Trong khi đó lim , không tồn tại.. Nhưng không tồn tại lim ,... Tuy nhiên hàm đó không khả vi tại điểm O0, 0.. Tìm cực trị của hàm nhiều biến 1 Tìm cực trị của hàm a.
Trang 1BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
Tìm miền xác định của hàm
1) u = 2 2 2
y x
a − − 2) u = arcsin 2
y
x
3) u = ln(2z2 – 6x2 – 3y2 – 6)
Giới hạn của hàm nhiều biến
1) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) =
y x
y x
+
−
;
;
1 ) , ( lim
lim
0
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
y
0
→
x
y Trong khi đó lim ( , )không tồn tại
0
0 f x y
y x
→
→
2) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) = 2 2 2 2 2
) (x y y
x
y x
− + Có lim→ ⎜⎝⎛lim→ ( , )⎟⎠⎞=
0
y x
(lim ( , ))
lim
0
x
y→ → = 0 Nhưng không tồn tại lim ( , )
0
0 f x y
y x
→
→
3) Tìm các giới hạn kép sau đây:
a.) lim 2 2
y xy x
y x
y
+
∞
→∞
x xy
a y x
sin lim 0
→
y
+∞
→+∞
d) ( )2 2
2 2 0 0
lim x y y
→
x
a y
+
→∞
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
1 1 lim f)
2 2 0 1
) ln(
lim
y x
e
x y
y
+
→
Xét sự liên tục của hàm nhiều biến
1) Chứng minh rằng hàm số:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ +
= 0
2 )
,
y x
xy y
x
f nếu x2 + y2 ≠ 0
nếu x2 + y2 = 0
Liên tục theo mỗi biến x và y riêng biệt (với
giá trị cố định của biến kia), nhưng không liên tục
đồng thời theo cả hai biến đó
2) Chứng minh rằng hàm số:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ + 0
2 2 2
y x
y x
nếu x2 + y2 ≠ 0 nếu x2 + y2 = 0 Liên tục tại điểm (0, 0)
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
1) Cho hàm số: f(x, y) = x + (y – 1)arcsin
y
x
tìm f’x(x, 1)
2) Cho u = x2 – 3xy – 4y2 – x + 2y + 1 Tìm
x
u
∂
∂
và
y
u
∂
∂
Trang 2
3) z = x2 y2, tìm
e +
x
z
∂
∂
,
y
z
∂
∂
4) Chứng tỏ rằng, hàm z = yln(x2 – y2), thoả mãn phương trình:
x
1
x
z
∂
∂
+
y
1
y
z
∂
∂
= 2
y z
Xét sự khả vi của hàm
1) Cho hàm u = f(x, y) = 3 xy Hàm số đó có khả vi tại điểm O(0, 0) hay không? 2) Khảo sát tính khả vi của hàm f(x, y) = 2 2
1
y x
e +
−
khi x2 + y2 > 0 và f(0, 0) = 0 tại điểm O(0, 0)
3) Chứng minh rằng f(x, y) = xy liên tục tại O(0, 0), có cả hai đạo hàm riêng f’x(0, 0), f’y(0, 0) tại điểm đó, tuy nhiên hàm này không khả vi tại O(0, 0)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
= 0
) ,
y x
xy y
x
f nếu x2 + y2 ≠ 0
nếu x2 + y2 = 0
4) Cho hàm
khi x ngoài đoạn [a, b]
Chứng minh rằng trong lân cận của điểm (0, 0), hàm liên tục và có các đạo hàm riêng f’x(x, y), f’y(x, y) giới nội Tuy nhiên hàm đó không khả vi tại điểm O(0, 0)
Tìm vi phân của hàm
1) Tìm du nếu:
a.) u = arctg
y x
y x
−
+
b) u = y z
x 2
2) Bằng cách thay số gia của hàm bởi vi phân, hãy tính gần đúng:
a.) sin21.55+8.e0 , 015 b) arcrg
95 , 0
02 , 1
Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao
1) Cho u = ylnx Tìm 22
x
u
∂
∂
,
y x
u
∂
∂
∂2
, 22
y
u
∂
∂
2) Cho u = sinx.siny Tìm d2u
3) Cho u = x2y Tìm d3u
Tìm cực trị của hàm nhiều biến
1) Tìm cực trị của hàm
a.) u = x2 + xy + y2 – 3x – 6y b) u =
2
1
xy + (47 – x – y)(
3
x
+
4
y
)
Trang 3c) u = x +
x
y
4
2
+
y
1
y
x + 2) Tìm cực trị có điều kiện của hàm: u = xy với điều kiện x2 + y2 = 2a2 3) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z) = x +
x
y
+
y
z
+
z
1
4) Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x + y với điều kiện:
4
2
x
+
9
2
y
= 1 5) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z, u) = x + y + z + u với điều kiện:
g(x, y, z, u) = 16 – xyzu = 0