M. Toropu nhận xột, chỳng ta hy vọng sẽ được sử dụng những kết quả đó cú để chứng minh một phiờn bản của của một Định lý ABC cho đa tạp aben bất kỳ loại trờn một trường hàm (xem [9]).
Sau đõy là một phiờn bản của M.Toropu trờn trường hàm p -adic.
2.3.1. Định lý (Định lý ABC cho cỏc hàm nguyờn p-adic) [9]. Giả sử
2 0 1
f = f + f là cỏc hàm nguyờn p-adic sao cho f0 và f1 nguyờn tố cựng nhau và khụng đồng thời là hằng số. Giả sử r>0. Khi đú, với r r> 0
( 0 1 2) ( )
0 2
max log i r log log 1 .
i f R f f f r O
≤ ≤ ≤ − +
Nhận xột. Sử dụng bất đẳng thức ABC núi trờn đối với hàm nguyờn p -adic, chỳng ta cú thể kết luận rằng phương trỡnh Diophantine Pilai đối với cỏc hàm nguyờn p-adic fn−gm =c, trong đú clà một hàm hằng và 1 1 1, ,n m 2
n m+ ≤ ≥
khụng cú nghiệm khỏc hằng.
Gần đõy, cỏc tỏc giả Nguyễn Thành Quang và Phan Đức Tuấn đó mở rộng Định lý Davenport mà thực chất là một phiờn bản của Định lý ABC cho cỏc đa thức phức nhiều biến (xem [7]).
2.3.2. Định lý Davenport mở rộng cho đa thức nhiều biến ([7]). Xột cỏc đathức nhiều biến f f1, ,...,2 f kk ( ≥3) thuộc vành Ê[x x1, ,...,2 xl] khụng cú thức nhiều biến f f1, ,...,2 f kk ( ≥3) thuộc vành Ê[x x1, ,...,2 xl] khụng cú
nghiệm chung, khụng là đa thức hằng. Cho cỏc số nguyờn dương lj(1≤ ≤j k)
sao cho l1 ≤ ≤ ≤l2 L lk và 1 1 ( 1) k j j l kl k k = ≤ + − ∑ . Giả sử rằng hệ 1 2 1l, 2l ,..., lk k f f f độc lập tuyến tớnh trờn Ê. Khi đú, ta cú:
1 j kax1 1 1 1 1 1 deg( j) deg j ( 1). k k l l j j j j j k m f f k l ≤ ≤ = = − − ≤ − − ữ ữ ữ ∑ ∑ Với k =2,l=1, l1 =2,l2 =3, f1 = f f, 2 = −g, từ Định lý 2.3.2 chỳng ta thu được Định lý Davenport một biến.
Trong [8], cỏc tỏc giả Nguyễn Thành Quang và Phan Đức Tuấn đó đưa ra một mở rộng của Giả thuyết ABC trờn trường hàm, với F là một trường đầy đủ, đúng đại số với đặc số 0.
2.3.3. Định lý ([8]). Giả sử f f1, ,...,2 fn+1 là n+2 đa thức khụng đồng thời làhằng số trong F x[ ] sao cho f1+ + +f2 L fn+1=0. Giả sử gcd( f f fi, ,j k) =1, với hằng số trong F x[ ] sao cho f1+ + +f2 L fn+1=0. Giả sử gcd( f f fi, ,j k) =1, với mọi chỉ số phõn biệt i j k, , ∈{0,1,...,n+1 .} Khi đú, ta cú
( )( ( 0 1 1))
0max deg1 j 2 1 n 1.
j n f n r f f f +
≤ ≤ + ≤ − L −
Cỏc kết quả này đó được bỡnh luận và trớch dẫn trong [4] và [9] bởi A. Cherry và M.Toropu.
KẾT LUẬN
Lời giải cho Giả thuyết ABC khụng chỉ cú ý nghĩa là một bài toỏn mở của Toỏn học được giải quyết, mà cũn cú ý nghĩa sõu sắc hơn nữa là cỏc kỹ thuật và kiến thức phải cú để giới thiệu sẽ là những cụng cụ rất mạnh, nhằm giải quyết cỏc vấn đề của Lý thuyết số trong tương lai. Vỡ vậy, cựng với sự quan tõm chung của cộng đồng toỏn học, luận văn này của chỳng tụi tỡm hiểu về Giả thuyết ABC với những nội dung cụ thể sau đõy:
1. Phộp đạo hàm và phộp đạo hàm lụgarit của đa thức với hệ số phức. 2. Ứng dụng Giả thuyết ABC để chứng minh một số giả thuyết số học. 3. Ứng dụng Giả thuyết ABC để giải một số bài toỏn.
4. Một vài phiờn bản của Định lý ABC trờn trường hàm.
Giả thuyết ABC là một vấn đề phong phỳ và sõu sắc của Toỏn học, vỡ vậy cỏc nội dung trong luận văn này mới chỉ là những kiến thức ban đầu tiếp cận. Hy vọng rằng, trong thời gian tới chỳng tụi sẽ tiếp tục cú những tỡm hiểu sõu hơn, hiệu quả hơn về Giả thuyết này dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang và cỏc đồng nghiệp khỏc, tại khoa Sư phạm Toỏn học - Trường Đại học Vinh.