Đa thức nội suy

Chương IV Nội suy PP bình phương bé Bài 1: Đa thức nội suy Bài toán: Biết hàm số y  f ( x) qua f ( x) điểm ( xi ; yi ) , i  0, n Ta xác định biểu thức Pn ( x) dạng đa thức P cho n ( xi )  f ( xi )  yi đồ thị gần với đồ thị hàm sốf ( x) tốt y  f ( x) +Đa thức gọi đa thức nội suy hàm + x0 , x1 , x2 , , xn gọi cac nút nội suy + Đa thức nội suy có Chương Nội suy PP bình phương bé I- Nội suy Lagrange - Cho bảng giá trị hàm số - Đa x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 … … xn yn thức nội suy Lagrange n Pn  x    yi Li ( x) i 0  x  x0   x  x1   x  xi 1   x  xi 1   x  xn  Li  x    xi  x0   xi  x1   xi  xi 1   xi  xi 1   xi  xn  - Đa thức thỏa mãn Pn  xi   yi Ví dụ 1: Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x y 15 33 87 Xây dựng đa thức nội suy Lagrangre Bài giải: n=2, đa thức cần lập đa thức bậc 2 P2 ( x)   yi Li  x   y0 L0  x  y1  L1`  x   y2 L2`  x  i 0  x  3  x    15   3    = 3x 3x3  x    x  5  x    x  3  33  87   2   5      3 Ví dụ 2:Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x y 13 145 301 a Xây dựng đa thức nội suy Lagrange / f 1,5 ; f    1,5  b Áp dụng tính Bài giải:n=33 đa thức cấn lập đa thức bậc f  x   P3 ( x)   yi Li  x   y0 L0  x  y1 L1`  x   y2 L2`  x   y3 L3`  x  i 0  x  2  x    x  5  x  1  x    x     13    2   4   5   1        x  1  x    x  5  x  1  x    x    145 1    301 1    3x  3x  f  x   P3  x   f  1,5   P3  1,5   4,375 f  x   P3  x   f /  x   P /  x   x  x  f  1,5   P3  1,5   11.25 Bài tập:Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x y 1.5 9,9375 20 3.5 86,1875 124 a Xây dựng đa thức nội suy Lagrange b Áp dụng tính f  2,5 ; f /  2,5  Đs: 1,5 1,5 II- Nội suy Newton: Cho bảng giá trị h/s y  f ( x) x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn - Tỷ hiệu cấp xi x j : y [ xi ; x j ]  yi  y j xi  x j - Tỷ hiệu cấp xi , x j xk : y [ xi ; x j ; xk ]  y [ xi ; x j ]  y [ x j ; xk ] xi  xk - Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 : f ( x)  Pn ( x)  y0  y [ x0 ; x1 ].( x  x0 )  y [ x0 ; x1; x2 ].( x  x0 )( x  x1 )  L  y [ x0 ; x1 ; ; xn ].( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xn1 ) - Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn : Pn ( x)  yn  y [ xn ; xn1 ].( x  xn )  y [ xn ; xn1; xn2 ].( x  xn )( x  xn1 )  L  y [ xn ; xn1 ; ; x0 ].( x  xn )( x  xn1 ) ( x  x1 ) - Mô tả bảng tỷ hiệu - Mô tả bảng tỷ hiệu đa thức bậc xi yi x0 y0 x1 x2 y1 y2 THC1 y1  y0 A x1  x0 y2  y1 B x2  x1 y3  y2 C x3  x2 THC2 B A D x2  x0 CB E x3  x1 THC3 ED F x3  x0 - Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút - f  x   P3  x   y0  A  x  x0   D  x  x0   x  x1   F  x  x0   x  x1   x  x2  Đa thức nội suy niuton lùi : f  x   P3  x   y3  C  x  x3   E  x  x3   x  x2   F  x  x3   x  x2   x  x1  Ví dụ 1:Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x y 13 145 301 a Xây dựng đa thức nội suy niuton tiến xuất phát từ nút x0  / f 1,5 ; f b Áp dụng tính    1,5 - Lập bảng tỷ hiệu x y 1 13 145 301 THC1 13  A  12 1 B 145  13  66 42 C 301  145  156 54 THC2 THC3 66  12 D  18 1 156  66 D  30 52 F 30  18 3 1 f  x   P3  x   y0  A  x  x0   D  x  x0   x  x1   F  x  x0   x  x1   x  x2  =  :1  12  x  1  18  x  1  x     x  1  x    x    3x3  3x  f  x   P3  x   f  1,5   P3  1,5   4,375 f  x   P3  x   f /  x   P /  x   x  x  f  1,5   P3  1,5   11.25 Ví dụ 2:Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x 1,5 y 14 28 174 a Xây dựng đa thức nội suy Niuton lùi xuất phát từ nút x3  b Áp dụng tính f  1,15 ; f /  1,15 Bài giải : Lập bảng tỷ hiệu Ví dụ 4: Cho hàm x y 2 8,6 y  a.x với bảng sau: 20,1 36,8 b 58,7 a Tìm a; b phương pháp bình phương bé b Áp dụng tính y  1, 25 ; y (1, 25) / Bài tâp1.Cho x,y liên hệ với theo dạng với bảng giá trị X y 7,4295 36,7988 182,2656902,7676 a)Hãy lập công thức biểu diễn qua phương pháp bình phương bé (Kết lấy chữ số lẻ phần thập phân) f (3,5); f (3, 5) b) Tinh , Cho x,y liên hệ với theo dạng với bảng giá trị: x y 1,54,547 8,699 13,784 a)Hãy lập công thức biểu diễn qua phương pháp bình phương bé (Kết lấy chữ số lẻ phần thập phân) b) Tinh , ; y  2.e Cho hàm Bài tập với bảng sau y  a.ebx a Tìm a; b phương pháp bình phương bé b áp dụng tính ( Đáp số ) Kết lấy chữ số thập phân Cho hàm với bảng sau x y 6.3 a Tìm a; b phương pháp bình phương bé b áp dụng tính Kết lấy chữ số thập phân 28,1 y  2, 25  ; y / (2, 25) 126 564,8 Cho hàm x y y  a.xb O,5 0,49 với bảng sau 0,6 0,67 0,7 0,87 0,8 1,09 a Tìm a; b phương pháp bình phương bé / y 2, 25 ; y (2, 25)   b áp dụng tính Kết lấy chữ số thập phân Cho hàm y  a.xb với bảng sau x 1,2 2,95 7,28 9,72 a Tìm a; b phương pháp bình phương bé b áp dụng tính y  2, 25 ; y / (2, 25) Kết lấy chữ số thập phân 5.Công thức tính độ phóng xạ hạt nhân xá định sau: H  H et Trong H độ phóng xạ cần t độ phóng xạ ban đầu  số phân rã t thời gian Ta có bảng sau t H 0,7 0,245 0,086 0,03 Tìm mối liên hệ giữ Hvà t bang phương pháp bình phương bé 6.Khối lượngmộtchấtsaukhiphóngxạđượctínhtheo cơngthức m  m0 e t làkhốilượng ban đầu  làhằngsốphóngxạ t làthờigian( chukỳbánrã ) Kếtquảkhốilượngcủachấtsaukhiphóngxạthayđổitheobảngsau t( năm)  m 2,9 2,4 1,7 1,4 1,2 a.Tìm, bằngphươngphápbìnhphươngbénhất b.Tínhkhốilượngcủachấtsau năm  a.Đápsố m=3,442; =0,177 b m=2,024  Chương 5: Tinh gần tích phân xác định b I: Mở đầu: Cho tích phân xác định y   f  x  dx  F  b   F  a  ( Trong F(x) nguyên hàm f(x), Trong trường hợp ta khơng tìm ngun hàm ta tính gần tích phân Để tính gần tích phân ta dung cơng thức hình thang cơng thức sim sơn II Cơng thức hình thang.Cho tích phân xác định y  f  x    f  x  dx Chia đoạn a; b thành n phần với điểm chia x  i  o; n  a b    xi  xo  ih   ba h  n a i Đặt y=f(x) ta có cơng thức hình thang Sai số  y0  yn  I  I t  h   y1  y2   yn 1    M I  It  h  b  a  ; M  max f / /  x  x   a; b  12 dx I  1  x2 Ví dụ 1: diện tích mảnh đất I tính cơng thức Tính diện tích mảnh đất cơng thức hình thang với số lần đo 8( kết lấy chữ số phần thập phân) Bài giải: Chia đoạn [ 1; 5] thành phần với điểm chiaxi (i  0;1; 2;3; 4)  xi  xo  ih   1 h  0,5  hình thang ta có:  thức Đặt y   x ÁP dụng công  y0  y8  I  I t  h   y1  y2  y3   y7    Lập bảng i xi 1.5 2,5 3,5 4,5 yi   xi 0,5 0,3077 0,2 0,1379 0,1 0,0755 0,0588 0,0471 0,0385 A=0,5385 B=0,927 A  I  I t  h   B   2   0,5385  0,5   0,927   0,5981   1 x dx ,Tính  cos x I  Ví dụ 2:Cho tích phân cơng Thức hình thang với n=6 ( kq chữ số tp) Bài b III.Cơng thức sim sơn:Cho tích phân xác định y  f  x    f  x  dx Chia đoạn [a;b] thành 2n phần với điểm chia xi  i  o; 2n  cho  xi  xo  ih   ba h  2n a Đặt y=f(x) ta có cơng thức sim sơn h  ( y0  y2 n )   y1  y3   y2 n 1  I  I S     y2  y4   y2 n       ln t dt  cos t I  Đặt ln t y Áp dụng công thức sim sơn ta có  cost h I  I S   ( y0  y2 n )   y1  y3   y2 n 1    y2  y4  y6   Lập bảng i  xi 1,25 1,5 1.75 2.25 2.5 2.75 109,779 A=109,779  cost 0.17 0.379 0,681 1,187 2,181 4,608 13,364 B= 16,396 C=6,174 I  I S  h  A  B  2C   0, 25.(109, 779  4.16,396  2.6,174)  15, 643 Ví dụ 2: Tính tích phân sau cơng thức simpson I    81  x  dx Chia đoạn [-3;3] bằn 10 phần Kết lấy chữ số phần thập phân 3 2 h I   A  B  2C    1470, 22 BÀI TẬP:1 Tính tích phân sau bằn cơng thức hình thang kết lấy chữ số 4phần thập phân 1 x dx Với n=10 a I   b 2sin x 1nx I  dx n=8 2sin x 2.Tính tích phân sau bằn cơng thức simpson, kết lấy chữ số  x a I  dx n=4   cos x b  ln x I  dx n=10  cos x ... 1   xi  xn  - Đa thức thỏa mãn Pn  xi   yi Ví dụ 1: Cho hàm y  f ( x) với bảng sau x y 15 33 87 Xây dựng đa thức nội suy Lagrangre Bài giải: n=2, đa thức cần lập đa thức bậc 2 P2 ( x)... 132,625 Lập đa thức nội suy Niu-tơn tiến hàm số y=f(x) xác định bảng giá trị f (3) f (3) b Áp dụng đa thức đó, tính gần Cho hàm số y=f(x) có bảng giá trị: X 1,5 y 1,125 21 a Lập đa thức nội suy Niutơn...  f ( x) với bảng sau x y 13 145 301 a Xây dựng đa thức nội suy Lagrange / f 1,5 ; f    1,5  b Áp dụng tính Bài giải:n=33 đa thức cấn lập đa thức bậc f  x   P3 ( x)   yi Li  x   y0