PHƯƠNG PHÁP CHẶN Bài tập 1:Tìm các số tự nhiên x,y sao cho: a.2x + 5y = 21 b.7x + 12y = 50 Giải: a.Vì 2x≥ 1 nên 5y≤ 20 vậy y≤ 4 .Ta có bảng sau: y 0 1 2 3 4 5y 0 5 10 15 20 2x 21 16 11 6 1 x 4 0 Vậy (x,y) ∈ {(4,1);(0,4)} Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b b.Nếu y≥ 2 thì 12y≥ 122> 50 →
PHƯƠNG PHÁP CHẶN Bài tập 1:Tìm số tự nhiên x,y cho: a.2x + 5y = 21 b.7x + 12y = 50 Giải: a.Vì 2x≥ nên 5y≤ 20 y≤ Ta có bảng sau: y 5y 10 15 20 2x 21 16 11 x - - - Vậy (x,y) ∈ {(4,1); (0,4)} Bằng cách tương tự ta làm phần b b.Nếu y≥ 12y≥ 122> 50 → 𝑦 < → 𝑦 = y = -Nếu y= 120= → 7x= 49 ↔ 𝑥 = -Nếu y= 121= 12 → 7x= 38 (loại) Vậy x = ; y = ̅̅̅̅̅ = 7850 Bài tập 2:Tìm số tự nhiên x,y,z biết 𝑥5.3𝑦𝑧 Giải: ̅̅̅̅̅ ≥ 35.300 = 10500 > 7850 Ta thấy x≥ ̅̅̅ 𝑥5.3𝑦𝑧 → 𝑥 x= ̅̅̅ 𝑥5.3𝑦𝑧 7850 ̅̅̅̅̅ = 7850 Như 1< 𝑥 < → 𝑥 = 2.Thay vào đề ta có 25.3𝑦𝑧 → ̅̅̅̅̅ 3𝑦𝑧 = 7850: 25 = 314 → 𝑦𝑧 ̅̅̅ = 14 Vậy x= 2; y= 1; 𝑧 = Hậu Văn Võ Bài tập 3:Tìm số nguyên x,y biết |5𝑥 − 2| ≤ 13 Giải: -Nếu x≥ |5𝑥 − 2| ≥ |5.4 − 2| = |18| = 18 > 13 → 𝑥 ≤ -Nếu x≤ −3 |5𝑥 − 2| ≥ |5 (−3) − 2| = |−17| = 17 > 13 → 𝑥 ≥ −2 Vậy -2≤ 𝑥 ≤ → 𝑥 ∈ {−2; −1; ;1 ;2 ;3} Thử lại ta có bảng sau: x -2 -1 12 |5𝑥 − 2| Vậy x∈ {−2 ; −1 ; ; ; ; 3} 13 Bài tập 4:Tìm số a,b,c ∈ 𝑁 biết a + b + c = abc a> 𝑏 > 𝑐 > Giải: Vì a> 𝑏 > 𝑐 nên a +b +c < 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3𝑎 Mà a+b+c = abc → 𝑎𝑏𝑐 < 3𝑎 → 𝑏𝑐 < Vậy bc∈ {1; 2} abc≠ 0.Mặt khác b> c nên b= 2; c = Thay vào đầu ta có: a + + 1= 2a ↔ 𝑎 = Vậy a = 3; b = 2; c = Bài tập 5:Tìm 𝑥𝑦 ̅̅̅ biết (𝑥𝑦 ̅̅̅)y= 𝑥𝑦𝑦𝑥 ̅̅̅̅̅̅̅ Giải: ̅̅̅̅̅̅̅ vô lý.Vậy y≥ Ta thấy y> y = (𝑥𝑥 ̅̅̅)1 = 𝑥11𝑥 Ta lại thấy y< y≥ (𝑥𝑥 ̅̅̅)4≥ 104 = 10000> 𝑥𝑦𝑦𝑥 ̅̅̅̅̅̅̅ → ≤ 𝑦 < 4.Vậy y∈ {2; 3} ̅̅̅̅̅̅̅ ↔ x2.121 = x.1001 + 220 -Nếu y = ta có (𝑥𝑥 ̅̅̅)2 = 𝑥22𝑥 ↔ x2.121 = 11(91x+20) ↔ x2.11- 91x – 20 = Phương trình nghiệm nguyên Hậu Văn Võ ̅̅̅̅̅̅̅ Nếu x≥ (𝑥𝑥 -Nếu y = ta có (𝑥𝑥 ̅̅̅)3 = 𝑥33𝑥 ̅̅̅)3≥ 223 = 10648 có chữ số (không thỏa mãn) Vậy x= Bài tập 6:Tìm số tự nhiên cho số cộng với tổng chữ số 249 Giải: -Gọi số cần tìm n tổng chữ số n s(n) , ta phải có n + s(n) = 249 Ta thấy n phải số có ba chữ số n có hai chữ số n + s(n)≤ 99 + + = 117 < 249 tất nhiên n có nhiều chữ số ̅̅̅̅̅ ta có: ̅̅̅̅̅ Đặt n =𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 + a + b + c = 249 Vì a + b + c≤ 27 nên 200< ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 < 249 → 𝑎 = ̅̅̅̅̅ + + b + c = 249 Thay vào ta được:2𝑏𝑐 ↔ 200 + ̅̅̅ 𝑏𝑐 + + b + c = 249 ↔ ̅̅̅ 𝑏𝑐 + b + c = 249 - 202 = 47 Vậy b≤ Lại có b + c lớn 18 nên ̅̅̅ 𝑏𝑐 nhỏ 47 - 18 = 29 →𝑏≥2 Ta có: 2≤ 𝑏 ≤ → b∈ { 2; 3; 4} ̅̅̅ + c + = 47 ↔ 2𝑐 = 25 (loại) -Nếu b = ta có 2𝑐 -Nếu b = ta có ̅̅̅ 3𝑐 + + c = 47 ↔ 2𝑐 = 14 ↔ 𝑐 = -Nếu b = ta có ̅̅̅ 4𝑐 + + c = 47 ↔ 2𝑐 = (loại) Vậy số cần tìm 237 Bài tập 7:Tìm số nguyên x y biết 2|𝑥| + 3|𝑦| = Giải: Nếu y = 2|𝑥 | = ↔ |𝑥 | = 2.5 vô lý x ∈ 𝑍 Hậu Văn Võ Xét y≠ 3|𝑦| ≥ nên 2|𝑥 | ≤ ↔ |𝑥 | ≤ → |𝑥 | ∈ {0; 1} -Với |𝑥 | = 3|𝑦| = ↔ |𝑦|= (vô lí y∈Z) -Với |𝑥 | = x∈ {1; −1} |𝑦| = y∈ {-1;1} Thử vào đề ta có đáp số: ( x;y ) ∈ {(1; 1); (1; −1); (−1; 1); (−1; −1)} ̅̅̅ +𝑎̅ = 4321 Bài tập 8:Tìm số tự nhiên ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 biết ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 + ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 +𝑎𝑏 Giải: ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏𝑐 ̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏 ̅̅̅ +a = 4321 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐 𝑎𝑏𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏 ̅ + d = 4321 ̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐 ̅̅̅̅̅ + Ta thấy a< 4, a≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏 ̅ +d≥ 4444 + 𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐 ̅ +d > 4321 ̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐 Và a> a≤ thì 𝑎𝑎𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏 ̅ +d≤ 2222+999+99+9 = 3329< 4321 → 2< 𝑎 < ̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐 Vậy a = ta có + 𝑏𝑏𝑏 ̅ +d = 4321- 3333 = 988 ̅̅̅̅̅ = 999> 988 chưa kể 𝑐𝑐 Ta thấy b< b = 𝑏𝑏𝑏 ̅ +d ̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐 Lại thấy b> b≤ 𝑏𝑏𝑏 ̅ +d≤ 777 + 99 + = 885< 988 → < 𝑏 < Vậy b = Khi 𝑐𝑐 ̅ +d = 100 → c = ; d = Vậy ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 3891 1 Bài tập 9:Tìm số ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 biết + + = d với a> 𝑏 > 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Giải: Vì a> 𝑏 > 𝑐 > nên c≥ 1; 𝑏 ≥ ; 𝑎 ≥ ta có 1 1 1 +𝑏+𝑐=3+2+1= 𝑎 Hậu Văn Võ 11 1 < Mà 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = d nên d< Vậy d = Ta có 1 + 𝑏 + 𝑐 = với a > b > c 𝑎 Lại a > b > c > → 1 1 1 1 < 𝑏 < 𝑐 ta có: 𝑎 1 + + 𝑐 < 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 = 𝐶 Mà có 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = nên 𝑐 > 𝑎 𝑏 Vậy c = c = -Với c = + + = 1(vô lí) 𝑎 𝑏 1 -Với c = 1 1 1 1 Vậy a = ; b =3 ; c = ;d =1 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 6321 Hậu Văn Võ 1 + +2=1→𝑎+𝑏=2→𝑎=2-3=6→ 𝑎=6 𝑎 𝑏