NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU .1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede 1.2 Xây dựng tập số p-adic 1.2.1 Chuẩn p-adic .5 1.2.2 Xây dựng trường 1.2.3 Xây dựng vành 1.2.4 Xây dựng trường p p .5 p 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic 1.4 Xây dựng tương tự p-adic hàm log .16 Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1 Một số khái niệm tính chất dãy nội suy p-adic 19 2.2 Một vài ví dụ dãy nội suy p-adic 25 2.3 Nội suy p-adic hàm số mũ .26 2.4 Nội suy hàm gamma p-adic .30 Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1 Độ cao hàm chỉnh hình .35 3.1.1 Một số khái niệm tính chất 35 3.1.2 Một số ví dụ minh họa .38 3.1.3 Công thức p-adic Poisson – Jensen .42 3.2 Độ cao dãy điểm nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 43 3.2.1 Độ cao dãy điểm 43 3.2.2 Nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 44 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ÐẦU Ta biết rằng, đa thức bậc n hoàn toàn xác định hay nói cách khác nội suy biết giá trị đa thức (n + 1) điểm phân biệt Từ nảy sinh vấn đề tổng quát hóa toán nội suy hàm yêu cầu đặt làm khôi phục lại hàm số biết giá trị từ dãy rời rạc điểm? Nội suy hàm p-adic công cụ quan trọng giải tích p-adic để xây dựng hàm p-adic đặc biệt xây dựng tương tự p-adic L_hàm số học Vì vậy, chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu cách nội suy hàm p-adic ứng dụng Luận văn sâu vào nội dung chính: nội suy hàm liên tục suy hàm chỉnh hình p – adic đĩa đơn vị p p nội , thể chương:  Chương 1: trình bày kiến thức giải tích p – adic gồm chuẩn p – adic, tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic hàm log  Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic hàm liên tục p từ đưa số ví dụ cụ thể cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p – adic  Chương 3: trình bày khái niệm độ cao hàm chỉnh hình, độ cao dãy điểm, nội suy hàm chỉnh hình p – adic đĩa đơn vị quan trọng chứng minh chặt chẽ điều kiện cần đủ để dãy điểm dãy nội suy hàm chỉnh hình cho trước ứng dụng kết Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm thầy Mỵ Vinh Quang Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn chu đáo thầy suốt thời gian thực luận văn Lời cảm ơn xin dành cho tất người thân động viên giúp đỡ để yên tâm học tốt Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến thầy bô môn Đại số, khoa Toán – Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết phòng sau đại học tạo điều kiện để thực bảo vệ luận văn Do hạn chế khả thời gian thực hiện, luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Người viết mong nhận đóng góp quý thầy cô quan tâm đến vấn đề TP.HCM, ngày 30 tháng năm 2009 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.1 Cho F trường Chuẩn trường F ánh xạ, kí hiệu :F  cho với x, y  F ta có: i) x  0, x   x  ii) xy  x y iii) x  y  x  y Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn trường Ví dụ 2: Cho F trường Ánh xạ :F  , , định nghĩa bởi: 1 x  với x  F , x   chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 0 x  Định nghĩa 1.2 Giả sử chuẩn trường F Khi hàm d : F  F  [0, ) xác định d ( x, y )  x  y metric trường F gọi metric cảm sinh chuẩn Hai chuẩn F gọi tương đương tôpô cảm sinh hai metric tương ứng Kí hiệu Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương chuẩn) Giả sử hai chuẩn trường F Các khẳng định sau tương đương: i) x   x  với x  F ii) x   x  với x  F C iii) Tồn số C > cho x  x với x  F iv)  xn  dãy Cauchy v) 1   xn  dãy Cauchy 2 Định nghĩa 1.4 Chuẩn trường F gọi chuẩn phi Archimede F điều kiện i ii định nghĩa 1.1 thỏa thêm điều kiện: iii’) x  y  max  x , y  Ví dụ: Chuẩn tầm thường trường F chuẩn phi Archimede Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương chuẩn phi Archimede) Cho i) chuẩn trường F Các khẳng định sau tương đương: chuẩn phi Archimede ii)  iii) n  với n  iv) Tập bị chặn, nghĩa tồn số c > cho n  c với n  Mệnh đề 1.6 (Tính chất chuẩn phi Archimede) Cho chuẩn phi Archimede trường F Khi đó: i) Nếu x, y  F , x  y x  y  max  x , y  ii) D(a, r )  {x  F : x  a  r} , D(a, r )  {x  F : x  a  r} vừa đóng vừa mở iii) Giả sử  xn  dãy Cauchy Nếu xn  lim xn  n Nếu xn  xn dãy dừng (tồn N cho xn1  xn với n > N) 1.2 Xây dựng tập số p – adic 1.2.1 Chuẩn p – adic Định nghĩa 1.7 Cho p số nguyên tố Với a  , a  , ta gọi ord p a số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố Nếu a = 0, ord p a   Với r  m  n , m, n  , (m, n) = 1, ta đặt ord p r  ord p m  ord p n Mệnh đề 1.8 Trên trường , ta xét ánh xạ p xây dựng sau:  ord p x  x  x p   p   x  0 Khi p chuẩn phi Archimede gọi chuẩn p – adic Định lý 1.9 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường tương đương với chuẩn p – adic với p số nguyên tố 1.2.2 Xây dựng trường p  Gọi S tập dãy Cauchy Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương sau: {xn } { yn }  lim xn  yn n Ta gọi cho p p p 0 tập hợp tất lớp tương đương theo quan hệ trang bị hai phép toán cộng nhân sau:  xn    yn    xn  yn   xn  yn    xn yn  Khi ta chứng minh ( p , , )  trường với đơn vị Ngoài ra, với  xn   tức xn  , theo mệnh đề 1.6, tồn N cho với n > N : xn  a  Khi đó, phần tử nghịch đảo  xn   xn  1  yn  nN 0  yn   x  n nN  Chuẩn p xác định sau: Với x   xn   p, x p  lim xn n Ta chứng minh chuẩn  Trường p chuẩn phi Archimede xem trường p nhờ ánh xạ nhúng:  j: p p p a  a p p mở rộng chuẩn p - adic Chú ý: Với x  {xn }  Định lý 1.10 (mô tả Với x  p, p x  lim xn n p) x p  , có dãy đại diện {an } x thỏa mãn: i)  an  p n ii) an  an1 (mod p n ) với n = 1, 2,… Nhận xét Với {an } thỏa mãn điều kiện ta viết: a1  b0 a2  b0  b1 p … an  b0  b1 p   bn1 p n1 bi  {0, , p  1} với i = 0, 1, … Khi đó:  Với x  x p 1, p,  x  b0  b1 p   bn1 p  Với x  p,   lim(b n 1 n  b1 p   bn1 p n 1  )   bn p n n 0 x p  p m  : đặt u  p m x suy u p  nên theo u  b0  b1 p   bm p m  hay x  b0 p  m  b1 p  m1   bm    Tóm lại, x  có biểu diễn dạng x   ci p i p   ci pi i  m với m  , i m ci  0, , p  1 , cm  gọi khai triển p – adic x 1.2.3 Xây dựng vành Tập hợp p  {x  p p : x p  1} với phép cộng nhân thành vành gọi vành số nguyên p – adic Tập hợp tất phần tử khả nghịch * p   x p : x 1  p   x  Định lý 1.11 (Tính chất tôpô i) p compact từ ii) p đầy đủ p p p compact p,  : x p 1 p) địa phương kí hiệu là: p lập 43 Khi ta có: H ( f , t0 )  H ( f , t )  h f ,t0  h f ,t   t0  s  t h f ,s Chứng minh Giả sử t1 , t2 , , tn điểm tới hạn f(z) mà t0  t1  t2   tn  t  tn1 Chú ý n f ,tk  n f ,tk 1 k  0, n nên ta có:     H ( f , tk )  H ( f , tk 1 )  v a   n f ,tk tk   v an  n f ,tk 1 tk 1   n f ,tk (tk  tk 1 )     f , tk f ,tk 1 Khi đó: H ( f , t0 )  H ( f , t )  H ( f , t0 )  H ( f , t1 )  H ( f , t1 )  H ( f , t2 )   H ( f , tn )  H ( f , t )  n f ,t0 (t0  t1 )  n f ,t1 (t1  t2 )   n f ,tn (tn  t )  h f ,t0  t1 (n f ,t1  n f ,t0 )   tn (n f ,tn  n f ,tn 1 )  t.n f ,tn  h f ,t0  t1 (n f ,t1  n f ,t1 )   tn (n f ,tn  n f ,tn )  t.n f ,t  h f ,t0  h f ,t1  h f ,t2   h f ,tn  h f ,t  h f ,t0  h f ,t   t0  s  t h f ,s ■ 3.2 Độ cao dãy điểm nội suy p – adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 3.2.1 Độ cao dãy điểm Định nghĩa 3.6 Cho u  {u0 , u1 , } dãy điểm D Giả sử số điểm ui thỏa v(ui )  t hữu hạn với t > Ngoài v(ui )  v(ui 1 ) i = 0, 1… Với t > 0, định nghĩa:  hu,t  nu,t t nu,t (nu,t ) số điểm ui cho v(ui )  t ( v(ui )  t )  hu ,t  hu,t  hu,t  H (u , t )  hu,t  hu,t0   hu ,s t0  v(u0 ) s t 44 Chúng ta giả sử lim H (u , t )   t 0 Ta đưa ví dụ minh họa hàm log Ví dụ 3.7 Với u   pn    , ta có hu,t  hlog, t , hu ,t  hlog,t Chứng minh Theo định lý 1.26, tập tất không điểm log  pn u  pn   Vì n      theo định nghĩa 3.6, nu,t  nlog, t theo công thức, hu ,t  hlog,t hu ,t  hlog,t ■ Mệnh đề 3.8 Nếu u  {ui } dãy tất không điểm hàm f(z) H ( f , t )  H (u , t )  O (1) t  Chứng minh Theo định nghĩa, n f ,t  nu,t suy h f ,t  hu,t nên h f ,t  hu ,t với t > Do với t’ > t, theo công thức p – adic Poisson – Jensen định nghĩa H(u, t): H ( f , t )  H (u , t )  H ( f , t ')  h f ,t '  h f ,t   H( f , t ')  h f ,t '  h f ,s  (hu,t  hu,t   hu ,s )  ( h f ,s   h f ,s  h f ,t ' )  s t t ' s t s t ' hu,t0   hu ,s s t s t  H ( f , t ')  (h f ,t '  h f ,t ' )  ( hu ,s   h f ,s )   h f ,s  hu,t0 s t s t s t '  H ( f , t ')  h f ,t '  hu,t0   h f ,s số ta có đpcm ■ s t ' 3.2.2 Nội suy p – adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị Khái niệm nội suy hàm số dãy số an p (tức hàm g : p đưa với giả thiết cho trước  p mà g (n)  an ) Nó gọi 45 nội suy p – adic tồn hàm f (n)  an ( g (n)) với n  f: p  p liên tục cho Khái niệm nội suy hàm f chỉnh hình đĩa đơn vị D xây dựng với giả thiết có dãy điểm {ui } D thỏa số điều kiện số điểm ui thỏa v(ui )  t hữu hạn với t >0 Ngoài v(ui )  v(ui 1 ) lim H (u , t )   t 0 Tư tưởng nội suy p – adic hàm chỉnh hình D phát biểu “gần gũi” với khái niệm nội suy chương Cụ thể ta có định nghĩa sau : Định nghĩa 3.9 Dãy đa thức {Pk } gọi dãy nội suy f u deg Pk  k , Pk (ui )  f (ui ) với i  0, k Dãy u  {ui } gọi dãy nội suy f(z) dãy đa thức nội suy f u hội tụ f(z) Định lý 3.10 sau định lý quan trọng chương đưa điều kiện cần đủ để dãy điểm {ui } dãy nội suy hàm chỉnh hình cho trước Định lý 3.10 Dãy u  {ui } dãy nội suy f(z) lim  H ( f , t )  H (u , t )    t 0 Chứng minh Gọi {Pk ( z )} dãy đa thức nội suy f u Đặt S k ( z )  Pk 1 ( z )  Pk ( z ) Theo định nghĩa, deg S k ( z )  k  , S k (ui )  Pk 1 (ui )  Pk (ui )  f (ui )  f (ui )  với i  0, k nên u0 , u1 , , uk tất không điểm S k ( z ) nSk ,tk  k  46  Điều kiện cần: Do lim H (u , t )   nên ta cần chứng minh cho trường hợp t 0 lim H ( f , t )   lim H ( f , t ) bị chặn hiển nhiên ta có đpcm t 0 t 0 Giờ ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử lim  H ( f , t )  H (u , t )    Khi t 0 tồn {si }  mà H ( f , si )  H (u , si ) bị chặn Đặt A  sup{H ( f , si )  H (u, si )} Do giả thiết f ( z )  lim Pk ( z ) tức lim S k ( z )  nên lim H ( S k , si )   k  k  k  tồn k0 cho với k  k0 , i  : H ( S k , si )  A (1) Ngoài lim H (u , t )   nên lim[ H (u , si )]   tồn N1 cho t 0 i  với i  N1 :  H (u , si )  (2) Khi theo (1) (2) ta có: với i  N1 , k  k0 : H ( S k , si )  H (u , si )  A   H ( f , si )  H (u , si )  hay H ( S k , si )  H ( f , si )  (3) Đặt M  inf H ( S k ,0)  k  k0 Do điều giả sử lim H ( f , t )   nên lim H ( f , si )   tồn N t 0 i  cho với N  N : H ( f , s N )  M  suy H ( S k , sN )  H ( f , s N )  H ( S k , sN )   M  H ( Sk ,0)   M  với k  k0 , N  N (4) Đặt N  max( N1 , N ) , (3) (4) ta có H ( S k , sN )  H ( f , s N )  k  hay min[ H ( S k , s N )  H ( f , s N )]  k 0  Do giả thiết f ( z )   S k ( z ) nên ta có : k 0  H ( f , s N )  H ( Sk , s N )  min{H ( S k , sN )}  H ( f , s N )  (mâu thuẫn) n 0 k 0 Điều chứng tỏ điều giả sử lim  H ( f , t )  H (u , t )    sai ta có đpcm t 0 47  Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ ta sử dụng số bổ đề sau: Bổ đề i) Với s, t  tn  v(un ) : H ( Sn , s )  H (u , s )  H ( Sn , t )  H (u , t ) ii) Nếu tn  tn1 H ( S n , tn )  H (u , tn )  H ( S n , tn1 )  H (u , tn1 ) Chứng minh bổ đề i) Giả sử s > t, theo công thức Poisson – Jensen:  H ( Sn , s)  H (u, s)   H ( Sn , t )  H (u, t )   H (Sn , s)  H (Sn , t )  H (u, t )  H (u, s)  ( hSn ,s  hSn ,t   hSn ,s  hSn ,t   hSn ,s  hSn ,t   hS ,k )  (hu,t  hu,t   hu ,k )  (hu,s  hu,t   hu ,k ) n s  k t 0 k t k s  hS ,k  hu,t  ( hu ,k   hu ,k )  hu,s s  k t n k t k s  hS ,k  hu,t  (  hu ,k  hu ,s )  hu,s s  k t n s  k t  (hSn ,s  hu,s )  (hSn ,t  hu,t )   (hS ,k  hu ,k ) s  k t  s (nSn ,s  nu,s )  t (nSn ,t  nu,t )  n  k (nS ,k  nu,k )  (nS ,k  nu,k )  s  k t n n Gọi l số lớn để tl  s tức t0  t1   tl 1  tl  s  tl 1 nên nu,s  l  Ngoài ra, u0 , u1 , , ul tất không điểm S n thỏa v(u0 )  v(u1 )   v(ul )  s nên nSn ,s  l  nSn ,s  nu,s Lập luận hoàn toàn tương tự ta có nSn ,t  nu,t , nSn ,k  nu,k , nSn ,k  nu,k Tóm lại  H ( Sn , s )  H (u , s )   H ( Sn , t )  H (u , t )  ta có đpcm ii) Cũng theo công thức Poisson – Jensen:  H (Sn , tn )  H (u, tn )   H ( Sn , tn1 )  H (u, tn1 ) =  H ( S n , tn )  H ( S n , tn1 )    H (u , tn1 )  H (u , tn )   ( hSn ,tn  hSn ,tn 1   tn  k tn 1 hSn ,k )  (hu,tn 1  hu,t0   k tn 1 hu ,k )  (hu,tn  hu,t0   hu ,k ) k t n 48  hSn ,tn  hSn ,tn 1   hSn ,tn  hSn ,tn 1   hSn ,k  hu,tn 1  (  hSn ,k  hu,tn 1  ( tn  k tn 1 tn  k tn 1  (hSn ,tn  hu,tn )  (hSn ,tn 1  hu,tn 1 )   k tn 1 hu ,k   hu ,k )  hu,tn  k t n tn  k tn 1  tn  k tn 1  tn (nSn ,tn  nu,tn )  tn 1 (nSn ,tn 1  nu,tn 1 )  hu ,k  hu,tn  hu,tn )  hu,tn (hSn ,k  hu ,k )  tn  k tn 1 k[(nSn ,k  nu,k )  (nSn ,k  nu,k )] S n có không điểm u0 , u1 , , un v(u0 )  v(u1 )   v(un )  tn nên nSn ,tn  n  Ngoài ra, có u0 , u1 , , un thỏa v(u0 ), , v(un )  tn  v(un1 )  nên nu,tn  n  tức nSn ,tn  nu,tn Lập luận tương tự ta có nSn ,tn 1  nu,tn 1  n  , nSn ,k  nu,k , nSn ,k  nu,k , nSn ,k  nu,k Vậy  H ( S n , tn )  H (u , tn )    H ( S n , tn1 )  H (u , tn1 )  ta có đpcm ▪ Bổ đề Với k ta có H ( S k , tk )  H ( f , tk ) H ( S k , tk 1 )  H ( f , tk 1 ) Chứng minh bổ đề k k 1 i 0 n 0 Đặt g ( z )   ( z  ui )   bn z n g(z) có (k + 1) không điểm u0 , u1 , , uk thỏa v(ui )  tk i  0, k nên ng,tk  k  Vậy  (tk , g )  bk 1 tkk 1 Áp dụng định lý 1.22, tồn hàm  ( z ), Qk ( z ) cho: k f ( z )   ( z ) g ( z )  Qk ( z )   ( z ) ( z  ui )  Qk ( z ) i 0 deg Qk ( z )  k  1,  (tk , f )  max{ (tk , g )  (tk ,  ),  (tk , Qk )}   (tk , Qk ) hay H (Qk , tk )  H ( f , tk ) 49 Theo cách xây dựng này, với i  0, k , Qk (ui )  f (ui )  Pk (ui ) mà deg Pk ,deg Qk  k nên Qk ( z )  Pk ( z ) Do H ( Pk , tk )  H ( f , tk ) (1) Hoàn toàn tương tự ta có H ( Pk 1 , tk 1 )  H ( f , tk 1 ) (2)  Nếu v(uk )  v(uk 1 ) tức tk  tk 1 (1),(2) H ( S k , tk )  H ( Pk 1  Pk , tk )  min{H ( Pk 1 , tk ), H ( Pk , tk )}  H ( f , tk )  Ngược lại, giả sử tk  tk 1 : o Nếu H ( Pk 1 , tk )  H ( f , tk ) H ( S k , tk )  H ( Pk 1  Pk , tk )  min{H ( Pk 1 , tk ), H ( Pk , tk )}  H ( f , tk ) o Ngược lại H ( Pk 1 , tk )  H ( f , tk )  H ( Pk , tk ) Khi H ( S k , tk )  H ( Pk 1  Pk , tk )  min{H ( Pk 1 , tk ), H ( Pk , tk )}  H ( Pk 1 , tk ) suy H ( S k , t )  H ( Pk 1 , t ) lân cận tk Do đó: H ' ( Sk , tk )  lim t 0 H ( Sk , tk  t )  H ( Sk , tk ) H ( Pk 1 , tk  t )  H ( Pk 1 , tk )  lim t 0 t t  H ' ( Pk 1 , tk ) suy nPk 1 ,tk  nSk ,tk  k   nPk ,tk (do deg Pk  k ) Giả sử đường thẳng d qua điểm (tk , H ( Pk , tk )) có hệ số góc nPk 1 ,tk cắt đường thẳng x  tk 1 (tk 1 , a ) Khi H ( Pk , tk )  a  nPk 1 ,tk hay a  H ( Pk , tk )  nPk 1 ,tk (tk  tk 1 ) tk  tk 1 50 H(Pk+1,tk) d H(Pk,tk) H(Pk+1,tk+1) a tk+1 tk tk tk+1 Xét đa giác Newton hàm Pk Vì nPk ,tk 1  k   nPk 1,tk (hệ số góc d) d nằm phía cạnh đa giác Newton Vì thế, H ( Pk , tk 1 )  a  H ( Pk , tk )  nPk 1 ,tk (tk  tk 1 )  H ( Pk 1 , tk )  nPk 1 ,tk (tk  tk 1 ) (1) Giờ lại xét đa giác Newton hàm Pk 1 Vì nPk 1 ,tk  k   nPk 1 ,l l nên khoảng nPk 1 ,tk  (tk 1 , tk ) có điểm tới hạn H ( Pk 1 , tk )  H ( Pk 1 , tk 1 ) hay H ( Pk 1 , tk )  nPk 1 ,tk (tk  tk 1 )  H ( Pk 1 , tk 1 ) (2) tk  tk 1 Từ (1) (2) ta có H ( Pk , tk 1 )  H ( Pk 1 , tk 1 )  H ( f , tk 1 ) Suy H ( S k , tk 1 )  H ( Pk 1  Pk , tk 1 )  H ( f , tk 1 ) ▪ Trở lại với việc chứng minh điều kiện đủ Theo bổ đề 2, ta có H ( Sn , tn )  H ( f , tn ) H ( S n , tn1 )  H ( f , tn1 )  Xét trường hợp H ( S n , tn )  H ( f , tn ) Theo bổ đề 1i, với số tự nhiên N thỏa t N  tn H ( S n , t N )  H (u , t N )  H ( S n , tn )  H (u , tn )  H ( f , tn )  H (u , tn )  Xét trường hợp H ( S n , tn1 )  H ( f , tn1 ) (xảy tn  tn1 ) H ( S n , t N )  H (u , t N )  H ( Sn , tn )  H (u , tn )  H ( S n , tn1 )  H (u , tn1 )  H ( f , tn1 )  H (u , tn1 ) ta có 51 Ở trường hợp, với giả thiết lim  H ( f , t )  H (u , t )    ta có t 0 lim H ( Sn , t N )   tức lim S n ( z )  suy {Pn ( z )} dãy Cauchy nên hội tụ n n Giả sử P ( z )  lim Pn ( z ) , ta cần chứng minh f ( z )  P ( z ) n Vì u dãy nội suy P(z) nên theo điều kiện cần chứng minh lim  H ( P, t )  H (u , t )    t 0 Lập g(z) = P(z) – f(z) giả sử g ( z )  Ta có: H ( g , t )  H (u , t )  min{H ( P, t )  H (u , t ), H ( f , t )  H (u , t )} lim  H ( g , t )  H (u , t )    Nhưng ui không điểm g nên điều mâu t 0 thuẫn với mệnh đề 3.8 Vậy g ( z )  định lý chứng minh ■ Sau trình bày số ứng dụng thú vị định lý 3.10 Hệ 3.11   Dãy u  {ui } dãy nội suy hàm f(z) lim  hu ,s   h f ,s    t 0 s t  s t  hu,t  h f ,t bị chặn t  Chứng minh Với t’ > t, theo công thức p – adic Poisson – Jensen ta có:     H ( f , t )  H (u , t )   H ( f , t ')  h f ,t '  h f ,t   h f ,s    hu,t  hu,t0   hu ,s  t '  s t s t       hu ,s  ( h f ,s   h f ,s  h f ,t ' )  h f ,t '  h f ,t  hu,t  H ( f , t ')  hu,t0 s t s t s t '      hu ,s   h f ,s   h f ,t  hu,t   h f ,s  h f ,t '  H ( f , t ')  hu,t0 s t s t '  s t  đó: ▪  h f ,s  hf ,t '  H ( f , t ')  hu,t s t ' số 52 ▪ h f ,t  hu,t bị chặn t    ▪ lim  hu ,s   h f ,s    t 0 s t  s t  Vậy lim  H ( f , t )  H (u , t )    t 0 Theo định lý 3.10, u  {ui } dãy nội suy hàm f(z) ■ Hệ 3.12 Kí hiệu o(f) lớp hàm g chỉnh hình D thỏa mãn   sup f ( z )  o  sup g ( z )  r  1 z r  z r  Nếu n f ,s  nu,s bị chặn u dãy nội suy tất hàm thuộc o(f) Chứng minh Trong mục 3.1, ta định nghĩa “điểm tới hạn” hàm chỉnh hình f Đến đây, ta đưa định nghĩa “điểm tới hạn” cho dãy điểm u  {ui } có định nghĩa 3.6 Như giả sử ban đầu ta biết v(u0 )  v(u1 )   v(un )  v(un1 )  Nhưng .v(ui )  v(ui 1 )  v(ui  )   v(ui  m )  v(ui  m1 ) v(ui 1 )  v(ui  )   v(ui  m ) hay ti 1   ti  m gọi điểm tới hạn dãy u Khi ta đánh số lại điểm tới hạn Chẳng hạn, v(u0 )  v(u1 )  v(u2 )  v(u3 )  v(u4 )  v(u5 )  tương ứng ta có điểm tới hạn t1/  t2/  t3/ Đối với dãy điểm tới hạn {ti/ } , định nghĩa vừa xây dựng ta có tính chất sau: ti/  t  ti/1 nu,t /  nu,t  nu,t  nu,t / i i 1 53 Quay trở lại với việc chứng minh hệ quả, giả sử s1 , s2 , , sn điểm tới hạn f u mà s0  s1   sn  s  sn1 Như vậy, n f ,sk  n f ,sk 1 nu,sk  nu,sk 1 với k  0, n Do n f ,s  nu,s bị chặn nên tồn số M > cho n f ,s  nu,s  M Áp dụng phần chứng minh công thức Poisson – Jensen, ta có: H ( f , s0 )  H ( f , s )  n f ,s0 ( s0  s1 )  n f ,s1 ( s1  s2 )   n f ,sn ( sn  s )  (nu,s0  M )( s0  s1 )  (nu,s1  M )( s1  s2 )   ( nu,sn  M )( sn  s )  hu,s0  s1 (nu,s1  nu,s0 )   sn ( nu,sn  nu,sn 1 )  s.nu,sn  Ms0  hu,s0  s1 (nu,s1  nu,s1 )   sn (nu,sn  nu,sn )  s.nu,s  Ms0  hu,s0  hu ,s1  hu ,s2   hu ,sn  hu,s  Ms0  hu,s0  hu,s   s0 l  s hu ,s  Ms0    ( hu,s0  hu ,s0 )  hu,s    hu ,s   hu ,s  hu ,s0   Ms0  l s  l  s0         hu,s0   hu ,s    hu,s   hu ,s   Ms0  H (u , s0 )  H (u , s )  Ms0    l  s0 l s    hay H (u , s )  H ( f , s)  H (u , s0 )  H ( f , s0 )  Ms0 Giờ giả sử g hàm số thuộc o(f) Khi đó: sup f ( z )  sup f ( z )  o (sup g ( z ) ) r 1  lim z r r 1 z r z r sup g ( z )   lim z r  lim p { H ( f ,s ) H ( g ,s )}   lim{H ( f , s )  H ( g , s )}   s 0 s 0 Do vậy, H ( g , s)  H (u, s )  [ H ( g , s)  H ( f , s)]  [ H (u, s )  H ( f , s )]  [ H ( g , s )  H ( f , s )]  [ H (u , s0 )  H ( f , s0 )]  Ms0   s  Vì vậy, theo định lý 3.11, ta có đpcm ■ s 0 p  H ( f ,s ) 0 p  H ( g ,s ) 54 Hệ 3.13 pn Dãy {  1} với n = 1, 2,… dãy nội suy tất hàm thuộc lớp 0(log) Chứng minh Điều suy từ hệ 3.12 với ý u   pn     nlog, t  nu ,t  (ví dụ 3.7) ■ Hệ 3.14 Cho {ui }  D , { i }  p Giả sử {Pn ( z )} dãy đa thức thỏa mãn deg Pn ( z )  n Pn (ui )   i với i  0, n Khi đó: i) Nếu H ( Pn ,0)  H (u , tn )   tồn hàm chỉnh hình f(z) cho f (ui )   i với i = 0, 1,… f ( z )  lim Pn ( z ) n ii) Ngược lại tồn hàm chỉnh hình g ( z )  lim Pn ( z ) n H ( Pn ,0)  H (u, tn )  ntn   Chứng minh i) Ta có: H ( Pn , tn )  H (u, tn )  H ( Pn ,0)  H (u , tn ) mà lim  H ( Pn ,0)  H (u , tn )    n nên lim  H ( Pn , tn )  H (u , tn )    n Lập luận tương tự chứng minh điều kiện đủ định lý 3.10 ta suy với t N  tn H ( S n , t N )  H (u , t N )  H ( Pn , tn )  H (u , tn ) H ( S n , t N )  H (u , t N )  H ( Pn , tn1 )  H (u , tn1 ) mà lim  H ( Pn , tn )  H (u , tn )    nên n lim H ( Sn , t N )   lim S n ( z )  suy {Pn ( z )} dãy Cauchy nên hội tụ n n Đặt f ( z )  lim Pn ( z ) Vì Pn (ui )   i nên rõ ràng f (ui )   i với i = 0, 1, n k ii) Giả sử Pn ( z )   z i i 0 Ta có: H ( Pn , tn )  min{v(ai )  itn }  min{v(ai )}  ntn  H ( Pn ,0)  ntn ik n i 55 Nếu tồn hàm chỉnh hình g ( z )  lim Pn ( z ) theo phần chứng minh bổ đề n định lý 3.10 ta có H ( Pn , tn )  H ( g , tn ) H ( Pn ,0)  H (u , tn )  ntn  H ( Pn , tn )  H (u , tn )  H ( g , tn )  H (u , tn ) Vì u dãy nội suy hàm g(z) nên lim  H ( g , tn )  H (u , tn )   n lim  H ( Pn ,0)  H (u , tn )  ntn    n 56 KẾT LUẬN Sau hoàn thành luận văn, đưa số kết luận sau: Nội suy hàm p – adic vấn đề thú vị giải tích p – adic Thông qua phép nội suy, thấy cách xây dựng tương tự p – adic hàm số học nhiều ứng dung khác Trong chương 2, giới thiệu số định nghĩa tương đương khái niệm nội suy p – adic hàm số liên tục p Từ đó, đưa số ví dụ đơn giản dãy nội suy p-adic xem xét cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p-adic thông qua phép nội suy tính chất hai loại hàm quen thuộc Trọng tâm luận văn nằm chương Chúng nghiên cứu nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị p Ở kết quan trọng chứng minh cách hoàn chỉnh chặt chẽ điều kiện cần đủ để dãy điểm dãy nội suy hàm chỉnh hình cho trước Từ trình bày ứng dụng kết ví dụ minh họa qua hàm log Tóm lại, bên cạnh kết đạt được, hạn chế thời gian kiến thức, luận văn hẳn tồn hạn chế định Người viết hi vọng tiếp tục nghiên cứu cách sâu sắc vấn đề nội suy p – adic chẳng hạn đưa điều kiện khác, dễ hình dung để dãy dãy nội suy hàm chỉnh hình nghiên cứu thêm nhiều ứng dụng Người viết chân thành hi vọng nhận góp ý quý thầy cô quan tâm đến đề tài Người viết 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Andrew Baker (2009), An introduction to p – adic numbers and p – adic analysis Pei-Chu Hu and Chun-Chun Yang (2000), Meromorphic Functions over NonArchimedean Fields, Kluwer Academic Publishers Svetlana Katok (2001), Real and p – adic analysis course notes for math Ha Huy Khoai (1979), p-adic Interpolation, AMS Translations: Math Ha Huy Khoai (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math J., Vol 50 Ha Huy Khoai (1992), “Heights for p-adic meromorphic functions and value distribution theory”, Journal of Mathematics, 20(1), pp.14-24 Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p-adic Nevalinna theory, Lecture Notes in Math Neal Koblitz (1977), P-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions, Springer - Verlag Iu.Manin (1974), P-adic automorphic functions, Current Problems in Mathematics 10 W.H.Schikhof (1984), Ultra metric calculus – An introduction to p-adic analysis, Cambridge University Press [...]...  a0 p 1  1 (mod p ) suy ra a p 1  1  p 1  1 tức là a p 1  C p Theo định lý 2.10, ta có dãy 1, a p 1 , , a n ( p 1) , là dãy nội suy p – adic ■ 2.4 Nội suy hàm gamma p – adic Hàm gamma  trong giải tích phức là hàm chỉnh hình trên đơn tại 0, –1, –2… thỏa (1)  1, ( z  1)  z( z ) với z  (n  1)  n ! với mọi n  với các cực điểm \ {0, 1, 2 } do đó Một cách tự nhiên trong trường... a2 , các phần tử trong g:  p p là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi ánh xạ liên tục đều n  an Chứng minh  Điều kiện cần: Giả sử dãy a1 , a2 , là dãy nội suy p – adic tức là có hàm f : sao cho f (n)  an n  Do p p  p liên tục là tập compact nên f liên tục đều trên p, suy ra f liên tục đều trên chứng tỏ rằng g  f : n  an liên tục đều  Điều kiện đủ: Giả sử hàm g liên tục đều Ta tìm cách xây... n suy ra (1  z ) p 1  E Vì log :1  E  E đẳng metric nên đơn ánh n n Do đó log(1  z ) p  p n log(1  z )  0  log1 suy ra (1  z ) p  1 hay z  pn 1 1 ■ 19 Chương 2 : PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN Trong chương này ta quy ước viết nghĩa là p p 2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1 Tập hợp các. .. dãy an  n k là dãy nội suy p – adic ■  n  Ví dụ 2: Dãy an   k  với k  p  là dãy nội suy p – adic Chứng minh n  p j   n  j k Với j đủ lớn thì p j  p k nên   k  p k  p  p  Do đó n  p j   n  j k  p k  j  0 khi j   Theo định lý 2.5,   k   p k  p  p   n  dãy an   k  là dãy nội suy p – adic ■ p  Ví dụ 3: Dãy an  (1) n là dãy nội suy p – adic khi và... nội suy p – adic khi và chỉ khi a  C p Chứng minh  Điều kiện cần:   j n j Dãy a n là dãy nội suy p – adic nên lim a n p  a n  0 hay lim a a p  1  0 j  j j suy ra lim a p  1  0 tức là lim a p  1 j  j  j  28 Vậy theo định lý 2.8, a  C p  Điều kiện đủ: j j Giả sử a  C p suy ra a  a  1  a  1 và lim a n p  a n  lim a p  1  0 với j  j    j mọi n (định lý 2.8) suy. .. theo định lý 2.5, dãy a n j  n là dãy nội suy p – adic ■ Định nghĩa 2.11 Với mọi x  p, Khi đó với a  ta đã biết rằng tồn tại dãy số tự nhiên {xn }  x  p,   theo định lý 2.10 ở trên, dãy a n là dãy nội suy p – adic nên cho phép ta đặt a x  lim a xn Hàm số a x : n p  p gọi là hàm số mũ p – adic Chúng ta kết thúc mục 2.3 này bằng một số tính chất của hàm số mũ đã định nghĩa Định lí 2.12 Với... mục này bằng một tính chất của dãy nội suy p – adic Định lý 2.6 Nếu a1 , a2 , là dãy nội suy p – adic và lim an tồn tại thì dãy a1 , a2 , là dãy n hằng 24 Chứng minh Giả sử lim an  a Ta cần chứng minh an  a với mọi n n  Cách 1: Dùng phương pháp phản chứng ta giả sử có số tự nhiên n0 sao cho an0  a Đặt A j  sup an p j  an Do a1 , a2 , là dãy nội suy p – adic nên theo định lý n 2.5,... thấy rằng nếu cho trước a1 , a2 , là dãy các phần tử của p thì có tối đa một hàm f : p  p liên tục sao cho f (n)  an với mọi n  Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại một hàm f có tính chất như vậy? Ta có định nghĩa sau: 20 Định nghĩa 2.3 Dãy a1 , a2 , các phần tử trong f: p  p gọi là nội suy p – adic nếu tồn tại một hàm p liên tục sao cho f (n)  an với mọi n  Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3... lớn ta có A j  a  an0 2 j  với mọi n Riêng với n0 thì an 0 p a  an0  a  an0 j  an0  suy ra an p j  an  a  an0 2 a  an0 2 Cho j   , do lim an  a ta có n suy ra a  an0  0 hay a  an0 (trái với giả thiết phản chứng) 2 Vậy ta có đpcm ■  Cách 2: Do a1 , a2 , là dãy nội suy p – adic nên có hàm f : f (n)  an n  Vì p  p liên tục sao cho trù mật trong p nên với mọi x  p \ , tồn... Baire về phạm trù, tại dãy {xk }  p p \  {m} là các tập không đâu trù mật nên theo định trù mật trong p suy ra với số tự nhiên n bất kì, tồn \ , xk  n Áp dụng tính chất (*) cho {xk }  p \ ta có f ( xk )  a với mọi k Khi đó an  f (n)  lim f ( xk )  a ■ k  2.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p – adic Ví dụ 1: Dãy an  n k với k  là dãy nội suy p – adic Chứng minh Ta có: ( n  p j ) k  n k