Tóm tắt luận án tiến sĩ đa chập hartley fourier và ứng dụng

MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân đời sớm, phát triển giữ vị trí quan trọng lịch sử giải tích toán học Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Năm 1967, V.A Kakichev đưa phương pháp kiến thiết để xây dựng tích chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân bất kỳ, mà đẳng thức nhân tử hóa γ có dạng K(f ∗ g)(y) = γ(y) · (Kf )(y) · (Kg)(y) Nhờ đó, ông nhiều K tác giả khác xây dựng tích chập phép biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập có hàm trọng với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Tích chập hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine I.N Sneddon năm 1951, số tích chập phép biến đổi tích phân theo số S.B Yakubovich năm đầu thập kỷ 90 mở hướng nghiên cứu tích chập Những tích chập hai phép biến đổi tích phân trở lên gọi tích chập suy rộng Năm 1998, V.A Kakichev Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập suy rộng có hàm trọng Tích chập suy rộng có đẳng thức nhân tử hóa dạng K3 (f γ ∗ K3 K1 K2 g)(y) = γ(y) · (K1 f )(y) · (K2 g)(y) Do biến đổi tích phân K3 , K1 , K2 nói chung khác nhau, nên tích chập suy rộng tính giao hoán có khả ứng dụng phong phú Từ ý tưởng xây dựng tích chập suy rộng, tác giả Kakichev xây dựng nên định nghĩa đa chập, năm 1997 Ông thấy không dừng lại tích chập hàm mà xây dựng phép nhân chập cho n (n ≥ 3) hàm lúc n + phép biến đổi tích phân bất γ kỳ, đa chập có đẳng thức nhân tử hóa dạng Kn+1 [∗(f1 , f2 , , fn )](x) = γ(x).(K1 f1 )(x).(K2 f2 )(x) (Kn fn )(x) Công trình mở hướng nghiên cứu Từ đến có số công trình nghiên cứu đa chập như: đa chập phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine (2008), với đẳng thức nhân tử hóa Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Fc h)(y), y > 0; đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Kontorovich-Lebedev (2010), với đẳng thức nhân tử hóa Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y).(Fs g)(y).(Kiy h)(y), y > 0; đa chập phép biến đổi Fourier sine Kontorovich-Lebedev (2011), với đẳng thức γ nhân tử hóa Fs [∗(f, g, h)](y) = sin y.(Fs f )(y).(Fs g)(y).(Kiy h)(y), y > Các công trình công bố dừng lại việc xây dựng đa chập nghiên cứu đẳng thức nhân tử hóa Mặt khác, nhiều toán lĩnh vực vật lý dẫn đến phải giải phương trình tích phân dạng Toeplitz-Hankel, việc giải phương trình đến toán mở Có số công trình xem xét trường hợp riêng nhân vế phải Chúng có nhận xét sau đây: - Có phép biến đổi hữu ích chưa xuất nghiên cứu đa chập, phép biến đổi Hartley Phép biến đổi Hartley đóng vai trò quan trọng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm Do đó, xây dựng đa chập có liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu ứng dụng việc giải lớp phương trình Toeplitz-Hankel - Do đa chập ba hàm f, g, h toán tử biến ba hàm thành hàm ∗(f, g, h)(x) qua biểu thức tích phân, nên thấy rằng, ta cố định hàm hai hàm cho hàm lại thay đổi ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Đã có nhiều công trình nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập chưa có công trình nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Chúng dự kiến nghiên cứu vấn đề cho đa chập xây dựng luận án - Dùng tích chập công cụ để giải nhiều lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, toán Toán-lý, nghiệm nhận thường biểu diễn dạng tích chập Vì vậy, xây dựng bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm hướng nghiên cứu nhiều nhà khoa học quan tâm thời gian gần Cho đến nay, chưa có công trình nghiên cứu bất đẳng thức đa chập Chúng dự kiến nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập Với lý trên, lựa chọn đề tài luận án Đa chập Hartley-Fourier ứng dụng Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục đích luận án xây dựng đa chập có liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Sau dùng đa chập để tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập tìm bất đẳng thức có liên quan đến đa chập không gian hàm khác Xem xét ứng dụng kết nhận vào việc giải lớp phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng với dạng cụ thể Luận án chia làm bốn chương: Chương 1, trình bày kiến thức biết liên quan phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Chương 2, xây dựng hai đa chập đa chập ∗(., , ) phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine đa chập ∗(., , ) phép biến đổi Hartley, Fourier cosine Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, tính chất có liên quan, định lý kiểu Titchmarch trình bày Ứng dụng chúng giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình hệ phương trình ToeplitzHankel Chương nhận thêm đa chập ∗(., , ) phép biến đổi Hartley, Fourier cosine từ việc thay đổi dấu hàm nhân đa chập ∗(., , ), dùng để giải lớp phương trình đạo hàm riêng dạng phương trình truyền nhiệt Chương 3, xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho hai đa chập ∗(., , ) ∗(., , ) Nghiên cứu tính chất toán tử chúng Tìm điều kiện cần đủ để toán tử unita không gian L2 (R), nội dung Định lý kiểu Watson Định lý kiểu Plancherel cho biết xấp xỉ toán tử dãy hàm L2 (R) Đồng thời, chứng minh tính bị chặn chúng không gian Lr (R), (1 ≤ r ≤ 2) Phần ứng dụng, dùng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine vào việc giải lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân Chương 4, nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn cho hai đa chập xây dựng không gian hàm khác Đó bất đẳng thức chuẩn không gian L1 , không gian Lα,β,γ , bất đẳng thức kiểu Young, s bất đẳng thức kiểu Saitoh Phần ứng dụng, việc ứng dụng bất đẳng thức để đánh giá nghiệm lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai lớp phương trình vi phân cấp cao bậc chẵn Ý nghĩa Luận án Đây hướng nghiên cứu mới, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, bất đẳng thức đa chập, lý thuyết phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứu đa chập khác, phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, bất đẳng thức đa chập khác Nội dung luận án dựa công trình công bố, có công trình đăng tạp chí thuộc nhóm ISI (SCIE) công trình đăng tạp chí chuyên ngành nước Các kết báo cáo tại: Hội nghị Quốc tế lần thứ 20 giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều ứng dụng, tổ chức Hà Nội, tháng năm 2012; Hội nghị Toán học phối hợp Việt Pháp, Huế, tháng năm 2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, tháng năm 2013; Hội nghị Toán ứng dụng Quốc tế Việt Nam, tổ chức Sài Gòn, tháng 12, năm 2013 (VIAMC); Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức biết sử dụng luận án, bao gồm: Phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Hartley tính chất, tích chập, tích chập suy rộng, định lý, mệnh đề có liên quan Trong có định lý quan trọng như: định lý Wiener-Levy, định lý Young, định lý Saitoh cho biến đổi Fourier Định lí 1.0.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f˜ biến đổi Fourier hàm f không gian L1 (R), φ hàm giải tích lân cận điểm gốc mà chứa miền giá trị f (y), ∀y ∈ R φ(0) = Khi φ(f˜) biến đổi Fourier hàm không gian L1 (R) Định lí 1.0.2 (Định lý Young cho tích chập Fourier) Giả sử p, q, s > 1, thỏa mãn p + 1q + s = Khi đó, ta có (f ∗ g)(x) · w(x)dx ≤ f F Lp (Rn ) g Lq (Rn ) w Ls (Rn ) , (1.1) Rn với f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ), w ∈ Ls (Rn ) Định lí 1.0.3 (Định lý Saitoh cho tích chập Fourier) Giả sử cho hai hàm không triệt tiêu ρj ∈ L1 (R), j = 1, 2, với Fj ∈ Lp (R, |ρj |), j = 1, ta có bất đẳng thức không gian Lp (R), (p > 1) (F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 F F Lp (R) ≤ F1 Lp (R,|ρ1 |) F2 Lp (R,|ρ2 |) (1.2) Đẳng thức xảy Fj (x) = Cj eαx , α số cho eαx ∈ Lp (R, |ρj |), j = 1, (nếu không C1 C2 0) Chương ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE Trong chương này, xây dựng hai đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine, ký hiệu tương ứng ∗(., , ) ∗(., , ) Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval tính chất quan trọng đa chập trình bày 2.1 Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine Fourier sine Định nghĩa 2.1.1 Đa chập ba hàm f, g h phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine, gọi tắt đa chập H-Fc -Fs , xác định sau ∞ ∞ ∗(f, g, h)(x) := 2π f (u) g(v) θh (x, u, v) dudv, x ∈ R, (2.1) θh (x, u, v) = h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v) Trong không gian L1 (R), đa chập có đẳng thức nhân tử hóa đẳng thức Parseval cho định lý sau Định lí 2.1.1 Giả sử f, g ∈ L1 (R+ ) h ∈ L1 (R) Khi đó, đa chập ∗(f, g, h)(x) hàm thuộc không gian L1 (R) có hai đẳng thức nhân tử hóa sau H1 [ ∗(f, g, h)](y) = sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H2 h)(y), ∀y ∈ R, (2.2) H2 [ ∗(f, g, h)](y) = − sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H1 h)(y), ∀y ∈ R (2.3) Hơn nữa, trường hợp f, g ∈ L2 (R+ ), h ∈ L2 (R), ta có hai đẳng thức Parseval tương ứng ∞ ∗(f, g, h)(x) = √ 2π sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H2 h)(y) cas(xy)dy, −∞ ∞ ∗(f, g, h)(x) = − √ 2π sign y.(Fc f )(y).(Fs g)(|y|).(H1 h)(y) cas(−xy)dy −∞ Trong không gian đa số Lα,β,γ (R), với s > 1, α > −1, β > 0, γ > s nhận định lý sau Định lí 2.1.2 Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ), h ∈ Lr (R), 1 p + q + r = Lα,β,γ (R) Nếu s p, q, r > thỏa mãn Khi đa chập ∗(f, g, h) bị chặn không gian có thêm điều kiện f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), g ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ) h ∈ L1 (R) ∩ Lr (R), có đẳng thức nhân tử hóa Hơn nữa, thêm điều kiện f ∈ L2 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), h ∈ L2 (R+ ) ∩ Lr (R+ ), g ∈ L2 (R) ∩ Lq (R), đẳng thức Parseval Phần ứng dụng xét cho lớp phương trình hệ phương trình tích phân Fredholm loại hai a) Xét phương trình tích phân ∞ ∞ ϕ(u) ψ(v) θ1 (x, u, v)dudv = h(x), x ∈ R, f (x) + λ (2.4) với θ1 (x, u, v) = [f (−x − u + v) − f (−x − u − v) + f (−x + u + v) − f (−x + u − v)] , 2π λ số phức; ϕ(x), ψ(x) hàm không gian L1 (R+ ); h(x) hàm thuộc không gian L1 (R); f (x) hàm cần tìm không gian L1 (R) Định lí 2.1.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) = 0, ∀y ∈ R (2.5) Khi phương trình tích phân (2.4) có nghiệm không gian L1 (R) nghiệm có dạng f (x) = h(x) − (l ∗ h)(x), HF (2.6) hàm l ∈ L1 (R) xác định công thức sau (F l)(y) = λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) + λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) b) Xét hệ phương trình tích phân  ∞ ∞     f (x) + λ1 ϕ1 (u)ψ1 (v)θ2 (x, u, v)dudv = p(x),    ∞ ∞     λ2    0 (2.7) (2.8) ϕ2 (u)ψ2 (v)θ3 (x, u, v)dudv + h(x) = q(x), 0 λ1 , λ2 số phức; ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 hàm không gian L1 (R+ ); p(x), q(x) hàm không gian L1 (R); f, h hàm phải tìm [h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v)], 2π θ3 (x, u, v) = [f (x + u − v) − f (x + u + v) + f (x − u − v) − f (x − u + v)] 2π θ2 (x, u, v) = Định lí 2.1.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) = 0, ∀y > Khi hệ (2.8) có nghiệm không gian L1 (R) × L1 (R) nghiệm biểu diễn dạng f (x) = p(x) − (l ∗ p)(x) − λ1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](x) + λ1 (l ∗ [∗(ϕ1 , ψ1 , q)])(x), (2.9) h(x) = q(x) − (l ∗ q)(x) − λ2 [∗(ϕ2 , ψ2 , p)](x) + λ2 (l ∗ [∗(ϕ2 , ψ2 , p)])(x) (2.10) HFc HFc HFc 1 HFc Ở đây, hàm l ∈ L1 (R) xác định (Fc l)(|y|) = λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) , ∀y ∈ R − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) 2.2 Đa chập Hartley-Fourier cosine Định nghĩa 2.2.1 Đa chập Hartley-Fourier cosine, gọi tắt đa chập HFc , hàm f, g, h định nghĩa ∞ [∗(f, g, h)](x) := 4π f (u)[k1 (x − u) + k2 (x + u)]du, x ∈ R, (2.11) −∞ k1 (t), k2 (t) (t ∈ R) hai hàm xác định ∞ g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, (2.12) k1 (t) := ∞ g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv (2.13) k2 (t) := Định lí 2.2.1 Giả sử hàm f, h ∈ L1 (R) g ∈ L1 (R+ ) Khi đó, đa chập ∗(f, g, h)(x) hàm thuộc không gian L1 (R) thỏa mãn hai đẳng thức nhân tử hóa sau: H1 [∗(f, g, h)](y) = (H1 f )(y).(Fc g)(y).(H2 h)(y), ∀y ∈ R, (2.14) H2 [∗(f, g, h)](y) = (H2 f )(y).(Fc g)(y).(H1 h)(y), ∀y ∈ R (2.15) 2 Trong trường hợp hàm f, h ∈ L2 (R) g ∈ L2 (R+ ), ta có hai đẳng thức kiểu Parseval sau đây, ∞ ∗(f, g, h)(x) = √ 2π ∗(f, g, h)(x) = √ 2π (H1 f )(y).(Fc g)(y).(H2 h)(y) cas(xy)dy, (2.16) −∞ ∞ (H2 f )(y).(Fc g)(y).(H1 h)(y) cas(−xy)dy (2.17) −∞ Định lí 2.2.2 Giả sử f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R+ ) h ∈ Lr (R), p, q, r > thỏa mãn p + 1q + 1r = Khi đa chập ∗(f, g, h) bị chặn, thuộc không gian Lα,β,γ (R) Nếu có thêm điều kiện f ∈ L1 (R) ∩ Lp (R), g ∈ s L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ) h ∈ L1 (R) ∩ Lr (R), đa chập (2.11) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Hơn nữa, thêm điều kiện f ∈ L2 (R) ∩ Lp (R), h ∈ L2 (R) ∩ Lr (R), g ∈ L2 (R) ∩ Lq (R), đẳng thức Parseval Phần ứng dụng xét cho lớp phương trình Toeplitz-Hankel a) Xét phương trình Toeplitz-Hankel có dạng ∞ f (y)[k1 (x − y) + k2 (x + y)]dy = p(x), x ∈ R f (x) + λ (2.18) −∞ k1 , k2 xác định ∞ g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, t ∈ R k1 (t) := ∞ g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv, t ∈ R, k2 (t) := g, h, p hàm cho trước, f hàm cần tìm Định lí 2.2.3 Giả sử g ∈ L1 (R+ ) h, p ∈ L1 (R) hàm cho trước, λ số Điều kiện cần đủ để phương trình tích phân (2.18) có nghiệm không gian L1 (R) + λ(Fc g)(y)(H2 h)(y) = 0, ∀y ∈ R, (2.19) f (x) = p(x) − (l ∗ p)(x), ∀x ∈ R, (2.20) nghiệm có dạng H12 l ∈ L1 (R) xác định (H2 l)(y) = λ.(Fc g)(y)(H2 h)(y) , ∀y ∈ R + λ.(Fc g)(y)(H2 h)(y) 10 (2.21) Ví dụ 2.2.1 Chọn g(x) = π K0 (x), h(x) = π K0 (|x|), chọn hàm p(x) = e−x tính nghiệm không gian L1 (R) có biểu thức sau: f (x) = e −x2 √ √ √ 1 1 2x − 2x π Erfc √ − x + e Erfc √ + x − √ e 2 b) Xét hệ phương trình      f (x) + λ1    ∞     λ2    ∞ g(u)[k1 (x − u) + k2 (x + u)]du = p(x), −∞ (2.22) f (u)[k3 (x − u) + k4 (x + u)]du + g(x) = q(x), ∀x ∈ R, −∞ ∞ ϕ1 (v)[ψ1 (−t + v) + ψ1 (t − v) + ψ1 (−t − v) + ψ1 (t + v)]dv, k1 (t) := ∞ ϕ1 (v)(v)[−ψ1 (t + v) + ψ1 (−t − v) − ψ1 (t − v) + ψ1 (−t + v)]dv, k2 (t) := ∞ ϕ2 (v)[ψ2 (−t + v) + ψ2 (t − v) + ψ2 (−t − v) + ψ2 (t + v)]dv, k3 (t) := ∞ ϕ2 (v)(v)[−ψ2 (t + v) + ψ2 (−t − v) − ψ2 (t − v) + ψ2 (−t + v)]dv, k4 (t) := với t ∈ R, λ1 , λ2 số; hàm cho trước ϕ1 , ϕ2 không gian L1 (R+ ); ψ1 , ψ2 , p(x), q(x) không gian L1 (R); f, g hàm phải tìm Định lí 2.2.4 Nếu điều kiện − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) = 0, ∀y ∈ R, 11 thỏa mãn, hệ (2.22) có nghiệm không gian L1 (R) × L1 (R) nghiệm xác định công thức f (x) = p(x) − λ1 (∗(q, ϕ1 , ψ1 ))(x) + l ∗ [p − λ1 (∗(q, ϕ1 , ψ1 ))] (x), H12 g(x) = q(x) − λ2 (∗(p, ϕ2 , ψ2 ))(x) + l ∗ [q − λ2 (∗(p, ϕ2 , ψ2 ))] (x), H12 hàm l ∈ L1 (R) xác định từ biểu thức (H2 l)(y) = 2.3 λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) , ∀y ∈ R − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) Đa chập Hartley-Fourier suy biến Trong biểu thức xác định đa chập H-Fc , ta đổi nhân từ tổng thành hiệu, ta nhận đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, có dạng ∞ [∗(f, g, h)](x) := 4π f (u)[k1 (x − u) − k2 (x + u)]du, x ∈ R, (2.23) −∞ với k1 , k2 giữ nguyên cũ Khi đó, đa chập [∗(f, g, h)](x) có tính chất tương tự đa chập [∗(f, g, h)](x), trừ đẳng thức nhân tử hóa xuất loại phép biến đổi Hartley sau Hi [∗(f, g, h)](y) = (Hi f )(y).(Fc g)(|y|).(Hi h)(y), y ∈ R, i = 1, (2.24) Dùng đa chập này, giải lớp phương trình đạo hàm riêng, dạng phương trình truyền nhiệt, sau: ut (x, t) = kuxx (x, t) + [∗(u, g, u)](x, t), t > 0, x ∈ R, (2.25) lim u(x, t) = 0, ∀t > 0, |x|→∞ u(x, t) hàm cần tìm, g(x, t) hàm cho trước k số 12 Kết luận chương Trong chương này, xây dựng hai đa chập ∗(·, ·, ·) ∗(·, ·, ·), tìm đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, số tính chất khác Dùng đa chập công cụ để giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai Đa chập ∗(·, ·, ·) giải lớp phương trình hệ hai phương trình tích phân Toeplitz-Hankel Đa chập ∗(·, ·, ·) nhận từ đa chập ∗(·, ·, ·) cách điều chỉnh hàm nhân, có đẳng thức nhân tử hóa thuận tiện cho việc giải lớp phương trình đạo hàm riêng Những đa chập xây dựng kết hướng nghiên cứu này, góp phần làm phong phú cho hướng nghiên cứu Nội dung chương dựa vào phần báo [1, 2], mục Danh mục công trình công bố Luận án 13 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP Trong chương này, nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho đa chập ∗(·, ·, ·) ∗(·, ·, ·) xây dựng chương trước 3.1 Phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc-Fs Đối với đa chập H-Fc -Fs , cố định hai hàm đầu p1 , p2 cho hàm thứ ba thay đổi L2 (R), xét toán tử Tp1 ,p2 không gian L2 (R) có dạng f → (Tp1 ,p2 f )(x) = w(x), w(x) = 1− d2 dx2 [∗(p1 , p2 , f )](x) (3.1) Định lí 3.1.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử p1 , p2 ∈ L2 (R+ ) hàm cho trước Khi đó, điều kiện |(Fc p1 )(|y|).(Fs p2 )(|y|)| = , y ∈ R, + y2 (3.2) điều kiện cần đủ để toán tử Tp1 ,p2 toán tử unita không gian L2 (R) Hơn nữa, toán tử ngược Tp−1 xác định sau ,p2 f (x) = (Tp−1 w)(x) = − − ,p2 d2 dx2 [∗(p1 , p2 , w)](x), x ∈ R, (3.3) w(x) ≡ (Tp1 ,p2 f )(x), p1 , p2 hàm liên hợp phức p1 , p2 , tương ứng Định lí 3.1.2 (Định lý kiểu Plancherel) Giả sử p1 (x) ∈ L1 (R+ )∩ L2 (R+ ), p2 (x) ∈ L2 (R+ ) hàm thỏa mãn điều kiện (3.2) cho d2 P2 (x) = − p2 (x) bị chặn địa phương R+ Với f ∈ L2 (R) dx 14 với số nguyên dương N , đặt ∞ ∞ wN (x) := 2π p1 (u)P2 (v) f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ 0 +f N (x − u − v) − f N (x − u + v) dvdu, (3.4) f N (x) := f (x).χ[−N,N ] hàm đặc trưng f đoạn [−N, N ], với x ∈ R Khi khẳng định sau đúng: Với số nguyên dương N, hàm wN (x) thuộc không gian L2 (R) Dãy hàm {wN (x)} hội tụ tới hàm w(x) L2 (R) N → ∞ thỏa mãn w L2 (R) = f L2 (R) Đặt wN := w.χ[−N,N ] , d2 fN (x) = − − dx [∗(p1 , p2 , wN )](x), (3.5) thuộc không gian L2 (R) hội tụ L2 (R) theo chuẩn đến hàm f (x) N → ∞ Định lí 3.1.3 (Tính bị chặn toán tử Tp1 ,p2 ) Giả sử p1 ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) p2 ∈ L2 (R) p2 (x) khả vi liên tục R d2 cho P2 (x) = − p2 (x) bị chặn địa phương R+ p1 , p2 dx thỏa mãn điều kiện (3.2) Khi đó, toán tử Tp1 ,p2 : f → (Tp1 ,p2 f ) = w, mà w(x) xác định  1 ∞ w(x) = lim N →∞  2π ∞ p1 (u)P2 (v) f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ +f N (x − u − v) − f N (x − u + v) dvdu (3.6) toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), với ≤ r ≤ s liên hợp mũ r Ở đây, giới hạn hiểu theo chuẩn không gian Ls (R) f N = f.χ[−N,N ] 15 3.2 Phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc Trong mục này, đa chập H-Fc , cố định hai hàm sau q1 , q2 cho hàm thứ thay đổi L2 (R), xét toán tử Tq1 ,q2 không gian L2 (R) có dạng f → (Tq1 ,q2 f )(x) = w(x), w(x) = 1− d2 dx2 [∗(f, q1 , q2 )](x) (3.7) Định lí 3.2.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử q1 ∈ L2 (R+ ), q2 ∈ L2 (R) hàm cho trước Khi đó, điều kiện |(Fc q1 )(y).(Hi q2 )(y)| = , i = i = 2, + y2 (3.8) điều kiện cần đủ để toán tử Tq1 ,q2 trở thành toán tử unita không gian L2 (R) Hơn nữa, đặt w(x) := (Tq1 ,q2 f )(x), toán tử ngược Tq1 ,q2 có dạng f (x) = (Tq−1 w)(x) ,q2 = d2 1− dx [∗(w, q , q )](x), x ∈ R, (3.9) q , q hàm liên hợp phức q1 , q2 , tương ứng Chẳng hạn, ta chọn q1 (x) = π K0 (x) chọn q2 (x) khai triển chẵn hàm q1 (x), x ≥ chứng minh chúng hàm thuộc L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) thỏa mãn (Fc q1 )(|y|) = (H2 q2 )(y) = 1 + y2 Do q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8) Định lí 3.2.2 (Định lý kiểu Plancherel) Giả sử q1 (x) ∈ L1 (R+ )∩ d2 L2 (R+ ), q2 (x) ∈ L2 (R) cho Q2 (x) = − q2 (x) hàm bị chặn dx 16 địa phương, q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8) Giả sử f ∈ L2 (R), với số nguyên dương N , đặt N wN (x) := 4π f (u) [θ1 (x − u) + θ2 (x + u)] du, (3.10) −N x ∈ R ∞ q1 (v)[Q2 (−t + v) + Q2 (t − v) + Q2 (−t − v) + Q2 (t + v)]dv, θ1 (t) := ∞ q1 (v)[Q2 (−t + v) − Q2 (t − v) + Q2 (−t − v) − Q2 (t + v)]dv, t ∈ R θ2 (t) := Khi khẳng định sau đúng: Với số nguyên dương N , hàm wN (x) thuộc không gian L2 (R) Khi N → ∞, dãy hàm {wN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm w(x) không gian L2 (R) thỏa mãn w L2 (R) = f L2 (R) Đặt wN := w.χ[−N,N ] đặt fN (x) = 1− d2 dx2 [∗(wN , q , q )](x), (3.11) dãy hàm {fN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm f (x) không gian L2 (R) Định lí 3.2.3 (Tính bị chặn toán tử Tq1 ,q2 ) Giả sử d2 q1 ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ), q2 ∈ L2 (R) cho Q2 (x) = − q2 (x) bị dx chặn địa phương R q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8) Khi đó, toán tử Tq1 ,q2 toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), với ≤ r ≤ 2, s liên hợp mũ r Hơn nữa, biến đổi w(x) = lim N →∞ 1− d2 dx2 17 [∗(f N , q1 , q2 )] , (3.12) f (x) = lim N →∞ d2 1− dx [∗(wN , q , q )] , (3.13) toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), giới hạn hiểu theo nghĩa chuẩn không gian Ls (R) wN = w.χ[−N,N ] , f N = f.χ[−N,N ] 3.3 Ứng dụng a) Xét phương trình vi-tích phân có dạng sau f (x) + 4π 1− ∞ ∞ d dx2 f (u)ϕ(v)[ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v)+ −∞ + ψ(−x + u − v) + ψ(−x + u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+ + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v)]dvdu = g(x), (3.14) f (x) hàm cần tìm hàm ϕ(x) ∈ L1 (R+ ), ψ(x) ∈ L1 (R), g(x) ∈ L1 (R) hàm cho trước, cho ϕ(x) = (ϕ1 (t) ∗ sech t)(x), ϕ1 (t) ∈ L1 (R+ ) and ψ (x) ∈ L1 (R) Fc Định lí 3.3.1 Nếu điều kiện sau thỏa mãn 1+ π πy (1 + y ) · sech · (Fc ϕ1 )(y) · (H2 ψ)(y) = 0, ∀y ∈ R, (3.15) 2 phương trình (3.14) có nghiệm không gian L1 (R): f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), ∀x ∈ R, HF (3.16) l hàm thuộc không gian L1 (R) xác định biểu thức sau đây: (F l)(y) = 1+ πy π 2 (1 + y ) · sech · πy π 2 (1 + y ) · sech 18 (Fc ϕ1 )(y) · (H2 ψ)(y) · (Fc ϕ1 )(y) · (H2 ψ)(y) , ∀y ∈ R b) Xét hệ hai phương trình vi-tích phân   f (x) + − d22 [∗(g, ϕ, ψ)](x) = p(x), dx   1− d dx2 [∗(f, ξ, η)](x) + g(x) = q(x), (3.17) x ∈ R f (x), g(x) hàm cần tìm; p(x), q(x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x), η(x) hàm cho trước không gian L1 (R) cho: ϕ(x) = (ϕ1 (t) ∗ sech t)(x) ∈ L1 (R+ ), Fc ξ(x) = (ξ1 (t) ∗ sech t)(x), ϕ1 (x), ξ1 (x) ∈ L1 (R+ ), Fc ψ (x), η (x) hàm không gian L1 (R) Định lí 3.3.2 Nếu điều kiện sau thỏa mãn − 4.Fc2 (sech3 t)(y) · (Fc ϕ1 )(y) · (Fc ξ1 )(y) · (H2 ψ)(y) · (H2 η)(y) = 0, y ∈ R, (3.18) hệ (3.17) có nghiệm L1 (R) × L1 (R) nghiệm có dạng f (x) = p(x) − sech3 t ∗ [∗(q, ϕ1 , ψ)] (x)+ HFc + l ∗ HF p − sech3 t ∗ [∗(q, ϕ1 , ψ)] HFc (x), g(x) = q(x) − sech3 t ∗ [∗(p, ξ1 , η)] (x)+ HFc + l ∗ HF q − sech3 t ∗ [∗(p, ξ1 , η)] HFc (x) (3.19) hàm l(x) ∈ L1 (R), xác định công thức 4Fc2 (sech3 t)(y) · (Fc ϕ1 )(y).(Fc ξ1 )(y).(H2 ψ)(y).(H2 η)(y) (F l)(y) = − 4.Fc2 (sech3 t)(y).(Fc ϕ1 )(y).(Fc ξ1 )(y).(H2 ψ)(y).(H2 η)(y) (3.20) 19 Kết luận chương Chương xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, ký hiệu Tp1 ,p2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine, ký hiệu Tq1 ,q2 Với phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, nghiên cứu tính chất toán tử chúng không gian L2 Định lý kiểu Watson, cho biết tính unita biến đổi ngược Định lý kiểu Plancherel, xây dựng dãy hàm để xấp xỉ cho hàm ảnh T f hàm ban đầu f L2 Định lý tính bị chặn chứng minh toán tử T bị chặn từ không gian Lr (R) vào Ls (R), với ≤ r ≤ Phần ứng dụng, xét phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Tq1 ,q2 vào việc giải phương trình hệ hai phương trình vi-tích phân Các kết chương dựa vào hai báo [3, 4], mục Danh mục công trình công bố Luận án 20 Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP Trong chương này, nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập ∗(·, ·, ·) ∗(·, ·, ·) Do có hạn chế nội dung, nên nêu kết đa chập ∗(·, ·, ·) 4.1 Các bất đẳng thức Định lí 4.1.1 Nếu f, g ∈ L1 (R+ ) h ∈ L1 (R) đa chập ∗(f, g, h)(x) có chuẩn đánh giá theo bất đẳng thức sau không gian L1 (R) ∗ (f, g, h) L1 (R) ≤ f π L1 (R+ ) g L1 (R+ ) h L1 (R) (4.1) Định lí 4.1.2 Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ) h ∈ Lr (R), p, q, r > thỏa mãn không gian Lα,β,γ (R) s + q + r = Khi đó, đa chập ∗(f, g, h) thuộc có bất đẳng thức ∗ (f, g, h) 1 p (R) Lα,β,γ s ≤C f Lp (R+ ) g Lq (R+ ) h Lr (R) , (4.2) số C xác định công thức C= 21+ s πγ s β− α+1 γs Γs ( α+1 ), γ Γ(x) hàm Gamma Định lí 4.1.3 (Định lý kiểu Young cho đa chập H-Fc -Fs ) Giả sử p, q, r, s > 1, cho thỏa mãn p + q + r + s = f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ), h ∈ Lr (R), k ∈ Ls (R) Khi đó, ∞ [∗(f, g, h)](x) · k(x)dx ≤ f π Lp (R+ ) · g Lq (R+ ) · h Lr (R) · k Ls (R) −∞ (4.3) 21 Hệ 4.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Young cho đa chập H-Fc -Fs ) : Giả sử p, q, r, s > thỏa mãn p + 1q + r = + 1s Khi đó, với hàm f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ) h ∈ Lr (R), đa chập [∗(f, g, h)](x) thuộc không gian Ls (R) có bất đẳng thức kiểu Young sau ∗ (f, g, h) Ls (R) ≤ f π Lp (R+ ) · g Lq (R+ ) · h Lr (R) (4.4) Định lí 4.1.4 (Bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập H-Fc -Fs ) Giả sử ρi , i = 1, 2, hàm không triệt tiêu Khi đó, với hàm F1 ∈ Lp (R+ , |ρ1 |), F2 ∈ Lp (R+ , |ρ2 |) F3 ∈ Lp (R, |ρ3 |) (p > 1), ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập H-Fc -Fs [∗(F1 ρ1 , F2 ρ2 , F3 ρ3 )] · [∗(ρ1 , ρ2 , ρ3 )] p −1 1 ≤ 4.2 · F1 π Lp (R+ ,|ρ1 |) · F2 Lp (R) Lp (R+ ,|ρ2 |) · F3 Lp (R,|ρ3 |) (4.5) Ứng dụng Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng ∞ ∞ f (x) + 4π f (u)ϕ(v)θψ (x, u, v)dvdu = g(x), x ∈ R (4.6) −∞ θψ (x, u, v) :=ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v) + ψ(−x + u − v)+ + ψ(x − u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+ + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v), vế phải g(x) có dạng ∞ g(x) := √ 2π p(t)[q(x − t) + q(x + t)]dt, f (x) hàm phải tìm, lại ψ, q ∈ L1 (R), ϕ, p ∈ L1 (R+ ) hàm biết 22 Định lí 4.2.1 Điều kiện + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = điều kiện đủ để phương trình (4.6) có nghiệm không gian L1 (R), nghiệm có dạng f (x) = (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x), (4.7) HFc l(x) hàm xác định theo công thức Wiener-Levy cho biến đổi Hartley thỏa mãn (H2 l)(y) = (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) + (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) Từ ta có công thức ước lượng nghiệm f L1 (R) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) 1+ l π L1 (R) (4.8) Ngoài xét ứng dụng giải lớp phương trình vi phân thường cấp cao, bậc chẵn Kết luận chương Trong chương này, nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn cho đa chập ∗(f, g, h), ∗(f, g, h) không gian L1 , không gian Ls (s > 1) Phần chương trình bày bất đẳng thức kiểu Young bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập Việc mở rộng bất đẳng thức cho đa chập hướng nghiên cứu mới, có ý nghĩa làm hoàn thiện, phong phú hướng nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập Các kết chương dựa vào báo [5], mục Danh mục công trình công bố Luận án 23 KẾT LUẬN Các kết luận án là: • Xây dựng đa chập đa chập ∗(., , ), ∗(., , ) liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa không gian L1 (R), đẳng thức Parseval không gian L2 (R) cho đa chập Ứng dụng giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình hệ phương trình dạng Toeplitz-Hankel Từ đa chập ∗(., , ), thay đổi nhân nhận đa chập ∗(., , ), ứng dụng vào việc giải lớp phương trình đạo hàm riêng • Xây dựng toán tử Tp1 ,p2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine-Fourier sine; toán tử Tq1 ,q2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine Tìm điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita không gian L2 (R), thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel việc xây dựng dãy hàm xấp xỉ xét tính bị chặn toán tử T Ứng dụng vào việc giải lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân • Chứng minh bất đẳng thức hai đa chập xây dựng Đó , bất đẳng bất đẳng thức không gian L1 , không gian Lα,β,γ r thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh Đây bất đẳng thức cho số tích chập, cho tích chập đa chập Việc xây dựng đa chập hạn chế, việc nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại hạn chế Luận án đưa ứng dụng bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai lớp phương trình vi phân cấp cao bậc chẵn 24 [...]... (R) cho mỗi đa chập Ứng dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình và hệ phương trình dạng Toeplitz-Hankel Từ đa chập ∗(., , ), thay đổi nhân và nhận được đa chập ∗(., , ), ứng 2 3 dụng vào việc giải một lớp phương trình đạo hàm riêng • Xây dựng toán tử Tp1 ,p2 là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley- Fourier cosine -Fourier sine; toán tử Tq1... thiện, phong phú hơn về hướng nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập Các kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [5], mục Danh mục các công trình đã công bố của Luận án 23 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án là: • Xây dựng các đa chập mới là đa chập ∗(., , ), ∗(., , ) liên quan đến 1 2 các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1... )(y).(H2 ψ)(y).(H2 η)(y) (3.20) 19 Kết luận chương 3 Chương này đã xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, đó là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, ký hiệu Tp1 ,p2 và phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley- Fourier cosine, ký hiệu Tq1 ,q2 Với mỗi phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, chúng tôi nghiên cứu tính chất toán tử của chúng trên không gian... đẳng thức đã đúng cho một số tích chập, nhưng không phải nó luôn đúng cho mọi tích chập và đa chập Việc xây dựng các đa chập mới hiện nay vẫn còn hạn chế, do đó việc nghiên cứu các bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại càng hạn chế hơn Luận án đã đưa ra ứng dụng của bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm của một lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai và một lớp phương trình vi phân cấp... tích phân kiểu đa chập Hartley- Fourier cosine Tìm điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi đó là unita trong không gian L2 (R), thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel về việc xây dựng dãy hàm xấp xỉ và xét tính bị chặn của toán tử T Ứng dụng vào việc giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân • Chứng minh các bất đẳng thức đối với hai đa chập đã xây... )(y)(H2 ψ2 )(y) Đa chập Hartley- Fourier suy biến Trong biểu thức xác định đa chập H-Fc , nếu ta đổi nhân từ tổng thành hiệu, thì ta nhận được một đa chập mới đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, có dạng ∞ 1 [∗(f, g, h)](x) := 3 4π f (u)[k1 (x − u) − k2 (x + u)]du, x ∈ R, (2.23) −∞ với k1 , k2 vẫn giữ nguyên như cũ Khi đó, đa chập [∗(f, g, h)](x) có mọi 3 tính chất tương tự như đa chập [∗(f, g,... dựng được hai đa chập mới ∗(·, ·, ·) 1 và ∗(·, ·, ·), tìm ra đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, và một số 2 tính chất khác Dùng đa chập mới như một công cụ để giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai Đa chập ∗(·, ·, ·) giải được một lớp các phương trình và hệ hai phương trình tích 2 phân Toeplitz-Hankel Đa chập ∗(·, ·, ·) nhận được từ đa chập ∗(·, ·, ·)... chương này dựa vào hai bài báo [3, 4], mục Danh mục các công trình đã công bố của Luận án 20 Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP Trong chương này, nghiên cứu các bất đẳng thức cho đa chập ∗(·, ·, ·) 1 và ∗(·, ·, ·) Do có sự hạn chế về nội dung, nên chúng tôi chỉ nêu ra những 2 kết quả đối với đa chập ∗(·, ·, ·) 1 4.1 Các bất đẳng thức Định lí 4.1.1 Nếu f, g ∈ L1 (R+ ) và h ∈ L1 (R) thì đa chập ∗(f, g,... Những đa chập mới xây dựng là những kết quả còn rất ít về hướng nghiên cứu này, nó góp phần làm phong phú cho hướng nghiên cứu Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1, 2], mục Danh mục các công trình đã công bố của Luận án 13 Chương 3 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho đa chập ∗(·, ·, ·) và ∗(·,... lý kiểu Watson, cho biết tính unita và chỉ ra biến đổi ngược của nó Định lý kiểu Plancherel, xây dựng các dãy các hàm để xấp xỉ cho hàm ảnh T f và hàm ban đầu f trong L2 Định lý về tính bị chặn chứng minh toán tử T là bị chặn từ không gian Lr (R) vào Ls (R), với 1 ≤ r ≤ 2 Phần ứng dụng, xét phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Tq1 ,q2 vào việc giải phương trình và hệ hai phương trình vi-tích phân ... thức cho đa chập Với lý trên, lựa chọn đề tài luận án Đa chập Hartley- Fourier ứng dụng Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục đích luận án xây dựng đa chập có liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier. .. cho số tích chập, cho tích chập đa chập Việc xây dựng đa chập hạn chế, việc nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại hạn chế Luận án đưa ứng dụng bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm... công trình công bố Luận án 23 KẾT LUẬN Các kết luận án là: • Xây dựng đa chập đa chập ∗(., , ), ∗(., , ) liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Chứng minh đẳng thức