sine
Khác với biến đổi Fourier và Fourier cosine, ở đây không có tích chập đối với một phép biến đổi Fourier sine, thay vào đó người ta tìm ra hai tích chập suy rộng (. ∗ FsFc .) và (. ∗ FcFs .). 1. Tích chập suy rộng (. ∗ FsFc
.) của hai hàm f và g là tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine, ký hiệu (f ∗
FsFcg). Đây là tích chập được đề xướng bởi Churchill, năm 1941, nhưng để viết lại được như bây giờ thì do công của I.N. Sneddon, viết năm 1951 trong cuốn sách về biến đổi Fourier của mình [7]. Tích chập này được xác định theo công thức (0.7), với đẳng thức nhân tử hóa (0.8) như đã giới thiệu ở phần mở đầu.
2. Còn tích chập suy rộng (. ∗
FcFs .) của hai hàm f và g là tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine, ký hiệu
(f ∗
FcFs
g). Đây là tích chập được V.A. Kakichev và các cộng sự công bố năm 1998, trong tài liệu [57]. Tích chập này được xác định bởi công thức sau (f ∗ FcFs g)(x) := √1 2π ∞ Z 0 f(y)[sign(y−x)g(|y−x|) +g(y+x)]dy, x > 0.
Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R+) có dạng
Fc(f ∗
FcFs
g)(y) = (Fsf)(y).(Fsg)(y), ∀y > 0. (1.9) 3. Ngoài ra, còn có tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = signy của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine ([27], 2005, bởi Nguyễn Minh Khoa và Nguyễn Xuân Thảo), được ký hiệu (f ∗γ
F FcFs g) và xác định như sau (f ∗γ F FcFs g)(x) := √i 2π ∞ Z 0 [f(|x−u|)−f(|x+u|)]g(u)du, (1.10) trong đó đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R) có dạng
F(f ∗γ
F FcFs
g)(y) = signy.(Fcf)(|y|).(Fsg)(|y|), ∀y ∈ R. (1.11)
Nhận xét 1.3.1 Đối với biến đổi Fourier sine thì định lý Wiener-Levy không đúng.