NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN

“NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN” A- ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:Qua những năm giảng dạy tôi nhận thấy, bên cạnh việc cung cấp hệ thốngkiến thức và các kĩ năng cơ b

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO GIAO THUỶ

TRƯỜNG THCS GIAO THỦY - -

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Nơi công tác: Trường THCS Giao Thủy

Nam Định, ngày 30 tháng 06 năm 2015

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến :

Tên đơn vị : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Địa chỉ : Khu 4A TT Ngô Đồng - Giao Thủy - Nam Định.

Điện thoại : 03503 737 456.

“NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN” A- ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:

Qua những năm giảng dạy tôi nhận thấy, bên cạnh việc cung cấp hệ thốngkiến thức và các kĩ năng cơ bản cho học sinh, người thầy cần tìm tòi, khai thác

hệ thống kiến thức nâng cao nhằm bồi dưỡng phát triển tư duy suy luận Toánhọc cho học sinh năng khiếu với mong muốn các em sẽ trở thành chủ nhântương lai có khả năng tư duy nhạy bén, linh hoạt, sáng tạo, có độ tin cậy caonhằm đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của nền kinh tế trong thời đại côngnghiệp hiện đại

Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trongviệc bồi dưỡng học sinh giỏi và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo tronghọc toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạocủa mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ HSG toáncủa ngành giáo dục huyện nhà Tôi xin được chia sẻ và trao đổi cùng đồng

nghiệp kinh nghiệm: “Nguyên lý Dirichlet và các bài toán suy luận” Như

chúng ta đã biết nguyên lý Dirichlet có nội dung khá đơn giản song nó lại là mộtcông cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của Toán học.Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồntại mà không đưa ra được phương pháp tìm vật cụ thể, nhưng trong thực tếnhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi Nó có nhiều ứng dụng trongnhiều lĩnh vực lại có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bài toán sốhọc, hình học, đại số,…Đặc biệt đối với các bài toán khó dành cho học sinh giỏi

và thi vào 10 chuyên Toán, hay các kì thi IMO cũng như các kì thi toán học trênthế giới

Đề tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng cóthể dùng nó trong việc dạy ôn thi vào các trường THPT chuyên Mong quý đồng

nghiệp cùng đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

B MÔ TẢ GIẢI PHÁP:

I Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Năm học 2011 – 2012, tôi được phân công dạy đội tuyển học sinh giỏimôn Toán cấp Tỉnh Là một giáo viên tuổi nghề còn ít do đó tôi đã gặp không ítnhững khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, phần nào cũng ảnhhưởng tới chất lượng đội tuyển (có 1 học sinh đạt giải nhì, 3 học sinh đạt khuyếnkhích – xếp chung đội tuyển: 10/10) Sau một năm dạy đội tuyển, cũng phần nào

“vỡ vạc” công việc của mình, luôn trăn trở và tôi nhận thấy rằng: học sinh mình

không đạt nhiều giải cao, phải chăng học sinh mình chỉ là những con ong chămchỉ, quen với tư duy lối mòn: giải các bài toán dạng cơ bản và chuẩn mực, khảnăng khải quát, tư duy ở cấp độ cao còn hạn chế? Năm học 2012 – 2013, tôi đãthay đổi nội dung và phương pháp dạy đội tuyển Khi học sinh đã quen vớinhững dạng toán chuẩn mực, cơ bản tôi đã đưa cho học sinh những bài toánphức tạp hơn mà sau khi đọc xong nội dung, học sinh không có một định hướngnào cả Sau đó tôi còn cho cả lời giải, học sinh xem xong cũng không hiểu tạisao lại có những suy luận như vậy mà trong sách giáo khoa chưa đề cập đến (kể

cả trong một số bài, lời giải có sử dụng một vài khẳng định tuy rất hiển nhiênnhưng học sinh lại chưa hề biết đến) Những bài toán như thế thường được coi làdạng Toán không mẫu mực Đó những dạng toán khó thường xuất hiện ở kì thichọn học sinh giỏi hay thi vào 10 chuyên Toán Từ năm học 2012 – 2013 trở đi,trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã giành nhiều thời gian và chú trọng

ở dạng toán suy luận Trong khuôn khổ bài viết này, tôi xin được trình bày phầnnhỏ của dạng Toán này, đó là “Nguyên lý Dirichlet và các bài toán suy luận”

II Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Các bài toán suy luận lôgic sử dụng nguyên lý Dirichlet thường không đòihỏi nhiều về kĩ năng tính toán Để giải chúng, điều cần thiết hơn cả là phải cóphương pháp suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí và sáng tạo Trong khuôn khổthời gian có hạn, tôi xin được trình bày một số vấn đề thường gặp trong thi họcsinh giỏi và thi vào THPT chuyên

Phần thứ nhất: Giới thiệu về nhà Toán học Dirichlet

1 Vài nét về tiểu sử nhà toán học Dirichlet

Nhà toán học người Đức Dirichlet là học trò của Gauss là người rất hâm

mộ Gauss Nhờ giỏi tiếng Pháp, ông đóng vai trò quan trọng trong việc giao lưu

tư tưởng giửa hai phía của sông Rhin

Trong thời gian học ở Pari, giữa 1822 và 1825, ông làm gia sư trong gia đìnhcủa tướng và nhà chính trị Maximilien Foy Trong thời gian này, ông tham gianhà bác học trẻ, quây quần xung quanh Fourier Vì vậy ông gắn bó với Fouriervà… với các chuỗi lượng giác

Từ 1826 đến 1828, Dirichlet là giảng viên trường Đại Học Breslau Từ 1829 ônglàm việc ở trường Đại họcBerlin Từ 1931 đến 1855 ông là giáo sư trường ĐạihọcBerlin Từ 1855, sau khi Gauss qua đời, ông kế tục Gauss ở trường Đại họcGôttinggen

Dirichlet là một người khiêm tốn trung thực và nhân ái Nhưng, khác với vợ ông

là Jacobi, Dirichlet không xuất sắc về mặt sư phạm Mặc dù vậy, các bài giảngcủa ông có ảnh hưởng lớn đến các nhà toán học thuộc thế hệ sau như:Riemann,Eisenstein, Kronecker, Dedekin…

Sau khi Dirichlet qua đời, bộ óc của ông được bảo quả tại khoa sinh lý họcTrường Đại Học Gôttingen

Dirichlet có những phát minh lớn trong lí thuyết số Ông thiết lập các công thứccho cho số các lớp dạng toàn phương hai ngôi với định thức cho trước Ôngchứng minh định lý về tập hợp vô hạn các số nguyên tố trong một cấp số cộnggồm những số nguyên mà số hạng đầu và công sai là nguyên tố cùng nhau Đểgiải các bài toán trên, ông sử dụng những hàm giải tích, gọi là hàm (chuỗi)Dirichlet Ông sáng lập ra lý thuyết tổng quát về các đơn vị đại số trong mộttrường số đại số

Về giải tích, Dirichlet là một trong những người đầu tiên quan niệm hàm là sựcho ứng với mọi x một phần tử y, mà không cần phải có biểu thức của y theo xbằng các phép tính số học Dirichlet cũng là người đầu tiên đề xuất và nghiêncứu khái niệm hội tụ có điều kiện của chuỗi

Ông phát biểu và chứng minh những điều kiện đủ, thường gọi là điều kiệnDirichlet, để chuỗi Fourier của một hàm số hội tụ tới hàm số đó

Dirichlet cũng có những công trình đáng kể về cơ học và vật lý toán, đặc biệt về

lý thuyết thế

2 Các công trình toán học của Dirichlet.

Những đóng góp của Dirichlet đến toán học Đóng góp của ông vào Định

lý Fermat được thực hiện cuối năm 1825 Khoảng thời gian này, ông cũng xuấtbản một bản giấy lấy cảm hứng từ Gauss 's làm việc trên quy luật trùng phương Năm 1837, ông đã chứng minh được với một cấp số cộng có dạng an + b,Cho n = 1, 2, , chứa vô hạn các số nguyên tố , a và b là nguyên tố cùng nhau ,tức là (a,b) = 1 Kết quả này đã được phỏng đoán bởi Gauss (Derbyshire năm

2004, p 96), nhưng lần đầu tiên được chứng minh bởi Dirichlet (1837)

Phân tích lý thuyết số có thể cho biết để bắt đầu với công việc củaDirichlet, và đặc biệt với cuốn hồi ký của 1.837 Dirichlet về sự tồn tại của sốnguyên tố trong một cấp số cộng nhất định

Ngay sau khi tác phẩm này được xuất bản giấy, Dirichlet đã thêm về lýthuyết số phân tích, một trong năm 1838 với sự tiếp theo trong năm sau Những

giấy tờ giới thiệu loạt Dirichlet và xác định, trong số những thứ khác, công thứccho số lớp học cho các hình thức bậc hai

Tác phẩm của ông về các đơn vị trong số đại số lý thuyết überVorlesungen Zahlentheorie (xuất bản 1863) có công việc quan trọng về lý

tưởng Ông cũng đề nghị năm 1837 định nghĩa hiện đại của một hàm: Nếu một

y biến như vậy là liên quan đến một biến x rằng bất cứ khi nào một số giá trị được gán cho x, có một quy tắc theo đó một giá trị duy nhất của y được xác định, sau đó y được gọi là một chức năng của x biến độc lập

Trong cơ khí, ông điều tra các trạng thái cân bằng của hệ thống và lýthuyết tiềm năng Những điều tra đã bắt đầu vào năm 1839 với giấy tờ mà đãcho phương pháp để đánh giá tích phân nhiều và ông này áp dụng cho vấn đềcủa việc thu hút hấp dẫn của một ellipsoid trên điểm cả hai bên trong và bênngoài Ông quay sang Laplace 's vấn đề chứng minh sự ổn định của hệ thốngnăng lượng mặt trời và sản xuất phân tích mà tránh được vấn đề của việc sửdụng mở rộng loạt với các thuật ngữ bậc hai và cao hơn disregarded Công việcnày đã dẫn ông đến các vấn đề liên quan đến chức năng Dirichlet hài hòa vớiđiều kiện biên nhất định Một số hoạt động trên cơ học sau này trong sự nghiệpcủa mình là có tầm quan trọng khá nổi bật Năm 1852, ông nghiên cứu các vấn

đề của một mặt cầu đặt trong một chất lỏng incompressible, trong quá trình điềutra này trở thành người đầu tiên tích hợp các phương trình Thủy động lực họcchính xác

Dirichlet cũng nổi tiếng với những tác phẩm của ông về điều kiện cho sựhội tụ của chuỗi lượng giác Những chuỗi đã được sử dụng trước đây củaFourier trong giải phương trình vi phân Tác phẩm của Dirichlet được xuất bảntrong Tạp chí Crelle của năm 1828

Bởi vì điều này làm việc Dirichlet được coi là người sáng lập ra học thuyếtcủa Fourier series Riemann, một sinh viên của Dirichlet , đã viết trong phầngiới thiệu cho luận án của mình trên Habilitation Chuỗi Fourier rằng nó đã được

Dirichlet: “ người học giả đầu tiên sâu sắc về chủ đề này”

Nhân vật Dirichlet và chất lượng giảng dạy được tóm tắt như sau:

“Ông là một giáo viên giỏi, luôn luôn thể hiện mình với độ rõ nét tuyệt vời.

Lần theo cách của ông đã được khiêm tốn; trong những năm sau đó ông đã được nhút nhát và lúc reserved Ông ít khi phát biểu tại cuộc họp và đã miễn cưỡng để làm xuất hiện công khai”.

Ở tuổi 45 Dirichlet được Thomas Hirst miêu tả như sau:

“Ông là khá cao, lanky-tim người đàn ông, với bộ râu ria và về để biến màu

xám với một giọng nói hơi thô và thay điếc Ông đã không có tắm rửa, với ly cà phê của mình và xì gà Một trong những thiếu sót của mình là quên thời gian, ông đã kéo mình ra xem, thấy ba vừa qua, và chạy ra mà không hề kết thúc câu”

Koch viết về sự đóng góp của Dirichlet như sau:

“ phần quan trọng của toán học bị ảnh hưởng bởi Dirichlet Chứng minh của ông characteristically bắt đầu với các quan sát đáng ngạc nhiên đơn giản, tiếp theo là phân tích cực kỳ sắc nét của vấn đề còn lại…”

Phần thứ hai: Nguyên lý Dirichlet

1.Nguyên lí Dirichlet - còn gọi là nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole

Principle)-hoặc nguyên ý những cái lồng nhốt thỏ hoặc nguyên lí sắp xếp đồ vậtvào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần

tử các lớp

Nguyên lí này được Dirichlet phát biểu đầu tiên năm 1834

Nguyên lý Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minhnhiều kết quả sâu sắc của toán học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vựckhác nhau của toán học Nguyên lý này trong nhiều trường hợp người ta dễdàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm đượcvật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủrồi

Nội dung của nguyên lí này hết sức đơn giản và dễ hiểu nhưng lại có tácdụng rất lớn, có nhiều hiệu quả bất ngờ trong giải toán Sử dụng nó, chúng ta cóthể chứng minh được nhiều kết quả sâu sắc của Toán học Đôi khi có những bàitoán người ta đã dùng rất nhiều phương pháp khác nhau để giải mà vẫn chưa điđến được kết quả, nhưng nhờ nguyên lí Dirichlet mà bài toán trở nên dễ dànggiải quyết

Nguyên lý Dirichlet cơ bản:.

Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồngchứa ít nhất hai con thỏ

Nguyên lý Dirichlet tổng quát:

Mệnh đề: Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp

( với [x] – phần nguyên của x – là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặcbằng x.)

  con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α

Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng như sau : Giả sử trái lại mọichuồngthỏ không có đến

Điều này vô lí vì có n con thỏ Vậy giả thiết phản chứng là sai

Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh.Nguyên lí Dirichlet tưởng chừngđơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minhnhiều kết quả sâu sắc của toán học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vựckhác nhau của toán học Nguyên lí này trong nhiềutrường hợp người ta dễ dàngchứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra đượcphương pháp tìm được vật cụthể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cầnchỉ ra sự tồn tại là đủrồi.Nguyên lí Dirichlet thực chất là một định lí về tập hữu hạn Người ta cóthểphát biểu chính xác nguyên lí này dưới dạng sau đây

2 Chú ý:

Đề giải bài toán suy luận sử dụng nguyên lý Dirichlet ta cần thực hiện những bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu đề bài, xác định đối tượng của bài toán Số lượng mỗi đối

tượng trong giả thiết của bài toán

Bước 2: Xây dựng thuật giải:

- Tiến hành phân chia các đối tượng trong giả thiết của bài toán thành hai tập cácđối tượng: A và B Đây là bước quan trọng nhất của tiến trình giải toán Việcphân chia như vậy thường dựa trên tính chất của từng loại yếu tố

- Xác định và so sánh số phần tử của mỗi tập hợp, tập hợp nào có số phần tử lớnhơn được chọn làm “thỏ”, tập hợp kia chọn làm “lồng” Nếu trong bài toán đangxét đó ta chỉ ra được hai tập hợp các đối tượng tương ứng với “thỏ” và “lồng”thì bài toán được giải xong

Để giải các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet chúng ta cần lưu ý một số điểm sau đây:

1 Khi gặp bài toán về chứng minh sự tồn tại của một hay nhiều đối tượng nào đó,

người ta thường dùng một phương pháp thuận lợi là sử dụng nguyên lí

Đi-rich-lê Các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường là các bài toán chứng minh

sự tồn tại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sựvật, sự việc đó

2 Nhiều bài toán nguyên lý Dirichlet chỉ xuất hiện sau khi biến đổi qua một bướctrung gian, hoặc thành lập các dãy số mới

3 Để giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet , nhiều khi ta phải kết hợp với

phương pháp chứng minh phản chứng (Phương pháp chứng minh phản

chứng: Chứng minh phản chứng là phương pháp chứng minh dựa trên kết quả

của mệnh đề logic : A B B A Nội dung phương pháp này được trình bàynhư sau:

+ Chấp nhận giả thiết B (nghĩa là coi B đúng)

+ Từ giả thiết A và B ta suy ra hai kết quả mâu thuẫn nhau C và C (hoặc mộtkết quả nào đó mâu thuẫn với một kết quả đã biết)

Từ đó suy ra B là sai nên đúng).

4 Khi giải các bài toán mà ta đã biết phải áp dụng nguyên lý Dirichlet hoặc dựđoán sẽ phải dùng nguyên lý này, chúng ta cần suy nghĩ hoặc biến đổi bài toán

để làm xuất hiện khái niệm "thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" và thoả mãn các điều kiện :

+ Số ‘thỏ” phải hiều hơn số chuồng

+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộcchuồng nào cũng phải có thỏ

5 Cũng có thể có những bài toán phải áp dụng 2, 3 lần nguyên lý Dirichlet

6 Khi giải xong các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet , chúng ta cố gắng suynghĩ để sáng tạo ra được các bài toán tổng quát hơn hoặc cụ thể hơn Vì chỉ cónhư thế ta mới thật nắm chắc bài toán mà mình đã làm

Tổng quát: CMR trong n+1 số tự nhiên thì bao giờ cũng tìm được hai số khi

chia hết cho n thì cho cùng một số dư

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, dùng ba màu xanh, đỏ, vàng để tô màu các đỉnh

của tứ giác Chứng tỏ rằng có hai đỉnh được tô cùng màu

Phân tích:

- Xác định được:

+ “thỏ” : đỉnh, với số lượng là 4

+ “chuồng” : màu, số lượng : 3

+ Dựa vào nguyên lý Dirichlet suy ra điều phải chứng minh

Giải

Với 4 đỉnh của tứ giác A, B, C, D và 3 màu dùng để tô các đỉnh (xanh, đỏ, vàng)nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất hai đỉnh được tô cùng màu.

Khai thác:

Bài toán trên quả là khá đơn giản nếu chỉ dừng lại ở đó!

Ta tiếp tục khai thác bài toán trên như sau:

+ Nếu chỉ dùng hai màu để tô thì số điểm được tô màu ít nhất là bao nhiêu đểchắc chắn có hai điểm được tô cùng màu?

+ Tổng quát: Nếu số điểm được tô màu là a, số màu dùng để tô là b(a, b là các

số tự nhiên khác 0) thì a và b có quan hệ với nhau như thế nào để luôn có ít nhất

là bao nhiêu đề chắc chắn có hai điểm được tô cùng màu?

+ Nếu chỉ dùng hai màu để tô thì số điểm được tô màu ít nhất là bao nhiêu đểchắc chắn có ba điểm được tô cùng màu? Tìm mối quan hệ giữa a và b trongtrường hợp này?

Trên đây là hai ví dụ đơn giản nhất, giúp hình thành rõ các bước suy luận Ta tiếp tục đặt ra các tình huống khó hơn như biết trước “thỏ”, ta phải xác định

“lồng” và số “lồng” phù hợp Ví dụ sau đây trình bày một cách tạo ra “lồng”

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý, chí ít cũng có một cặp gồm

hai số sao cho hoặc tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Nhận xét:

Để làm xuất hiện số "lồng” ta làm như sau:

Trong tập hợp các số dư trong phép chia cho 100 ta lấy ra từng cặp số sao chotổng các cặp đó bằng 100 và thành lập thành các nhóm sau:

có 50 cặp như vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) sẽ có 51 cặp (51 lồng)

- Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 sẽ có 52 số dư (52 thỏ)

- Có 52 số dư mà chỉ có 51 nhóm, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất cũng phải có 2

số dư cùng rơi vào một nhóm

Rõ ràng là cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư này chính là hai số tự nhiên cótổng hoặc hiệu chia hết cho 100 (đpcm)

Ví dụ 4: Trong hình vuông cạnh bằng 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt Chứng

minh rằng có ít nhất 3 trong số 51 điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính 1

7.

* Nhận xét: Ta phải biết cách chia đối tượng lớn thành nhiều đối tượng nhỏ

(đối tượng này như là các chuồng).

Tổng quát hóa bài toán:

Dựa vào bài giải bài toán trên ta có thể tổng quát hóa bài toán trên với a làkích thước của cạnh hình vuông, m là số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minhrằng có ít nhất n trong số m điểm đó nằm trong một hình trong bán kính

chứa ít nhất n điểm trong số m điểm đó

Đường tròn ngoại tiếp (c) có bán kính

2

2.

1

a m n

điểm chính giữa của chúng có tọa độ nguyên

Ví dụ 5: Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng trong ba điểm bất kì trong số

đó luôn luôn tồn tại hia điểm cách nhau nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tạihình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho

Xét hình tròn O B2 ( ,1) tâm B, bán kính 1 Lấy C là điểm bất kì trong số 25 điểm

đã cho sao cho C A C, B Theo giả thiết( và dựa vào AB>1), ta có Min{CA,CB}<1

Vì thế CO A1( ,1), hoặc CO B2( ,1)

Điều này chứng tỏ rằng các hình tròn O A1 ( ,1), O B2 ( ,1) chứa tất cả 25 điểm

đã cho Vì thế theo nguyên lí Dirichlet, ít nhất 1 trong hai hình tròn trên chứa 13điểm đã cho Đó là đpcm

Tổng quát bài tóan : Cho 2n+1 điểm trên mặt phẳng ( với n 3) Biết rằngtrong ba điểm bất kì trong số đó luôn luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1.Khi đó tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn n+1 điểm đã cho

Ví dụ 6: Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3, a4, a5 Chứng minh rằngtồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã chochia hết cho 5

* Gợi ý: Ở bài này phải biết cách tạo ra “thỏ”, bằng cách lập dãy số : 5 thỏ và

là tổng các ai liên tiếp nhau hoặc là ai nào đó

Ví dụ 7: (Bài toán áp dụng 2 lần nguyên tắc Điriclê)

Có 17 nhà toán học viết thư cho nhau trao đổi về 3 vấn đề khoa học, mỗi ngườiviết thư cho một người về một vấn đề Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 nhàtoán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề

Giải:

Gọi A là nhà toán học nào đó trong số 17 nhà toán học, thì nhà toán học Aphải trao đổi với 16 nhà toán học còn lại về 3 vấn đề Như vậy nhà toán học Aphải trao đổi ít nhất với 6 nhà toán học về một vấn đề nào đó Vì nếu chỉ trao đổivới số ít hơn 6 nhà toán học về một vấn đề thì số nhà toán học được trao đổi với

A ít hơn 16 (Các bạn có thể diễn tả theo khái niệm "thỏ" và "lồng" để thấy ở

đây đã áp dụng nguyên tắc Điriclê lần thứ nhất.)

- Gọi các nhà toán học trao đổi với nhà toán học A về một vấn đề nào đó (giả sửvấn đề I) là A1, A2, A3, A4, A5, A6 Như vậy có 6 nhà toán học trao đổi với nhau

về 3 vấn đề (không kể trao đổi với A) Như vậy có 6 nhà toán học A1, A2, A3, A4,

A5, A6 trao đổi với nhau về 3 vấn đề, I, II, III

Có hai khả năng xảy ra:

a Nếu có 2 nhà toán học nào đó cùng trao đổi với nhau về vấn đề I thế thì có 3nhà toán học (kể cả A) trao đổi với nhau về vấn đề I Bài toán được chứng minh

b Nếu không có nhà toán học nào trong 6 nhà toán học A1, A2 A6 trao đổi vềvấn đề I thì ta có 6 nhà toán học chỉ trao đổi với nhau về 2 vấn đề II và III Theonguyên tắc Điriclê có ít nhất 3 nhà toán học cùng trao đổi với nhau về một vấn

đề II hoặc III Bài toán cũng được chứng minh

Ví dụ 8: (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Nam Định năm học 2013 – 2014)

Trong một lớp học gồm 35 học sinh có tổ chức một số câu lạc bộ môn học Biết rằng mỗi học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ và hai học sinh bất kì đều tham gia cùng nhau ít nhất một câu lạc bộ nào đó Chứng minh tồn tại một câu lạc bộ

có không ít hơn 24 học sinh

Giải

+ Nếu có 1 câu lạc bộ có tất cả 35 học sinh tham gia thì câu lạc bộ đó thỏa mãn bài toán

+ Ngược lại, với một câu lạc bộ bất kì luôn tồn tại học sinh không tham gia

Ta kí hiệu học sinh tham gia câu lạc bộ A và B là (A; B)

Tồn tại học sinh không tham gia B, học sinh này phải tham gia A, giả sử là (A; C) Vì tồn tại học sinh không tham gia A nên có học sinh khác (A; B) và khác (A; C), học sinh này phải tham gia cả B và C

Vậy ngoài những học sinh (A; B) và (A; C) là học sinh (B; C), hay chỉ tồn tại 3 câu lạc bộ A, B và C

+ Có 35 học sinh và mỗi học sinh tham gia đúng 2 câu lạc bộ nên có 70 lượt họcsinh tham gia câu lạc bộ Theo nguyên lí Dirichle tồn tại một câu lạc bộ có không ít hơn

70

1 24 3

 

Ví dụ 9: (ĐHSP Hà Nội 1993) Cho 40 số nguyên dương a1, a2, , a19 và b1,

b2, , b21 sao cho :

1 ≤ a1 < a2 < < a19 ≤ 200 và 1 ≤ b1 < b2 < < b21 ≤ 200 Chứng minh rằng tồntại 4 số ai, aj, bk, bp (1 ≤ i, j ≤ 19, 1 ≤ k, p ≤ 21) sao cho ai < aj, bk < bp và aj – ai =

bp - bk

* Phân tích:

Từ điều đề bài yêu cầu, mấu chốt xuất hiện aj – ai = bp - bk, ta sẽđưa về aj + bk =

bp + ai , xét “thỏ”: tổng am + bn, trong đó 1 ≤ m ≤ 19, 1 ≤ n ≤ 21 nên có 399 conthỏ

Chuồng ở đâu? Chuồng nằm ngay ở 399 giá trị nằm từ [2; 400], ta loại trừ 1 giátrị hiển nhiên đúng, còn 399 con thỏ nhốt vào 398 chuồng

bk = bp + ai với i < j và p < k, suy ra aj – ai = bp - bk (điều phải chứng minh)

Ví dụ 10 : Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh

có tháng sinh giống nhau.

Ví dụ 11: Cho 2002 số tự nhiên khác 0 sau cho 4 số khác nhau bất kỳ trong

chúng đều lập thành một tỷ lệ thức Chứng minh rằng trong các số đã cho luônluôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau

Ta chứng minh trong 2002 số tự nhiên đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trịkhác nhau Thực vậy, giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 số khác nhau,giả sử a , a , a , a, a là 5 số khác nhau

Không mất tính tổng quát giả sử a1<a2<a3<a4<a5 (1)

Ví dụ 12 :CMR trong các số tự nhiên thế nào cũng có k số sao cho 198k – 1chia hết cho 105

Mà (1983m-1)-(1983n-1)=1983m-1983n=1983n(1983m-n-1)

Nhưng 105và 1983n nguyên tố cùng nhau, do đó phải có 1983m-n-1 chiahết cho 105 Như vậy có số k’=m-n sao cho 1983k –1 chia hết cho 105

Ví dụ 13: Có 15 đội bóng tham dự giải vô địch quốc gia theo thể thức đấu vòng

tròn một lượt Chứng minh rằng tại bất kì thời điểm nào của giải ta luôn tìmđược 2 đội có cùng số trận đấu bằng nhau tại thời điểm đó (có thể là 0 trận )

Giải

Số lần gặp nhau mà mỗi đội có, có thể nhận 15 giá trị khác nhau : 0; 1; 2;

……… ; 14.Trong trường hợp này không thể áp dụng nguyên tắc Dirichletđược vì số đội cũng là 15

Hai trường hợp 0 trận và 14 trận không thể xảy ra đồng thời vì nếu cómột đội nào chưa đấu trận nào thì đồng thời không thể có một đội nào đó đã đấuhết 14 trận, ngược lại nếu có một đội đã đá 14 trận thì không thể có 1 đội chưa

đá một trận nào Vì vậy số lần gặp nhau mà mỗi đội đã thực hiện trong thực tế

có thể nhận thêm 14 giá trị từ 0 đến 13 hoặc từ 1 đến 14.Khi đó theo nguyên tắcDirichlet ta luôn có thể tìm được hai đội có cùng một số trận đấu

4 Các dạng bài tập.

a) Dạng 1: Phân chia tập hợp để tạo ra các n – tập (các chuồng)

* Nhận xét: Nội dung cơ bản của phương pháp là chia một đối tượng lớn thành nhiều đối tượng nhỏ (các đối tượng này như các “chuồng”) Sau đó

áp dụng nguyên lý Dirichlet cho các đối tượng nhỏ

Bài toán1:

Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình

vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2 : 3.Chứng minh rằng trong số 13

đường thẳng đã cho, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm

Giải:

F E

C D

N

Gọi d là đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diệntích là 2 : 3

Đường thẳng d không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông

Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi đó nó cắt đường trung bình

Có 4 điểm chia các đường trung bình của hình vuông ABCD theo tỉ số 2 : 3

Có 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong 4 điểm

Vậy theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm.

Q

N K

R S

Đặt d(P)=M N P m,ax {MN}, và đại lượng d(P) gọi là đường kính của hình P Dễ thấy

cả năm hình trên đều có đường kính bằng 5

( Thí dụ: d(ABCD) = AC = 5, d(DCKFE) = CE = KE = CF =DK = 5)

Từ đó suy ra luôn tìm được 2 điểm trong số 6 điểm đã cho có khoảng cáchkhông lớn hơn 5 Đó là điều phải chứng minh

Từ đó ta có các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 3: Bên trong tam giác đều ABC cạnh 1 đặt 5 điểm.Chứng minhrằng tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 0,5

Giải: