Thông tin tài liệu
TIỂU LUẬN C2 -HP - 02 Câu 15: Tính định thức: A= 0 4 0 21 B= 1 1 1 1 1 1 Giải: 02 a) A= 0 21 b) B= 1 4 1 0 1 1 1 = -1 0 1 = = 2.(4 – 8) = -8 4 4 d 1.d1 d d 1.d1 d d 1.d1 d d1 d 4 d 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Suy B = (-1) 4+4 1 = (Tính theo Sarius) 1 21 Vậy B= 1 1 1 1 1 = Câu 43: Tìm điều kiện m để với: m1 1 m Giải: Áp dụng phương pháp Laplace cho định thức ta được: 0 m-1 0 m 2m , m1 1 m 0 m-1 0 m 2m = (-1)3+4+4+3 m o m = m2(m-1) m-1 m m >1 m Để >0 m2(m-1) >0 m1 Vậy với m>1 với: m 0 m-1 0 m 0 2m Câu 44: Tính định thức: x 2 c1 c2 c3 c1 a) A= x 2 x x+4 2 x+4 x x+4 x 1 2 =(x+4) x 1 x a b b) B= b+c c+a c a+b d d1 d d d1 d 1 2 -2+x -2+x 0 (x+4) c c1 c c3 c1 c3 a =(x+4).(x-2) 0 ba ca bc a b a c = (b - a)(a – c) – (a – b)(c – a) = (b – a)(a – c + c – a) = 1 a b c = Vậy B= b+c c+a a+b Câu 55: Tính định thức cấp n: x xa xa x… x… x a) A= … … … … x x x a Ta thấy cột định thức có phần tử a phần tử lại x Nên ta cộng dòng 2, dòng 3,…dòng n vào dòng a+(n-1)x a+(n+1)x… a+(n+1)x a+(n-1)x x a x… x Khi đó: A = … … … … x x… x a x 1 a x x = [a+(n-1)x] = [a+(n-1)x] x x x a 1 ax 0 1 0 = [a+(n-1)x].(a-x)n-1 ax xa Vậy A= … x x x… x a x… x … … … x x a = [a+(n-1)x].(a-x)n-1 a2 … an 1+a2 … an … … … a2 … 1+an Ta thấy dòng định thức chứa phần tử 1, a1, a2, a3,…an Nên ta cộng cột 2, cột 3,…cột n vào cột ta được: a2 … an 1+a 2+…+an 1+a 1+a +a +…+a 1+a an n … B= … … … … 1+a1+a2+…+an a2 … 1+an a2 … a n 11 1+a an … = (1+a1+a2+…+an ) … … … … a2 … 1+an 1+a a1 b) B = … a1 10 = (1+a1+a2+…+an ) … 0 1+a a1 Vậy B = … a1 a2 1+a2 … a2 a2 … an … … … … … … an … an … … … 1+an x1 Câu 63: Giải phương trình: 1 = 1+a1+a2+…+an = 1+a1+a2+…+an x -1 -1 x2 1 1 1 =0 Giải: Ta dễ thấy định thức vế trái có cột tỉ lệ (cột ,cột 3) Nên theo tính chất định thức có giá trị Vậy phương trình x1 1 1 x -1 -1 x2 1 1 1 = có nghiệm với x 1 Câu 69: Tìm hạng ma trận sau: A= 3 4 5 11 12 14 12 16 20 Giải: Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng: 21 A= 4 d 2 d1 d d 3 d1 d d 4 d1 d 01 02 03 04 15 d3 d d3 0 0 0 0 0 11 12 14 12 16 20 01 0 0 0 0 -1 0 Sau biến đổi ma trận A dạng bậc thang, ta thấy số dòng khác dòng không Vậy r(A) = Câu86: Tìm tham số m để ma trận có hạng (r(A))cụ thể;r(A)=3 với ma trận sau: m 21 3m-1 m+4 A= 5m-1 m+4 2m+7 2m m+4 Giải: Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận A: d 2 d1 d d 4 d1 d m 12 3m-1 d 2 d1 d m+4 A= 5m-1 m+4 2m+7 2m m+4 m 01 m-1 d3 d d3 m m-1 m 2m-1 0 0 m m -1 Để r(A) = m đó: A= 0 m 0 Vậy với m=0 r(A) = 01 0 0 m m-1 m m m-1 0 m 0 -1 0 00 Câu118: Cho ma trận A= 0 0 0 0 0 T ,tính A.A 0 Giải: 00 Từ A= 0 0 0 0 00 Suy ra: A.AT = 0 0 10 00 AT = 0 0 0 0 1 0 .0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 (Theo công thức nhân ma trận) 0 0 0 0 Câu 119: Cho ma trận vuông cấp 100: A = (aij), phần tử dòng thứ i (-1)i+j Tìm phần tử a41 A2 Giải: Theo ta có: a11 = (-1)1+1 = a12 = (-1)1+2 = -1 a13 = (-1)1+3 = a1n = (-1)1+n = (-1)1+100 = -1 Tương tự: a21 = (-1)2+1 = -1 a22 = (-1)2+2 = a23 = (-1)2+3 = -1 a2n = (-1)2+n = (-1)2+100 = Tương tự ta có: an1 = (-1)100+1 = -1 an2 = (-1)100+2 = an3 = (-1)100+3 = -1 ann = (-1)100+100 = -1 -1 -1 -1 Vậy ma trận A là: -1 -1 -1 -1 -1 = -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Suy A -1 -1 -1 Do A ma trận vuông cấp 100 nên A ma trận vuông cấp 100 a41 = (-1).1+1.(-1) + (-1).1+ +1.(-1) = -100 Vậy a41 = -100 Câu 123d: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp phụ đại số: 1 D= 3 Giải: 1 D = 3 d 5 d1 d d 3d1 d -15 1+1 det D = (-1) 1. -8 1 T Ta có D = 5 Dp -1 = D = det D 33 1 -15 -24 -8 -15 -24 -15 = 33 Ma trận D khả nghịch 3 0 1 5 1 5 1 33 11 33 1 15 = 15 24 = 11 33 11 33 15 5 11 33 33 1 11 33 33 1 5 -1 5 Vậy D= D = 11 11 11 3 5 33 11 33 Câu 182: Giải biện luận hệ phương trình với m tham số 3x y z 2 x y z m x y 4z Giải: Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận mở rộng ma trận A: 3 1 A=2 m 1 4 1 d 2 2 d 1 d d 3 3d 1 d 0 1 3 4 10 m 10 d 1d 2 4 m 1 d 2d 10 0 10 m 1 10 ( I ) 0 0 m 1 d 3 d 2 d Dựa vào ma trận mở rộng ta thấy r(A) = m Ta biện luận trường hợp xảy ra: Hệ có nghiệm r(A) = r( A ) = = số ẩn hệ (Không xảy r(A) = m ) Hệ có vô số nghiệm r(A) = r( A ) = số ẩn hệ r(A) = r( A ) = m +1 = m = -1 x x Từ ( I ) suy 10 z y y z 5 10a Hệ có vô số nghiệm dạng: (x, y, z) = ( , , a) a R 5 Hệ vô nghiệm r( A ) r(A) = r( A ) = (Vì r( A ) nhận hai giá trị 3) m +1 m -1 10a Vậy: m = -1 hệ có vô số nghiệm dạng (x, y, z) = ( , , a) a R 5 m -1 hệ vô nghiệm Câu 214: Xác định tham số m để vecto phụ thuộc tuyến tính: u=( m;1;3;4) v=(m;m;m+2,6) w=(2m;2;6;m+10) Giải: Các vecto cho phụ thuộc tuyến tính tồn số thực a, b, c cho: m.a m.b 2m.c 1.a m.b 2.c a.u+b.v+c.w=(0;0;0) 3.a (m 2).b 6.c 4.a 6.b (m 10).c m1 Xét ma trận: A= 4 m m (m+2) 2m (m+10) 4 3 m m (m 2) m m+10 2m 1 m 1 m d 6-4m m+2 d 3 m d 6-4m m+2 2-2m 0 m- m- m m d 4 d 1 d d 33 d 1 d d md 1 d Ta bỏ dòng không ma trận dạng ma trận sau: 1 m m d 3 m m d d 6 m m2 4m 4m m 2 0 ( m 2)( m ) m m m 4m Để vector phụ thuộc tuyến tính r(A) Vậy theo định lý Sylvester f x, y = -x2 + 2xy - 4y2 xác định dấu âm c) f x, y, z = -11x2 - 6y2 -6z2 + 12xy - 12xz + 6yz -11 -6 Ta có ma trận ứng dạng toàn phương là: C = -6 -6 -6 Ta có định thức C là: -11 -6 -11 D1 = |-11| = -11< 0, D2 = -6 = 30 > 0, D3 = -6 = -81 < -6 -6 Vậy theo định lý Sylvester f x, y, z = -11x2 - 6y2 -6z2 + 12xy - 12xz + 6yz xác định âm d) f x, y, z = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz -5 Ta có ma trận ứng với dạng toàn phương là: D = 6 -1 -5 -1 Ta có định thức D là: -5 9 D1 = |9| = > 0, D2 = 6 = 18 > 0, D3 = 6 -1 = -99 < -5 -1 Ta thấy D1 D2 < (Có đan xen dấu định thức cấp lẻ) Theo định lý Sylvecter f x, y, z = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz không xác định dấu Vậy f x, y, z = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz không xác định dấu Câu313: Tìm tham số m để dạng toàn phương sau xác định tính dương, âm: a) f x, y, z = 2x2+6xy+2xz-6y2-4yz+mz2 xác định tính âm b) f x, y, z = 5x2+4y2+mz2+6xy+2xz+2yz xác định tính dương Giải: a) f x, y, z = 2x2+6xy+2xz-6y2-4yz+mz2 xác định tính âm f x, y, z 2 =2x +6xy+2xz-6y -4yz+mz A= -6 -2 -2 m 2 Gọi D1 ,D2,D3 định thức ma trận A f x, y, z xác định âm Tất định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm Dễ thấy D1= > định thức cấp lẻ mà lại dương Do giá trị m để dạng toàn phương cho xác định tính âm b) f x, y, z =5x2+4y2+mz2+6xy+2xz+2yz xác định tính dương 5 2 f x, y, z =5x +4y +mz +6xy+2xz+2yz A = 1 m Gọi D1 ,D2,D3 định thức A f x, y, z xác định dương Tất định thức dương Ta có: D1 = > (Thỏa mãn) D2 =11 > (Thỏa mãn) 5 D3 = 1 m Dể D3 > (20m + + 3) – (4 + + 9m) > 11m – > m> Vậy với m> dạng toàn phương cho xác định dương 11 Câu 314: Viết dạng tắc phương pháp Lagrange: 11 a) f x1 , x2 , x3 = x12 + x22 - 4x32 + 2x1x2 - x1x3 Ta có: f x1 , x2 , x3 = x12 + x22 - 4x32 + 2x1x2 - x1x = (x12 + x1x2 - x1x3) + 5x22 - 4x32 = x12 + 2x1(x2 - 2x3) + (x2 - 2x3)2 - (x2 - 2x3)2 + 5x22 - 4x32 = (x1 + x2 - 2x3)2 - x22 + 4x2x3 - 4x32 +5x22 - 4x32 = (x1 + x2 - 2x3)2 +4x22 - 4x32 + 4x2x3 - 4x32 = (x1 + x2 - 2x3)2 + 4(x2 -x3)(x2 +x3) + 4x3(x2 -x3 ) = (x1 + x2 - 2x3)2 + 4(x2 -x3 )(x2 +2x3 ) x y y y3 1 x1 x2 x3 y1 x x y y x y y3 3 2 Đặt: X= PY x 2x y y 3 2 x y3 Lúc f y1 , y , y3 = y12 + 4(y2 -y3 )(y2 +y3 ) f y1 , y , y3 = y12 + 4y22 - 4y32 Tọa độ cũ = P.Tọa độ -1 5/3 Do vậy: P = -1/3 0 2/3 1 -2 Thử lại: A= -2 -4 0 1 -2 -1 5/3 -1 -1/3 P AP = 5/3 -1/3 2/3 -2 -4 0 2/3 1 -2 -1 5/3 -1/3 = 0 -6 0 2/3 1 0 = 0 -4 Vậy f y1 , y , y3 = y12 + 4y22 - 4y32 T c) f x1 , x2 , x3 = 4x12 + x22 +x32 -4x1x2 -3x2x3 + 4x1x3 Ta có: f x1 , x2 , x3 = 4x12 + x22 + x32 - 4x1x2 - 3x2x3 + 4x1x3 = (4x12 - 4x1x2 + 4x1 x3 ) + x22 + x32 - 3x2x3 = 4x12 -4x1 (x2 -x3 ) + (x2 -x3)2 - (x2 -x3)2 + x22 + x32 - 3x2x3 = (2x1 + x3 - x2 )2 - x32 + 2x2x3 - x22 + x22 + x32 - 3x2x3 = (2x1 + x3 - x2 )2 - x2x3 2 x1 x3 x y1 Đặt: x y y3 x y y x1 y1 y x2 y y3 x y y X=PY Lúc này: f = y1 , y , y3 = y12 – y22 + y32 ½ -1 Tọa độ cũ = P tọa độ P= -1 0 1 Thử lại: -2 4 -2 -3/2 A= -3/2 -2 ½ 0 1 -2 T P A.P= -1 -1 -3/2 1/2 -1 -1/2 -1/2 = -1/2 1/2 1 0 = -1 0 -3/2 -1 -1 1 ½ 0 -1 0 1 Vậy f = y1 , y , y3 = y12 – y22 + y32 dạng tắc cần tìm Câu 315c: Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau dạng tắc Viết dạng tắc phân loại dạng toàn phương: f(x1, x2, x3) = 2x12 + 5x22 + 2x32 – 4x1x2 + 4x2x3 – 2x1x3 Giải: f(x1, x2, x3) = 2x12 + 5x22 + 2x32 – 4x1x2 + 4x2x3 – 2x1x3 2 A = 1 2 1 2 2 1 5 Đa thức đặc trưng P = A I = 2 1 2 2 = 2 2 5 1 d 3 d d ( ) ( 1) 1 = (1- )( -7)( -1) Trị riêng nghiệm phương trình: (Tính theo Sarius) P = (1- )( -7)( -1) = (Với =1 nghiệm kép =7 nghiệm đơn) 1=1 ứng với vectơ riêng u1(x, y,z) nghiệm hệ: (A-1.I).u1=0 2y z x x - 2y - z = z y x Suy u1=(2a+b, a, b)= (2a, a, 0)+ (b, 0, b) với a2+b2 Có sở: x1(2,1,0) va x2(1,0,1) 2=7 ứng với vectơ riêng u2(x, y,z) nghiệm hệ: (A–7I) u2=0 x y z x z x y z y 2z 3y 6z Suy u2=(-c, 2c, c) với c có sở (-1,2,1) Ta có hệ sở: x1=(2,1,0) x2=(1,0,1) x3=(-1,2,1) Dễ thấy =2 nên hệ cho chưa trực giao Trực giao hóa hệ vecto x1,x2,x3 ta được: y1=x1=(2,1,0) y2 = x - y1=(1,0,1) - y3 = x - y2 - 2 (2,1,0) = ( , ,1) 5 y1= (-1,2,1) - (0,0,0) - (0,0,0) = (-1,2,1) Trực chuẩn hóa y1,y2,y3 ta được: Do ma trận truc giao S làm chéo hóa ma trận A chọn sau: 2 S= 0 2 -1 D = S AS = 1 1 = 0 0 2 6 30 S-1 = ST = 2 2 30 30 30 30 1 1 6 30 1 2 5 6 30 1 2 2 30 30 30 30 1 1 6 30 0 0 1 2 2 2 Ta có ma trận tương ứng với dạng toàn phương là: A = 1 2 Dạng toàn phương cho có dạng tắc là: Q = y + y + 7y Phân loại dạng toàn phương: 1 Giá trị định thức xuất phát từ ma trận A là: D1 = > D2 = 2 =6>0 2 2 1 D3 = = > 1 2 Tất định thức xuất phát từ ma trận A dương ma trận toàn phương xác định dương ... m1 Vậy với m>1 với: m 0 m-1 0 m 0 2m Câu 44: Tính định thức: x 2 c1 c2 c3 c1 a) A= x 2 x x+4 2 x+4 x x+4 x 1 2 =(x+4) x 1... 1 5 -1 5 Vậy D= D = 11 11 11 3 5 33 11 33 Câu 182: Giải biện luận hệ phương trình với m tham số 3x y z 2 x y z m x y 4z Giải: Ta sử... ( I ) 0 0 m 1 d 3 d 2 d Dựa vào ma trận mở rộng ta thấy r(A) = m Ta biện luận trường hợp xảy ra: Hệ có nghiệm r(A) = r( A ) = = số ẩn hệ (Không xảy r(A) = m ) Hệ
Ngày đăng: 16/01/2016, 12:01
Xem thêm: HOÀN CHỈNH TIỂU LUẬN TOÁN c2
