Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần và đủ để toán tử Tp1,p2 là toán tử unita trong không gian L2(R) và xây dựng công thức toán tử ngược Tp−11,p2
Định lý 3.1.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+)
là những hàm cho trước. Khi đó, điều kiện
|(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)| = 1
1 +y2, y ∈ R, (3.2)
là điều kiện cần và đủ để toán tử Tp1,p2 là toán tử unita trong không gian
L2(R). Hơn nữa, toán tử ngược Tp−1
1,p2 của nó được xác định như sau
f(x) = (Tp−1 1,p2w)(x) = − 1− d 2 dx2 [∗ 1(p1, p2, w)](x), x ∈ R, (3.3)
trong đó w(x) ≡ (Tp1,p2f)(x), còn p1, p2 là các hàm liên hợp phức của p1, p2, tương ứng.
Như vậy, theo định lý trên, ta nhận được
Tp−1
1,p2w(x) =−(Tp1,p2w)(x), x ∈ R.
Chứng minh. Điều kiện cần: Ta biết rằng các hàmf(y), yf(y), y2f(y) thuộc không gianL2(R)khi và chỉ khi các hàm(Hkf)(x), d
dx(Hkf)(x)và d2
dx2(Hkf)(x), tương ứng, thuộc không gian L2(R), k = 1,2. Từ tính chất đạo hàm của biến đổi Hartley, công thức (1.16), (1.17), với n = 2, ta có
d2
dx2(Hkf)(x) = Hk[−y2f(y)](x), k = 1,2.
Điều đó có nghĩa là, nếu f(y), y2f(y) thuộc không gian L2(R) thì ta có 1− d 2 dx2 (Hkf)(x) = (Hkf)(x)−Hk[−y2f(y)](x) = Hk[(1 +y2)f(y)](x) ∈ L2(R), k = 1,2. (3.4) Giả thiết có p1, p2 ∈ L1(R+)∩L2(R+), nên các đẳng thức Parseval (2.4), (2.5) được thỏa mãn. Sử dụng đẳng thức (2.4), ta có: w(x) = 1− d 2 dx2 [∗ 1(p1, p2, f)](x) = = 1− d 2 dx2 H1[signy(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)] (x)
= H1(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)(x). (3.5) Điều kiện (3.2) suy ra rằng (1 + y2).(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|) là bị chặn, và có
f ∈ L2(R) tương đương có (H2f)(y) ∈ L2(R). Vì thế,
(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y) ∈ L2(R).
Hay nói cách khác hàm w(x) ∈ L2(R). Bên cạnh đó, các đẳng thức Parseval cho biến đổi Hartley (1.20) nói rằng kfkL2(R) = kHkfkL2(R). Vì vậy, với điều kiện (3.2), ta có: kwkL2(R) = kH1(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)kL2(R) = k(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)k = (1 +y2).|(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)|.k(H2f)kL2(R) = (1 +y2). 1 1 +y2.k(H2f)kL2(R) = k(H2f)kL2(R) = kfkL2(R).
hay kTp1,p2fkL2(R) = kfkL2(R). Điều này có nghĩa là Tp1,p2 là một biến đổi đẳng cự, hay toán tử Tp1,p2 là unita trong không gian L2(R).
Do H2 = I trên L2(R), nên từ (3.5), ta có
(H1w)(y) = (1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y) (3.6) và vì vậy (H1w)(y) cũng thuộc không gian L2(R).
Nhân hai vế của phương trình (3.6) với
(1 +y2)·signy ·(Fcp1)(|y|)·(Fsp2)(|y|),
trong đó (Fcp1)(|y|), (Fsp2)(|y|) là các hàm liên hợp phức của (Fcp1)(|y|),
(Fsp2)(|y|), tương ứng. Do các biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có tính tuyến tính, nên
(Fcp1)(|y|) = (Fcp1)(|y|), (Fsp2)(|y|) =Fs(p2)(|y|),
trong đó p1, p2 là các hàm liên hợp phức của p1, p2, tương ứng. Sử dụng điều kiện (3.2), ta nhận được
(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) = (H2f)(y),
Cũng từ điều kiện (3.2), dẫn đến |(1 +y2).(Fcp1)(y).(H2p2)(y)| = 1. Vì vậy
(1 + y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|) là một hàm bị chặn. Trong khi đó, ta lại có (H1w)(y) ∈ L2(R), nên dẫn đến
(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) ∈ L2(R).
Hơn nữa, f ∈ L2(R), nên (3.7) suy ra
f(x) =H2
(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) (x).
Sử dụng (3.4) và (2.5), ta viết được công thức ngược của Tp1,p2 có dạng:
f(x) = 1− d 2 dx2 H2[signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y)] = − 1− d 2 dx2 [∗ 1(p1, p2, w)](x) = −(Tp1,p2w)(x), ∀x ∈ R.
Điều kiện đủ: Giả sử rằng toán tử Tp1,p2: f(x) 7→(Tp1,p2f)(x) ≡w(x) được xác định bởi (3.1) là toán tử unita trên không gian L2(R) với biến đổi ngược của nó có dạng (3.3). Ta cần chứng tỏ rằng p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2).
Thật vậy, từ giả thiết toán tử Tp1,p2 là unita và w(x) được viết ở dạng (3.5), ta nhận được: kfkL2(R) = kTp1,p2fkL2(R) = kH1(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)kL2(R) = k(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)kL2(R). mà kfkL2(R) = k(H2f)kL2(R), nên suy ra k(H2f)kL2(R) = k(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f)(y)kL2(R).
Xét toán tử nhân Mθ[.] mà xác định bởi Mθ[f](y) = θ(y).f(y), trong đó
θ(y) = (1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|). Khi đó, biểu thức trên được viết lại
kH2fkL2(R) = kMθ[H2f]kL2(R),
với mọi f ∈ L2(R). Điều này tương đương với Mθ[.] là toán tử unita trong
L2(R), và điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi
|θ(y)| ≡ |(1 +y2).signy.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)| = 1.