Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
349,09 KB
Nội dung
Bài 4: Hàm nhiều biến BÀI 4: HÀM NHIỀU BIẾN Mục tiêu Nội dung Nắm khái niệm hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân, cực trị nhiều biến Làm tập hàm nhiều biến, đặc biệt phần cực trị hàm nhiều biến Bài trình bày hàm số nhiều biến số, phép tính giới hạn, tính chất liên tục phép tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến Sau áp dụng kiến thức vào toán cực trị, toán có ý nghĩa lớn mặt ứng dụng, tạo sở toán học cho toán tối ưu hoá kinh tế Thời lượng Bài trình bày tiết lý thuyết tiết tập Bạn nên dành khoảng đến đồng hồ tuần để học Các kiến thức cần có Hướng dẫn học Các bạn cần có kiến thức tính giới hạn hàm số (bài 1), phép tính đạo hàm vi phân (bài 2) Các bạn cần xem kỹ ví dụ làm phần tập kèm theo MAT101_Bai 4_v2.3013101225 71 Bài 4: Hàm nhiều biến 4.1 Giới hạn tính liên tục hàm số 4.1.1 Khái niệm hàm nhiều biến Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc đối tượng (hàm số) vào đối tượng khác (biến số), phụ thuộc không phổ biến thực tế Ví dụ sản lượng nhà sản xuất phụ thuộc vào nhiều yếu tố gồm có lao động, vốn…; giá hàng hoá thị trường không phụ thuộc vào chi phí sản xuất mà phụ thuộc vào yếu tố cung – cầu… Để phản ánh xác tượng thực tế, phần xét khái niệm hàm số nhiều biến số, phản ánh phụ thuộc đối tượng (hàm số) vào nhiều đối tượng khác (nhiều biến số) Đối với hàm biến số, giá trị biến độc lập đặt tương ứng với giá trị hàm Đối với hàm số nhiều biến, giá trị xác định n biến số đặt tương ứng với giá trị hàm số Nếu ta coi n biến số điểm (biến điểm) ta lại quay định nghĩa hàm nhiều biến hàm số biến điểm Ta cần tìm hiểu số khái niệm n biến số 4.1.1.1 Không gian n chiều Trong chương trình phổ thông, biết mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy cho trước, điểm M đặt tương ứng với hai số thứ tự (x, y) toạ độ M hệ toạ độ chọn; không gian ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho trước, điểm M đặt tương ứng với ba số thứ tự (x, y, z) Khái quát lên có khái niệm điểm không gian n chiều Định nghĩa: Mỗi n số thực thứ tự (x1 , x , , x n ) gọi điểm n chiều Ta ký hiệu điểm chữ in hoa M(x1 , x , , x n ) Định nghĩa: Không gian điểm n chiều (không gian n chiều) tập hợp tất điểm n chiều, khoảng cách hai điểm M(x1 , x , , x n ) N(y1 , y , , y n ) cho công thức: d(M, N) (x1 y1 ) (x y ) (x n y n ) Không gian n chiều ký hiệu n Trong trường hợp n 2, n ta thấy công thức tính khoảng cách nói khoảng cách Euclide biết mặt phẳng không gian 4.1.1.2 Hàm nhiều biến Định nghĩa: Một hàm n biến số quy tắc f : D , với D tập hợp không gian n chiều n , cho tương ứng điểm M(x1 , x , , x n ) D với giá trị f (M) D gọi miền xác định hàm số Ta sử dụng ký hiệu u f (x1 , x , , x n );(x1 , x , , x n ) D để hàm số 72 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Ví dụ 1: Cho hàm số f : n , f (x1 , x , , x n ) x12 x 22 x 2n Miền xác định hàm số là: D M(x1 , , x n ) : x12 x 22 x 2n 1 Miền xác định tự nhiên hàm nhiều biến n số cho thay vào biểu thức hàm số phép toán có ý nghĩa Trong nội dung giáo trình thường xét hàm số hai biến làm ví dụ, hàm số ký hiệu z(x, y);f (x, y); u(x, y) , với (x, y) D Định nghĩa: Miền giá trị hàm số u f (x1 , x , , x n ) tập hợp tất giá trị hàm số điểm M(x1 , x , , x n ) biến thiên miền xác định D Ví dụ 2: Hàm số f : D , D : x y , z f (x, y) x y , miền giá trị là: z Hàm số f : D D : x y , f (x, y) ln(1 x y) , miền giá trị là: , 4.1.1.3 Ý nghĩa hình học hàm hai biến Định nghĩa: Đồ thị hàm số z z(x, y) tập hợp tất điểm M '(x, y, z) không gian , (x, y) toạ độ điểm M thuộc miền xác định D z giá trị hàm số điểm Đồ thị hàm hai biến số mặt không gian ba chiều Ví dụ 3: Đồ thị hàm số z z(x, y) x y nửa mặt cầu có tâm gốc toạ độ O bán kính R nằm nửa không gian z Đồ thị hàm số z x y mặt nón tròn xoay trục Oz, nằm nửa không gian z 4.1.2 Giới hạn hàm nhiều biến 4.1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa: Ta nói dãy điểm {M k (x1k , x k2 , , x nk )} có giới hạn (hội tụ đến) điểm M (x10 , x 02 , , x 0n ) lim d(M k , M) ; hay tương đương lim x ik x i0 ;1 i n k k Ví dụ 4: n , hội tụ điểm (1, 0) n , vì: Dãy điểm M n n n MAT101_Bai 4_v2.3013101225 73 Bài 4: Hàm nhiều biến n 1; lim n n n n lim Cho hàm số f (x1 , x , , x n ) : D , điểm M (x10 , x 02 , , x 0n ) không gian cho tồn dãy điểm M n thuộc D hội tụ điểm M n Định nghĩa: Nếu với dãy số M n hội tụ điểm M , tồn giới hạn: lim f (M n ) l n ta nói hàm số u f (x1 , x , , x n ) có giới hạn l M M Ký hiệu: lim f (x1 , x , , x n ) l lim f (M) l M M0 x i x i0 Ví dụ 5: lim(x y ) x 1 y 0 Thật chọn dãy điểm M n (x n , y n ) hội tụ đến điểm (1, 0) ; tức là: lim x n 1; lim y n n n Thì: lim(x n y 2n ) n Theo định nghĩa ta có: lim(x y ) x 1 y 0 4.1.2.2 Tính chất Định lý: Giả sử f (M);g(M) hai hàm số có giới hạn M A Khi đó: lim f (M) g(M) lim f (M) lim g(M) M A M A M A lim kf (M) k lim f (M) (k số) M A M A lim f (M)g(M) lim f (M) lim g(M) M A M A M A f (M) f (M) Mlim A lim g(M) M A g(M) M A lim g(M) lim M A Ví dụ 6: a) Tìm 74 lim (x,y) (0,0) xy x y2 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến xy Ta có: x y | y| | x | x y2 | x | x Theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra: xy lim (x,y) (0,0) b) Tìm: lim (x,y) (0,0) Ta có: x y2 x sin y y sin x x y2 x sin y y sin x x sin y y sin x sin x sin y Khi x, y 2 x y 2xy x y Theo nguyên lý kẹp suy ra: lim (x,y) (0,0) x sin y y sin x x y2 Ta thường sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp để tìm giới hạn hàm số c) Tìm lim (x,y) (0,0) xy x y2 Ta chứng minh không tồn giới hạn nói Thật vậy, xét hai dãy điểm hội tụ đến điểm (0, 0) n là: M n ; M n 1 1 2 , M n ' ; M n ' , n n n n Ta có với: f (x, y) xy x y2 2 lim f (M n ) ; lim f (M n ') n n Như với hai dãy điểm khác tiến điểm (0, 0) hai giới hạn tương ứng hai dãy giá trị hàm số không Vậy không tồn giới hạn nói x2y d) Tìm: lim ( x,y) (0,0) x 3y Xét hai dãy điểm tiến điểm (0, 0) n : M n ; M n 1 1 ; M n ' ; M n ' ; n n n n Với: g(x, y) x2y , ta tìm giới hạn hai dãy giá trị hàm số x 3y tương ứng là: MAT101_Bai 4_v2.3013101225 75 Bài 4: Hàm nhiều biến lim g(M n ) ; lim g(M n ') n n 13 Vậy không tồn giới hạn: x2y (x,y) (0,0) x 3y lim CHÚ Ý : Chúng ta cần phân biệt khái niệm giới hạn nói x, y đồng thời tiến đến điểm x0 , y0 với hai giới hạn lặp, ta lấy giới hạn theo x trước y sau; theo y trước x sau: lim lim g(x, y) lim lim g(x, y) x x y y0 y y0 x x Nói chung giới hạn đồng thời giới hạn lặp không liên quan đến nhau, giới hạn đồng thời tồn không tồn giới hạn lặp ngược lại Ví dụ 7: a) Trong ví dụ ta thấy giới hạn x, y đồng thời tiến đến điểm không tồn tại, nhiên hai giới hạn lặp tồn tại: lim g(x, y) (x 0) lim lim g(x, y) y 0 x 0 y 0 lim g(x, y) (y 0) lim lim g(x, y) x 0 b) Xét giới hạn: y 0 x 1 lim (x y) sin sin (x,y) (0,0) x y 1 Ta có: (x y) sin sin x y x, y x y Theo nguyên lý giới hạn kẹp: 1 lim (x y) sin sin (x,y) (0,0) x y Tuy nhiên giới hạn lặp không tồn Thật vai trò x, y nên ta xét giới hạn lặp theo x trước, y sau Với y : 1 1 I lim(x y) sin sin sin lim sin x 0 x y y x 0 x 1 không tồn tại, nên không tồn giới hạn lim lim(x y) sin sin y x 0 x y 4.1.3 Hàm số liên tục Khái niệm hàm nhiều biến số liên tục định nghĩa trường hợp hàm số biến số Định nghĩa: Cho hàm số f : D xác định miền D n , M điểm thuộc D Hàm số f (M) gọi liên tục M lim f (M) f (M ) M M0 76 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Hàm số không liên tục điểm M gọi gián đoạn điểm Nếu hàm số f (M) liên tục điểm M thuộc miền D ta nói f (M) liên tục D Ví dụ 8: x sin y y sin x , nên hàm số: 2 x 0 x y y 0 Ta biết lim x sin y y sin x (x, y) (0, 0) x y2 f (x, y) 0 (x, y) (0, 0) liên tục điểm (0, 0) Từ định lý giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hàm nhiều biến số, ta chứng minh định lý sau hàm liên tục Định lý: Giả sử f (M);g(M) hai hàm số biến điểm n chiều M(x1 , x , x n ) liên tục điểm M Ta có: Các hàm số f (M) g(M) f (M)g(M) liên tục điểm M Nếu g(M ) hàm số f (M) liên tục điểm M g(M) Các định lý hàm biến liên tục đoạn đóng a, b mở rộng cho hàm nhiều biến liên tục tập D Định lý: Giả sử hàm số f (M) biến điểm n chiều M(x1 , x , , x n ) xác định liên tục miền D với D (x1 , x , , x n ) : a1 x1 b1 ; a x b ; ; a n x n b n Khi đó: Hàm số f (M) bị chặn miền D, nghĩa tồn số K cho: f (M) K; M D Hàm số f (M) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ miền D Giả sử A, B hai điểm thuộc miền D cho f (A)f (B) tồn điểm C D cho f (C) Nói riêng định nghĩa định lý nói cho trường hợp n Ví dụ 9: a) Xét hàm số: xy (x, y) (0, 0) f (x, y) x y 0 (x, y) (0, 0) MAT101_Bai 4_v2.3013101225 77 Bài 4: Hàm nhiều biến Tại điểm (x, y) (0, 0) , f (x, y) thương hai hàm số liên tục với mẫu số khác 0, nên f (x, y) liên tục điểm Tại điểm (0, 0) , theo ví dụ xét lim f (x, y) f (0, 0) nên hàm số liên tục x 0 y 0 (0, 0) Vậy f (x, y) liên tục b) Xét tính liên tục hàm số: x (x y ) (x, y) (0, 0) f (x, y) x y a (x, y) (0, 0) Tại điểm (x, y) (0, 0) hàm số f (x, y) liên tục Tại điểm (0,0), ta cần tính giới hạn: x (x y ) lim (x,y) (0,0) x y4 Xét hai dãy điểm tiến đến (0,0) n 1 2 1 , M n ' ; M n ' , n n n n M n ; M n Giới hạn hai dãy giá trị hàm số tương ứng là: lim f (M n ) 0; lim f (M n ') n không tồn giới hạn: n 12 , 17 x (x y ) (x,y) (0,0) x y4 lim Vậy hàm số cho gián đoạn (0,0) 4.2 Đạo hàm riêng vi phân riêng 4.2.1 Số gia riêng số gia toàn phần Một hàm nhiều biến u f (x1 , x , , x n ) xem hàm số biến số ta cố định giá trị biến lại Từ định nghĩa số gia riêng hàm nhiều biến biến số Trước hết ta xét với n Xét hàm số z f (x, y) xác định miền D, M (x , y0 ) điểm thuộc miền D Cố định giá trị y y0 cho x thay đổi lượng x giá trị hàm số thay đổi là: x z f (x x, y0 ) f (x , y0 ) Ta gọi x z số gia riêng theo biến x hàm số z f (x, y) Tương tự số gia riêng theo biến y hàm số z f (x, y) điểm M (x , y0 ) là: y z f (x , y0 y) f (x , y0 ) Số gia toàn phần biểu thị thay đổi giá trị hàm số hai biến đồng thời thay đổi Nếu x thay đổi lượng x , y thay đổi lượng y , số gia toàn phần hàm số là: z(x , y0 ) f (x , y ) f (x x, y y) f (x , y ) 78 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Ví dụ 10: Cho hàm số: z f (x, y) xy Các số gia riêng theo biến x biến y điểm (x , y0 ) là: x z(x , y0 ) (x x)y0 x y0 y0 x y z(x , y0 ) x (y0 y) x y0 x y Số gia toàn phần hàm số là: z(x , y0 ) (x x)(y y) x y x y y x xy Tổng quát, xét hàm số biến điểm n chiều u f (x1 , x , , x n ) Số gia riêng theo biến x i , i n , điểm M (x10 , x 02 , , x 0n ) là: xi u f (x10 , , x i01 , x i0 x i , x i01 , x 0n ) f (x10 , , x i01 , x i0 , x i01 , x 0n ) Số gia toàn phần hàm số điểm là: u f (x10 x1 , , x i0 x i , , x 0n x n ) f (x10 , , x i0 , , x 0n ) 4.2.2 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Đạo hàm riêng hàm hợp 4.2.2.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa: Đạo hàm riêng hàm n biến u f (x1 , x , , x n ) theo biến x i ;(1 i n) giới hạn tỉ số số gia riêng theo biến x i hàm số số gia biến x i số gia tiến tới x u u lim i x i xi 0 x i Đạo hàm riêng thực chất đạo hàm riêng theo biến số tất biến lại nhận giá trị cố định Do tính đạo hàm riêng theo biến ta coi biến lại số, tính đạo hàm theo biến xét Ví dụ 11: Cho hàm số u x 3xy z Ta có: u x ' 2x 3y ; u y ' 6xy; u z ' 4z Trong trường hợp n , xét hàm số u f (x, y) xác định miền D; M (x , y0 ) điểm thuộc D Đạo hàm riêng f biến x biến y điểm M là: f 'x (x , y0 ) lim x f 'y (x , y ) lim y MAT101_Bai 4_v2.3013101225 f (x x, y0 ) f (x , y0 ) xf lim x x x yf y lim y f (x , y y) f (x , y ) y 79 Bài 4: Hàm nhiều biến Ta sử dụng công thức nói để tính đạo hàm điểm, hàm số cho công thức, ta áp dụng cách tính nói trên: Khi tính f x ' ta coi hàm số phụ thuộc vào biến số x, ngược lại tính f y ' ta coi hàm số phụ thuộc vào biến số y Ví dụ 12: a) Tính đạo hàm riêng f (x, y) x (y 2) tg (xy) arcsin y 1 x điểm (0,1) Ta có: y0 , f (x,1) 3x tg x suy ra: 1 cos f 'x (x ,1) (3x tgx) '(x ) 6x cos x f 'x (0,1) (3x tgx) '(0) 6.0 b) z x y arctg (x y) f f ; x3 3x y (x y) y (x y) x c) z x y , (x 0) f f x y ln x yx y 1 ; y x xy (x, y) (0, 0) d) f (x, y) x y (x, y) (0, 0) 0 Tại điểm (x, y) (0, 0) ta có: x xy f y(x y ) 2x y yx y3 f x(x y ) 2xy ; (x y ) (x y ) y (x y ) (x y ) x Tại điểm (x, y) (0, 0) ta có: f f (x, 0) f (0, 0) f 0; (0, 0) (0, 0) lim x 0 x y x 0 4.2.2.2 Công thức đạo hàm hàm hợp Trước hết ta nêu khái niệm hàm số hợp hai hàm nhiều biến số Cho D tập hợp Xét ánh xạ : D ; (x, y) (u(x, y); v(x, y)) hàm số hai biến f : (D) ;f (u, v) Xét hàm số F f : D xác định sau: f F : (x, y) D (u(x, y), v(x, y)) (D) f (u(x, y), v(x, y)) F(x, y) Hàm số F xác định gọi hàm số hợp hai hàm f 80 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Định lý: f f hàm liên tục (D) u,v ; u v u u v v ; ; ; D D tồn đạo hàm riêng có đạo hàm riêng x y x y F F ; ta có : x y Nếu hàm số f có đạo hàm riêng F f x u F f y u u f v x v x u f v y v y Tổng quát giả sử w f (u1 , u , , u m ) : D m n biến số u i ;(1 i m) lại hàm số n biến u i u i (x1 , x , , x n ) Xét hàm số: w f u1 (x1 , , x n ), , u m (x1 , , x n ) g(x1 , , x n ) cho tương ứng biến điểm (x1 , x , , x n ) với giá trị w g(x1 , , x n ) Quy tắc cho ta hàm số hợp hàm số nhiều biến w f (u1 , , u m ) u i u i (x1 , , x n );1 i m Đạo hàm riêng hàm số w theo biến x i tính theo công thức: w w u1 w u w u m , (1 i n) x i u1 x i u x i u m x i Ví dụ 13: Cho hàm số: z u v , u xy, v x y Theo ví dụ 12: z z vu v 1 ; u v ln u Áp dụng định lý đạo hàm hàm hợp, u v ta được: 2 2 z (x y )(xy) x y 1 y 2x(xy) x y ln(xy) x 2 2 z (x y )(xy) x y 1 x 2y(xy) x y ln(xy) y Sau số trường hợp đặc biệt hàm số hợp, ta nêu công thức đạo hàm hàm hợp để sử dụng thuận tiện Nếu z f (x, y), y y(x) ta viết lại z f (x, y(x)) F(x) hàm số x, đó: F'(x) dz z z y '(x) dx x y Nếu z f (x, y) , x x(t), y y(t) z f (x(t), y(t)) F(t) Khi đó: F'(t) MAT101_Bai 4_v2.3013101225 dz x y x '(t) y '(t) dt t t 81 Bài 4: Hàm nhiều biến 4.2.3 Vi phân toàn phần vi phân riêng Giả sử hàm số z f (x, y) xác định miền D có đạo hàm riêng liên tục điểm M (x , y0 ) thuộc D Xét số gia toàn phần hàm số điểm M f f (x x, y0 y) f (x , y0 ) Ta biến đổi biểu thức này: f f (x x, y y) f (x x, y ) f (x x, y ) f (x , y ) Theo định lý Lagrange, tồn điểm c1 nằm y y y ; điểm c nằm x x x cho: f f y '(x x, c1 ) f x '(c , y ) Theo giả thiết hàm số f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục nên ta viết được: f x '(c2 , y0 ) f x '(x , y0 ) ;f y '(x x, c1 ) f y '(x , y0 ) , phụ thuộc vào x, y có giới hạn x 0, y Do số gia hàm số điểm M viết lại thành: f (x , y0 ) f x '(x , y0 )x f y '(x , y0 )y x y Từ biểu thức ta định nghĩa hàm số khả vi Định nghĩa: Nếu hàm số z f (x, y) có biểu thức số gia toàn phần điểm M viết dạng: f Ax By x y , A, B số phụ thuộc x , y0 , có giới hạn x , y , f gọi khả vi điểm M biểu thức Ax By gọi vi phân toàn phần hàm số f (x, y) điểm M , ký hiệu df Nếu hàm số f (x, y) khả vi điểm M thuộc miền D f (x, y) gọi khả vi miền D Từ biến đổi ta có điều kiện đủ tính khả vi hàm số hai biến Định lý: Giả sử hàm số z f (x, y) có đạo hàm riêng lân cận U: U (x, y) :| x x | ;| y y | điểm M (x , y0 ) đạo hàm riêng liên tục M hàm số f (x, y) khả vi điểm M dz(M ) f 'x (M )dx f 'y (M )dy CHÚ Ý: Nếu hàm số f (x, y) khả vi điểm M liên tục điểm Ví dụ 14: Cho hàm số: z f (x, y) x y 2xy Từ: z x ' 3x y 2y ; z y ' x 4xy ; suy : dz df 3x y 2y dx x 4xy dy 82 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Tổng quát, cho hàm số u f (x1 , x , , x n ) Vi phân toàn phần hàm số là: du df f f f dx1 dx dx n x1 x x n Nếu ta xét hàm số nói hàm số biến số độc lập x i ;(1 i n) (coi biến số lại số) vi phân hàm biến tương ứng gọi vi phân riêng hàm số u f (x1 , , x n ) theo biến x i Vi phân riêng ký hiệu tính theo công thức: d xi f f dx i x i Dễ thấy vi phân toàn phần tổng vi phân riêng: df d x1 f d x f d x n f 4.2.4 Ứng dụng vi phân tính gần Ta sử dụng công thức sau để tính gần giá trị hàm hai biến điểm: f (x x, y y) f (x , y ) f 'x (x , y0 )x f 'y (x , y0 )y Ví dụ 15: a) Tính gần arctg 1, 03 0,98 x Xét hàm số z arctg Chọn x y 1; x 0, 03; y 0, 02 y Ta có: z 'x y x 1 z 'x (1,1) ; z y '(1,1) ; z 'y 2 x y x y 2 Theo công thức: arctg 1, 03 1 z(1,1) 0, 03 (0, 02) 0, 025 0,81(rad) 0,98 2 b) Tính gần đúng: A (1, 02) (0, 04) Xét hàm số: z x y Chọn x 1, y0 0, x 0, 02; y 0, 04 Ta có: z 'x 2x 3 (x y ) ; z 'y 2y z 'x (1, 0) ; z 'y (1, 0) 3 (x y ) 2 Suy ra: A z(1, 02;0, 04) z(0,1) 0, 02 0.0, 04 1, 013 4.2.5 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 4.2.5.1 Đạo hàm riêng cấp cao Ta biết đạo hàm cấp cao hàm biến số định nghĩa theo quy nạp: đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp (n -1) Đối với hàm nhiều biến, khái niệm tương ứng đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp cao MAT101_Bai 4_v2.3013101225 83 Bài 4: Hàm nhiều biến Cho hàm số u f (x1 , x , , x n ) có đạo hàm riêng theo biến x i miền D Khi đạo hàm riêng f xi ' hàm số n biến số Đạo hàm riêng theo biến x j đạo hàm riêng cấp f xi ' gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số u f (x1 , , x n ) theo biến x i x j ký hiệu : u '' xi x j f '' xi x j 2u 2f x i x j x i x j Tương tự ta định nghĩa theo quy nạp đạo hàm riêng cấp cao Khi n , xét hàm hai biến z f (x, y) xác định miền D Ta có đạo hàm riêng cấp hai ký hiệu sau: f f f f f '' (x, y); f ''xy (x, y) x x x x y x yx f f f f f '' (x, y); f ''y2 (x, y) yx x y xy y y y Ví dụ 16: Cho hàm số z x y 4xy Ta có z 'x 3x y 4y ; z 'y 4x y3 8xy z ''x 6xy ; z ''xy 12x y3 8y z ''yx ; z ''y2 12x y 8x Nhận xét: Trong ví dụ z ''xy z ''yx Tuy nhiên đẳng thức xảy Định lý sau cho biết điều kiện đủ để hai đạo hàm riêng hỗn hợp Định lý (Schwarz): Nếu lân cận U điểm M (x , y0 ) hàm số z f (x, y) có đạo hàm riêng f ''xy , f ''yx đạo hàm riêng liên tục M f ''xy f ''yx M 4.2.5.2 Vi phân cấp cao Định nghĩa: Vi phân toàn phần vi phân toàn phần du hàm số u f (x1 , , x n ) gọi vi phân toàn phần cấp hai hàm số ký hiệu là: d u d f n n Ta tính được: d f i 1 j1 2f dx i dx j x i x j Nói riêng với n , hàm số z f (x, y) có đạo hàm riêng cấp hai, vi phần toàn phần cấp hai hàm số là: d z d(dz) f ''x (dx) (f ''yx f ''xy )dxdy f ''y2 (dy) 84 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Giả thiết f xy '' f yx '' liên tục, suy ra: d z f ''x (dx) 2f ''yx dxdy f ''y2 (dy) Ví dụ 17: Cho hàm số z e x cos y Ta có: z 'x e x cos y; z 'y e x sin y z ''x e x cos y; z ''yx z ''xy e x sin y; z ''y2 e x cos y Suy ra: d z e x (cos ydx 2sin ydxdy cos ydy ) d z(0, ) dx dy 4.3 Cực trị hàm nhiều biến 4.3.1 Cực trị không điều kiện Định nghĩa: Tập hợp D n gọi tập mở D có tính chất, với điểm M D tồn số dương r cho điểm N không gian n chiều thoả mãn d(M, N) r thuộc D Định nghĩa: Cho hàm số u f (x1 , x , , x n ) xác định tập mở D M D Ta nói hàm số f (x1 , , x n ) đạt cực trị điểm M tồn số r cho với điểm M D d(M, M ) r hiệu f (M) f (M ) không đổi dấu Nếu f (M) f (M ) M điểm cực tiểu, f (M) f (M ) M điểm cực đại Điểm M gọi điểm cực trị hàm số Trong giáo trình xét quy tắc tìm cực trị hàm hai biến z f (x, y) Định lý 1: Nếu hàm số z f (x, y) đạt cực trị điểm M mà điểm đạo hàm riêng p f 'x (M );q f 'y (M ) tồn p q Như đặt thêm giả thiết hàm số z f (x, y) có đạo hàm riêng ta vét hết tất điểm có khả xảy cực trị Thêm nữa, ta giả sử đạo hàm riêng cấp hai tồn liên tục miền xác định D Ký hiệu: r f ''xx (M);s f ''xy (M); t f ''yy (M) Định lý 2: Giả sử z f (x, y) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận điểm M (x , y0 ) Giả sử M ta có p q Khi M0: Nếu s rt f (x, y) đạt cực trị M ; cực đại r , cực tiểu r Nếu s rt f (x, y) không đạt cực trị M MAT101_Bai 4_v2.3013101225 85 Bài 4: Hàm nhiều biến Nếu s rt f (x, y) đạt không đạt cực trị M (trường hợp nghi ngờ) Từ hai định lý trên, ta rút quy tắc tìm cực trị Bước 1: tìm điểm dừng, có toạ độ nghiệm hệ phương trình f 'x f 'y Bước 2: tính giá trị đạo hàm riêng cấp hai điểm dừng r f ''xx (M);s f ''xy (M); t f ''yy (M) xét dấu biểu thức s rt o Nếu , hàm số không đạt cực trị M o Nếu , hàm số đạt cực trị M : r , M điểm cực tiểu; r , M điểm cực đại o Nếu , kết luận M có điểm cực trị hay không Ví dụ 18: a) Tìm cực trị hàm số z x y xe y Tìm điểm tới hạn: y x z 'x e y z 'y xe y Tính giá trị đạo hàm cấp hai r 0,s 1, t 1 suy hàm số không đạt cực trị điểm (1,0) b) Tìm cực trị hàm số z x 2y3 3x 6y Tìm điểm tới hạn: z 'x 3x x 1 z 'y 6y y 1 Tính giá trị r z ''xx 6x;s z ''xy 0; t z ''yy 12y Tại điểm (1,1): 0, r : hàm số đạt cực tiểu (1,1) Tại điểm (-1,-1): 0, r : hàm số đạt cực đại (-1,-1) Tại điểm (1,-1) (-1,1): 72 , hàm số không đạt cực trị 4.3.2 Hàm ẩn Cho phương trình: F(x, y) 86 (4.1) MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến F : D hàm số xác định tập hợp D Với giá trị x x khoảng I có hay nhiều giá trị y0 cho F(x , y0 ) Khi ta nói phương trình (4.1) xác định hay nhiều hàm số ẩn y theo biến x khoảng I Định nghĩa: Hàm số y(x) : I gọi hàm số ẩn xác định phương trình (4.1) nếu: x I, (x, y(x)) D F(x, y(x)) Ví dụ 19: Phương trình: x y 4;(0 x 2;0 y 2) xác định cho ta hàm ẩn y x ;(0 x 2) Tuy nhiên từ phương trình dạng F(x, y) ta giải tường minh hàm ẩn y y(x) thành dạng hàm số x Ví dụ phương trình x y y x , (x, y 0) Tuy nhiên trường hợp định ta nói tính khả vi hàm ẩn mà không cần giải tường minh phương trình y y(x) Định lý: Cho phương trình (4.1) F : D hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở D Giả sử (x , y0 ) D F(x , y0 ) Nếu F 'y (x , y0 ) phương trình (4.1) xác định lân cận I (x , x ) ( ) x hàm số ẩn y y(x) nhất, thoả mãn điều kiện y(x ) y0 ; y(x) liên tục có đạo hàm liên tục lân cận I nói Để tính đạo hàm hàm ẩn, ta thay công thức y(x) vào phương trình (4.1) thu đồng thức: F(x, y(x)) Đạo hàm hai vế theo x ta có: Fx ' y '(x)Fy ' y '(x) Fx ' Fy ' Ví dụ 20: a) Giả sử phương trình x y y3 x a xác định hàm ẩn y y(x) Ta có: F(x, y) x y y3 x a Thay y y(x) , ta đồng thức: F(x, y) x y(x) y3 (x)x a MAT101_Bai 4_v2.3013101225 87 Bài 4: Hàm nhiều biến Đạo hàm hai vế theo biến x: 3x y x y ' 3y y ' x y3 y '(x) 3x y y3 3xy x b) Giả sử phương trình xe y ye x e xy xác định hàm ẩn y y(x) Tính y '(0) Tại điểm: x ; F(0, y(0)) y(0) suy ra: y(0) Ta có: F(x, y) xe y ye x e xy Thay y y(x) ta đồng thức: xe y ye x e xy Đạo hàm hai vế theo biến x: e y xy 'e y y 'e x ye x ye xy xy 'e xy Suy ra: y '(x) e y ye x ye xy xe y e x xe xy Thay x 0, y có y '(0) e c) Giả sử phương trình F(x, y) ln x y arctg y xác định hàm ẩn y y(x) x Lấy đạo hàm hai vế theo x, ta được: x yy ' xy ' y x yy ' xy ' y x y2 x y2 Với điều kiện y x , ta tìm đạo hàm hàm ẩn y' xy xy Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế ta có: y '' (1 y ')(x y) (x y)(1 y ') 2(xy ' y) (x y) (x y) Thay biểu thức y ' , ta được: y '' 2(x y ) (x y)3 Tương tự ta tính tiếp đạo hàm cấp cao hàm ẩn d) Tìm điểm cực trị hàm ẩn y y(x) xác định phương trình: x y3 3xy 88 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Đặt F(x, y) x y3 3xy Điều kiện để tồn hàm ẩn là: Fy ' 3y 3x Điểm dừng hàm ẩn y '(x) , suy Fx ' x y3 3xy Giải hệ: 3x 3y x 2; y y2 x Ta cần kiểm tra điều kiện đủ y ''(x) Ta có: Fx ' y x y '(x) Fy ' y x Suy ra: y ''(x) (y ' 2x)(y x) (y x )(2yy ' 1) (y x) Thay x 2; y 4; y '( 2) , ta y ''( 2) Vậy x điểm cực đại hàm ẩn cho, yCĐ 4.3.3 Cực trị có điều kiện 4.3.3.1 Cực trị có điều kiện Trong 4.3.1 ta xét toán cực trị điều kiện, tức biến độc lập xuất hàm số không ràng buộc Tuy nhiên thực tế nhiều trường hợp biến có ràng buộc lẫn Ví dụ người tiêu dùng muốn mua hai loại hàng hoá đó, số lượng mua nhiều thoả mãn tâm lý người đó, nhiên với số tiền mua hàng có hạn người buộc phải lựa chọn mua loại sản phẩm đơn vị để đem lại lợi ích tốt Đó toán tìm cực trị có điều kiện Định nghĩa: Cực trị hàm số z f (x, y) hai biến x y bị ràng buộc hệ thức g(x, y) cực trị có điều kiện Một cách hiển nhiên ta nghĩ đến khả từ phương trình g(x, y) giải hàm ẩn y y(x) Khi toán cực trị có điều kiện chuyển tìm cực trị hàm số biến số w f x, y(x) h(x) Tuy nhiên 4.3.2 ta biết giải tường minh công thức hàm ẩn Do ta cần quy tắc kiểm tra trực tiếp, sau quy tắc tìm cực trị có điều kiện 4.3.3.2 Quy tắc tìm cực trị có điều kiện Xét hàm số phụ: (x, y) f (x, y) g(x, y) MAT101_Bai 4_v2.3013101225 89 Bài 4: Hàm nhiều biến Biến phụ gọi nhân tử Lagrange Ta thấy với tất điểm (x, y) thoả mãn điều kiện g(x, y) hai hàm số f (x, y); (x, y) nhận giá trị Do cực trị hàm số f (x, y) với điều kiện g(x, y) cực trị hàm số (x, y) Do điểm mà cực trị có điều kiện xảy phải rơi vào điểm dừng hàm số (x, y) Ta có quy tắc sau đây: Quy tắc tìm cực trị có điều kiện: Bước 1: Xét hàm số (x, y) f (x, y) g(x, y) 'x ' y Tìm điểm dừng hàm phụ thoả mãn hệ phương trình g(x, y) Bước 2: Xét hiệu f (M) f (M ) , M thuộc lân cận đủ bé M , chịu ràng buộc g(M) o Nếu M điểm đạt cực tiểu o Nếu M điểm đạt cực đại o Nếu đổi dấu M điểm cực trị Ví dụ 21: Tìm cực trị hàm số z xy 2x với điều kiện 8x 4y 120 g(x, y) 8x 4y 120 Xét hàm số: (x, y) xy 2x (8x 4y 120) Tìm điểm dừng hàm phụ thoả mãn: 8x 4y 120 x x ' y 8 y 14 2 y ' x 4 Xét điểm M(8 h,14 k) gần M (8,14) Ta có: (8 h)(14 k) 2(8 h) 8.14 2.8 hk 16h 8k Giữa h, k có ràng buộc: g(8 h,14 k) 8(8 h) 4(14 k) 120 k 2h Thay vào biểu thức , ta có: 2h 0, h f (M) f (M ) Vậy M (8,14) điểm cực đại hàm số, ZCĐ = 128 90 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến 4.3.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hai toán cực trị xét giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số mang tính chất địa phương lớn nhỏ so với điểm gần điểm đó.Tuy nhiên thực tế ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ toàn miền xác định hàm số cần xét Sau đưa quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến số Ta biết hàm số liên tục miền bị chặn D có biên đạt giá trị lớn nhất, nhỏ miền Nếu f đạt GTLN (GTNN) miền D điểm điểm cực trị Ngoài f đạt GTLN, GTNN biên miền D, lúc ta có thêm ràng buộc phương trình biên D Do Bước 1: Tìm điểm tới hạn hàm số miền D Bước 2: Tính toán so sánh giá trị hàm số điểm tới hạn đó, so sánh với giá trị hàm số giá trị biên từ kết luận Ví dụ 22: a) Tìm GTLN, GTNN hàm số z x 2xy 4x 8y hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x 0, x 1, y 0, y 2x 2y x 4 Tìm điểm tới hạn: y 2x Điểm (4, 6) không thuộc miền xét Trên biên x , y , suy z 8y 16 Trên biên x , y , suy 3 z 10y 17 Trên biên y , x 1; 3 z x 4x Trên biên y , x 1;16 z x 16 17 Từ ta thấy giá trị lớn z max z(1, 2) 17 ; giá trị nhỏ z z(1, 0) 3 b) Tìm GTLN, GTNN hàm số z x y , miền tròn x y Tìm điểm tới hạn miền: 2x 2y , suy x y 0, z(0, 0) Trên biên: x y , y , ta có 4 z 2y Suy giá trị lớn z max điểm (2;0) ; giá trị nhỏ z 4 điểm (0; 2) 4.3.5 Ứng dụng kinh tế: Bài toán tối đa hoá lợi nhuận Các kết sở cho việc giải toán tối ưu hoá Bài toán tối ưu đặt tối đa hoá tối thiểu hoá giá trị hàm mục tiêu: w f (x1 , x , , x n ) biến độc lập x i ;1 i n phản ánh nhân tố đầu vào MAT101_Bai 4_v2.3013101225 91 Bài 4: Hàm nhiều biến Một tiền đề kinh tế học thị trường là: Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu tối đa hoá lợi nhuận Ta xét toán kinh tế sau đây: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm gọi Q1 , Q số lượng sản phẩm thứ thứ hai Tổng chi phí để sản xuất số lượng sản phẩm là: TC TC(Q1 , Q ) Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường sản phẩm Gọi p1 , p giá thị trường hai loại sản phẩm, hàm lợi nhuận là: p1Q1 p Q TC(Q1 , Q ) Bài toán đặt chọn cấu sản phẩm (Q1 , Q ) để hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn Đây toán cực trị hàm hai biến số Ví dụ 22: Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp là: TC 6Q12 3Q 22 4Q1Q giá trị hai sản phẩm thị trường p1 60; p 34 Hàm lợi nhuận là: 60Q1 34Q 6Q12 3Q 22 4Q1Q Giá trị đạt lợi nhuận tối đa điểm dừng hàm lợi nhuận: Q1 ' 60 12Q1 4Q Q1 Q2 ' 34 4Q1 6Q Q Tính giá trị đạo hàm bậc hai: r 12;s 4; t 6 suy 0, r hàm lợi nhuận đạt cực đại với cặp giá trị (Q1 , Q ) (4,3) Vậy doanh nghiệp nên sản xuất đơn vị sản phẩm thứ đơn vị sản phẩm thứ hai 92 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong nghiên cứu vấn đề sau: Hàm nhiều biến số Khái niệm liên tục hàm nhiều biến số Đạo hàm riêng Vi phân riêng Cực trị hàm số Cực trị có điều kiện hàm số Bài trình bày khái niệm kết phép tính vi phân hàm số nhiều biến số: Định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn tính liên tục hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị hàm số nhiều biến ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Khi học, học viên cần lưu ý đến khác biệt hàm số biến số hàm số nhiều biến số CÂU HỎI ÔN TẬP Nêu cách tính đạo hàm riêng theo biến hàm số hai biến z = f(x,y) Định nghĩa cực trị cực trị có điều kiện hàm số hai biến Cực trị không điều kiện khác với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số miền nào? MAT101_Bai 4_v2.3013101225 93 Bài 4: Hàm nhiều biến BÀI TẬP Tìm miền xác định hàm số sau a) z ln(xy 1) c) z 1 xy xy b) z x y ln(x y ) d) z x ln y Tính đạo hàm riêng cấp cấp hai hàm số sau a) z y sin x y b) z e x 2y c) z (x y )2 x Tính đạo hàm hàm số ẩn y y(x) xác định từ phương trình sau a) arctg xy y a a b) x 2xy y a c) 2y sin y 2x Tìm cực trị hàm số sau a) z 4(x y) x y b) z x xy y x y c) z x y3 3xy Tìm cực trị có điều kiện hàm số sau a) z xy x y b) z x 12xy 2y 4x y 25 94 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 [...]... đạo hàm của đạo hàm cấp (n -1) Đối với hàm nhiều biến, khái niệm tương ứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp cao MAT101_Bai 4_v2.3013101225 83 Bài 4: Hàm nhiều biến Cho hàm số u f (x1 , x 2 , , x n ) có đạo hàm riêng theo các biến x i trong miền D Khi đó các đạo hàm riêng f xi ' cũng là các hàm số của n biến số Đạo hàm riêng theo biến x j của đạo hàm riêng cấp một f xi ' được gọi là đạo hàm riêng... Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu những vấn đề sau: Hàm nhiều biến số Khái niệm liên tục của hàm nhiều biến số Đạo hàm riêng Vi phân riêng Cực trị của hàm số Cực trị có điều kiện của hàm số Bài này trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số: Định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm. .. số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến và ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học Khi học, học viên cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số một biến số và hàm số nhiều biến số CÂU HỎI ÔN TẬP 1 Nêu cách tính đạo hàm riêng theo từng biến của hàm số hai biến z = f(x,y) 2 Định nghĩa cực trị và cực trị có điều kiện của hàm. .. 72 0 , hàm số không đạt cực trị 4.3.2 Hàm ẩn Cho phương trình: F(x, y) 0 86 (4.1) MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến trong đó F : D là một hàm số xác định trên tập hợp D 2 Với mỗi giá trị x x 0 trong một khoảng I nào đó có thể có một hay nhiều giá trị y0 sao cho F(x 0 , y0 ) 0 Khi đó ta nói phương trình (4.1) xác định một hay nhiều hàm số ẩn y theo biến x trong.. .Bài 4: Hàm nhiều biến Định lý: f f là các hàm liên tục trong (D) và nếu u,v ; u v u u v v ; ; ; trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng có các đạo hàm riêng x y x y F F ; và ta có : x y Nếu hàm số f có các đạo hàm riêng F f x u F f y u u f v x v x u f v y v y Tổng quát giả sử w f (u1 , u 2 , , u m ) : D m n và mỗi biến số... ;(1 i m) lại là hàm số của n biến u i u i (x1 , x 2 , , x n ) Xét hàm số: w f u1 (x1 , , x n ), , u m (x1 , , x n ) g(x1 , , x n ) cho tương ứng mỗi biến điểm (x1 , x 2 , , x n ) với một giá trị w g(x1 , , x n ) như trên Quy tắc này cho ta hàm số hợp của các hàm số nhiều biến w f (u1 , , u m ) và u i u i (x1 , , x n );1 i m Đạo hàm riêng của hàm số w theo biến x i được tính... điều kiện của hàm số hai biến Cực trị không điều kiện khác với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền như thế nào? MAT101_Bai 4_v2.3013101225 93 Bài 4: Hàm nhiều biến BÀI TẬP 1 Tìm miền xác định của các hàm số sau đây a) z ln(xy 1) c) z 1 1 xy xy b) z x 2 y 2 4 ln(x y 2 ) d) z x ln y 2 Tính đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của các hàm số sau đây a) z y 2... cho việc giải các bài toán tối ưu hoá Bài toán tối ưu đặt ra là tối đa hoá hoặc tối thiểu hoá giá trị của hàm mục tiêu: w f (x1 , x 2 , , x n ) trong đó các biến độc lập x i ;1 i n phản ánh các nhân tố đầu vào MAT101_Bai 4_v2.3013101225 91 Bài 4: Hàm nhiều biến Một trong những tiền đề của kinh tế học thị trường là: Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu tối đa hoá lợi nhuận Ta xét bài toán kinh tế... tại M 0 thì hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M 0 và dz(M 0 ) f 'x (M 0 )dx f 'y (M 0 )dy CHÚ Ý: Nếu hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M 0 thì nó liên tục tại điểm đó Ví dụ 14: Cho hàm số: z f (x, y) x 3 y 2xy 2 Từ: z x ' 3x 2 y 2y 2 ; z y ' x 3 4xy ; suy ra : dz df 3x 2 y 2y 2 dx x 3 4xy dy 82 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến Tổng quát, cho hàm số u ... 87 Bài 4: Hàm nhiều biến Đạo hàm hai vế theo biến x: 3x 2 y x 3 y ' 3y 2 y ' x y3 0 y '(x) 3x 2 y y3 3xy 2 x 3 b) Giả sử phương trình xe y ye x e xy 0 xác định hàm ẩn y y(x) Tính y '(0) Tại điểm: x 0 ; F(0, y(0)) y(0) 1 0 suy ra: y(0) 1 Ta có: F(x, y) xe y ye x e xy 0 Thay y y(x) ta được đồng nhất thức: xe y ye x e xy 0 Đạo hàm hai vế theo biến ... y ' x 4 Xét điểm M(8 h, 14 k) gần M (8, 14) Ta có: (8 h)( 14 k) 2(8 h) 8. 14 2.8 hk 16h 8k Giữa h, k có ràng buộc: g(8 h, 14 k) 8(8 h) 4( 14 k) 120... điểm Ví dụ 14: Cho hàm số: z f (x, y) x y 2xy Từ: z x ' 3x y 2y ; z y ' x 4xy ; suy : dz df 3x y 2y dx x 4xy dy 82 MAT101 _Bai 4_ v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều... có: 2h 0, h f (M) f (M ) Vậy M (8, 14) điểm cực đại hàm số, ZCĐ = 128 90 MAT101 _Bai 4_ v2.3013101225 Bài 4: Hàm nhiều biến 4. 3 .4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hai toán cực trị xét