Hàm gamma r trong giải tích phức là hàm chỉnh hình trên với các cực điểm đơn tại 0, -1, -2... thỏa T(l) = 1, r(z +1) = zT(z) với ZỂ \(0,-1,-2...} do đó
T{n +1) = n! với mọi n E
Một cách tự nhiên trong trường họp giải tích p - adic, câu hỏi đặt ra là liệu có
tồn tại hàm liên tục r : —» thỏa r («) = n\ hay không tức là nói cách khác, ! có phải là dãy nội suy p - adic hay không.
Tuy nhiên ta lại có mệnh đề sau: 31
Mệnh đề 2.14
Dãy an =n\ không là dãy nội suy p - adic.
Chứng minh
a„v -ứ»=(-D”v n v-c-ir n V=-(-!)■ n '7fỉ'(»+/)+!
p N và Ian -amI = (1 + //'+1)!-1 =\>£ (do(l + yv+1)!:pN+ỉ'
pN+ì)! -1/p). Do đó dãy an=n\ không là dãy nội suy p - adic.
Định lý sau đây là cơ sở để xây dựng hàm gamma p - adic.
Định lý 2.15
Với p > 2, dãy an = (-1)" 77 ' j là dãy nội suy p - adic. 1< j<n
(dấu PỊ ' j hiểu là chỉ lấy tích tất cả các số j thuộc [l,n) mà (j, p) = 1) 1< j<n
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh bổ đề (định lý Wilson tổng quát) sau:
Ps-1
Với số nguyên tố p > 2, ne , s e ta có PỊ 1 (n + j) = -1 (mod ps) 7=0
Chứng minh bo đề
Gọi G là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của / ps . Theo định nghĩa,
X e G 3y e G: x.y = \<5>3y e : xy -1: ps x/. p
ps-1
Ta thấy các thừa số trong ]^[ 1 (n + j) lập thành tập đầy đủ các đại diện Vậy nên, nếu gọi ^7: -» / ps là phép chiếu thì (Ọm*+j)V-I
Nếu x^x 1 thì các phần tử X và JC 1 trong p7x bị triệt tiêu.
xeG 32 Vậy n-n- *eG r2=ĩ Nếu X = 1 thì (x - l)(x +1): ps suy ra x-\ \p=> x + \ ỉp => (x + \,ps) = \ => X - \ \ps => x = ĩ x + w p X-\Ị p => (x - \, ps) = \=> X + \\ ps =>* = (JC - 1)(JC +1 ):p _ _ ps-}
Tóm lại YỴx = -ì. Vậy PỊ '(n + j ) = -l(mod//). ■
jc2=ĩ 7=0
Giờ ta đi vào chứng minh định lý. Ta có:
1<7<«+/?' 1<7<« l<ỹ<« _ 7=0
Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta thấy a , -afì=0 (mod ps) suy ra
a _s
~ar do đó với mọi n, a _s s—> 00.
Vậy limsup = 0 chứng tỏ ana s - ar là dãy nội suy p - adic.
Dựa vào định lý 2.15 và nhận xét 2.2 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.16
Tồn tại duy nhất một hàm / : p —» p liên tục thỏa f (rì) = (-1)” YY ' j 1< 7 <72
Định nghĩa 2.17
Hàm /: -» liên tục thỏa f(rì) = (-1)” Y[ j với nE gọi là hàm 1< j<n
J~'(-l)'(-l)ri'j = (-l)r,w n
r n—»00 r «—»00 ' ^
1 «-»00 F p
33
Định lý tiếp theo cho ta một số tính chất của hàm gamma p - adic:
Định lý 2.18
Hàm thỏa các tính chất sau đây:
ị—x khi |JC| = 1
i) Với mọi xe p: Tp(x + l) = rp(x)hp(x) với hp(x) = <!
ii) rp(0) = ì,rpạ) = -ì,rp(2) = ì Vxe p:|rp(jc)|=l iii) Vx,ye ,:|r/,(x)-r/,0>)|<|*-j>| Chứng minh i) Với n e : (-1)"(-»)Ọ = = 1 r,(»+i)=(-irn'y= 2 9=1 WịyTp(n + \) = Tp{n)hp(n).
Với mọi X e , do trù mật trong nên tồn tại dãy {jrM} cz , xn —» X. Khi đó r (x +1) = lim r (xn +1) = lim r (x„) h (x„)
r là hàm liên tục trên nên lim r p(x ) - r (x). Vì vậy, ta cần chứng minh
** «—>00 y r -
\\mh(xn) = h(x).
«—»0O r r
- Nếu |x| < 1 thì do xn -> X nên \xn\ < 1 với n đủ lớn. Do đó h (xn) = -1 suy ra lim h (xn) = -\ = h (x). - Neu |x| = 1 thì do xn -> JC nên \xn I = 1 với n đủ lớn.
Do đó h (xn) = -xn suy ra lim h (xn) = lim(-x„) = -x = h (x).
* n — * r ì — *
p"-}
r (0) = lim rP{pn) - limC-l)77 Y\ ' j = (-1)(-1) = 1 (định lý Wilson tổng quát).
^ n-¥00 ^ n—>00 . ,
7=1
r (1) và r (2) được tính dựa vào tính chất i:
rp(ì) = rp(0)hp(0) = !(-!) =-ì
Tp(2) = rpậ)hpỌ) = (—1)(-1) = 1
n-1 n-1
Ngoài ra, với mọi số tự nhiên n, r (/|) = (-1)" U J VÌ n 'JÍP nên
n-ỉ ÍỊ'7 7=1 =1 hay \rp(n)\ = 1 do đó \rp(x)\ = lim r_(*„) = 1.
iiỉ) Trước tiên ta chứng minh |rp(n)-r/;(m)| <|«-m| với mọi n,me (*) Giả sử 1« - m\ = p~j ta xét các trường họp sau:
■ Trường họp 1: n-m + p '
\rp(n)-Tp(m)\ =■ m+p ~ 1 /n-1 m -1 p7-!
(-1)"V n V-(-irnv = (-irnv-n (™+7)-i
PJ-1 /(m + j) = -1 (mod pj) nên 7=0 PJ-1 -riWỹ)-i 7=0 < p ■' - \n — m\ ■ Trường họp 2: n = m + kp' với k> 1, (£,/>) = 1 |r/,(«)-r/7(w)| = ^(r/,(m+ỉ>/)-r/,(w+(/-i)põ) i=1 <maxjrp(m + jp7)-r/?(m + (ỉ-l)/?7)Ị <p j =ịn- m\ Cả 2 trường họp ta đều có khẳng định (*).
Với x,y<E , do trù mật trong nên tồn tại {vw}, } cz sao cho ->T,khiđó: |rp(jc)-rpO)| = lim|r/,(xJI)-r/,0'JI)| <|*-y|. ■
35
Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH p - ADIC TRÊN ĐĨA ĐƠN VI TRONG „
• p
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề nội suy của các hàm chỉnh
hình p - adic trên đĩa D = {z e : \z\ < 1}.
Chúng ta quy ước sử dụng kí hiệu v(z) là mở rộng của ordpz trên .
3.1.Độ cao của các hàm chỉnh hình Nhận xét
Với mọi v(z) = t > 0, tồn tại n để v(an) + nt đạt giá trị nhỏ nhất.
Chứng minh
Đặt bn = v(an) + nt. Do f(z) = ^anzn chỉnh hình trên D nên
n= 0 a„z
a„z —» +00
K =v(an) + nv(z) = v(a„zn) = -\ogp bn >b0 \/n>nữ. Khi đó rõ ràng minbn =
min{ò0,ò
n
do đó tồn tại n0 sao cho
l,...,bn _j} và như vậy tồn tại
n để Từ nhận xét trẽn ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1
> H(f,t) = min {v(an) + nt} gọi là độ cao của f tại t = -log \z\.
> n+ft,n~ft lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của n để v{an)
+ nt đạt
> h+f t = n+frt, hf t = nfrt, hf t = hft - h+f t lần lượt là độ cao địa phương bên
phải, độ cao địa phương bên trái và độ cao địa phương của hàm f(z) tại
t = -\ogp\z\.
> Điểm t thỏa hf t + 0 gọi là điểm tới hạn.
Chú ý:
Liên hệ giữa các khái niệm n}_ và //(-,/), v{-,f) ở chương 1, ta
rút ra nhận xét sau:
//(/?”',/) = maxlứ 1 (p~*Ỵ = maxp~v^ữn)~nt = p » ^ ( n) ^ =
p~H(f,t)
n n
v(p~\f) - max{j7 đạtmax} =ma x{n:v(an) + nt - Hự,t)}} =ri}t
Và theo định lý Weierstrass, số không điểm của f trong miền |z| < r là v{r,/) suy ra số không điểm của f trong miền v{z)>t (tức |z|</>_í) chính là
v(p~tj) = n},f
Mệnh đề tiếp theo là những tính chất quan trọng về khái niệm độ cao của hàm
chỉnh hình.
Mệnh đề 3.2
i) Nếu hft= 0 thì f (z) không có không điểm tại v(z) = t và |/(z)I =
p~H^,t>).
ii) Neu hf t ^ 0 thì f (z) có không điểm tại v(z) = t và
hf t =tx số không điểm của /(z).
iii) Trong [r, s] với 0 < r < s < +00, chỉ có hữu hạn điểm tới hạn.
Chứng minh
37
Ta có: V 00Va„z" > min{v(an) + nt}^ ___________________________ _______________ và vì v(a-) + nt < v{an) + nt \/n ^ n nên
“i n n
n=0 /
v(/(z)) = V v«=0
ii) và iii) Để chứng minh ta đưa ra khái niệm “đa giác Newton”.
Với mỗi n, hình dung rằng đồ thị Tn biểu diễn hàm v(anzn) = v(an) +
nv(z)
theo t = v(z) là một đường thẳng với hệ số góc n.
Khi đó, H(f,t) = min{v(u/í) + nt} biểu diễn bằng đồ thị chính là biên của giao
n
tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía trên các đường thẳng rn. Ta gọi đó là “đa giác Newton” của hàm f(z).
Tại mỗi đỉnh (t, H(f, t)) của đa giác, có nhiều hơn một đường thẳng r„ qua nó
và hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong các hệ số góc của các đường thẳng Tn đó
chính là n~f;[{n+f t). Do đó, tại các đỉnh này, n~ft ^n+ft nên t chính là một v(z) = t.
38
Trong mỗi đoạn hữu hạn [r, s], chỉ có hữu hạn các đỉnh của đa giác nẽn cũng
chỉ có hữu hạn các điểm tới hạn của f(z).
Ngoài ra, do cách xây dựng đa giác, với t ị > t2 là 2 điểm “nằm
giữa” 2 điểm tới
hạn liên tiếp (“nằm giữa” hiểu theo nghĩa “nằm trong” hoặc “trùng”) thì
Theo chú ý ở trên, n~fJt chính là số không điểm của f(z) trong miền v(z) >
t.
Do đó, khi t là điểm tới hạn của f(z), số không điểm của f(z) khi v(z) = t đuợc
tính bằng số không điểm của f(z) khi v(z) >t trừ đi số không điểm của f(z) khi với t'>t là điểm tới hạn gần nhất của t (luu ý rằng trong khoảng (t, t)
không có điểm tới hạn nên f(z) không có không điểm trong khoảng này) tức là bằng
Tóm lại, khi hf t ^ 0, hf t = tx số không điểm của f(z) tại v(z) = t. ■
3.1.2. Một số ví dụ minh họa
Chúng ta sẽ đua ra hai ví dụ minh họa về các khái niệm độ cao ở hàm đa thức
và hàm log.
Ví dụ 3.3
Chođathức /(z) = z3-14z2 +56z-64 trong 2[z]. Tính h+ft,hrft,hft,H{f,t) ?
Giải
Xét các đồ thị Tn: y - v(an) + nt với t là biến số thì
ro: y = v(-64) + Oi = 6 r^!: y = v(56) +1 .t = 3 +1
r2:y = v(-14) + 2.t = ì + 2t r3: y - v(l) + 3i = 3í
Biểu diễn các đuờng thẳng Tn, sau đó ta lấy giao của các nửa mặt phẳng nằm
phía trẽn của các đuờng thẳng Tn. Biẽn của phần giao này chính là đa giác Newton
r2
khi t> 3 khi t > 3
khi 2 < t < 3 khi 2<t<3 khi 1 < t < 2 n},,='khi \ <t<2
kh i 0 < t < 1 0 < t < 1 39
Các điểm tới hạn của f(z) chính là hoành độ giao điểm t của các đồ thị Tn với
t > 0. Dễ thấy, f(z) có 3 điểm tới hạn là t = 1, 2, 3 suy ra f(z) có 3 không điểm thỏa v(z) = 1, 2, 3 (z có thể là 2, 4, 8). Bằng cách thử trực tiếp ta thấy những không điểm
đó chính là z = 2, 4, 8. Nhưng f(z) là đa thức bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm do đó 2, 4, 8 cũng chính là tất cả các nghiệm của f(z). Í6 Hự,t) + 3 2t + \ 31 khi t>3 khi 2 < t < 3 khi 1 < t < 2
khi t = \ khi t =
2 khi t - 3
n\ogj’n\ogt đều có dạng pk với số k > 0 nào đó. Ar+1 ’ Ả: ẤT—1 l/? -/> p -p .m _k \^3 p -p Pt+'-Pk 1 1 1 pk~m~\p- 1) n\0g,t=pk' 40 Từ đó suy ra h+f t khi t> 3 khi 2 < t < 3 khi \<t <2 1 3 1 khi t> 3 khi 2<t<3 khi \ <t<2 khi 0 < / <
Ví dụ 3.4 Tính hỊữgj, hXogf, h[ogít, H(log, t) ?
Giải Ta đã biết log(l + z) = V(-l)"+I —. Với mỗi t > 0, ta có: tí n
(, 1V,+1/ \ , , ị=nt-k = nt-ìogn/\ogp khin = pk
l=nt-k> nt- log n / log p khi n- p .1 ^ p do đó với t > 0, v((-ir' /n^ + nt đạt min khi n có dạng pk. Nói cách khác,
Xét trường hợp nỊagít * g t. Giả sử nỊữg t = pk~l.
tk +1 t tk
41
Ta xét đa giác Newton biểu diễn H(log, t). Gọi r r r w lần lượt là các
đường thẳng biểu diễn hàm g(t) = vỊ(-l)" 1 /«) + nt - nt-v(n) với các hệ số góc lần lượt là pk~\pk,pk+ỉ. Bằng cách tính toán ta thấy r k cắt r t_! tại điểm có hoành độ tk = —--- — và r i+1 cắt r k tại điểm có hoành độ
tk+Ị = k k k-1
p -p k+1 k+1 k •
t e
Giờ ta chứng minh rằng với số tự nhiên m bất kì, hàm pmt-m với đạt giá trị bé nhất khi m = k, hay là, với m ^ k:
pmt -m> pk .t-k tức (pm - pk)t> m-k (*). Nếu m > k: do te (pm-pk)t> Nếu m < k: do te (pk-pm)t< = pm~kA + pm~k~2 +...!> m - k . nk _ nk-m _ 1 1 1 = ! + - + ... + ■ k—m—l p p tức là trong cả 2 trường hợp ta có (*).
Từ kết quả vừa chứng minh ta thấy, với t e (,tk+l,tk), điểm (t,HỰ,t)) nằm trên đường thẳng r k hay (tk+ị,tk) không chứa điểm tới hạn nào. Điều đó có nghĩa
Vậy hàm log(l + z) có các điểm tới hạn có dạng tk = 1 p . X *-! 1 * _ TT • Ng°ài ra: p -p Ăfog)í =p . >K*J=P • k log,í - F - V ĩ ’ "tog.í r ' kk -1 „ 1 p -p p-1 42 h\og,t = 1 p-1 / > - l / / ( i o g , 0 = - y « g i , ) = - 1 — - ( £ - 1 ) = — — 7 + [ Ì o g , (p - m s s p-p p-1
- Với í*+1 <t<tk: n~ogt = nlgt = pk do đó = Kữgt = pk X và /zlogí = 0 //(log,0 = n\ữgtt- v«ogự) = pkt-k.
Do _k,\ <t< k-\ f _ 7: nên —Ấ: < log C/7 - l)í < —ẤT +1 /> ừ-1) / (p-1)
do đó ị\ogp(p-ì)t~ị = -k hay H(log,t) = pkt +
ịlogp(p-l)t~ị.u
Nhận xét
Thật ra, ta có thể dựa vào các kết quả tính toán về độ cao của hàm log để dự đoán tất cả các không điểm của nó.
Hàm log có các điểm tới hạn có dạng t =---— do đó nó sẽ có các không
có thể dự đoán log có các không điểm dạng pÁyi -1. Việc chứng minh chặt chẽ về tất cả các không điểm của log có thể được thực hiện như định lý 1.26. Qua 2 ví dụ trên ta thấy các khái niệm về độ cao của hàm chỉnh hình có thể
giúp
ích cho việc dự đoán các không điểm của hàm chỉnh hình.
Chúng ta kết thúc mục 3.1 bằng một tính chất về độ cao của hàm chỉnh hình là
công thức p - adic Poisson - Jensen sẽ được sử dụng về sau.
+ "/*,/*+!
> tronể đó n+u t {nu t) là số các điểm Ui sao cho v(Uị) > t43 (v(Uị) > t) Khi đó ta có: H(f,t0) - Hự,ỉ) = h}t + X hfj
t0>s>t Chứng minh
Giả sử tl,t2,...,tn là các điểm tới hạn của f(z) mà t0> tị> t2 > . . . > tn>
t - tn+l. Chúýrằng n~ft=n+ft \/k = 0,n nên ta có:Vỉ a_ f*k = /ĩ ^Ảr+l) Khi đó: - ‘ í ) + ( í , - f2)+...+( t „ - t ) */,<„ + 'i ("}.«, -«/,<„) + ••• + = +Í1 (”/,«, -»/,/,)+ = */,<„+ hf.h + hf.h + -+ hf.t,- hh = hh*~hh + X V. - " tữ>s>t
3.2.Độ cao của dãy điểm và nội suy p - adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị đĩa đơn vị
3.2.1. Độ cao của dãy điểm điểm
Định nghĩa 3.6
Cho w = {w0,t/j,...} là một dãy điểm trong D.
Giả sử rằng số các điểm Ui thỏa v(wz ) > Mà hữu hạn với mọi t > 0. Ngoài ra
v(w,-)^v(Mi+i) i = 0, 1... ^ K,t ~ ~ hu,t
> H(u,t) = h+uẠ - h~tữ - hu s trong đó t0 =
v(uQ).
và K , t = K g , f m
Mệnh đề 3.8
44
Chúng ta sẽ luôn giả sử rằng \im H(u,t) = -00.
t—>0
Ta đưa ra một ví dụ minh họa đối với hàm log.
Ví dụ 3.7
Với w = Ị<yĩ-l|, ta có hịt = hịgt, hut = hỉogJ .
Chứng minh
Theo định lý 1.26, tập tất cả các không điểm của log là -1 j. Vì vậy khi
n
= |</ĩ -lỊ thì theo định nghĩa 3.6, nfi t = nfogt do đó theo công thức, h~t = h[ogt Neu u = {Uị} là dãy tất cả các không điểm của hàm f(z) thì
H(f, t) - H(u, t) = ơ(l) khi t —>0 .
Chứng minh
Theo định nghĩa, nj t = n„ t suy ra hỷt = h~t nên hj t - hu t với mọi t > 0.
Do đó với t’ > t, theo công thức p - adic Poisson - Jensen và định nghĩa H(u, t): = Hự,t’)-h-fr + h*u - X hu -«, -h-A -ỵhv) t'>s>t s>t h-fr -(2*/, - EA/, - *//■)+Kh+ s>t s>t' s>t =H(f,n+ (hư- h-fr) + (2^ - 2>/>) + + Kfữ s>t s>t s>t' = H(f ,t')-h+rr +h~j +^hfs là hằng số do đó ta có đpcm. ■ s>t'
3.2.2. Nội suy p - adic của các hàm chỉnh hình trên đĩa đơn
vị
Khái niệm nội suy của hàm số trên được đưa ra với giả thiết cho trước một trong (tức là một hàm g: -» mà g(n) = an). Nó được gọi là
45
nội suy p - adic nếu tồn tại một hàm /: -» liên tục sao cho
f(n) = a„(=g(n)) với V/2 €E .
Khái niệm nội suy của hàm f chỉnh hình trên đĩa đơn vị D đuợc xây dựng với
giả thiết có một dãy điểm {Uị} trong D thỏa một số điều kiện nhu số các điểm Ui
thỏa v{Uị) > t là hữu hạn với mọi t >0. Ngoài ra v(Uị) > v(uị+Ị) và limH(u,t) = -00.
í-»0 Tu tuởng nội suy p - adic của hàm chỉnh hình trên D được phát biểu có vẻ “gần
gũi” với khái niệm nội suy ở chương 2. Cụ thể ta có định nghĩa sau :
Định nghĩa 3.9
Dãy các đa thức {.Pk} gọi là dãy nội suy của f trên u nếu degPk<k,
Pk{Uị) = f(Uị) với mọi i = 0,k.
Dãy u = {Uị} được gọi là dãy nội suy của f(z) nếu dãy các đa thức nội suy
của f
trên u hội tụ về f(z).
Định lý 3.10 sau đây là định lý quan trọng nhất của chương này đưa ra điều kiện cần và đủ để một dãy điểm {Uị} là dãy nội suy của một hàm chỉnh hình