NỘI SUY các hàm p ADIC

$ SP -r BộBộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T^HỔCHÍMIN»J TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM TP.HÒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư sư PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà Nguyễn Thanh Hà NÔI SUY CÁC HÀM P-ADIC NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 Trang phụ MỤC LỤC bìa Mục lục MỞ ĐẦU .1 Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede .3 1.2 Xây dựng tập số p-adic 1.2.1 Chuẩn p-adic 1.2.2 Xây dựng trường .5 1.2.3 Xây dựng vành 1.2.4 Xây dựng trường .5 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic 1.4 Xây dựng tương tự p-adic hàm log Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1 Một số khái niệm tính chất dãy nội suy p-adic 2.2 Một vài ví dụ dãy nội suy p-adic .7 2.3 Nội suy p-adic hàm số mũ .8 2.4 Nội suy hàm gamma p-adic Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1 Độ cao hàm chỉnh hình 16 3.1.1 Một số khái niệm tính chất 3.1.2 Một số ví dụ minh họa 19 3.1.3 Công thức p-adic Poisson - Jensen 3.2 Độ cao dãy điểm nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 25 3.2.1 Độ cao dãy điểm 3.2.2 Nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 26 KÉT LUẬN MỞ ĐÀU Ta biết rằng, đa thức bậc n hoàn toàn xác định hay nói cách khác nội suy biết giá trị đa thức (n + 1) điểm phân biệt Từ nảy sinh vấn đề tổng quát hóa toán nội suy hàm yẽu cầu đặt làm khôi phục lại hàm số biết giá trị từ dãy rời rạc điểm? Nội suy hàm p-adic công cụ quan trọng giải tích p-adic để xây dựng hàm p-adic đặc biệt xây dựng tương tự p-adic L_hàm số học Vì vậy, chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu hon cách nội suy hàm p-adic ứng dụng Luận văn sâu vào nội dung chính: nội suy hàm liên tục nội suy hàm chỉnh hình p - adic đĩa đơn vị , thể chương: > Chương 1: trình bày kiến thức giải tích p - adic gồm chuẩn p - adic, tập số p - adic, hàm chỉnh hình p - adic hàm log > Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p - adic hàm liên tục ptừ đưa số ví dụ cụ thể cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p - adic > Chương 3: trình bày khái niệm độ cao hàm chỉnh hình, độ cao dãy điểm, nội suy hàm chỉnh hình p - adic đĩa đơn vị quan trọng bô môn Đại số, khoa Toán - Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết phòng sau đại học tạo điều kiện để thực bảo vệ luận văn Do hạn chế khả thời gian thực hiện, luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Người viết mong nhận đóng góp quý thầy cô quan tâm đến vấn đề TP.HCM, ngày 30 tháng năm 2009 Chương 1: KIẾN THỨC BẢN 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.1 Cho F trường Chuẩn trường F ánh xạ, kí hiệu I I: F —» cho với x,y E F ta có: i) \x\ > 0, |x| = X = ii) M = HM iii) \x + y\ < |x| + |y| Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn trường , , Ví dụ 2: Cho F trường Ánh xạ I I: F —» định nghĩa bởi: Í1 X ^ , , với moi X G F, \x = < chuân F, goi chuân tâm thường [0 X - Định nghĩa 1.2 Giả sử I I chuẩn trường F Khi hàm d :FxF —»[0,+oo) xác định d(x,y) = \x-y\ metric trường F gọi metric cảm sinh chuẩn Hai chuẩn I I I I F gọi tương đương tôpô cảm sinh hai metric tương ứng Kí hiệu II I I (Các điều kiện tương đương chuẩn) iii) Tồn số c > cho |x|2 = l^lỊ7 với X E F iv) {x„} dãy Cauchy I I 00 1.2 Xây dựng tập số p - adic 1.2.1 Chuẩn p - adic Định nghĩa 1.7 Với r = — G , m,ne , (m, n) = 1, ta đặt ord r = ord m - ord n /2 Mệnh đề 1.8 Trên truờng , ta xét ánh xạ I I đuợc xây dựng sau: V ị \ordpX x^O I I \P) p khỉ X = Khi I I chuẩn phi Archimede gọi chuẩn p - adic Định lý 1.9 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường tưong đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường tương đương với chuẩn p - adic với p số nguyên tố 1.2.2 Xây dựng trường > Gọi s tập dãy Cauchy Trẽn s ta xây dựng quan hệ tương đương sau: {*„} =0 n —>oo 'P Ta gọi tập hợp tất lóp tương đương theo quan hệ trang bị M+{y»} = {x,,+yn} Khi ta chứng minh ( p,+,-) trường với đon vị ỊlỊ Ngoài ra, với ^ tức xnỵ4o, theo mệnh đề 1.6, tồn N cho với n > N: |xw| = \a\ * Khi đó, phần tử nghịch đảo {xwỊ {xwỊ n< N n>N [XH yn = > Chuẩn xác định sau: Với * = {*„} e \x\ =\im\xn\ r ' 'P n—>co1 1p Ta chứng minh chuẩn I I p chuẩn phi Archimede > Trường xem trường nhờ ánh xạ nhúng: a I—> ỊưỊ I I p mở rộng chuẩn p - adic Chú ý: Với X — E X = lim xn Định lý 1.10 (mô tả p) Với X E p, \x\ < 1, có dãy đại diện {an} X thỏa mãn: i) n p I \p „““1 "\p ’l Ip I n\p lớn Chúng ta mở rộng ordp cho p : ordpX = -ìogp |x| Từ trẽn tập số p-adic ta xét chuẩn p-adic quy ước viết I I nghĩa IIp • Định lý 1.13 (Tính chất trường ) i) đóng đại số h},t = < t * 1,2,3t khi= t\ = t - n\ogj’n\ogt có dạng pk với số k > 41 40 ’Ar+1 Ả: ẤT—1 p -pTa xét đa giác Newton biểu diễn H(log, t) Gọi r r r w t> t> m _kđường thẳng biểu diễn hàm g(t) -p = vỊ(-l)" ) với hệ số góc < t đạt giá trị bé m = k, hay là, với m ^ k: t e pmt -m> pk t-k tức (pm - pk)t> m-k (*) Ví dụ 3.4 Tính hỊữgj, hXogf, h[ogít , H(log, t) ? Giải Ta biết Xétlog(l trường + z)hợp = V(-l)"+I nỊagít — * gVới t Giả mỗisửt nỊữg > 0, tatcó: = pk~l tí n Nếu m > k: te (, 1V,+1/ \ , (pm-pk)t> , ị=nt-k = nt-ìogn/\ogp khin = pk l=nt-k> nt- + logpm~k~2 n / log + !> p m n kp .1 ^ p = pm~kA với t > 0, v((-ir' /n^ + nt đạt n có dạng pk Nói cách khác, Nếu m < k: te (pk-pm)t< nk _ nk-m _ 1 k—m—l p p ! +(*) - + + ■ tức trường hợp ta= có Từ kết vừa chứng minh ta thấy, với t e (,tk+l,tk), điểm (t,HỰ,t)) nằm đường thẳng r k hay (tk+ị,tk) không chứa điểm tới hạn Điều có nghĩa tk +1 t tk 42 h\og,t =1 p-1 / > - l / / ( i o g , = - y « g i , ) = - — - ( £ - ) = — — + [ Ì o g , (p - m s s p-p p-1 - Với í*+1 tronể n+u t {nu t) số điểm Ui Khi ta có: 43 cho v(Uị) > t (v(Uị) > t) H(f,t0) - Hự,ỉ) = h}t + X hfj t0>s>t Chứng minh Giả sử tl,t2, ,tn điểm tới hạn f(z) mà t0> tị> t2 > > tn> t - tn+l Chúýrằng Vỉ a_ n~ft=n+ft \/k = 0,n nên ta có: f*k = /ĩ ^Ảr+l) Khi đó: - ‘ í ) + ( í , - f2)+ +( t „ - t ) */,s>t s>t = |t s>t' s>t =H(f,n+ (hư- h-fr) + (2^ - 2>/>) + s>t s>t s>t' + Kfữ = H(f ,t')-h+rr +h~j +^hfs số ta có đpcm ■ s>t' Nội suy p - adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị Khái niệm nội suy hàm số đưa với giả thiết cho trước 3.2.2 (tức hàm g: -» mà g(n) = an) Nó gọi òk Jk 45 nội suy p - adic tồn hàm /: -» liên tục cho f(n) = a„(=g(n)) với V/2 €E Khái niệm nội suy hàm f chỉnh hình đĩa đơn vị D đuợc xây dựng với giả thiết có dãy điểm {Uị} D thỏa số điều kiện nhu số điểm Ui thỏa v{Uị) > t hữu hạn với t >0 Ngoài v(Uị) > v(uị+Ị) limH(u,t) = -00 í-»0 Tu tuởng nội suy p - adic hàm chỉnh hình D phát biểu “gần gũi” với khái niệm nội suy chương Cụ thể ta có định nghĩa sau : Định nghĩa 3.9 Dãy đa thức {.Pk} gọi dãy nội suy f u degPk0L J Chứng minh 46 > Điều kiện cần: Do lim H(u, t) - -00 nẽn ta cần chứng minh cho trường họp í—»0 ) = -00 lim bị chặn hiển nhiên ta có đpcm t—>0 t—>0 Giờ ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử ^ Khi 00 {Sị} ->0 mà H(f,Sị)-H(u,Sị ) bị chặn Đặt A - sup{Hự,si)-H{u,sì)} Do giả thiết /(z) = lim Pk(z) tức lim £* (z) = nên lim H(Sk,Sị) - +00 k—>00 k—»00 £—»00 k0 cho với k>k0,i> 0: H{Sk,Sị)>A (1) Ngoài limH(u,t) = -00 nên lim[-i/(w,5.)] = +00 tồn tai Nx cho í—»0 ỉ—»00 Ỉ>NX : -H(u,Sị) > (2) Khi theo (1) (2) ta có: với i>NẢ,k>kữ\ HiS^-Hiu^ỵA + ìỵHỰ^-Hiu^ + ì hay H{Sk,Si)~Hự,Sị)> (3) Đặt M0 = inf H(Sk,0) Do điều giả sử limH(f,t) = -00 nên lim//(/,>s'ỉ) = -00 tồn N2 t—»0 ì—»00 cho với N > N2: H(f,sN) < M0 -1 suy H(Sk,sN)-Hự,SN) > H(Sk,sN) + ì-M0 > H(Sk,0) +1 -M0 > với Vk < k0,N> N2 (4) Đặt N = max(Nỉ,N2), (3) (4) ta có H(Sk,sN)HỰ,sN)>l\/k>Ohay mm[H(Sk,sN)-H(f,sN)]>\ ị + 1‘~>n ’K4"11h’*n+l -(I tn> k k>tn k>t > +1 n+ t„ >* , +^W» +ò1 +1 7,i n tn> k>t -(/£ t n+Ị -A;, v )+ M,ín 'V‘ ~ +1(^s„,k / n+ Ị M II II 47 48 > Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ ta sử dụng số bổ đề sau: i) Với s,t>tn = v(un):H(Sn,s)-H(u,s) = H(Sn,t)-H(u,t) ii) Nếu tn>tn+x H(Sn,tn)-H(u,tn) = H(Sn,tn+l)-H(ụ,tn+l) Chứng minh bo đề i) Giả sử s > t, theo công thức Poisson - Jensen: [H(S„,s)-H(u,s)]-[H(S„,t)-H(u,t)] H(u,s) = [H(S„,s)-H(S„,t)] + H(u,t)- ~ (^Sn,s ~ hsn,t ^ ^sn,k) i^u,t ~ hu,tữ ~ ^^jhuk) — {hus — hutũ — ^Jhu k) s>k>t k>t k>s s>k>t k>t k>s ~ hsn,s ~ Kn,t + ^ hsn,k + K,t ~ ( ^ K,k + K,s) ~ K,s s>k>t s>k>t = Gi,-V,)-(A£,-V,)+ s s>k>t =í ( « S „ , s - < ( ) + s -k>t Gọi số lớn để tl > s tức t0 > tị > > tj_ ] >t[>s> tM nên n~us =/ + l Ngoài ra, uữ,ul, ,ul tất không điểm Sn thỏa v(w0) > v(Wj) > > V(UỊ) > s nên rig = / +1 rig = n~us Lập luận hoàn toàn tuơng tự ta có n+s t=nlt,ri~s k=n~k, ĩis k = nlk Tóm lại [H(Sn,s)-H(u,s)]-[H(Sn,t)-H(u,t)] - _"íWi 49 Theo cách xây dựng này, với ỉ = 0,k, Qk(Uị) = f (Uị) = Pk(Uị) mà degPk,degQk H(f,tk) (1) Hoàn toàn tương tự ta có H(Pk+ỉ,tk+ỉ) > H(f,tk+Ì) (2) ■ Nếu v(uk) = v(ụk+l) tức tk = tk+ì (1),(2)= tn nên SK CÓ không điểm uữ,Uị, ,un v(w0)>v(ỉ/j)> >v(un) H(SkJk) = H(PM-Pk,tk)>rmn{H(PM,tk\H(Pk,tk)} > H(f,tt) nsn,t =« + !• Ngoài ra, có u0,Uị, ,un thỏa V(M0), , v(wK) > tn > ■ Ngược lại, giả sử tk ^ tk+ỉ : v(un+ỉ)> nên o Nếu H(Pk+ì,tk)>H(f,tk) «7, =« + l tức ỉ í j ( == «7í • Lập luận tự ta có n+s t =Ktn =^ + > U H(Sk,tk) H(Pk+Ìpk,ttương k) > niin{H(Pk+Ỉ,tk),H(Pk,tk)} ns„,k -Hự,tk) nu,k ’ ns„,k - nũ,k » wỉ„,/t = WíU • Vậy [/f(íS'M,í„)-//(M,íJ]-[Jíí(4S„,í„+1)-/ír(M,ín+1)] o Ngược lại H(Pk+ỉ,tk) < H(f,tk) < H(Pk,t k)= O v t a có đpcm ■ Bổ đề Khi H{Sk,tk) = H{Pk+ì -Pk,tk) - mm{H(Pk+ị,tk),H(Pk,tk)} Với k ta có H{Sk,tk)> H(f,tk) H(Sk,tk+ỉ)> Hự,tk+Ỉ) H{Pk+ì,tk) Chứng minh ho đề suy H(Sk,t) = H(Pk+ì,t ) lân cận tk Đặt g(z) = Y[(z-ui) = ịjbrizn Do đó: i=0 n= H (S t ) = lim ^^k-*k — ^ 'k-tk ) = Hm ^^k+ỉ-*k — ^ IỈL ) g(z) CÓ (k + 1) không điểm u0,uỉ, ,uk thỏa v{Uị) >tkie 0,k nên n~g Àt Aí-sToAt t =k + \ A?2>0“ Vậy M(tk,g) = \bk+l\tkk+ỉ H(Pk,tk)-a = H (Pk,h)~n~PÍM Áp dụng định lý 1.22, tồnhay ahàm ọ(z),Qk{z) cho:Jt (h >k+,) • h h+1 /(z) = H(f ,tk) 50 H(Pk+i,tk) Xét đa giác Newton hàm Pk Vì ĩĩp t a = cạnh đa H{Pkìtk)-npk^tk(tk giác Newton Vì -tk+l) > thế, H(Pk+l,tk)- ripk+ìjk(tk -tk+ j) (1) Giờ lại xét đa giác Newton hàm p» Vì np t =k + l>ĩip Ị V/ nên khoảng n?tMh = „(tk 2) (tk+Ị,tk) Ỉ Ỉ S có điểm tới hạn Ĩ M A ủ hay H(Pk, h h+ỉ Từ (1) (2) ta có H(PM,tkJ Suy H(Sk,tk+í)= H(PM -Pt,ttJ>■ ■ H(Pt,tkJ> 51 Ở trường họp, với giả thiết \imịH(f,t)-H(u,t)] = 00 ta có í->0L J N) = 00 tức limSn(z) = suy (P„(z)} dãy Cauchy nên hội tụ n—>00 «—>00 Giả sử P{z) = lim Pn (z), ta cần chứng minh f (z) = P(z) n—>00 Vì u dãy nội suy P(z) nên theo điều kiện cần chứng minh \im[H(P,t)-H(u,t)] = 00 Lập g(z) = P(z) - f(z) giả sử g(z)/Ể0 Ta có: H(g,t)-H(u,t)>min{H(P,t)-H(u,t),H(f,t)-H(u,t)} \im[H(g,t)-H(ụ,t)] = 00 Nhưng Uị không điểm g nẽn điều mâu J thuẫn với mệnh đề 3.8 Vậy g(z) = định lý chứng minh ■ Sau trình bày số ứng dụng thú vị định lý 3.10 Hệ 3.11 Dãy u = {Uị} dãy nội suy hàm f(z) lim 2X,-2>/,d l s>t s>t ] ~ K' t bị chặn t —» K,t K,t0 ^ hus s>t H{f ,t)~ H(ụ,t) =Hư,n-h}J.+h}J-ỵj =ỵ K, -(Z hf,s -ỵ hf,s -V) - *;,•+ t'>s>t s>t s>t s>t' = ĩX - s * / J + - K, +1*,«V s>/ s>t J s>t' s>t' ^hj s -h+f t, + H{f,t ') + h~t số +ff(/.o+V* +h) «u u „v0 / u,sữ />.50 -2X MSQ 1>S0 MSQ —H(ụ,sữ)~ \ 52 53 Quay■trởhft— lại vớih*t việc minh hệ 0quả, giả sử sỉ,s2, ,sn điểm tới bị chứng chặn t —» ■ Ị™|z\s-Z */,,}=” hạn L s>t s>t J f u mà í0 > s, > > s„ > s = Vậy lim[H(f,t) - H(u,t)] = 00 Như vậy, nfft = n*ffM ,hi sn+l Theo định lý 3.10, u = {Uị} dãy nội suy hàm f(z) ■ với k =t—^0 ti,n Hệ 3.12 Hự,sữ) - Hự,s) = n~f Sữ (s0 -s{) + n~f Sx (Sị - s2) + + Kí hiệu o(f) lóp hàm g chỉnh hình D thỏa mãn nf Sn (sn - s) ( \ sup|/(z)| o sup|g(z)| \z\-r< K,sữ+Sl(nũA VN=r ) -nu,sl) + - + Sn(nũ,s„-nu,sn)-SKs+Ms0 < K,s0 + K,S2 + •••+ - K,s Msữ = h~SQ Nếu n f+ s+^- K,sx nuss bị chặn u K,s„ dãy nội suy +của tất hàm- thuộc o(f) h*s hu + MSQ ÍQ>/>5 Chứng minh Trong mục 3.1, ta định nghĩa “điểm tới hạn” hàm chỉnh hình f Đen đây, ta đua định nghĩa “điểm tới hạn” cho dãy điểm u = {Uị} có định nghĩa 3.6 Như giả sử ban đầu ta biết v(w0) > v(«j) > > v{un) > v(un+ì) > Nhưng v{Uị) > v(uM) = v(uì+2) v(ui+m+ỉ) = = v(ui+m) > v(w/+i) = v(ui+2) = = v{ui+m) hay ti+ì = = ti+m gọi điểm tới hạn dãy u Khi ta đánh số lại điểm tới hạn Chẳng hạn, v(w0) = v(Wj) > v(u2) > v(u3) - v(u4) - v(u5) > tương ứng ta có điểm tới 54 Hệ 3.13 Dãy {PÁ/Ĩ -1} với n = 1,2, dãy nội suy tất hàm thuộc lóp O(log) Chứng minh Điều đuợc suy từ hệ 3.12 với ý ầu = Ipyfĩ - lỊ «j“g tn~t = (ví dụ 3.7) ■ Hệ 3.14 Cho {«(.}cD, (6q}c: p• Giả sử {Pn(z)} dãy đa thức thỏa mãn n Pn{Uị) = dị với i = 0,n Khi đó: i) Nếu H(Pn,0)-H(u,tn)^> 00 tồn hàm chỉnh hình f(z) cho f(u) = d với i = 0, 1, f ( z ) = lim Pn{z) H—>00 ii) Ngược lại tồn hàm chỉnh hình g(z) = lim Pn(z) «—>00 H(Pn, 0) - H{u, tn nt„ -> 00 hay) + H(u,s)-H(f,s)H(P„,0)-H(u,t„) mà úm[H(Pn,Q)-H(u,í„)] = 00 sup|/(z)| «-> oo p-*™ lfh_ sup|/(z)| = ớ(sup|g(z)|) r—»1 lim lim p,tn) - /7(w,c)] \z\=r = 00 \z\=r sup|g(z)| H{g,s) m=r t l —>co lim ^ \m\{Hựìs) H{gìs)} +00.định lý 3.10 ta Lậpp-WƯ,s)-H{g,s)} luận tương tự như=trong chứng minh—điều kiện đủ= »0 5—>0 suy Do vậy, với tN >tn H{Sn,tN)-H{u,tN)>H{Pn,tn)-H{u,tn) H(g,s) - H{u,s ) = [H(g,s) - H{f,s )] - [H{u,s) - Hự,s )] H(Sn,tN)~H(ư,tN)> H(Pn,tn+ì)-H(u,tn+ỉ) mà \im[H(Pn,tn)~H(u,tn)] = -+00 - > 00 nên >[H(g,s)-H(f,s)]-[H(u,s0)-H(f,s0)]-Ms0 «-> oo định lý= 3.11, đpcm ■ N)«—>oo = 00Vìdovậy, theo lim Sn(z) suytaracó {Pn(z)} dãy Cauchy nên hội tụ n—>oo Đặt /(z) = lim PM(z) Vì P„(Uị) = CC' nên rõ ràng f{Uị) = dị với i = 0, 1, n — > co 55 Neu tồn hàm chỉnh hình g(z) = lim Pn(z) theo phần chứng minh bổ đề «—>00 định lý 3.10 ta có H{Pn,tn)> H{g,tn) H{Pn,V)-H{u,tn) + ntn>H{Pn,tn)-H{u,tn)>H{g,tn)-H{u,tn) Vì u dãy nội suy hàm g(z) nên \im[H(g,tn)-H(u,tn)] = 00 «->0OL lim [H(Pn,0)-H(u,tn) + fĩtn] = co 56 KẼT LUẶN • Sau hoàn thành luận văn, đua số kết luận nhu sau: Nội suy hàm p - adic vấn đề thú vị giải tích p - adic Thông qua phép nội suy, thấy cách xây dựng tuơng tự p - adic hàm số học nhiều ứng dung khác Trong chuơng 2, giới thiệu số định nghĩa tương đương khái niệm nội suy p - adic hàm số liên tục Từ đó, đưa số ví dụ đơn giản dãy nội suy p-adic xem xét cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p-adic thông qua phép nội suy tính chất hai loại hàm quen thuộc Trọng tâm luận văn nằm chương Chúng nghiên cứu nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị Ở kết quan trọng chứng minh cách hoàn chỉnh chặt chẽ điều kiện cần đủ để dãy điểm dãy nội suy hàm chỉnh hình cho trước Từ trình bày ứng dụng kết ví dụ minh họa qua hàm log Tóm lại, bên cạnh kết đạt được, hạn chế thời gian Người viêt 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO • Andrew Baker (2009), An introduction to p — adic numbers and p — adic analysis Pei-Chu Hu and Chun-Chun Yang (2000), Meromorphic Functions over NonArchimedean Fieỉds, Kluwer Academic Publishers Svetlana Katok (2001), Real andp — adic analysis course notes for math Ha Huy Khoai (\919),p-adic Interpolation , AMS Translations: Math Ha Huy Khoai (1983), On p-adic meromorphic /unctions, Duke Math J., Vol 50 Ha Huy Khoai (1992), “Heights for p-adic meromorphic íunctions and value distribution theory”, Journal ofMathematics, 20(1), pp 14-24 Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p-adic Nevalinna [...]... ■ , nm+jp N m+(j-ỉ )p -a„ n +p' v n+n p n +p -piữ' v n +p' -pj° n+pj-2pj° ’ v n+ pK) n ’ - a„ do đó - ữ n+ n+pJ PJ n n 23 22 Nhờ định lý (a 2.4Ị—a ta xây dựng được tương đương về dãy ị in) + (a ị ,vmột -a ịđịnh in) nghĩa + (akhác in-a„) nội 1 < s với mọi n suy ra sup 1oo lim Chứng minht ' ý —>co = 0 tức là lim ap’/—>00 -1 suy ra lim j—>00... Định lý sau đây sở đểchứng xây dựng p - adic Ta có: Định lý 2.15 Với p > 2, dãy an = (-1)" 77 ' j là dãy nội suy p - adic 1< j ... dãy nội suy p- adic .7 2.3 Nội suy p- adic hàm số mũ .8 2.4 Nội suy hàm gamma p- adic Chương 3: PH P NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1 Độ cao hàm chỉnh... hàm p- adic công cụ quan trọng giải tích p- adic để xây dựng hàm p- adic đặc biệt xây dựng tương tự p- adic L _hàm số học Vì vậy, chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P- ADIC để tìm hiểu sâu hon cách nội suy. .. chuẩn p - adic, t p số p - adic, hàm chỉnh hình p - adic hàm log > Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p - adic hàm liên tục ptừ đưa số ví dụ cụ thể cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p - adic