Về một số giả thuyết số học có thể suy từ giả thuyết ABC

Căn của một số nguyên 1 i k k i i = =∏ trên vành số nguyên là tích tất cả cácước nguyên tố phân biệt của m: r f t α = Trên con đường tìm lời giải cho giả thuyết Fermat, bằng sự tương tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trờng đại học Vinh _

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trờng đại học Vinh _

TRẦN THỊ THANH MAI

VỀ MỘT SỐ GIẢ THUYẾT SỐ HỌC

Cể THỂ SUY TỪ GIẢ THUYẾT ABC

CHUYấN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ Lí THUYẾT SỐ

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN

F: Trường đóng đại số với đặc số 0

MỞ ĐẦU

Trước hết, ta thấy giữa tập các số nguyên và tập các đa thức có những

tính chất rất giống nhau Ta để ý đến sự tương tự của hai khái niệm sau đây

Căn của một số nguyên

1

i

k k i i

=

=∏ trên vành số nguyên là tích tất cả cácước nguyên tố phân biệt của m:

r f t α

=

Trên con đường tìm lời giải cho giả thuyết Fermat, bằng sự tương tự

giữa số nguyên và đa thức, Mason đã phát hiện được một định lý rất đẹp sau

Định lý Mason ([7,9]) Giả sử f t g t h t( ), ( ), ( ) là ba đa thức trên một trường đóng đại số với đặc số 0, không đồng thời là hằng số và nguyên tố cùng nhau sao cho f t( ) ( ) ( )+g t =h t Khi đó, ta có

(deg ,deg ,deg ) deg ( )

Lấy ý tưởng từ Định lý Mason, Giả thuyết ABC được xây dựng đầutiên một cách độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985,với nội dung như sau:

Giả thuyết ABC ([7,9]) Giả sử a b c, , là các số nguyên khác 0, nguyên tố

Giả thuyết ABC được mô tả như là một lý thuyết thống nhất của hệthống số, trong đó nhiều định lý và giả thuyết quan trọng khác ngay lập tứctrở thành hệ quả Chẳng hạn, Định lý Fermat tiệm cận là một hệ quả trực tiếpcủa Giả thuyết ABC; cũng từ giả thuyết này người ta cũng có thể chứng minhđược phương trình Brocard chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên dương,…

Giáo sư Andrew Granville thuộc Đại học Montreal nhận xét "Giả

thuyết ABC thoạt nhìn thì đơn giản so với những câu hỏi sâu sắc trong Lý thuyết số Tuy nhiên, phỏng đoán kỳ lạ này tương đương với tất cả những vấn

đề chính Đó là trung tâm của những bài toán đang được nghiên cứu’’ ([1]).

Trong một bài báo trên The Sciences năm 1996, Dorian Goldfeld - giáo

sư của Đại học Columbia cho biết “Giả thuyết ABC đối với các nhà toán học

nó thực sự đẹp, hơn nữa tiện dụng Nhờ Giả thuyết ABC rất nhiều vấn đề Diophantine bất ngờ được liên kết lại trong một phương trình duy nhất từ đó cho cảm giác rằng tất cả các nhánh toán học đều thuộc một thể thống nhất Không có gì đáng ngạc nhiên khi các nhà toán học đang hết sức nỗ lực để chứng minh điều đó” Goldfeld so sánh Giả thuyết ABC “giống như những nhà thám hiểm trước một vách đá thẳng đứng cố gắng kiếm tìm những mạch nhỏ trên mặt đá với hy vọng rằng một trong số đó sẽ cho họ con đường dẫn đến đỉnh núi” Cũng theo Goldfeld, “Nếu chứng minh giả thuyết ABC được khẳng định thì các nhà toán học sẽ thấy được công cụ rất mạnh để giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số và sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của toán học ở thế kỷ 21” [1].

Vì vậy, kể từ khi Giả thuyết ABC ra đời, nhiều nhà toán học đã nỗ lực

cố gắng để chứng minh giả thuyết này Năm 2007, nhà toán học Pháp LucienSzpiro, mà công việc của ông vào năm 1978 đã dẫn đến những phỏng đoán vềGiả thuyết ABC, là người đầu tiên tuyên bố chứng minh được nó, nhưng sau

đó đã sớm tìm thấy có những thiếu sót

Và bây giờ, một trong những nhà thám hiểm có thể đã chạm đến đỉnhnúi Theo Nature News, Mochizuki - nhà toán học tại Đại học Kyoto - người

đã chứng minh nhiều định lý sâu sắc trong quá khứ, tuyên bố giải được bàitoán ABC “Giả thuyết ABC có thể đã được giải" và tên nhà toán học ShinichiMochizuki xuất hiện liên tục trên nhiều tờ báo trong mấy tuần đầu tháng 9năm 2014, thậm chí trên cả một số tạp chí không phải của toán như Nature,New York Times, Telegraph Tin đặc biệt này xuất phát từ việc giáo sưMochizuki của Viện Nghiên cứu các khoa học về Toán (RIMS), Đại họcKyoto, Nhật Bản, đưa lên trang cá nhân của ông bốn bài báo dài tổng cộngkhoảng 500 trang mà phần cuối cùng dẫn đến chứng minh của Giả thuyết

ABC và một số giả thuyết quan trọng khác Lời giải của Mochizuki nếu đúng

sẽ tạo ra một cuộc cách mạng trong một số lĩnh vực toán học Tuy nhiên, sẽcần một khoảng thời gian dài để các nhà toán học kiểm chứng tính đúng đắntrong chứng minh của Mochizuki [1]

Sự mở rộng của Giả thuyết ABC từ vành số nguyên sang vành đa thứccũng như trường hàm đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm Trước hết, người ta cố gắng thể hiện Giả thuyết ABC trêntrường hàm Năm 2011, Cherry và Toropu đã đưa ra khái niệm căn của hàm

nguyên p-adic và chứng minh thành công Giả thuyết ABC cho các hàm phân hình p-adic nhiều biến Năm 2014, trong luận án tiến sĩ của mình tại trường

Đại học New Mexico (Hoa Kỳ), M.Toropu đã chỉ ra một số định lý ABCtrên trường hàm và có trích dẫn và bình luận một số kết quả gần đây có liênquan của các tác giả Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tuấn (xem [2], [4],[7], [8], [9])

Trên cơ sở tham khảo chương 1 trong luận án tiến sĩ của M.Toropu([9]) và một số bài báo của các tác giả Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tuấn

([7, 8]), chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài luận văn “Về một số giả thuyết

số học có thể suy từ Giả thuyết ABC” nhằm tìm hiểu sâu hơn những kết quả

toán học xung quanh Giả thuyết ABC

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn này gồm

có hai chương Chương 1 trình bày các nội dung về cơ sở số học có liên quannhư: Căn của một số nguyên khác 0; Căn của một đa thức; Phép đạo hàm trênvành; Định lý Mason; Giả thuyết ABC Chương 2 giới thiệu một số giả thuyết

và bài toán số học có thể suy từ Giả thuyết ABC

Phương pháp và công cụ nghiên cứu trong luận văn này bao gồm:

- Sử dụng các khái niệm và kết quả cơ sở của Số học;

- Sử dụng sự tương tự hóa giữa số nguyên và đa thức;

- Tìm tòi ứng dụng của Giả thuyết ABC trong Toán học

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo củathầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tôi xinbày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học,người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáothuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, PhòngĐào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh - đã tận tình giảng dạy, hướngdẫn và giúp đỡ chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tôi xin trân trọng cảm ơn Học viện Hải quân đã động viên và tạo điềukiện công tác thuận lợi cho tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn này vẫn còn nhiềuthiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Căn của số nguyên và căn của đa thức

1.1.1 Căn của số nguyên Cho a là một số nguyên khác 0, ta định nghĩa căn

của a, kí hiệu bởi rad a( ) là tích các ước nguyên tố phân biệt của a:

rad ab ≤rad a rad b Đẳng thức xảy ra khi a và b nguyên tố cùng nhau

1.1.2 Căn của đa thức Giả sử F là trường đóng đại số với đặc số 0 Giả sử

f là một đa thức trên trường F và có sự phân tích theo các nghiệm như sau:

1.1.5 Phép lấy đạo hàm trên vành giao hoán có đơn vị

1.1.5.1 Định nghĩa Phép lấy đạo hàm trong vành R là một ánh xạD R: →R

sao cho với mọi x y R, ∈ , ta có

=

1.1.5.2 Định lí Cho R là một vành và ký hiệu R t[ ] là vành các đa thức với

hệ số trong R Định nghĩa ánh xạ D R t: [ ] →R t[ ] bởi:

Do đó, D là một phép lấy đạo hàm trên vành R t[ ].▄

1.1.5.3 Định lí Cho R là một miền nguyên với trường các thương F và cho

hàm D F trên F sao cho D x F( ) =D x( ), ∀ ∈x R .

Chứng minh Trước hết ta chứng minh ánh xạ D F :F →F xác định như sau:

1.1.5.4 Định nghĩa Ta gọi ánh xạ L xác định như trên là phép lấy đạo hàmlôgarit trên F

Theo định lý cơ bản của Đại số, mọi đa thức với hệ số phức có bậc

1

n≥ luôn có n nghiệm (tính cả bội), do đó £ là trường đóng đại số với đặc

số 0 Giả sử f t( )∈ £[ ]t , kí hiệu n f0( ) là số các nghiệm phân biệt của đa thức

=

trong đó α1 , , K αn f0 ( ) là các nghiệm phân biệt của f t( ), n i là các số nguyên

dương xác định nghiệm αi có bội là n i trong f t( ) và 0( )

1

n f i i

i i j j

m n

1.2 Giả thuyết ABC

Trên con đường tìm lời giải cho Giả thuyết Fermat, bằng sự tương tự

giữa số nguyên và đa thức, Mason đã phát hiện được một định lý rất đẹp sau

đây cho các đa thức Giả sử F là trường đóng đại số với đặc số 0, khi đó Định

lý Mason được phát biểu như sau

1.2.1 Định lí Mason ([7,9]) Cho a b c, , là các đa thức của biến t trên F , nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là hằng số và thỏa mãn hệ thức

a b c+ = , khi đó:

{deg ,deg ,deg } 0( ) 1 ( ( ) ) 1

các hàm hữu tỉ £( )t , theo Định lý 1.1.5.3 Gọi L là phép lấy đạo hàm lôgarit

(Định nghĩa 1.1.5.4), với các hàm hữu tỉ khác không u a

=

Ngoài ra, qL u( ) và qL v( ) là các đa thức có bậc không vượt quá deg q( ) − 1

Định lí đã được chứng minh ▄

Một hệ quả quan trọng của định lý Mason là định lý sau

1.2.2 Định lý (Định lý Fermat cho đa thức) Với các giả thiết của Định lý

Mason, phương trình x t n( ) +y t n( ) =z t n( ) không có nghiệm với n 3≥ .

cùng nhau, không đồng thời là hằng số sao cho x n + y n = z n. Áp dụng Định lý

Mason với a x b= n, = y c z n, = n Khi đó

( ) ( n n n) ( ).

Vì deg( )x n =ndeg( )x cho nên ta có

deg max deg ,deg ,deg

max deg ,deg ,deg max deg ,deg ,deg

deg 1 deg deg deg 1.

deg deg deg 3 deg deg deg 3

deg deg deg 3.

Bây giờ, chúng ta chứng minh Định lý sau cùng của Fermat cho đa thứcbằng cách sử dụng ngôn ngữ hình học đại số Sau khi chia cho z n, Định lýnày có thể phát biểu rằng, không có điểm hữu tỷ không tầm thường trênđường cong Fermat x n+y n = 1 Tuy nhiên, phương trình Fermat có mộtnghiệm đa thức là một ánh xạ hữu tỉ từ đường thẳng xạ ảnh vào đường congFermat Điều này là tồn tại chỉ khi giống của đường cong là 0 Song một điều

rõ ràng là đường cong Fermat có giống là ( 1) ( 2)

0 2

khi n 3≥ Định lý sau cùng của Fermat cho đa thức là sai nếu xét trên trường cóđặc số p 0> Chẳng hạn, với x t( ) =t y t, ( ) = 1, z t( ) = +t 1, ta có

Lấy ý tưởng từ Định lý Mason, Giả thuyết ABC được xây dựng đầutiên một cách độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985,với nội dung như sau

1.2.3 Giả thuyết ABC ([7, 9]) Giả sử a b c, , là các số nguyên khác 0,

tồn tại một số K( ) ε sao cho

, ,

Giả thuyết ABC là đơn giản nhưng là một khẳng định rất mạnh về mốiliên hệ về tính chất cộng và nhân của các số nguyên

1.2.4 Nhận xét Giả thuyết ABC không còn đúng nữa nếu bỏ đi điều kiện

( )

gcd , ,a b c = 1 Thật vậy, ta xét hệ thức sau

1

3k + 2.3k = 3k+

1.3 Các giả thuyết số học

có thể suy ra được từ Giả thuyết ABC

1.3.1 Giả thuyết Fermat tiệm cận. Phương trình Fermat x n+y n =z n không

trước Định lý Davenport là tương tự của Giả thuyết Hall trên đa thức ([7])

1.3.3 Giả thuyết Hall Giả sử x y, là các số nguyên dương sao cho x3 −y2 ≠ 0.

x y z là nghiệm của phương trình x p +y q = z r

1.3.6 Giả thuyết Catalan Phương trình Catalan

chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên.

1.3.8 Giả thuyết Phương trình Diophant n! 1 + =m2chỉ có hữu hạn nghiệm.

1.3.9 Giả thuyết Wieferich Nếu số nguyên tố lẻ p không thoả mãn đồng dưthức sau 2p−1 ≡ 1(mod p2 )thì được gọi là số nguyên tố Wieferich Các số

nguyên tố 3, 5, 7 là số nguyên tố Wieferich Giả thuyết phát biểu rằng, có vôhạn số nguyên tố Wieferich

1.3.10 Giả thuyết Granville Một số nguyên n được gọi là số 2- lũy thừa

nếu một số nguyên tố p chia hết n thì p2cũng chia hết n Chẳng hạn, 4, 8, 9,

16, 25, 36, 49, 64, 81, 72, 100 là các số 2-lũy thừa không vượt quá 100, vàcòn các số 6, 192 không phải là số 2-lũy thừa Về sự tồn tại hữu hạn bộ ba các

số 2-lũy thừa liên tiếp vẫn là câu hỏi mở

1.3.11 Giả thuyết Mordell’s Giả thuyết Mordell’s được chứng minh bởi G.

Falting: Một đường cong với giống lớn hơn 1 xác định trên trường số K một

số hữu hạn điểm hữu tỷ Mặt khác, Giả thuyết Mordell’s hoàn toàn suy ra

được từ Giả thuyết ABC [8]

Định lý tiếp theo đã được chứng minh bởi Elkies vào năm 1991 ([8)

1.3.12 Định lý Giả thuyết ABC suy ra được Giả thuyết Mordell trên một

CHƯƠNG 2

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢ THUYẾT ABC

2.1 Sử dụng Giả thuyết ABC

để chứng minh một số giả thuyết số học

Dựa vào Giả thuyết ABC ta chứng minh được các giả thuyết số học

2.1.1 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Fermat tiệm cận

Do các số x y z, , đều dương nên ( n n n) ( ) 3

Trường hợp, gcd x y z( , , ) = ≠d 1 thì bằng cách loại bỏ thừa số chung ta

được phương trình x'n +y'n = z'n vô nghiệm khi n≥ 3, với gcd x y z( ' , , ' ') = 1.▄

Như vậy, định lí cuối cùng của Fermat chỉ đúng với n n< 0, tức là bài

toán bị chặn và nếu xác định được K( )ε =K( )1 thì bài toán được giải quyết

xong Chẳng hạn, chọn K( )ε = =ε 1 thì định lí cuối cùng của Fermat đúng khi6

n≥ Các trường hợp n< 6 đã được chứng minh trước đó Vào năm 1825

Ơle đã chứng minh với n= 3, từ phương trình x4 +y4 =z2 không có nghiệmnguyên dương ta suy ra định lý cuối cùng của Fermat đúng với n= 4, Diriclevới n= 5.

2.1.2 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Hall

sử x3 −y2 > 0 Theo giả thuyết ABC ta có:

6

3 21 2 3

12 6

3 2 1 2 3 6

εεε

− +

− +

2.1.3 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Tijdeman-Zagier

cùng nhau thỏa mãn phương trình p q r

x +y = z Theo giả thuyết ABC ta được:

p p

εεεε

+ + +

Vậy phương trình p q r

x +y =z không có nghiệm không tầm thường,nguyên tố cùng nhau khi p q r, , là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 3 Haynói cách khác, nếu p q r, , là các số nguyên lớn hơn 2 và thỏa mãn

1 1 1

1

p+ + ≤q r thì phương trình x p+y q =z r chỉ có nghiệm tầm thường trong ¢

hoặc các nghiệm có ước chung khác 1 ▄

Vấn đề đặt ra là khi 1 1 1 1

p+ + <q r và p q r, , là các số nguyên bất kỳ, bỏ

đi giả thiết lớn hơn hoặc bằng 3, thì phương trình x p+y q =z r, với

( , , ) 1

gcd x y z = , có nghiệm (x y z, , ) không tầm thường trong ¢ hay không?Đây chính là giả thuyết Fermat-Catalan

2.1.4 Từ giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Fermat-Catalan

cùng nhau thỏa mãn phương trình x p +y q = z r Ta có thể giả sử p q r≤ ≤ , nếungược lại thì ta đổi vị trí của các số hoặc chuyển vế cho phương trình

Khi đó, ( p q r, , ) có một trong các cặp số sau: (2,3, r) với r≥ 7, hoặc

(2, 4, r) với r≥ 5, hoặc (2, ,q r) với r q≥ ≥ 5, hoặc (3,3, r) với r≥ 4, hoặc

(3, ,q r) với r q≥ ≥ 4, hoặc ( p q r, , ) với r q≥ ≥ ≥p 4.

Trong các trường hợp trên thì

43 42

1 1 1

1 1 1 43 42 1

2.1.5 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Catalan tiệm cận Giả thuyết

Catalan khẳng định rằng chỉ có 8 và 9 là cặp số liên tiếp duy nhất mà cả hai

số đều là lũy thừa của số tự nhiên Nói cách khác, nó là nghiệm duy nhất của

phương trình Catalan: m n 1

x −y = , trong đó x y m n, , , là các số nguyên lớnhơn 1: 3 2 − = 2 3 1 Ta đã biết rằng phương trình x m−y2 = 1 không có nghiệmnguyên dương và nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình

2 n 1

x −y = là x n= = 3 và y= 2 Do đó, chỉ cần xét phương trình Catalan với

( , ) 3

Giả sử (x y m n, , , ) là nghiệm của phương trình Catalan với min m n( , ) ≥ 3

Vậy thì x và y là nguyên tố cùng nhau Theo giả thuyết ABC với 1

4

khi đó tồn tại một hằng số 2

1 4

4