BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN

1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau 4) Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: 5) Tìm cực trị của các hàm số sau: 6) Tìm cực trị có điều kiện:

BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN 1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau: 1) 22 33 yx yx z + + = , ĐS: 222 3224 x )yx( xy2yx3x z + −+ = , 222 3224 y )yx( yx2yx3y z + −+ = 2) )yxxln(z 22 ++= , ĐS: 22 x yx 1 z + = , 2222 y yxxyx y z +++ = 3) y x sinyz 2 = , ĐS: y x cosyz x = , y x cosx y x siny2z y −= 4) 3 y xz = , ĐS: 1y3 x 3 xyz − = , xlnyx3z 2y y 3 = 5) y x arctgz = , ĐS: 22 x yx y z + = , 22 y yx x z + − = 6) )y2xarcsin(z −= , ĐS: 2 x )y2x(1 1 z −+ = , 2 y )y2x(1 2 z −+ − = 7) xyx xyx lnz 22 22 ++ −+ = , ĐS: 22 x yx 2 z + − = , 22 y yxy x2 z + = 8) 22 22 yx yx arctgz + − = , ĐS: 44 2 x yxx y z + = , 44 x yx y z + − = 9) z y xu = , ĐS: 1yz x z xyu − = , 1zy y y.z.xln.xu z − = , yln.y.xln.xu zy y z = 10) 2 z 2 y 2 x 1 eu ++ = , ĐS: 2222 zyx 1 x )zyx( x2 .eu 222 ++ − = ++ , 2222 zyx 1 x )zyx( y2 .eu 222 ++ − = ++ , 2222 zyx 1 x )zyx( z2 .eu 222 ++ − = ++ 11) z y sineu xyz = , ĐS: z y sin.yz.eu xyz x = , ) z y cos z 1 z y sin.xz(eu xyz y += , ) z y cos z y z y sin.xy(eu 2 xyz z −= 3) Tính đạo hàm của các hàm số ẩn được xác định bởi phương trình sau: 1) x 3 y – y 3 x = a 4 , ĐS: )y3x(x )yx3(y 'y 22 22 − − −= 2) xe y + ye x – e xy = 0, ĐS: xyxy xyxy xeexe yeyee 'y −+ −+ −= 3) a y a yx arctg = + , ĐS: 2 2 )yx( a 'y + = 4) y x arctgyxln 22 =+ , ĐS: yx yx 'y + − −= 5) x + y + z = e z , tính z’ x , z’ y , ĐS: 1zyx 1 zz yx −++ == 6) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = 0, tính z’ x , z’ y , xyz yzx z 2 2 x − − = , xyz xzy z 2 2 y − − = 4) Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: 1) 322 )yx( 3 1 z += , ĐS: 22 22 xx yx yx2 z + + = , 22 xy yx xy z + = , 22 22 yy yx y2x z + + = 2) z = x 2 ln(x+y), ĐS: 2 xx )yx( xy2x )yx( x2 )yxln(2z + − + + ++= 2 2 xy )yx( x )yx( x2 z + − + = , 2 2 yy )yx( x z + −= 3) )yxxln(z 22 ++= , 2/322 xx )yx(xz − += , 2/322 xy )yx(yz − += 2/322222 22223 yy )yx()yxx( yx)yx(x z +++ +−+ = 4) x y arctgz = , ĐS: 222 xx )yx( xy2 z + − = , 222 22 xy )yx( )yx( z + −− = , 222 yy )yx( xy2 z + − = 5) Tìm cực trị của các hàm số sau: 1) z = 4(x - y) – x 2 – y 2 , ĐS: Cực đại tại (2,-2) 2) z = x 2 + xy + y 2 + x – y + 1, ĐS : Cực tiểu tại (-1,1) 3) z = x + y - xe y , ĐS: Không có cực trị 4) z = 2x 4 + y 4 – x 2 – 2y 2 , ĐS : Cực tiểu tại (-1/2,-1), (1/2,-1), (-1/2,1), (1/2,1) 5) )yx(22 22 e)yx(z +− += , ĐS : Cực tiểu tại (0,0), cực đại tại x 2 +y 2 =1 6) Tìm cực trị có điều kiện: 1) z = xy với điều kiện x + y = 1, ĐS : Cực đại tại (1/2,1/2) 2) z = x 2 + y với điều kiện x 2 + y 2 = 1, ĐS : Cực tiểu tại (0,-1), cực đại tại ) 2 1 , 2 3 ( ± 3) z = x + 2y với điều kiện x 2 + 2y = 2, ĐS : Cực đại tại (1/2,7/8) 4) z = 2x + 8y với điều kiện x 1/2 y 1/4 = 8, ĐS : Cực tiểu tại (32,4) 5) z = 3x + 2y – 5 với điều kiện x 1/2 + y 1/2 = 5 : Cực đại tại (4,9) 6) u = x + y + z với điều kiện 1/x + 1/y + 1/z = 1, ĐS : Cực tiểu tại (3,3,3)