Đa chập hartley fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phí Thị Vân Anh ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa HÀ NỘI – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Tác giả Phí Thị Vân Anh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo −1− TS Nguyễn Minh Khoa LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn Thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua nhiều khó khăn để có kết hôm Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy bạn xemina Tốn Giải tích thuộc Viện Tốn Ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu chủ trì Các Thầy bạn tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi, điều giúp tác giả hồn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu môi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều khơng thể thiếu q trình nghiên cứu, hồn thành luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, cơng tác hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS TSKH Vũ Kim Tuấn, người ln có trao đổi, định hướng chuyên môn cho tác cho nhóm xemina Thầy ln biểu tượng nhiệt tình, nghiêm túc xác nghiên cứu khoa học Qua đây, tác giả xin bày tỏ biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Thanh Hồng, người ln sẵn sàng, tận tình giúp đỡ mặt chuyên môn cung cấp cho tác giả kinh nghiệm, tài liệu quý báu từ ngày đầu bước vào nghiên cứu suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, Bố, Mẹ, chồng, con, anh chị em, bạn bè Trong q trình hồn thành luận án, tác giả gặp cố sức khỏe, tất Thầy, bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt thành viên gia đình, ln sát cánh, động viên ủng hộ tác giả Đó nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án Xin chân thành cảm ơn! Tác giả −2− MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: 1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier 1.1.3 Định lý Wiener-Lévy cho biến đổi Fourier 1.1.4 Định lý Young bất đẳng thức Young 1.1.5 Định lý Saitoh bất đẳng thức Saitoh 1.2 Biến đổi Fourier cosine 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine 1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine 1.2.3 Định lý Wiener-Lévy cho biến đổi Fourier cosine 1.3 Phép biến đổi Fourier sine 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine 1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine 1.4 Phép biến đổi Hartley 1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley 1.4.2 Một số tính chất biến đổi Hartley 1.4.3 Định lý Wiener-Lévy cho biến đổi Hartley 1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley 1.5 Một số định lý bổ đề sử dụng 1.5.1 Bt ng thc Hăolder 1.5.2 Định lý nội suy Riesz 25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 30 31 32 35 35 37 37 37 Chương ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 39 2.1 2.2 Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine 2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs 2.1.2 Một số tính chất đa chập H-Fc -Fs 2.1.3 Ứng dụng giải lớp phương trình tích phân 2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine 2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc 2.2.2 Một số tính chất đa chập H-Fc 2.2.3 Ứng dụng giải lớp phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.4 Ứng dụng giải lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.5 Đa chập H-Fc biến dạng Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP 3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs 3.1.1 Tính unita khơng gian L2 (R) 3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn khơng gian L2 (R) 3.1.3 Tính bị chặn toán tử Tp1 ,p2 3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc 3.2.1 Tính unita không gian L2 (R) 3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R) 3.2.3 Tính bị chặn tốn tử Tq1 ,q2 3.3 39 39 40 50 53 57 57 58 61 66 69 73 74 74 78 82 83 84 88 90 Ứng dụng 93 3.3.1 Phương trình vi-tích phân 94 3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân 97 Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP 4.1 Bất đẳng thức L1 4.2 Bất đẳng thức Lα,β,γ s 4.3 Bất đẳng thức kiểu Young 4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 4.5 Ứng dụng 4.5.1 Phương trình tích phân 4.5.2 Phương trình vi phân −4− 102 102 103 104 110 118 118 120 KẾT LUẬN 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO 125 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 131 −5− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Các không gian hàm chuẩn • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • C tập tất số phức • C0 (R) không gian Banach gồm hàm liên tục R triệt tiêu vô với chuẩn sup • S không gian Schwartz gồm tất hàm khả vi vô hạn lần R đạo hàm giảm nhanh vơ • L∞ (R) không gian gồm hàm bị chặn theo chuẩn essup R f ∞ • Lp (R), cho = essup{f (x) : x ∈ R} := inf{M : µ(f (x) > M ) = 0} p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R ∞ |f (x)|p dx < ∞, −∞ với chuẩn xác định ∞ f Lp (R) p |f (x)| dx = p −∞ Nếu thay R R+ tích phân thay cận từ đến ∞ ta có khơng gian Lp (R+ ) • Lp (R, ρ), p < ∞ không gian hàm số f (x) R cho ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, −∞ ρ(x) hàm trọng dương Chuẩn không gian xác định ∞ f Lp (R,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = −∞ p • Lα,β p (R+ ), α ∈ R, < β ≤ 1, p ≥ không gian hàm số f (x) xác định R+ , cho ∞ xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞, K0 (x) hàm Bessel loại hai • Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > không gian hàm số f (x) p R cho ∞ γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞, −∞ với chuẩn xác định  f Lα,β,γ (R) p 1/p ∞ γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx = −∞ b Kí hiệu phép biến đổi tích phân • F phép biến đổi Fourier ∞ (F f )(y) := √ 2π • f (x)e−ixy dx, y ∈ R −∞ Fc phép biến đổi Fourier cosine ∞ (Fc f )(y) := π f (x) cos(yx) dx, y ∈ R+ • Fs phép biến đổi Fourier sine ∞ (Fs f )(y) := π f (x) sin(yx) dx, y ∈ R+ • H1 , H2 phép biến đổi Hartley, với cas(t) = cos(t) + sin(t) ∞ (H1 f )(y) := √ 2π f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, −∞ −7− ∞ (H2 f )(y) := √ 2π • f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R −∞ L phép biến đổi Laplace ∞ f (t)e−ts dt, (Lf )(s) := ∀s ∈ C • Hν phép biến đổi Hankel xác định công thức ∞ (Hν Φ)(t) := τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ, với Jν hàm Bessel loại • Mi phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với số i xác định ∞ (Mi f )(y) := dt y f (t) , t t ki i = 0, 1, • Kiy [f ] phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ∞ Kiy (t)f (t)dt, Kiy [f ] = Kiy (t) hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba) c Ký hiệu hàm đặc biệt • Γ(z) hàm Gamma ∞ tz−1 e−t dt, Re z > Γ(z) := • Jn (x) hàm Bessel loại một, nghiệm phương trình vi phân 2d y x dx2 +x dy + (x2 − n2 )y(x) = 0, dx nghiệm có biểu thức xác định sau ∞ Jn (x) = k=0 (−1)k x k!Γ(n + k + 1) −8− n+2k • Kn (x) hàm Bessel loại hai, nghiệm phương trình vi phân x2 d2 y dy + x − (x2 + n2 )y(x) = dx dx Nghiệm liên hệ với hàm Bessel loại công thức Kn (x) = Jn (x) cos (nπ) − J−n (x) sin(nπ) Trường hợp cụ thể ∞ e−wy cosh ydy K0 (w) := • Erfc(x) hàm sai số bổ sung (complementary error function), xác định phần bù hàm sai số Erf(x) (error function), qua biểu thức sau ∞ Erfc(x) := − Erf(x) = √ π e−t dt, x hàm lỗi Erf(x) hay gọi hàm lỗi Gauss xác định x Erf(x) := √ π e−t dt d Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập • (· ∗ ·) (xem trang 12) tích chập phép biến đổi Fourier F • (· ∗ ·) (xem trang 28) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 14) tích chập suy rộng phép biến đổi Fc F sF c Fourier sine Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng phép biến đổi F cF s Fourier cosine Fourier sine γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y F F cF s phép biến đổi Fourier, Fourier cosine Fourier sine • (· ∗ ·) (xem trang 35) tích chập phép biến đổi Hartley H • (· ∗ ·) (xem trang 36) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley H12 −9− Ví dụ 4.4.1 Chọn ρ1 = e−|x| , ρ2 = e−2|x| , ρ3 = 1, đó: ∞ ρ1 L1 (R) ∞ |e−|u| |du = 2, = ρ2 L1 (R+ ) e−2v dv = = −∞ Còn đa chập ∗(ρ1 , ρ2 , ρ3 )(x) tính: ∞ ∞ [∗(ρ1 , ρ2 , ρ3 )](x) = π e−|u| e−2|v| dvdu −∞  ∞ = 1 π  ∞ e−|u| du  −∞  1 ·2· = π π e−2|v| dv  = Nếu ta chọn p = 2, biểu thức (4.31) viết dạng [∗(F1 e−|u| , F2 e−2|v| , F3 )] L2 (R) ≤ π2 F1 L2 (R,e−|x| ) F2 L2 (R+ ,e−2|x| ) F3 L2 (R) (4.33) Ví dụ 4.4.2 Bằng cách chọn ρ1 = e−x , ρ2 = 1, ρ3 = e−|x| Khi đó, chuẩn chúng không gian hàm tương ứng là: ∞ ρ1 L1 (R) |e−u |du = = √ ∞ π, ρ3 L1 (R) e−|v| dv = = −∞ −∞ Nếu p = 2, biểu thức (4.32) trở thành [∗(F1 e−u , F2 , F3 e−|t| )] L2 (R) ≤ π2 F1 L2 (R,e−x2 ) F2 L2 (R+ ) F3 L2 (R,e−|x| ) (4.34) Nếu p = biểu thức (4.32) trở thành [∗(F1 e−u , F2 , F3 e−|t| )] L3 (R) ≤ π3 F1 L3 (R,e−x2 ) F2 L3 (R+ ) F3 L3 (R,e−|x| ) (4.35) −117− 4.5 Ứng dụng Một ứng dụng bất đẳng thức đa chập đánh giá nghiệm của toán mà nghiệm có biểu diễn dạng đa chập Trong số lĩnh vực kỹ thuật, việc đánh giá hiểu đánh giá thơng tin đầu biết thông tin đầu vào Ta dẫn hai ứng dụng bất đẳng thức (4.2) (4.31) đa chập Hartley-Fourier cosine, ∗(f, g, h)(x), việc giải lớp phương trình tích phân Fredholm loại hai phương trình vi phân có dạng đa chập 4.5.1 Phương trình tích phân Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng ∞ ∞ f (x) + 4π f (u)ϕ(v)θψ (x, u, v)dvdu = g(x), x ∈ R, (4.36) −∞ θψ (x, u, v) :=ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v) + ψ(−x + u − v)+ + ψ(x − u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+ + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v), vế phải g(x) có dạng ∞ g(x) := √ 2π p(t)[q(x − t) + q(x + t)]dt, f (x) hàm phải tìm, lại ψ, q ∈ L1 (R), ϕ, p ∈ L1 (R+ ) hàm biết Dựa vào định nghĩa đa chập Hartley-Fourier cosine ∗(., , ) định nghĩa tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine ( ∗ ), ta thấy phương trình tích HFc phân (4.36) viết lại dạng: f (x) + [∗(f, ϕ, ψ)](x) = (p ∗ q)(x), x ∈ R HFc −118− (4.37) Định lý 4.5.1 Điều kiện + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = điều kiện đủ để phương trình (4.36) có nghiệm khơng gian L1 (R), nghiệm có dạng f (x) = (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x), (4.38) HFc l(x) hàm xác định theo công thức Wiener-Levy cho biến đổi Hartley thỏa mãn (H2 l)(y) = (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) + (Fc ϕ)(y)(H2 ψ)(y) Từ ta có cơng thức ước lượng nghiệm f L1 (R) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) 1+ l π L1 (R) (4.39) Chứng minh Phương trình (4.36) (4.37) tương đương Tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế phương trình cho (4.37), sau sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập Hartley-Fourier cosine (p ∗ q), cơng HFc thức (1.28), đẳng thức nhân tử hóa cho đa chập ∗(f, ϕ, ψ), công thức (2.32), ta nhận (H1 f )(y) + (H1 f )(y)(Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) ⇒ (H1 f )(y) [1 + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y)] = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) Vì + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) = 0, nên ta có: HFc (H1 f )(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) − + (Fc ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y)   H2 (ϕ ∗ ψ)(y) HFc   = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) 1 −  + H2 (ϕ ψ )(y) HFc Vì có giả thiết hàm ϕ, ψ thuộc không gian L1 nên suy (ϕ ∗ ψ)(x) ∈ HFc L1 (R) Bây giờ, dùng định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley (Định lý −119− 1.4.1), điều kiện + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) = điều kiện cần đủ để tồn HFc hàm l(x) không gian L1 (R) cho H2 (ϕ ∗ ψ)(y) (H2 l)(y) = HFc + H2 (ϕ ∗ ψ)(y) HFc Vì thế, ta có: (H1 f )(y) = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y)[1 − (H2 l)(y)] = (Fc p)(|y|)(H1 q)(y) − (H1 q)(y)(Fc p)(|y|)(H2 l)(y) = H1 (p ∗ q)(y) − H1 [∗(q, p, l)](y) HFc = H1 (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x) (y), HFc ∀y ∈ R Do biểu thức với y ∈ R, nên từ suy f (x) = (p ∗ q)(x) − [∗(q, p, l)](x), ∀x ∈ R HFc Dùng bất đẳng thức đánh giá chuẩn không gian L1 (R), cơng thức (4.2), ta có: f L1 (R) ≤ (p ∗ q) HFc L1 (R) + ∗ (q, p, l) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) ≤ p L1 (R+ ) q L1 (R) L1 (R) q L1 (R) p L1 (R+ ) l π + l L1 (R) π + L1 (R) ✷ Đó điều phải chứng minh 4.5.2 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân cấp cao có dạng a0 f (x) + a1 f (x) + + an f (n) (x) = g(x), ak ∈ R, k = 0, 1, , n Ta biết, với trường hợp phương trình vi phân cấp một, cấp hai, tùy trường hợp cụ thể để tìm lời giải tương ứng Trong mục này, xét lớp phương trình vi phân bậc chẵn, có dạng sau đây: n (−1)k ak k=0 d2k dx2k f (x) = [(gρ1 ) ∗ (hρ2 )](x), HFc −120− (4.40) g, h, ρ1 , ρ2 hàm cho trước cho g ∈ L1 (R, ρ1 )∩Lp (R, ρ1 ), h ∈ L1 (R, ρ2 ) ∩ Lp (R, ρ2 ), p > ρ1 , ρ2 ∈ L1 (R+ ), f hàm cần tìm Đồng thời hệ số ak ∈ R+ (k = 1, n) cho tồn hàm Q ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) xác định (H2 Q)(y) = , y > n (4.41) ak y 2k k=0 Ta cần tìm nghiệm phương trình (4.40) với điều kiện biên dk f (x) → x → ∞, k = 0, 1, , 2n − dxk Để giải toán với giả thiết cho, ta tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế phương trình (4.40), sau sử dụng tính chất biến đổi Hartley tác động vào đạo hàm, công thức (1.14), ta có n d2k (−1)k ak 2k f (x) (y) = H1 [(gρ1 ) ∗ (hρ2 )](y), H1 HFc dx k=0 n ak y 2k (H1 f )(y) = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y) k=0 Từ (4.41), ta có (H1 f )(y) = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y) n ak y 2k k=0 = (Fc gρ1 )(y)(H1 hρ2 )(y)(H2 Q)(y) = H1 [∗(hρ2 , gρ1 , Q)](y) Do biểu thức với y ∈ R, nên ta nhận nghiệm f ∈ L1 (R) có dạng sau f (x) = [∗(hρ2 , gρ1 , Q)](x), x ∈ R Bây sử dụng bất đẳng thức (4.31), ta đánh giá chuẩn cho nghiệm vừa tìm không gian Lp , p > f Lp (R) = [∗(hρ2 , gρ1 , Q)] Lp (R) 2 ≤ π ρ1 2− p 1− p1 L1 (R) ρ2 1− p1 L1 (R+ ) h Lp (R,ρ1 ) −121− g Lp (R+ ,ρ2 ) Q Lp (R) Kết luận chương Trong chương này, nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn cho đa chập ∗(f, g, h), ∗(f, g, h) không gian L1 , không gian Ls (s > 1) Phần chương trình bày bất đẳng thức kiểu Young bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập Việc mở rộng bất đẳng thức cho đa chập hướng nghiên cứu Thật thú vị chúng tơi thấy hai đa chập xây dựng chương I có bất đẳng thức tương tự kết kinh điển nghiên cứu cho tích chập Fourier Việc tìm bất đẳng thức có ý nghĩa làm hồn thiện, phong phú hướng nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập Phần ứng dụng xét phần tìm nghiệm đánh giá nghiệm cho lớp phương trình tích phân lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn Các kết chương trình bày báo [5], mục Danh mục cơng trình công bố Luận án −122− KẾT LUẬN Chúng nghiên cứu đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu số bất đẳng thức đa chập nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Các kết luận án là: • Xây dựng đa chập đa chập ∗(., , ), ∗(., , ) liên quan đến phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa khơng gian L1 (R), đẳng thức Parseval không gian L2 (R) cho đa chập Ứng dụng giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình hệ phương trình dạng Toeplitz-Hankel Từ đa chập ∗(., , ), thay đổi nhân nhận đa chập ∗(., , ), ứng dụng vào việc giải lớp phương trình đạo hàm riêng • Xây dựng tốn tử Tp1 ,p2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập HartleyFourier cosine-Fourier sine; tốn tử Tq1 ,q2 phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine Tìm điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita không gian L2 (R), thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel việc xây dựng dãy hàm xấp xỉ xét tính bị chặn toán tử T Ứng dụng vào việc giải lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân • Chứng minh bất đẳng thức hai đa chập xây dựng Đó , bất đẳng thức bất đẳng thức không gian L1 , không gian Lα,β,γ r kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh Đây bất đẳng thức cho số tích chập, khơng phải ln cho tích chập đa chập Việc xây dựng đa chập hạn chế, việc nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại hạn chế Luận án đưa ứng dụng bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn 123 Một số đề xuất cho hướng nghiên cứu Tiếp theo kết luận án tác giả nhận thấy có số vấn đề nghiên cứu tiếp • Xây dựng đa chập phép biến đổi tích phân khác Số lượng hàm nhiều • Tiếp tục nghiên cứu bất đẳng thức đa chập, bất đẳng thức kiểu Young ngược, bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược, Hiện chưa có cơng trình nghiên cứu bất đẳng thức ngược đa chập Nghiên cứu xem hệ số đánh giá bất đẳng thức tối ưu nhất, hay khả đạt dấu bất đẳng thức • Nghiên cứu ứng dụng đa chập vào việc giải tốn có tính lý thuyết, thực tế • Xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cách cho hàm thay đổi, hai hàm lại cố định cho hai hàm thay đổi, hàm cố định Dù hướng có thêm nhiều lựa chọn đâu hàm thay đổi, đâu hàm cố định Khi mặt lý thuyết thực hành có khác • Xây dựng nghiên cứu đa chập rời rạc Hartley-Fourier −124− TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.I Achieser (2003) Theory of Approximation Dover Publications, Inc Mineola, New York [2] R.A Adams and J.J.F Fourier (2003) Sobolev Spaces 2nd ed, Academic Press, 300p [3] P.K Anh, N.M Tuan, and P.D Tuan (2013) The Finite Hartley new convolution and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels Journal of Mathematical Analysis and Applications, 397, pp 537-549 [4] H Bateman and A Erdelyi (1954) Tables of Integral Transforms New York-Toronto-London, McGRaw-Hill Book company, Inc, Vol [5] S Bochner and K Chandrasekharan (1949) Fourier Transforms Princeton Univ Press [6] R.N Bracewell (1986) The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hill [7] R.N Bracewell (1986) The Hartley Transform New York: Oxford University Press, Clarendon Press [8] R.N Bracewell (1994) Aspects of Hartley Transform Proc IEEE 82, No 3, 381-387 [9] L.E Britvina (2002) Polyconvolutions for the Hankel transform and differential operators Doklady Mathematics 65, No 1, pp 32-34 [10] L.E Britvina (2004) On polyconvolutions generated by Hankel transforms Mathematical Notes 76, No 1, pp 18-24 [11] L.E Britvina (2005) A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution Integral Transforms and Special Functions, 16(5-6), pp 379-389 125 [12] L.E Britvina (2002) Polyconvolutions for the Hankel transform and differential operators Doklady Mathematics 65, No 1, pp 32-34 [13] K Chadan and P.C Sabatier (1989) Inverse Proplems in Quantum Scattering Theory Springer Verlag [14] G.B Folland (1992) Fourier Analysis and Its Applications Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, Cal [15] B.T Giang, N.V Mau and N.M Tuan (2009) Operational properties of two itegral transforms of Fourier type and their convolutions Integr Equ Oper Theory, Vol 65, No 3, pp 363-386 [16] I.S Gradshteyn and I.M Ryzhik (2007) Table of Integrals Series and Products 7th edn, ed A Jeffrey and D Zwillinger (New York: Academic) [17] R.V.L Hartley (1942) A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Proc I R E 30, No 30, 144-150 [18] N.T Hong (2010) Fourier cosine convolution inequalities and applications Integral Transforms and Special Functions, Vol 21(10), pp 755763 [19] L.X Huy and N.X Thao (2014) On the Laplace generalized convolution transforms Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eăotvăos Nominatae Sectio Computatorica, No 43, pp 303 – 316 [20] T Kailath (1966) Some integral equations with nonrational kernels IEEE Transactions on Information Theory 12 (4), pp 442-447 [21] V.A Kakichev (1967) On the convolution for integral transforms Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika (2), pp 48-57 (in Russian) [22] V.A Kakichev (1997) Polyconvolution Taganrog, Taganskii RadioTechnicheskii University, 54p (in Russian) [23] V.A Kakichev and N.X Thao (1998) On a method for the construction of generalized integral convolutions Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika 1, pp 85-90 −126− [24] V.A Kakichev, N.X Thao and V.K Tuan (1998) On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms East-West Journal of Mathematics, Vol (1), pp 85-90 [25] V.A Kakichev and N.X Thao (2000) On the generalized convolution for H-transforms Izv Vuzov Math., No 10, pp 79 - 84 (in Russian) [26] R.P Milance (1994) Analytic properties of the Hartley transform Proc IEEE 82, No 3, 413-428 [27] F Al-Musallam and V.K Tuan (2000) Integral transforms related to a generalized convolution Results in Mathematics 38(3-4), pp 197-208 [28] F Al-Musallam and V.K Tuan (2000) A class of convolution transformations Frational Calculus and Applied Analysis 3(3), pp 303-314 [29] K.J Olejniczak (2000) The Hartley Transform The Transforms and Applications Handbook (Poularikas A.D., ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341–401 [30] R.E.A.C Paley and N Wiener (1934) Fourier Transforms in the Complex Domain American Mathematical Society 19 [31] S Saitoh (2000) Weighted Lp-norm inequalities in convolutions Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherland, pp 225–234 [32] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2000) Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol (1), pp 1-7 [33] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2002) Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol (5), pp 1-11 [34] S Saitoh, V.K Tuan and M Yamamoto (2003) Convolution inequalities and applications Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol (3), pp 1-8 [35] I.N Sneddon (1972) Fourier Transforms McGraw - Hill, New York −127− [36] I.N Sneddon (1972) The Use of Integral Transforms McGraw-Hill [37] E.M Stein and G Weiss (1971) Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Space Princeton Univ Press [38] N.X Thao (1999) On the polyconvolution for integral transforms Vestnic NovGU Ser Estestv.i Tehn Nauki, 10, pp.104-110 (in Russian) [39] N.X Thao (2001) On the generalized convolutions for the Stieltjes, Hilbert and Fourier sine, cosine transforms Ukr Math Jour , Vol 53, No 4, pp 560 - 567 (in Russian) [40] N.X Thao and N.D Hau (2008) On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms Acta Mathematica Vietnamica Vol 33(2), pp 107-122 [41] N.X Thao and N.M Khoa (2005) On the convolution with weightfunction for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms Vietnam Journal of Mathematics 33, pp 421-436 [42] N.X Thao and T Tuan (2005) On the generalized convolutions of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eăotvăos Nominatae Sectio Computatorica Vol 25, pp.37-51 [43] N.X Thao, V.K Tuan, N.M Khoa (2004) On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7(3), pp.323-337 [44] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2007) Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences., ID97250, 11pp [45] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2008) Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol 11, No 2, pp 153-174 [46] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2011) Toeplitz plus Hankel integral equation Integral Transforms and Special Functions, Vol 22, No 10, pp 723-737 −128− [47] N.X Thao, V.K Tuan and N.T Hong (2012) A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol 15, No 3, pp 493-508 [48] N.X Thao, T Tuan and L.X Huy (2013) The Fourier – Laplace generalized convolutions and applications to integral equations Vietnam Journal of Mathematics, Vol 41, No 4, pp 451-464 [49] N.X Thao, V.K Tuan and H.T Van Anh (2014) On the Toeplitz plus Hankel integral equation II Integral Transforms and Special Functions., Vol 25, No 1, pp 75 – 84 [50] N.X Thao and H.T Van Anh (2014) On the Hartley-Fourier sine generalized convolution Mathematical Method in the Applied Sciences, No 37, pp 2308 – 2319 [51] N.X Thao and N.A Virchenko (2011) On the Polyconvolution for the Fourier Cosine, Fourier Sine, and the Kontorovich-Lebedev Integral Transforms Ukrainian Mathematical Journal Vol 62, N 10, 1611-1624 [52] E.C Titchmarch (1986) Introduction to the Theory of Fourier Integrals Third Edition, Chelsea Publ Comp., NewYork [53] J.N Tsitsiklis and B.C Levy (1981) Integral equations and resovents of Toeplitz plus Hankel Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology, Series/Report No.: LIDS-P 1170 [54] T Tuan and N.X Thao (2011) A new polyconvolution and its application to solving a class of Toeplitz plus Hankel integral equations and systems of integral equations Vietnam Jour Math Vol 39 (2), pp 217-235 [55] N.Ja Vilenkin (1958) The matrix elements of irreducible unitary representations of a group of Lobachevsky space motions and the generalized Fock-Mehler transformations Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.), Vol 118(2), pp 219-222 (In Russian) [56] J.D Villasenor (1994) Optical Hartley transform, Proc IEEE 82, No 3, pp 391-399 [57] N Wiener (1963) The Fourier Integral and Certain of Its Applications Dover publications, Inc New York −129− [58] S.B Yakubovich (1990) On the construction method for construction of integral convolution DAN BSSR, 34 (7), pp 588-591 [59] S.B Yakubovich and A.I Mosinski (1993) Integral equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type Differential Equations Uravneniya, 29 (7), pp 1272-1284 (in Russian) [60] Yakubovich, S.B Yakubovich and Y.F Luchko (1994) The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, Vol 287, 324 pp [61] W.H Young (1912) On the multiplication of successions of Fourier constants Proceedings of the Royal Society A 87 (596), pp 331–339, doi:10.1098/rspa.1912.0086 −130− DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN N.X Thao, N.M Khoa and P.T Van Anh (2013) On the polyconvolution for Hartley, Fourier cosine and Fourier sine transforms Integral Transforms and Special Functions, Vol 24, No 7, pp 517-531 N.X Thao, N.M Khoa and P.T Van Anh (2014) Polyconvolution and the Toeplitz plus Hankel integral equation Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2014, No 110, pp 1-14 Nguyen Xuan Thao, Phi Thi Van Anh and Nguyen Minh Khoa (2014) Integral transforms of Hartley, Fourier cosine and Fourier sine polyconvolution type Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol.12, N.2, pp 93- 104 Thi Van Anh, Phi and Xuan Thao, Nguyen (2015) Integral transforms of Hartley–Fourier cosine polyconvolution type Applicable Analysis, Vol 94, No 9, pp 1749-1765 Phi Thi Van Anh and Nguyen Xuan Thao (2016) Inequalities for the Hartley–Fourier cosine polyconvolution Mathematical Inequalities and Applications, (MIA-5000, accepted) 131 ... tổng quát đa chập cho điều kiện cần để xác định đa chập Tương tự tích chập đa chập có hai loại đa chập có trọng đa chập khơng có trọng Định nghĩa đa chập sau: Định nghĩa(1997, [22]): Đa chập n (n... nhân đa chập thứ hai ∗(., , ) nhận đa chập thứ ba ∗(., , ) đa chập biến đổi Hartley Fourier cosine, đẳng thức nhân tử hóa khác với đẳng thức nhân tử hóa đa chập ∗(., , ) Gọi đa chập ∗(., , ) đa chập. .. Chương ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 39 2.1 2.2 Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine