Xét phương trình tích phân sau đây
f(x) + λ ∞ Z 0 ∞ Z 0 ϕ(u)ψ(v)θ1(x, u, v)dudv = h(x), x ∈ R, (2.15) với θ1(x, u, v) = 1 2π [f(−x−u+v)−f(−x−u−v) +f(−x+u+v) −f(−x+u−v)],
trong đó λ là hằng số phức; ϕ(x), ψ(x) là các hàm trong không gian L1(R+);
h(x) là hàm thuộc không gian L1(R); f(x) là hàm cần tìm trong không gian
L1(R).
Bằng phương pháp đổi biến, ta thấy rằng phương trình (2.15) ở trên là phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng
f(x) +λ
Z
Γ
K(x, τ)f(τ)dτ = h(x), (2.16) trong đó nhân K(x, τ) được xác định đặc biệt và có chứa tích phân. Định lý dưới đây chỉ ra điều kiện đủ để phương trình (2.15) có nghiệm duy nhất, và chỉ ra công thức nghiệm dưới dạng đóng trong không gian L1(R).
Định lý 2.1.4 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn
1 +λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) 6= 0,∀y ∈ R. (2.17)
Khi đó phương trình tích phân (2.15) có nghiệm duy nhất trong không gian
L1(R) và nghiệm có dạng
f(x) =h(x)−(l ∗
trong đó hàm l ∈ L1(R) và được xác định bởi công thức sau
(F l)(y) = λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) 1 +λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).
Chứng minh. Theo định nghĩa đa chậpH-Fc-Fs, công thức (2.1), ta có phương trình tích phân (2.15) có thể viết lại dưới dạng
f(x) +λ[∗
1(ϕ, ψ, f(−t))](x) = h(x).
Do các hàm f(x), [∗
1(ϕ, ψ, f(−t))](x) và h(x) là các hàm trong không gian
L1(R), nên tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình trên, và sử dụng tính chất nhân tử hóa (2.2) cho đa chập. Đồng thời sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.11) cho tích chập suy rộng (· ∗γ
F F cF s·) ta có (H1f)(y) +λ.signy(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H2f(−t))(y) = (H1h)(y) ⇐⇒ (H1f)(y) +λ.signy(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H1f)(y) = (H1h)(y) ⇐⇒ (H1f)(y).[1 +λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|)] = (H1h)(y) ⇐⇒ (H1f)(y)[1 +λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y)] = (H1h)(y). (2.18) Do giả thiết (2.17), suy ra 1 +λ.F(ϕ ∗γ
F F cF sψ)(y) 6= 0, nên phương trình đại số (2.18) có nghiệm duy nhất: (H1f)(y) =(H1h)(y). 1 [1 +λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y)] =(H1h)(y). 1− λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y) 1 +λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y) . (2.19) Tiếp theo ta sử dụng định lý Wiener-Levy [38] cho biến đổi Fourier, do hàm
Φ(z) = 1+zz là hàm giải tích trong lân cận điểm gốc, nên sẽ tồn tại một hàm
l ∈ L1(R) thỏa mãn (F l)(y) = λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y) 1 +λ.F(ϕ ∗γ F F cF sψ)(y) . (2.20)
Hay viết lại dưới dạng
(F l)(y) = λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) 1 +λsigny.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).
Trở lại với hàm phải tìm f(x), ta viết được
(H1f)(y) = (H1h)(y).[1 −(F l)(y)]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.26) đối với tích chập (· ∗
HF ·) , và từ biểu thức (2.19), ta nhận được
(H1f)(y) =H1[h−(l ∗
HF h)](y), ∀y ∈ R.
Biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, từ đó suy ra
f(x) = h(x)−(l ∗
HF h)(x) ∈ L1(R).
Vậy định lý đã được chứng minh. 2