BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN Tìm miền xác định hàm a2 − x2 − y 1) u = 2) u = arcsin x y2 3) u = ln(2z2 – 6x2 – 3y2 – 6) Giới hạn hàm nhiều biến x− y ; x+ y 1) Chứng minh hàm f(x, y) = ( ) lim⎛⎜ lim f ( x, y ) ⎞⎟ = ; lim lim f ( x, y ) = −1 Trong lim f ( x, y ) không tồn y →0 x →0 x →0 ⎝ y → x →0 ⎠ y →0 x2 y2 Có lim⎛⎜ lim f ( x, y ) ⎞⎟ = 2) Chứng minh hàm f(x, y) = 2 x →0 ⎝ y →0 ⎠ x y + ( x − y) lim lim f ( x, y ) = Nhưng không tồn lim f ( x, y ) ( y →0 x →0 ) x →0 y →0 3) Tìm giới hạn kép sau đây: x+ y x → ∞ x − xy + y y →∞ a.) lim d) lim(x + y x →0 y →0 ) 2 x y c) lim (x + y )e − ( x + y ) sin xy x →0 x y→a b) lim ⎛ y →a ⎝ 1⎞ x⎠ e) lim⎜1 + ⎟ x →∞ x2 x+ y x → +∞ y → +∞ f) lim x →1 y →0 ln( x + e y ) x2 + y2 Xét liên tục hàm nhiều biến 1) Chứng minh hàm số: Liên tục theo biến x y riêng biệt (với giá trị cố định biến kia), không liên tục đồng thời theo hai biến 2) Chứng minh hàm số: ⎧ x y ⎪ 2 Liên tục điểm (0, 0) ⎨x + y ⎪0 ⎩ ⎧ xy ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪0 ⎩ x2 + y2 ≠ x2 + y2 = Đạo hàm riêng hàm nhiều biến 1) Cho hàm số: f(x, y) = x + (y – 1)arcsin x tìm f’x(x, 1) y 2) Cho u = x2 – 3xy – 4y2 – x + 2y + Tìm ∂u ∂u ∂x ∂y x2 + y2 ≠ x2 + y2 = 3) z = e x + y2 , tìm ∂z ∂z , ∂x ∂y 4) Chứng tỏ rằng, hàm z = yln(x2 – y2), thoả mãn phương trình: ∂z ∂z z + = x ∂x y ∂y y Xét khả vi hàm 1) Cho hàm u = f(x, y) = xy Hàm số có khả vi điểm O(0, 0) hay không? 2) Khảo sát tính khả vi hàm f(x, y) = e O(0, 0) 3) Chứng minh f(x, y) = − x2 + y2 x2 + y2 > f(0, 0) = điểm xy liên tục O(0, 0), có hai đạo hàm riêng f’x(0, 0), f’y(0, 0) điểm đó, nhiên hàm không khả vi O(0, 0) xy ⎧ ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪0 ⎩ 4) Cho hàm x2 + y2 ≠ x2 + y2 = x đoạn [a, b] Chứng minh lân cận điểm (0, 0), hàm liên tục có đạo hàm riêng f’x(x, y), f’y(x, y) giới nội Tuy nhiên hàm không khả vi điểm O(0, 0) Tìm vi phân hàm 1) Tìm du nếu: a.) u = arctg x+ y x− y b) u = x y z 2) Bằng cách thay số gia hàm vi phân, tính gần đúng: a.) sin 1.55 + 8.e 0, 015 b) arcrg 1,02 0,95 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 1) Cho u = ylnx Tìm ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , , ∂x ∂x∂y ∂y 2) Cho u = sinx.siny Tìm d2u 3) Cho u = x2y Tìm d3u Tìm cực trị hàm nhiều biến 1) Tìm cực trị hàm a.) u = x2 + xy + y2 – 3x – 6y b) u = x y xy + (47 – x – y)( + ) c) u = x + y2 + +2 4x y d) u = - x2 + y2 2) Tìm cực trị có điều kiện hàm: u = xy với điều kiện x2 + y2 = 2a2 y x z y z 3) Tìm cực trị hàm f(x, y, z) = x + + + 4) Tìm cực trị hàm f(x, y) = x + y với điều kiện: x2 y2 + = 5) Tìm cực trị hàm f(x, y, z, u) = x + y + z + u với điều kiện: g(x, y, z, u) = 16 – xyzu =  ... rằng, hàm z = yln(x2 – y2), thoả mãn phương trình: ∂z ∂z z + = x ∂x y ∂y y Xét khả vi hàm 1) Cho hàm u = f(x, y) = xy Hàm số có khả vi điểm O(0, 0) hay không? 2) Khảo sát tính khả vi hàm f(x,... 0,95 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 1) Cho u = ylnx Tìm ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , , ∂x ∂x∂y ∂y 2) Cho u = sinx.siny Tìm d2u 3) Cho u = x2y Tìm d3u Tìm cực trị hàm nhiều biến 1) Tìm cực trị hàm a.) u... tục có đạo hàm riêng f’x(x, y), f’y(x, y) giới nội Tuy nhiên hàm không khả vi điểm O(0, 0) Tìm vi phân hàm 1) Tìm du nếu: a.) u = arctg x+ y x− y b) u = x y z 2) Bằng cách thay số gia hàm vi phân,