1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau 4) Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: 5) Tìm cực trị của các hàm số sau: 6) Tìm cực trị có điều kiện:
Trang 1BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
1 Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:
3 3
y x
y x z
+
+
3 2 2 4 x
) y x (
xy 2 y x 3 x z
+
− +
3 2 2 4
y x 2 y x 3 y z
+
− +
= 2) z = ln( x + x 2 + y 2 ), ĐS: x x 2 y 2
1 z
+
= , y x 2 y 2 x x 2 y 2
y z
+ +
+
=
3) z = y 2 sinyx, ĐS: zx = y cosyx, x cosyx
y
x sin y 2
zy = − 4) y3
z = , ĐS: 3 y 1
x
3 x y
z = − , z 3 x y y 2 ln x
y
3
= 5) z = arctgyx , ĐS: x 2 2
y x
y z
+
y x
x z
+
−
= 6) z = arcsin( x − 2 y ), ĐS: x 1 ( x 2 y ) 2
1 z
− +
2 z
− +
−
=
7)
x y x
x y x ln z
2 2
2 2
+ +
− +
2 z
+
−
= , y y x 2 y 2
x 2 z
+
=
2 2 y x
y x arctg z
+
−
2 x
y x x
y z
+
y z
+
−
=
x
u = , ĐS: z y 1
x
z x y
y x ln x z y
u = z − , u x y ln x y z ln y
y
z
= 10) 2 12 2
e
u= + + , ĐS: x y z 2 2 2 2
1 x
) z y x (
x 2
e
u 2 2 2
+ +
−
2 2 2 2 z y x 1 x
) z y x (
y 2
e
u 2 2 2
+ +
−
1 x
) z y x (
z 2
e
u 2 2 2
+ +
−
= + +
11) u = e xyz sinzy, ĐS:
z
y sin yz e
z
y cos z
1 z
y sin xz ( e
u xyz
) z
y cos z
y z
y sin xy ( e
3) Tính đạo hàm của các hàm số ẩn được xác định bởi phương trình sau:
1) x3y – y3x = a4, ĐS: y ' xy((x3x2 3yy2))
2 2
−
−
−
= 2) xey + yex – exy = 0, ĐS: yy xx xyxy
xe e xe
ye ye e ' y
− +
− +
−
= 3)
a
y a
y x
2 ) y x (
a ' y
+
= 4) ln x 2 + y 2 = arctgyx , ĐS: y ' xx yy
+
−
−
= 5) x + y + z = ez, tính z’x, z’y, ĐS: zx zy x y1 z 1
− + +
=
= 6) x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0, tính z’x, z’y, z zx2 xyyz
2 x
−
−
= , z zy2 xyxz
2 y
−
−
= 4) Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:
1) ( x 2 y 2 ) 3
3
1
2 2 xx
y x
y x 2 z
+
+
= , xy x 2 y 2
xy z
+
2 2 yy
y x
y 2 x z
+
+
=
) y x (
xy 2 x ) y x (
x 2 ) y x ln(
2 z
+
− + + + +
= 2
2 xy
) y x (
x ) y x (
x 2 z
+
− +
2 yy
) y x (
x z
+
−
= 3) z = ln( x + x 2 + y 2 ), 2 2 3 / 2
xx x ( x y )
z = + − , 2 2 3 / 2
xy y ( x y )
Trang 22 / 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 yy
) y x ( ) y x x (
y x ) y x ( x z
+ +
+
+
− +
=
4) z = arctgxy , ĐS: xx 2 2 2
) y x (
xy 2 z
+
−
2 2 xy
) y x (
) y x ( z
+
−
−
= , yy 2 2 2
) y x (
xy 2 z
+
−
= 5) Tìm cực trị của các hàm số sau:
1) z = 4(x - y) – x2 – y2, ĐS: Cực đại tại (2,-2)
2) z = x2 + xy + y2 + x – y + 1, ĐS : Cực tiểu tại (-1,1)
3) z = x + y - xey, ĐS: Không có cực trị
4) z = 2x4 + y4 – x2 – 2y2, ĐS : Cực tiểu tại (-1/2,-1), (1/2,-1), (-1/2,1), (1/2,1)
5) 2 2 ( x 2 y 2 )
e ) y x (
z = + − + , ĐS : Cực tiểu tại (0,0), cực đại tại x2+y2=1
6) Tìm cực trị có điều kiện:
1) z = xy với điều kiện x + y = 1, ĐS : Cực đại tại (1/2,1/2)
2) z = x2 + y với điều kiện x2 + y2 = 1, ĐS : Cực tiểu tại (0,-1), cực đại tại )
2
1 , 2
3 ( ± 3) z = x + 2y với điều kiện x2 + 2y = 2, ĐS : Cực đại tại (1/2,7/8)
4) z = 2x + 8y với điều kiện x1/2y1/4 = 8, ĐS : Cực tiểu tại (32,4)
5) z = 3x + 2y – 5 với điều kiện x1/2 + y1/2 = 5 : Cực đại tại (4,9)
6) u = x + y + z với điều kiện 1/x + 1/y + 1/z = 1, ĐS : Cực tiểu tại (3,3,3)