Luận án tiến sĩ đa chập hartley fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phí Thị Vân Anh ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa HÀ NỘI – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Các kết trình bày luận án trung thực chưa công bố công trình tác giả khác Tác giả Phí Thị Vân Anh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo −1− TS Nguyễn Minh Khoa LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn Thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua nhiều khó khăn để có kết hôm Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy bạn xemina Toán Giải tích thuộc Viện Toán Ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu chủ trì Các Thầy bạn tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu môi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều thiếu trình nghiên cứu, hoàn thành luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS TSKH Vũ Kim Tuấn, người có trao đổi, định hướng chuyên môn cho tác cho nhóm xemina Thầy biểu tượng nhiệt tình, nghiêm túc xác nghiên cứu khoa học Qua đây, tác giả xin bày tỏ biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Thanh Hồng, người sẵn sàng, tận tình giúp đỡ mặt chuyên môn cung cấp cho tác giả kinh nghiệm, tài liệu quý báu từ ngày đầu bước vào nghiên cứu suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, anh chị em, chồng, bạn bè Trong trình hoàn thành luận án, tác giả gặp cố sức khỏe, tất Thầy, bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt thành viên gia đình, sát cánh, động viên ủng hộ tác giả Đó nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án Xin chân thành cảm ơn! Tác giả −2− MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: 1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier 1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier 1.1.4 Định lý Young bất đẳng thức Young 1.1.5 Định lý Saitoh bất đẳng thức Saitoh 1.2 Biến đổi Fourier cosine 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine 1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine 1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine 1.3 Phép biến đổi Fourier sine 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine 1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine 1.4 Phép biến đổi Hartley 1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley 1.4.2 Một số tính chất biến đổi Hartley 1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley 1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley 1.5 Một số định lý bổ đề sử dụng 1.5.1 Bất đẳng thức H¨older 1.5.2 Định lý nội suy Riesz 25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 30 31 31 34 35 36 36 37 Chương ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 38 2.1 2.2 Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine 2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs 2.1.2 Một số tính chất đa chập H-Fc -Fs 2.1.3 Ứng dụng giải lớp phương trình tích phân 2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine 2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc 2.2.2 Một số tính chất đa chập H-Fc 2.2.3 Ứng dụng giải lớp phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.4 Ứng dụng giải lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP 3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs 3.1.1 Tính unita không gian L2 (R) 3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R) 3.1.3 Tính bị chặn toán tử Tp1 ,p2 3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc 3.2.1 Tính unita không gian L2 (R) 3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R) 3.2.3 Tính bị chặn toán tử Tq1 ,q2 3.3 38 38 39 49 51 55 55 56 59 63 66 70 71 71 75 79 80 81 85 87 Ứng dụng 90 3.3.1 Phương trình vi-tích phân 91 3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân 94 Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP 4.1 Bất đẳng thức L1 4.2 Bất đẳng thức Lα,β,γ s 4.3 Bất đẳng thức kiểu Young 4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 4.5 Ứng dụng 4.5.1 Phương trình tích phân 4.5.2 Phương trình vi phân −4− 99 99 100 101 107 115 115 117 KẾT LUẬN 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 128 −5− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Các không gian hàm chuẩn • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • C tập tất số phức • C0 (R) không gian Banach gồm hàm liên tục R triệt tiêu vô với chuẩn sup • S không gian Schwartz gồm tất hàm khả vi vô hạn lần R đạo hàm giảm nhanh vô • L∞ (R) không gian gồm hàm bị chặn R • Lp (R), p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R cho ∞ |f (x)|p dx < ∞ −∞ Nếu thay R R+ tích phân thay cận từ đến ∞ ta có không gian Lp (R+ ) • Lp (R, ρ), p < ∞ không gian hàm số f (x) R cho ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, −∞ ρ(x) hàm trọng dương • Lα,β p (R+ ), α ∈ R, < β ≤ 1, p ≥ không gian hàm số f (x) xác định R+ , cho ∞ xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞, K0 (x) hàm Bessel loại hai • Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > không gian hàm số f (x) p R cho ∞ γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞ −∞ • f Lp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định ∞ f p |f (x)| dx = Lp (R) p −∞ • f Lp (R,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R, ρ), xác định ∞ f Lp (R,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p −∞ • f Lα,β,γ (R) p chuẩn hàm f không gian Lα,β,γ (R), xác định p 1/p  ∞ f Lα,β,γ (R) p γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx = −∞ b Kí hiệu phép biến đổi tích phân • F phép biến đổi Fourier ∞ (F f )(y) := √ 2π • f (x)e−ixy dx, ∀y ∈ R −∞ Fc phép biến đổi Fourier cosine ∞ (Fc f )(y) := π f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+ • Fs phép biến đổi Fourier sine ∞ (Fs f )(y) := π f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+ • H1 , H2 phép biến đổi Hartley ∞ (H1 f )(y) := √ 2π (H2 f )(y) := √ 2π f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, −∞ ∞ f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R −∞ −7− • L phép biến đổi Laplace ∞ f (t)e−ts dt, (Lf )(s) := ∀s ∈ C • Hν phép biến đổi Hankel xác định công thức ∞ (Hν Φ)(t) := τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ, với Jν hàm Bessel loại • Mi phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với số i xác định ∞ (Mi f )(y) := y dt f (t) , t t ki i = 0, 1, • Kiy [f ] phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ∞ Kiy [f ] = Kiy (t)f (t)dt, Kiy (t) hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba) c Ký hiệu hàm đặc biệt • Γ(z) hàm Gamma ∞ tz−1 e−t dt, Re z > Γ(z) := • Jn (x) hàm Bessel loại một, nghiệm phương trình vi phân 2d y x dx2 +x dy + (x2 − n2 )y(x) = 0, dx nghiệm có biểu thức xác định sau ∞ Jn (x) = k=0 (−1)k x k!Γ(n + k + 1) −8− n+2k • Kn (x) hàm Bessel loại hai, nghiệm phương trình vi phân x2 d2 y dy + x − (x2 + n2 )y(x) = dx dx Nghiệm liên hệ với hàm Bessel loại công thức Kn (x) = Jn (x) cos (nπ) − J−n (x) sin(nπ) Trường hợp cụ thể ∞ e−wy cosh ydy K0 (w) := • Erfc(x) hàm lỗi bổ sung (complementary error function), xác định phần bù hàm lỗi Erf(x) (error function), qua biểu thức sau ∞ Erfc(x) := − Erf(x) = √ π e−t dt, x hàm lỗi Erf(x) hay gọi hàm lỗi Gauss xác định x Erf(x) := √ π e−t dt d Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập • (· ∗ ·) (xem trang 12) tích chập phép biến đổi Fourier F • (· ∗ ·) (xem trang 28) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 14) tích chập suy rộng phép biến đổi Fc F sF c Fourier sine Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng phép biến đổi F cF s Fourier cosine Fourier sine γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y F F cF s phép biến đổi Fourier, Fourier cosine Fourier sine • (· ∗ ·) (xem trang 35) tích chập phép biến đổi Hartley H • (· ∗ ·) (xem trang 35) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley H12 −9− Hệ 4.4.4 Giả sử hàm dương ρ1 , ρ3 ∈ L1 (R) ρ2 = bất đẳng thức (4.30) trở thành [∗(F1 ρ1 , F2 , F3 ρ3 )] ≤ 2− p1 π ρ1 Lp (R) 1− p1 L1 (R) ρ3 1− p1 L1 (R) F1 Lp (R,ρ1 ) F2 Lp (R) F3 Lp (R,ρ3 ) (4.32) Dưới trình bày hai ví dụ minh họa cho hai Hệ 4.4.3 4.4.4 đa chập Hartley-Fourier cosine Ví dụ 4.4.1 Chọn ρ1 = e−|x| , ρ2 = e−2|x| , ρ3 = 1, đó: ∞ ρ1 L1 (R) ∞ |e−|u| |du = 2, = ρ2 L1 (R+ ) e−2v dv = = −∞ Còn đa chập ∗(ρ1 , ρ2 , ρ3 )(x) tính: ∞ ∞ [∗(ρ1 , ρ2 , ρ3 )](x) = π e−|u| e−2|v| dvdu −∞  ∞ = 1 π  ∞ e−|u| du  −∞  1 ·2· = π π e−2|v| dv  = Nếu ta chọn p = 2, biểu thức (4.31) viết dạng [∗(F1 e−|u| , F2 e−2|v| , F3 )] L2 (R) ≤ π2 F1 L2 (R,e−|x| ) F2 L2 (R+ ,e−2|x| ) F3 L2 (R) (4.33) Ví dụ 4.4.2 Bằng cách chọn ρ1 = e−x , ρ2 = 1, ρ3 = e−|x| Khi đó, chuẩn chúng không gian hàm tương ứng là: ∞ ρ1 L1 (R) |e−u |du = = √ ∞ π, ρ3 L1 (R) e−|v| dv = = −∞ −∞ Nếu p = 2, biểu thức (4.32) trở thành [∗(F1 e−u , F2 , F3 e−|t| )] L2 (R) ≤ π2 F1 L2 (R,e−x2 ) F2 L2 (R+ ) F3 L2 (R,e−|x| ) (4.34) −114− Nếu p = biểu thức (4.32) trở thành [∗(F1 e−u , F2 , F3 e−|t| )] L3 (R) ≤ π3 F1 L3 (R,e−x2 ) F2 L3 (R+ ) F3 L3 (R,e−|x| ) (4.35) 4.5 Ứng dụng Một ứng dụng bất đẳng thức đa chập đánh giá nghiệm của toán mà nghiệm có biểu diễn dạng đa chập Trong số lĩnh vực kỹ thuật, việc đánh giá hiểu đánh giá thông tin đầu biết thông tin đầu vào Ta dẫn hai ứng dụng bất đẳng thức (4.2) (4.31) đa chập Hartley-Fourier cosine, ∗(f, g, h)(x), việc giải lớp phương trình tích phân Fredholm loại hai phương trình vi phân có dạng đa chập 4.5.1 Phương trình tích phân Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng ∞ ∞ f (x) + 4π f (u)ϕ(v)θψ (x, u, v)dvdu = g(x), x ∈ R, (4.36) −∞ θψ (x, u, v) :=ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v) + ψ(−x + u − v)+ + ψ(x − u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+ + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v), vế phải g(x) có dạng ∞ g(x) := √ 2π p(t)[q(x − t) + q(x + t)]dt, f (x) hàm phải tìm, lại ψ, q ∈ L1 (R), ϕ, p ∈ L1 (R+ ) hàm biết −115− Dựa vào định nghĩa đa chập Hartley-Fourier cosine ∗(., , ) định nghĩa tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine ( ∗ ), ta thấy phương trình tích HFc phân (4.36) viết lại dạng: f (x) + [∗(f, ϕ, ψ)](x) = (p ∗ q)(x), x ∈ R (4.37) HFc Định lý 4.5.1 Điều kiện + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = điều kiện đủ để phương trình (4.36) có nghiệm không gian L1 (R), nghiệm có dạng f (x) = (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x), (4.38) HFc l(x) hàm xác định theo công thức Wiener-Levy cho biến đổi Hartley thỏa mãn (H2 l)(y) = (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) + (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) Từ ta có công thức ước lượng nghiệm f L1 (R) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) 1+ l π L1 (R) (4.39) Chứng minh Phương trình (4.36) (4.37) tương đương Tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế phương trình cho (4.37), sau sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập Hartley-Fourier cosine (p ∗ q), công HFc thức (1.28), đẳng thức nhân tử hóa cho đa chập ∗(f, ϕ, ψ), công thức (2.29), ta nhận (H1 f )(y) + (H1 f )(y)(Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) ⇒ (H1 f )(y) [1 + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y)] = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) Vì + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) = 0, nên ta có: HFc (H1 f )(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) − −116− (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y)   H2 (ϕ ∗ ψ)(y)  = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) 1 − HFc + H2 (ϕ ψ )(y)   HFc Vì có giả thiết hàm ϕ, ψ thuộc không gian L1 nên suy (ϕ ∗ ψ)(x) ∈ HFc L1 (R) Bây giờ, dùng định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley (Định lý 1.4.1), điều kiện + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) = điều kiện cần đủ để tồn HFc hàm l(x) không gian L1 (R) cho H2 (ϕ ∗ ψ)(y) (H2 l)(y) = HFc + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) HFc Vì thế, ta có: (H1 f )(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y)[1 − (H2 l)(y)] = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) − (H1 q)(y)(Fc p)(|y|)(H2 l)(y) = H1 (p ∗ q)(y) − H1 [∗(q, p, l)](y) HFc = H1 (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x) (y), HFc ∀y ∈ R Do biểu thức với y ∈ R, nên từ suy f (x) = (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x), ∀x ∈ R HFc Dùng bất đẳng thức đánh giá chuẩn không gian L1 (R), công thức (4.2), ta có: f L1 (R) ≤ (p ∗ q) HFc L1 (R) + ∗ (q, p, l) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) L1 (R) q L1 (R) p L1 (R+ ) l π + l L1 (R) π + L1 (R) ✷ Đó điều phải chứng minh 4.5.2 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân cấp cao có dạng a0 f (x) + a1 f (x) + + an f (n) (x) = g(x), ak ∈ R, k = 0, 1, , n −117− Ta biết, với trường hợp phương trình vi phân cấp một, cấp hai, tùy trường hợp cụ thể để tìm lời giải tương ứng Trong mục này, xét lớp phương trình vi phân bậc chẵn, có dạng sau đây: n d2k (−1) ak 2k dx k k=0 f (x) = [(gρ1 ) ∗ (hρ2 )](x), HFc (4.40) g, h, ρ1 , ρ2 hàm cho trước cho g ∈ L1 (R, ρ1 )∩Lp (R, ρ1 ), h ∈ L1 (R, ρ2 ) ∩ Lp (R, ρ2 ), p > ρ1 , ρ2 ∈ L1 (R+ ), f hàm cần tìm Đồng thời hệ số ak ∈ R+ (k = 1, n) cho tồn hàm Q ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) xác định (H2 Q)(y) = , y > n ak (4.41) y 2k k=0 Ta cần tìm nghiệm phương trình (4.40) với điều kiện biên dk f (x) → x → ∞, k = 0, 1, , 2n − dxk Để giải toán với giả thiết cho, ta tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế phương trình (4.40), sau sử dụng tính chất biến đổi Hartley tác động vào đạo hàm, công thức (1.14), ta có n d2k k (−1) ak 2k f (x) (y) = H1 [(gρ1 ) ∗ (hρ2 )](y), H1 HFc dx k=0 n ak y 2k (H1 f )(y) = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y) k=0 Từ (4.41), ta có (H1 f )(y) = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y) n ak y 2k k=0 = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y)(H2 Q)(y) = H1 [∗(hρ2 , gρ1 , Q)](y) Do biểu thức với y ∈ R, nên ta nhận nghiệm f ∈ L1 (R) có dạng sau f (x) = [∗(hρ2 , gρ1 , Q)](x), x ∈ R −118− Bây sử dụng bất đẳng thức (4.31), ta đánh giá chuẩn cho nghiệm vừa tìm không gian Lp , p > f Lp (R) = [∗(hρ2 , gρ1 , Q)] 2 ≤ π ρ1 2− p 1− p1 L1 (R) ρ2 Lp (R) 1− p1 L1 (R+ ) h Lp (R,ρ1 ) g Lp (R+ ,ρ2 ) Q Lp (R) Kết luận chương Trong chương này, nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn cho đa chập ∗(f, g, h), ∗(f, g, h) không gian L1 , không gian Ls (s > 1) Phần chương trình bày bất đẳng thức kiểu Young bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập Việc mở rộng bất đẳng thức cho đa chập hướng nghiên cứu Thật thú vị thấy hai đa chập xây dựng chương I có bất đẳng thức tương tự kết kinh điển nghiên cứu cho tích chập Fourier Việc tìm bất đẳng thức có ý nghĩa làm hoàn thiện, phong phú hướng nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập Phần ứng dụng xét phần tìm nghiệm đánh giá nghiệm cho lớp phương trình tích phân lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn Các kết chương trình bày báo [5], mục Danh mục công trình công bố Luận án −119− KẾT LUẬN Chúng nghiên cứu đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu số bất đẳng thức đa chập nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Các kết luận án là: • Xây dựng đa chập đa chập ∗(., , ), ∗(., , ) liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa không gian L1 (R), đẳng thức Parseval không gian L2 (R) cho đa chập Ứng dụng giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình hệ phương trình dạng Toeplitz-Hankel Từ đa chập ∗(., , ), thay đổi nhân nhận đa chập ∗(., , ), ứng dụng vào việc giải lớp phương trình đạo hàm riêng • Xây dựng toán tử Tp1 ,p2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập HartleyFourier cosine-Fourier sine; toán tử Tq1 ,q2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine Tìm điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita không gian L2 (R), thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel việc xây dựng dãy hàm xấp xỉ xét tính bị chặn toán tử T Ứng dụng vào việc giải lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân • Chứng minh bất đẳng thức hai đa chập xây dựng Đó , bất đẳng thức bất đẳng thức không gian L1 , không gian Lα,β,γ r kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh Đây bất đẳng thức cho số tích chập, cho tích chập đa chập Việc xây dựng đa chập hạn chế, việc nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại hạn chế Luận án đưa ứng dụng bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn 120 Kiến nghị số hướng nghiên cứu Tiếp theo kết luận án tác giả nhận thấy có số vấn đề nghiên cứu tiếp • Xây dựng đa chập phép biến đổi tích phân khác Số lượng hàm nhiều • Tiếp tục nghiên cứu bất đẳng thức đa chập, bất đẳng thức kiểu Young ngược, bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược, Hiện chưa có công trình nghiên cứu bất đẳng thức ngược đa chập Nghiên cứu xem hệ số đánh giá bất đẳng thức tối ưu nhất, hay khả đạt dấu bất đẳng thức • Nghiên cứu ứng dụng đa chập vào việc giải toán có tính lý thuyết, thực tế • Xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cách cho hàm thay đổi, hai hàm lại cố định cho hai hàm thay đổi, hàm cố định Dù hướng có thêm nhiều lựa chọn đâu hàm thay đổi, đâu hàm cố định Khi mặt lý thuyết thực hành có khác • Xây dựng nghiên cứu đa chập rời rạc Hartley-Fourier −121− TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B.T Giang, N.V Mau and N.M Tuan (2009) Operational properties of two itegral transforms of Fourier type and their convolutions Integral Equations and Operator Theory 65, pp 363-386 [2] E.C Titchmarch (1986) Introduction to the Theory of Fourier integrals Third Edition, Chelsea Publ Comp., NewYork [3] E.M Stein and G Weiss (1971) Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Space Princeton Univ Press [4] F Al-Musallam and V.K Tuan (2000) Integral transforms related to a generalized convolution Results in Mathematics 38(3-4), pp 197-208 [5] F Al-Musallam and V.K Tuan (2000) A class of convolution transformations Frational Calculus and Applied Analysis 3(3), pp 303-314 [6] H Bateman and A Erdelyi (1954) Tables of integral transforms New York-Toronto-London, McGRaw-Hill Book company, Inc, Vol [7] I.N Sneddon (1972) Fourier Transforms McGraw - Hill, New York [8] I.N Sneddon (1972) The Use of Integral Transforms McGraw-Hill [9] I.S Gradshteyn and I.M Ryzhik (2007) Table of Integrals Series and Products 7th edn, ed A Jeffrey and D Zwillinger (New York: Academic) [10] J.D Villasenor (1994) Optical Hartley transform, Proc IEEE 82, No 3, pp 391-399 [11] J.M.II Robert, I.A Gravagne, J.M Davis (2008) A generalized Fourier transform and convolution on time scales Math Anal Appl Vol 340, pp 901-919 [12] J.N Tsitsiklis and B.C Levy (1981) Integral equations and resovents of Toeplitz plus Hankel Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology, Series/Report No.: LIDS-P 1170 122 [13] K Chadan and P.C Sabatier (1989) Inverse Proplems in Quantum Scattering Theory Springer Verlag [14] K.J Olejniczak (2000) The Hartley transform The Transforms and Applications Handbook (Poularikas A.D., ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341–401 [15] L.E Britvina (2002) Polyconvolutions for the Hankel transform and differential operators Doklady Mathematics 65, No 1, pp 32-34 [16] L.E Britvina (2004) On polyconvolutions generated by Hankel transforms Mathematical Notes 76, No 1, pp 18-24 [17] L.E Britvina (2005) A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution Integral Transforms and Special Functions, 16(5-6), pp 379-389 [18] L.X Huy and N.X Thao (2014) On the Laplace generalized convolution transforms Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp., No 43, pp 303 – 316 [19] M Bohner and G.S Guseinov (2007) The convolution on time scales Abs Appl Anal Article ID 58373, 24 pages [20] N.T Hong (2010) Fourier cosine convolution inequalities and applications Integral Transforms and Special Functions, Vol 21(10), pp 755763 [21] N Wiener (1963) The Fourier integral and certain of its applications Dover publications, Inc New York [22] N.X Thao (1999) On the polyconvolution for integral transforms Vestnic NovGU Ser Estestv.i Tehn Nauki, 10, pp.104-110 (in Russian) [23] N.X Thao (2001) On the generalized convolutions for the Stieltjes, Hilbert and Fourier sine, cosine transforms Ukr Math Jour , Vol 53, No 4, pp 560 - 567 (in Russian) [24] N.X Thao and H.T Van Anh (2014) On the Hartley-Fourier sine generalized convolution Mathematical Method in the Applied Sciences, No 37, pp 2308 – 2319 −123− [25] N.X Thao and N.A Virchenko (2010) On the Polyconvolution for the Fourier Cosine, Fourier Sine, and the Kontorovich-Lebedev Integral Transforms Ukr Math Jour Vol 62, N 10, 1388-1399 [26] N.X Thao and N.D Hau (2008) On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms Acta Mathematica Vietnamica Vol 33(2), pp 107-122 [27] N.X Thao and N.M Khoa (2005) On the convolution with weightfunction for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms Vietnam Jour Math 33, pp 421-436 [28] N.X Thao and T Tuan (2005) On the generalized convolutions of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms Anna Univ Sci Bud., Sect Comp Vol 25, pp.37-51 [29] N.X Thao, T Tuan and L.X Huy (2013) The Fourier – Laplace Generalized Convolutions and Applications to Integral Equations Vietnam Jour Math., Vol 41, No 4, pp 451-464 [30] N.X Thao, V.K Tuan and H.T Van Anh (2014) On the Toeplitz plus Hankel integral equation II Integral Transforms and Special Functions., Vol 25, No 1, pp 75 – 84 [31] N.X Thao, V.K Tuan, N.M Khoa (2004) On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms Frac Cal and Appl Anal., Vol.7(3), pp.323-337 [32] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2007) Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type Int Jour Math Sci Art., ID97250, 11pp [33] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2008) Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations Frac Cal and Appl Anal., Vol 11, No 2, pp 153-174 [34] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2011) Toeplitz plus Hankel integral equation Integral Transforms and Special Functions, Vol 22, No 10, pp 723-737 −124− [35] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2012) A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations Frac Cal App., Vol 15, No 3, pp 493-508 [36] P.K Anh, N.M Tuan, and P.D Tuan (2013) The Finite Hartley new convolution and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels Jour Math Anal and App., 397, pp 537-549 [37] R.A Adams and J.J.F Fourier (2003) Sobolev Spaces 2nd ed, Academic Press, 300p [38] R.E.A.C Paley and N Wiener (1934) Fourier transforms in the complex domain American Mathematical Society 19 [39] R.N Bracewell (1986) The Fourier transform and its applications McGraw-Hill [40] R.N Bracewell (1986) The Hartley transform New York: Oxford University Press, Clarendon Press [41] R.N Bracewell (1994) Aspects of Hartley transform Proc IEEE 82, No 3, 381-387 [42] R.P Milance (1994) Analytic properties of the Hartley transform Proc IEEE 82, No 3, 413-428 [43] R.V.L Harley (1942) A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Proc I R E 30, No 30, 144-150 [44] S.B Yakubovich (1990) On the construction method for construction of integral convolution DAN BSSSR, 34 (7), pp 588-591 [45] S.B Yakubovich and A.I Mosinski (1993) Integral equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type Diff Uravnenia, 29 (7), pp 1272-1284 (in Russian) [46] S.B Yakubovich and Y Luchko (1994) The hypergeometric approach to integral transforms and convolutions Ser Math and its App., Klumer Acad Publ Dordrecht etc., Vol 287 [47] S Bochner and K Chandrasekharan (1949) Fourier Transforms Princeton Univ Press −125− [48] S Saitoh (2000) Weighted Lp-norm inequalities in convolutions Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherland, pp 225–234 [49] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2000) Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems Jour of Ineq in Pure & App Math., Vol (1), pp 1-7 [50] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2002) Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems Jour of Ineq in Pure & App Math., Vol (5), pp 1-11 [51] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2003) Convolution inequalities and applications Jour of Ineq in Pure & App Math., Vol (3), pp 1-8 [52] T Kailath (1966) Some integral equations with nonrational kernels IEEE Transactions on Information Theory 12 (4), pp 442-447 [53] T Tuan and N.X Thao (2011) A new polyconvolution and its application to solving a class of Toeplitz plus Hankel integral equations and systems of integral equations Vietnam Jour Math Vol 39 (2), pp 217-235 [54] V.A Kakichev (1967) On the convolution for integral transforms Izv Vyssh Uchebn Zaved Math (2), pp 48-57 (in Russian) [55] V.A Kakichev (1997) Polyconvolution Taganrog, Taganskii RadioTechnicheskii University, 54p (in Russian) [56] V.A Kakichev and N.X Thao (1998) On a method for the construction of generalized integral convolutions Izv Vyssh Uchebn Zeved Math 1, pp 85-90 [57] V.A Kakichev, N.X Thao and V.K Tuan (1998) On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms East- West Jour of Math Vol (1), pp 85-90 [58] V.A Kakichev and N.X Thao (2000) On the generalized convolution for H-transforms Izv Vuzov Math., No 10, pp 79 - 84 (in Russian) −126− [59] W.H Young (1912) On the multiplication of successions of Fourier constants Proceedings of the Royal Society A 87 (596), pp 331–339, doi:10.1098/rspa.1912.0086, JSTOR 93120, Zbl 44.0298.02 [60] Y.Ya Vilenkin (1958) Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms Dokl Akad Nauk USSR, Vol 118(2), pp 219222 (In Russian) −127− DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN N.X Thao, N.M Khoa and P.T Van Anh (2013) On the polyconvolution for Hartley, Fourier cosine and Fourier sine transforms Integral Transforms and Special Functions, Vol 24, No 7, pp 517-531 N.X Thao, N.M Khoa and P.T Van Anh (2014) Polyconvolution and the Toeplitz plus Hankel integral equation Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2014, No 110, pp 1-14 Nguyen Xuan Thao, Phi Thi Van Anh and Nguyen Minh Khoa (2014) Integral transforms of Hartley, Fourier cosine and Fourier sine polyconvolution type Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol.12, N.2, pp 93- 104 Thi Van Anh, Phi and Xuan Thao, Nguyen (2015) Integral transforms of Hartley–Fourier cosine polyconvolution type Applicable Analysis, Vol 94, No 9, pp 1749-1765 Phi Thi Van Anh and Nguyen Xuan Thao (2016) Inequalities for the Hartley–Fourier cosine polyconvolution Mathematical Inequalities and Applications, (MIA-5000, accepted) 128 [...]... phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và những định lý, mệnh đề có liên quan đến luận án Chương 2, xây dựng hai đa chập mới là đa chập ∗(., , ) đối với phép biến 1 đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, gọi tắt là đa chập H-Fc -Fs và đa chập ∗(., , ) đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, gọi tắt là đa chập 2 H-Fc Với mỗi đa chập, đều chứng minh các đẳng thức... bất đẳng thức này cho đa chập Với những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là Đa chập Hartley- Fourier và ứng dụng 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng các đa chập mới có liên quan đến các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Sau đó dùng các đa chập mới để tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập và tìm ra các bất đẳng... tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF và biến đổi Fourier • (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF c và Fourier cosine • ∗(·, ·, ·) (xem trang 38) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier 1 cosine và Fourier sine • ∗(·, ·, ·) (xem trang 55) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley và Fourier 2 cosine • ∗(·, ·, ·) (xem trang 67) là đa chập. .. nhau, thì đa chập ∗(f1 , f2 , , fn ) không thể viết thành tích chập của hai hàm một, hoặc nếu viết được thì rất phức tạp và phải chịu nhiều sai số tính toán Năm 1997, trong [55], V.A Kakichev đã đưa ra định nghĩa tổng quát về đa chập và cho điều kiện cần để xác định đa chập Tương tự như tích chập thì đa chập cũng có hai loại là đa chập có trọng và đa chập không có trọng Định nghĩa về đa chập như sau:... định lý kiểu Titchmarch và xem xét ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân Riêng với đa chập thứ hai, trong phần ứng dụng, đã chỉ ra việc dùng đa chập để giải một lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel Ngoài ra, khi điều chỉnh nhân của đa chập thứ hai ∗(., , ) sẽ nhận được đa chập thứ ba 2 ∗(., , ) cũng là đa chập đối với biến đổi Hartley và Fourier cosine, nhưng... đến đa chập trong các không gian hàm khác nhau Mỗi vấn đề lý thuyết đều có nghiên cứu những ứng dụng liên quan đến bài toán vật lý cho những khái niệm này Đối tượng nghiên cứu là đa chập của ba hàm đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến biến đổi Hartley, Fourier, Fourier. .. tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine Khác với biến đổi Fourier và Fourier cosine, ở đây không có tích chập đối với một phép biến đổi Fourier sine, thay vào đó người ta tìm ra hai tích chập suy rộng ( ∗ ) và ( ∗ ) Fs Fc Fc Fs 1 Tích chập suy rộng ( ∗ ) của hai hàm f và g là tích chập đối với hai Fs Fc phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine, ký hiệu (f ∗ g) Fs Fc Đây là tích chập. .. phân và cả phương trình đạo hàm riêng Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các đa chập khác, các phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, các bất đẳng thức đa chập khác Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án" , trong đó có 4 công trình được đăng trên tạp chí thuộc nhóm ISI (SCIE) và 1... kiểu đa chập này bởi những dãy hàm trong L2 (R) Đồng thời, tính bị chặn trong không gian Lr (R), (1 ≤ r ≤ 2) của hai phép biến đổi kiểu đa chập cũng được chứng minh Phần ứng dụng của chương cho thấy khả năng áp dụng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine vào việc giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân Chương 4, nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn cho hai đa chập. .. tự nhất định, lại cho ta những đa chập mới, với những tính chất, ứng dụng mới Như vậy, luận án không hề trùng lặp với một kết quả nào trước đó Những kết quả của luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết các phép biến đổi tích phân nói chung và lý thuyết đa chập nói riêng; phong phú thêm về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập; phong phú thêm về bất đẳng thức đa chập; phong phú thêm về lý thuyết ... cứu bất đẳng thức cho đa chập Với lý trên, lựa chọn đề tài luận án Đa chập Hartley-Fourier ứng dụng Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án xây dựng đa chập có liên quan đến phép... luận án sử dụng nghiên cứu đa chập khác, phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, bất đẳng thức đa chập khác Nội dung luận án dựa công trình công bố, liệt kê mục "Danh mục công trình công bố Luận. .. Riêng với đa chập thứ hai, phần ứng dụng, việc dùng đa chập để giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel Ngoài ra, điều chỉnh nhân đa chập thứ hai ∗(., , ) nhận đa chập thứ