn hc v nhng suy lun cú lớ, Nxb Giỏo dc, H Ni o Tam (2005), Phng phỏp dy hc hỡnh hc trng trung hc ph thụng, [15] [16] Nxb i hc S phm, H Ni o Tam (2005), Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp, Nxb i hc S phm, H Ni o Tam (2000), Bi dng hc sinh khỏ gii THPT nng lc huy ng kin [16] thc khi gii cỏc bi toỏn,... thc mi - Kh nng phõn tớch, tng hp, so sỏnh, tng t, khỏi quỏt húa, c bit húa, h thng húa ca hc sinh tin b hn: iu ny gii thớch l do giỏo viờn ú chỳ ý hn trong vic rốn luyn cỏc k nng ny cho cỏc em - HS tp trung chỳ ý nghe ging, tho lun nhiu hn: iu ny c gii thớch l do trong quỏ trỡnh nghe ging theo cỏch dy hc mi, HS phi theo dừi, tip nhn nhiu hn cỏc nhim v hc tp m giỏo viờn giao, nghe nhng hng dn, gi ý, ... d ban u, nu ta gi I l trung im ca AM cỏc em cú c iu gỡ? ( AM = IM ) T ú s dng kt qu ca vớ d ta cú c bi toỏn mi Bi toỏn 3.1.3: Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC, I l trung im ca AM Chng minh... PPGD VIT Y Trung hc ph thụng Hc sinh Giỏo viờn Vớ d Phơng pháp dạy học Phơng pháp giáo dục 22 BPSP DH ĐC GQVĐ GV HĐ HS KN NL PB PH PPDH QLTK SGK SLDD SLHL TBC TDTK Biện pháp s phạm Dạy học Đối chứng... chứng Giải vấn đề Giáo viên Hoạt động Học sinh Kĩ Năng lực Phân bố Phát Phơng pháp dạy học Quy luật thống kê Sách giáo khoa Suy luận diễn dịch Suy luận hợp lý Trung bình cộng T thống kê 23