Xây dựng các l hàm p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -oOo CAO TRẦN TỨ HẢI XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phốNÓI Hồ Chí Minh – 2009 LỜI ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU Mặc dù số p-adic xây dựng kỷ giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập khoảng 40 năm trở lại Sự phát triển vượt bậc nhờ việc phát mối liên quan sâu sắc giải tích p-adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Chẳng hạn, A.Wiles dùng biểu diễn L-hàm p-adic dạng modula công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn tiếng Vì việc nghiên cứu L-hàm, L-hàm p-adic đóng vai trò quan trọng then chốt lý thuyết số chọn đề tài “ Xây dựng Lhàm p-adic” Trong luận văn trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tính giá trị L-hàm p-adic s = số nguyên s  Về bố cục, luận văn chia làm ba chương Chương Đại số giải tích p-adic Trình bày bước xây dựng trường số p-adic p , nêu số tính chất đại số giải tích trường p-adic, khái niệm đại số hàm chỉnh hình p-adic, đại số hàm phân hình p-adic tập mở để làm tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic Chương Hệ số Bernoulli L-hàm phức Bao gồm hai § §1 trình bày hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với đặc trưng Dirichlet §2 đưa khái niệm hàm zeta L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu số tính chất L-hàm phức : phương trình đặc trưng Lhàm phức, thặng dư F ( z) z  n 1 z = 0, công thức L(1  n , )   B n , n với n  giá trị L-hàm s = Từ suy giá trị hệ số Bernoulli tổng quát tính chất hàm zeta Chương Xây dựng L-hàm p-adic Đây chương quan trọng luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet giá trị s = dựa theoIwasawa, đặc biệt tính giá trị L-hàm p-adic điểm nguyên dương cách sử dụng - biến đổi hàm số Cụ thể chương III gồm năm § §1 Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy số p-adic p nội suy thành hàm phân hình p-adic §2 L-hàm p-adic Như ta biết L(1  n, )   Bn,  () số đại số n  nên ta xem chúng thuộc  p Một vấn đề đặt có tồn hàm phân hình p-adic f cho f(1  n)   Bn, n  L(1  n, ) , n  hay không ? Rất tiếc dãy  Bn,    dãy nội suy p-adic Vì phải chỉnh sửa n   chút để có dãy nội suy p-adic Trong § chứng minh dãy  bn  n n 1    với b n  1   n (p)p B n , ,  n   dãy nội suy  n tồn hàm phân hình p-adic thoả L p (1  n,  )   p-adic Do bn gọi L- hàm p-adic n liên kết với đăc trưng  §3 Toán tử – biến đổi Xây dựng – biến đổi số tính chất – biến đổi xem “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị L – hàm p-adic điểm nguyên dương §4 Công thức tính L p (1, ) Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet s = §5 Công thức tính giá trị L-ham p-adic điểm nguyên dương Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại số nguyên s  Do khả trình độ có hạn, luận văn chắn nhiều sai sót Rất mong cảm thông, góp ý bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang trực tiếp đề tài hướng dẫn cho ý kiến quí báu Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực Cao Trần Tứ Hải CHƯƠNG ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chương ny chng tơi trình by kiến thức đại số v giải tích p-adic để phục vụ cho phần luận văn (chương 3) §1 CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC 1.1.1 Trường số p-adic Cho trước số nguyên tố p, x   \ 0 phân tích dạng x  p p11 p2 pk k p,p1 ,p2 , ,p k số nguyên tố phân biệt , 1, ,  k    gọi số p-dic x, kí hiệu   ord p (x) Ta qui ước ord p (0)   Với x, y  dễ dàng chứng minh   ord p (xy)  ord p (x)  ord p (y) ord p (x  y)  ord p (x),ord p (y) Khi ánh xạ  xác định  pord p (x) x   x= 0 lập thành chuẩn phi Archimade  , nghĩa i) x  0, x  , x   x  x p  ord p (x) ii) xy  x y , x,y   iii) x  y  max  x , y  , x,y   Nguyên lý tam giác cân có vai trò quan trọng trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu x  y x  y  max  x , y  ” Chú ý trường  với chuẩn không gian định chuẩn không đầy đủ Ta xây dựng trường bao đủ  p  , chuẩn  p mở rộng chuẩn  Mỗi phần tử  p biểu diễn dạng x  a m p m   a0  a1p   an pn  với   p  , i  - m, a m  gọi biểu diễn p-dic x, x  pm Trường  p có tính chất đặc trưng sau i)  p chứa  ii)  trù mật  p iii)  p đầy đủ Trường thoả ba tính chất xác đinh Trường  p gọi trường số p-adic  Trường  p không đóng đại số Vành  p  x   p : x    p gọi vành số nguyên p-adic Đây   vành địa phương với ideal tố đại p p  *p  x   p : x   p tập compact nên  p compact địa phương Các tập , ,m   m  p  1 trù mật  p với tôpô cảm sinh từ  p Trường k   p / p p   / p  Fp gọi trường thặng dư  p Tập   p*  x    x   p*  p r r   với phép nhân lập thành nhóm gọi nhóm giá trị  p Gọi  p bao đóng đại số  p , với    p , ta gọi x n  an 1x n 1   a0   p  x  đa thức tối tiểu  Khi  p với chuẩn xác định   a0 n không gian định chuẩn phi Archimade chứa  p Lúc  p lại không đầy đủ theo chuẩn Bao đủ  p không gian p-adic phức  p Đồng thời ta có  p không compact địa phương  p có trường thặng dư k *  p  x * x  p  bao đóng đại số k  Fp , nhóm giá trị    p r r   Dãy x n    p dãy Cauchy lim x n 1  x n  Nếu lim x n  x  tồn N > cho n  n  x  x n , n  N Cho K trường với chuẩn phi Archimade, M  số p-dic cho trước a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M a  b  M Kí hiệu a  b ( mod M ) Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo modulo M quan hệ tương đương Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=an x n + +a1x  a0 , với   p , i  0,n thoả mãn  (mod p) với  i  n  , an  (mod p), a0  (mod p2 ) Khi f(x) bất khả quy  p ” 1.1.2 Căn đơn vị đại diện Teichmuller Căn bậc n đơn vị trường F nghiệm đa thức x n  Tập bậc n đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n Căn đơn vị bậc n đơn vị với n số nguyên dương  gọi nguyên thuỷ bậc n đơn vị phần tử bậc n đơn vị không tồn số nguyên dương m < n cho  bậc m đơn vị, nói cách khác  có cấp n nhóm cyclic bậc n đơn vị hay  phần tử sinh Bổ đề Hensel : “Cho F(x)  c0  c1x   cn x n   p  x  Gọi F '(x)  c1  2c2   ncn x n 1   p  x  đa thức đạo hàm F(x).Cho a   p cho F(a)  (mod p) F '(a)  (mod p) Khi tồn b   p nghiệm đa thức F(x) b  a (mod p) ” Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy trường  p , phương trình x p  x  có p nghiệm phân biệt a0 ,a1, ,ap 1 thoả  i (mod p) Các nghiệm tương ứng gọi đại diện Teichmuller 0,1, ,p  Nhận xét đại diện Teichmuller 1,2, , p -1 bậc p -1 đơn vị Hơn p > đại diện Teichmuller 2,3, , p -1 không số hữu tỉ Với a   p , tồn đại diện Teichmuller cho  a (mod p) Kí hiệu (a)  ai0 gọi đại diện Teichmuller a Khi kiểm tra (ab)  (a)(b) (a  p)  (a) Đặt  U = *p  x   p  x  , D   q p p >2  p với q   , U nhóm nhân số nguyên p-dic khả nghịch p p=2  D nhóm U chứa tất phần tử dạng  qa , a   p Đặt V  1 p = 2, đặt V nhóm cyclic gồm tất bậc p -1 đơn vị p > Với a  U , ta dễ dàng chứng minh (a)  a (mod q)  (a)1 a  (mod q) Đặt  a  1   (a)  a   q p  D , a biểu diễn thành tích (a)  V  a  D Rõ ràng cách biểu diễn nên U  V  D Gọi    trường gồm tất số phức đại số  Do    p nên    p đơn vị  p đại số  nên nằm  Nhóm V   p đồng với nhóm nhân bậc p – đơn vị    p ( p > 2) đồng với nhóm nhân bậc hai đơn vị    p (nếu p = 2) Vì ta xem (a)   , (a) đại số   : a  (a) từ    gọi đăc trưng Teichmuller Khi ánh xạ Trên trường  p , p > bậc n đơn vị tồn n = p –1, nghĩa đơn vị  p đại diện Teichmuller khác không, p = đơn vị – Trên trường  p đóng đại số nên tập bậc n đơn vị gồm n số khác §2 CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC 1.2.1 Hàm chỉnh hình p-dic Trên trường K trường p-dic đóng đại số  p , xét chuỗi vô hạn nhận thấy  n hội tụ lim  n  x    an x n Ta gọi bán kính hội tụ f(x)  n0  r  lim  sup an n   n    Chuỗi  an x n  an x n (an   p ) số thực xác định hội tụ x  r , phân kỳ x  r Nếu n0 tồn x  K, x  r cho   n , ta   an x0n hội tụ ( phân kỳ ) chuỗi n0 hội tụ ( phân kỳ ) x  K, x  r n0 Xét chuỗi luỹ thừa f(x)    an x n (an  K) , với x cố định thoả x  r , n0 f(x) hội tụ f(x) có đạo hàm f '(x)    nan xn 1 , f’ f có bán n 1 kính hội tụ Từ suy hàm f(x) khả vi vô hạn lần Vì lý ta gọi hàm f(x)    an x n n0  (an  K) BK (0, r)  x  K hàm  chỉnh hình cầu mở x  r Thương hai hàm chỉnh hình tập mở gọi hàm phân hình tập mở 1.2.2 Đại số Banach hàm chỉnh hình PK Gọi K trường mở rộng hữu hạn  p cho K   p Khi K trường compact địa phương với tôpô cảm sinh chuẩn phi Archimade K Gọi K[[x]] đại số tất chuỗi hàm luỹ thừa hình thức x Với A  A(x)    an x n  K[[x]] ta định nghĩa A  sup an Đặt n0 n  PK  A  K[[x]]  A  Rõ ràng PK đại số K[[x]] K[x]  PK  K[[x]] , K[x] trù mật PK Với A    an x n  PK    p thoả mãn   ta có n0 n an n  A   n     Do A chỉnh hình cầu mở B(0,1)  x   p x  Nhưng hàm chỉnh hình cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc PK A(x),B(x)  PK ; A(x)    an xn , B(x)  n0   bn x n ta dễ dàng khẳng định n0 i) A  0, A   A  ii) A  B  max  A , B  iii) cA  c A , AB  A B Vậy (PK , ) đại số định chuẩn trường K 1.2.3 Mệnh đề ( PK , ) đại số Banach trường K Chứng minh Giả sử A k (x)  A k  dãy Cauchy  n (k)  a(k) n x , an  K n0 Ta có (PK , ) , (l) A k  A l  sup a(k) n  an  n  k dãy Cauchy K với n  nên k,l  Suy a(k) n đặt A  A(x)    an x n n0  K[[x]] ta chứng minh (PK , ) Thật vậy, A k  dãy Cauchy suy A k  lim a(k) n  an  K , n  hội tụ A (l)   , N  : sup a(k) n  an  , k,l  N n Cho l   ta sup a(k) n  an  , k  N Đặc biệt với k = N ta có n sup a(N) n  an   , n    an  max , A N , n Do  (N) an  max a(N) , n n  an , an mà  A n  max , A N nên  hay A n  PK Hơn từ sup a(k) n  an  , k  N suy A k  A  , k  N nên lim A k  A k  n PK Vậy PK đại số Banach 1.2.4 Hàm logarithm p-adic (1)n 1 n Chuỗi hàm luỹ thừa log(1  x)   x có bán kính hội tụ  p n n 1  Đặt D     p   -1  hàm số log : D   p xác định (1)n log  log 1  (  1)   (  1)n n 1 n  gọi hàm logarithm p-adic Sau tính chất hàm logarithm p-adic log(xy) = logx + logy ,  x,y  D  n x log ex  x, elogx  x ex   n! nn Bây ta thác triển hàm logarithm p-adic từ log : D   p thành * * log :  p   p mà đảm bảo tính chỉnh hình x   p , giả sử x  p r với a  , (a,b) = Ta gọi x p   p nghiệm đa thức x b  pa suy b b x   Ta có x1 =(x1 )  x1  x p  pa Khi x1 =   p     p xp r=     với (x1 ) đại diện Teichmuller tổng quát x1 ,  x1  nằm cầu mở B(1,1) = D Do x=x p(x1 )  x1  Đặt (1)n logx  log  x1   ( x1  1)n , n 1 n  logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm x p hàm chỉnh hình *  p Đồng thời hàm có tính chất sau : i) logx  (1)n  n (x  1)n với x   n 1  * ii) log(xy) = logx + logy ,  x,y   p x iii) log e  x, e logx xn  x e   n! nn iv) logp = * v) log :  p   p toàn ánh x  CHƯƠNG HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC Chương không liên quan với p-adic Chúng trình bày kiến thức hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với đặc trưng Dirichlet L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet Một vài kết mang tính hệ thống tính chất L-hàm phức nêu không chứng minh Bạn đọc quan tâm xin xem [1] §1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI 2.1.1 Hệ số Bernoulli Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích k! với hệ số thứ k khai triển t.et Taylor hm F(t)  t t =0.Tức F(t) khai triển theo chuỗi hm luỹ e 1 thừa  tn F(t)   Bn (2.1) n! n0 Do Bn đạo hm cấp n F(t) t = 0, Bn = F(n)(0) R rng cc Bn , n  l số 1 hữu tỉ B0 = 1, B1 = , B3 = , B3 = , Ta cĩ te t t tet F(t)   t   t  t  t  F(t) e  et  e 1 Khai triển Taylor t = hai vế ta   tn tn n ( 1) B t B       n n! n n! n0 n0 Suy B0 = 1, Bn  với n chẵn khc khơng, B1 = 2.1.2 Đa thức Bernoulli Xt hm hai biến F(t,x)  F(t).etx  t t = 0, ta t.e(1 x)t et  1 , Bn = với n lẻ lớn , khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến F(t,x)    Bn (x) n0 tn n! (2.2) Khi Bn(x) gọi đa thức Bernoulli thứ n  Vì F(t,x) = F(t).etx nn  tn   t n   n t n  B (x) B x    n n!   n n!     n0  n0  n  n!  n n   suy (2.3) Bn (x)     Bi x n  i với n i   ni Vì Bn(x) đa thức với hệ số hữu tỉ Do B0 = nn Bn(x) đa thức đơn hệ bậc 1 n, B0 (x) = 1, B1(x) = x + , B2(x) = x2 + x + , v n n   Bn (0)     Bi 0n  i  Bn v ới n  ni  i  2.1.3 Đặc trưng Dirichlet * 2.1.3.1 Cho f l số nguyn dương,   / f  l nhĩm nhn gồm tất lớp cc số nguyn * tố cng với f theo modulo f Mỗi đồng cấu nhóm  :   / f   * từ   / f * đến nhóm nhân số phức khác không * gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f  biến đơn vị thnh đơn vị nn (  f ) = R rng ảnh  chứa đơn vị  , ảnh  gồm số phức đại số  Cho  đặc trưng Dirichlet theo modulo f Khi ta định nghĩa  ' :    xác định (a  f) (a,f)=1  '(a)   (a,f)>1  Khi  ' cĩ cc tính chất i)  '(a)   '(a  f), a   ; ii)  '(ab) =  '(a) '(b), a,b   ; iii)  '(a)  v (a,f) = Ngược lại với ánh xạ  ' :    thỏa ba tính chất ta xác định * đặc trưng Dirichlet  theo modulo f : (a  f)   '(a),  a  f    / f  Do ta xem đặc trưng Dirichlet  theo modulo f l nh xạ  :    thỏa mn ba tính chất trn Cho ’ đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n ước số f Khi ánh xạ  :    xác định  '(a) (a,f)=1 (a)   (a,f)>1 0 đặc trưng Dirichlet theo modulo f Ta nói đặc trưng  cảm sinh từ đặc trưng ’ Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f nguyên thủy không tồn đặc trưng ’ theo modulo n với n < f cho  cảm sinh từ ’ Khi f gọi conductor  Cho p l số nguyn tố, a   , (a)   p   đại diện Teichmuller a Dễ dàng chứng minh ánh xạ  :    đặc trưng Dirichlet nguyn thủy 4 p = với conductor q   gọi đặc trưng Teichmuller  p p > Cho 1, 2 hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng f1, f2 Khi tồn đặc trưng nguyn thủy  với conductor f chia hết f1f2 cho (a) = 1(a)2(a) , a  thoả (a, f1f2)=1  gọi đặc trưng tích 1 2, kí hiệu  = 1.2 Tập tất đặc trưng Dirichlet nguyên thủy với phép toán nhân lập thành nhóm Abel với + Đặc trưng đơn vị 0 thoả 0(0) = 1, a   \{0} gọi đặc trưng tầm thường 0 có conductor f  + Đặc trưng nghịch đảo đặc trưng  đặc trưng liên hợp  : (a)  (a) , a  Nhận xét (N,f) = (a)  (N).(aN) Thật , ta cĩ (N)  (N) (N)  (vì v (N,f) = 1) nn (N).(N)  (N).(N)  v đĩ (a)  (N).(N).(a)  (N).(aN) Cho đặc trưng nguyên thủy  f với conductor f = f > 1, xét tổng S   (a) ,  đặc trưng không tầm thường nên tồn a0 cho a 1 (a0)  1,  / f  a+f f f a 1 a 1 a=1,2, ,f  a0a  f a=1,2, ,f nn (a0 ).S   (a0 )(a)   (a0a)  S kéo theo ((a0) – )S = f S   (a)  (2.4) a 1 (-1)(-1) = (1) (-1)=1 0      (-1)=-1 1 Từ  ta (1)  (1)  = suy (-1) =  1, đặt 2.1.3.2 Bổ đề Cho  đặc trưng Dirichlet với conductor f > 1, p > ước số f  f Khi tồn x   cho    x   p  Chứng minh Nếu p = f bổ đề hiển nhiên nên ta xét p < f Giả sử phản  f f chứng x   ,    x   Chú ý (a,f) = (a, ) =1, chiều p p  ngược lại không Xét ánh xạ  ' :    xác định f  (a, ) 1  p   '(a)  (a) (a,f) =  f 1 (a,f) > (a, )  p  f , tức chứng minh  ' p thoả ba tính chất sau.Chứng minh i), với x   Xét ba trường hợp sau f f Nếu (a, )>  '(a)    '(a  ) p p f f Nếu (a,f) > (a, )   '(a)    '(a  ) p p Nếu (a,f) = tồn x,y   cho ax + fy = Ta có f f f f  '(a)  (a)  (a)(1  x )  (a  ax )  (a   fy ) p p p p f f  (a  )   '(a  ) p p f Tóm lại '(a)   '(a  ) , x   hay ' thỏa i) ' thỏa ii), iii) hiển nhiên Vì p f  cảm sinh từ đặc trưng ' theo modulo < f Điều mâu thuẫn với p tính nguyên thủy  2.1.4 Hệ số Bernoulli tổng quát Đa thức Bernoulli tổng quát 2.1.4.1 Cho đặc trưng  với conductor f = f Khai triển Taylor hàm số f (a).t.eat F (t)   ft t = 0, ta a 1 e  Ta chứng minh  ' :    đặc trưng theo modulo F (t)    Bn, n0 tn n! Bn, gọi hệ số Bernoulli tổng quát thứ n  hàm số F (t,x)  F (t)ext  f  a 1 (a).t.e(a  x)t eft  (2.5) Khai triển Taylor t = 0, ta tn F (t,x)   Bn, (x) n! n0  (2.6) Bn, (x) gọi đa thức Bernoulli tổng quát thứ n  Ta có F (t,x)  F (t)ext tn   t n   n t n    Bn, (x)    Bn,   x    n! n! n! n0  n0  n   n n    Bn, (x)     Bi, x n  i với n i i0    (2.7) Gọi () trường mở rộng  số đại số (a) , a = 1,2, ,f (nghĩa () = ((1), (2), , (f)) ) Rõ ràng Bn,  () số đại số  nên Bn, (x)  () x  2.1.4.2 Nếu  = 0 (f = 1) F(t) = F(t) F(t,x) = F(t,x) nên Bn,0  Bn Bn,0 (x)  Bn (x) với n  Bây ta xét   0 n n   Bn, (0)     Bi, 0n  i  Bn, , n  i i0   f B0,   (a)  f a 1 hệ số x n đa thức Bn, (x) Suy Bn, (x) đa thức có bậc bé n ( lưu ý Bn(x) đa thức có bậc n) Xét f f (a)( t)e(a  x)t (1)(f  a)te(f  a  x)t  (1)F (t,x) F (t,  x)     ft ft e   e a 1 a 1    (1)n Bn, (x) n0  tn tn  (1)  Bn, (x) n! n! n0  (1)n Bn, ( x)  (1)Bn, (x) với n   (1)n Bn,  (1)Bn, với n  (cho x = 0)  (1)n Bn,  (1) Bn, với n  Suy Bn,  n   (mod 2) đồng thời ta có Bn,  n   (mod 2) (Ta chứng minh điều dựa vào phương trình đặc trưng L-hàm phần sau) f (a)te(a  x)t 2.1.4.3 Xét F (t,x)   e ft  a 1 (1 f a f  x )ft f (a)(ft)e f  af x     (a)F  ft, , ft f a 1 f a 1 f   e 1 khai triển Taylor t =0, ta n    tn f  a  f  x  (ft)    B (x) (a) B   n, n! f    n  f  n!  n0 a 1  n0  n    tn f af xt    Bn, (x)     (a)f n Bn    f n! f   n!  n0 n   a 1 1 f  a  f  x  (2.8) Bn, (x)    (a)f n Bn     với n  f  a 1 f   Thay x = vào ta 1 f  a  f  (2.9) Bn,    (a)f n Bn    , n  f  a 1  f   k 2.1.4.4 Với k  1, đặt Sn, (k)   (a)an , n  ( ý  = 0 a 1 k Sn, (k)  Sn (k)   an ), ta có a 1 f F (t,x)  F (t,x  f)   a 1 f (a)te(a  x)t eft  f  a 1 (a)te(a  x  f)t eft   eft    (a)te(a  x  f )t  ft  ft  e  e   a 1   f  F (t,x)  F (t,x  f)   (a)te(a  x  f)t a 1 Khai triển Taylor t = hai vế ta f   (a  x  f)n t n  tn     Bn, (x)  Bn, (x  f) n!   (a)t   n!  n0 a 1 n      tn   B (x) B (x f)     n, n,  n!  n0 n 1   f n t (n 1) (a)(a x f)         (n  1)!  n   a 1 tn     B (x) B (x f)   n, n,  n!  n  f n 1 t     n (a)(a x f)     n! n 1  a 1    n 1    f  Bn, (x)  Bn, (x  f)  n   (a)(a  x  f)n 1  , n      a 1  Cho n tăng lên đơn vị suy f Bn 1, (x)  Bn 1, (x  f)  (n  1)  (a)(a  x  f)n , n  f a 1 Với n = f , Bn 1, (f)  Bn 1, (0)  (n  1)  (a)an a 1 f Với n = 2f, Bn 1, (2f)  Bn 1, (f)  (n  1)  (a)(a  f)n a 1 f Với n = kf , Bn 1, (kf)  Bn 1, ((k  1)f)  (n  1)  (a)  a  (k  1)f  n a 1 Cộng vế theo vế ta Bn 1, (kf)  Bn 1, (0) f n f n f  (n  1)  (a)a  (n  1)  (a)(a  f) +….+ (n  1)  (a)  a  (k  1)f  a 1 a 1 n a 1 f f  f n  (n  1)   (a)an   (a  f)(a  f)n      a  (k  1)f  a  (k  1)f   a 1 a 1  a 1   kf   (n  1)   (a)an   (n  1)Sn, (kf)    a 1   Bn 1, (kf)  Bn 1, (0) với n,k  Suy Sn, (kf)   n 1  Đặc biệt với  =  ta có (2.10) Sn (k)   Bn 1(k)  Bn 1(0) với n,k  n 1 (2.11) §2 L-HÀM DIRICHLET PHỨC Trong § trình bày L–hàm Dirichlet phức, hàm zeta số tính chất chúng Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức phương trình đặc trưng L-hàm phức, thặng dư hàm phưc F (z)z  n 1 , không chứng minh Bạn đọc quan tâm xin xem [1] 2.2.1 Khái niệm hàm zeta L–hàm  Với số phức s có Re(s) >1, chuỗi số (s)   s hội tụ đồng thời (s) n 1 n chỉnh hình mặt phẳng phức Re(s) >1 Hàm (s) thác triển thành hàm phân hình mặt phẳng phức (s)    qP    s   q  với P tập tất số nguyên tố Hàm (s) gọi hàm zeta phức Hàm có cực điểm đơn s =1 với thặng dư (nghĩa lim (s  1)(s)  ) s1 Tổng quát hơn, cho  đặc trưng Dirichlet, chuỗi L(s, )    (n)ns hội tụ n 1 tuyệt Re(s) > Khi L(s, ) hàm chỉnh hình mặt phẳng phức Re(s) >1 gọi L–hàm phức đặc trưng  Đặc biệt  = 0 L(s,  )  (s) Hàm L(s, ) biểu diễn tích vô hạn  qP L(s, )    (q)q s  1 Vì L(s, )  với Re(s) > Nếu    , L-hàm biểu diễn tích vô hạn chỉnh hình toàn mặt phẳng phức  Với s số phức cho trước, tích phân suy rộng (s)   xs 1e x dx hội tụ gọi hàm gamma Bằng qui nạp chứng minh (n)  (n  1)! với n   Hàm gamma có tính chất đặc trưng  , s   (1  s)sin  s Tiếp theo số tính chất L(s, ) 2.2.2 Tính chất L(s, ) 2.2.2.1 Phương trình đặc trưng L-hàm (s)  s ()  2  L(1  s, ) L(s, )     2i  f  (s)cos (s  ) f = ()   ia (a)e f (2.12) (được gọi tổng Gauss đặc trưng  a 1 ) f Kí hiệu F (z)   a 1 (a)eaz efz  , F (z) hàm phân hình mặt phẳng phức Khi L(1  n, ) thặng dư hàm F (z)z  n 1 z = với n  Từ khai triển (s) Bn, Taylor hàm F (z) suy L(1  n, )    () (2.13) n 2.2.2.2 Phương trình đặc trưng L-hàm n   (mod 2), n 1  (n  ) cos  (1) (n ) suy ()  2  L(n, )     2i  f  Thế (2.13) vào ta n  n L(1  n, ) (n ) (n)(1) n ()  2  Bn, (2.14) L(n, )  (1)   2i  f  n! Vì L(n, )  0, n  nên Bn,  , kết hợp với 2.1.4.2    , ta có 1 B0,  , Bn,  n   (mod 2) Bn,  n   (mod 2) Cho  đặc trưng khác đơn vị với conductor f, người ta chứng minh công thức () L(1, )  f f  a 1 (a,f) 1  (a)log   a  với f = f ,  i e f (2.15) CHƯƠNG XY DỰNG L-HÀM p-ADIC Với p số nguyên tố, xét trường bao đóng đại số  p trường số p-dic  p Vấn đề quan trọng đặt xây dựng hàm p-adic xem tương tự p-dic hàm L(s, ) Để giải vấn đề đưa hàm phân hình p-dic lấy giá trị gần giống với giá trị L(s, ) s = 0, -1, -2, gọi Lhàm p-dic L p (s, ) Một việc tự nhiên tính giá trị L-hàm s = 1, 2, 3, đặc biệt s = có vai trò quan trọng lý thuyết số Trong chương trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L–hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet tính giá trị L–hàm p-adic s = điểm nguyên dương khác §1 PHÉP NỘI SUY HÀM PHÂN HÌNH p-DIC Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa tìm hàm phân hình f đĩa mở cho f(n) = bn với bn  ,n  dãy số p-dic  p cho trước Nếu tìm hàm phân hình p-adic thỏa điều kiện dãy bn  ,n  gọi dãy nội suy p-adic Trong § tìm điều kiện dãy bn  ,n  để tồn hàm nội suy p-adic Trước hết xin nêu bổ đề sau 3.1.1 Bổ đề Cho x  + , x biểu diễn x  a0  a1 p   aN p N với   p  ,  i  N, aN  Đặt sx  a0  a1   aN ( sx tổng số biểu x  sx diễn p-dic x) Khi dó ord p (x !)  (3.1) p 1 Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n, với x = hiển nhiên đúng, x  sx x   sx 1 , ta cần chứng minh ord p ((x  1)!)  Ta có giả sử ord p (x!)  p 1 p 1 x  sx ord p ((x  1)!)  ord p (x!)  ord p (x  1)   ord p (x  1) p 1 Xét hai trường hợp sau [...]... Lhàm p- dic L p (s, ) Một việc hết sức tự nhiên l tính giá trị của L- hàm tại s = 1, 2, 3, đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong l thuyết số Trong chương này trình bày chi tiết cách sử dụng ph p nội suy p- adic để xây dựng các L hàm padic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L hàm p- adic này tại s = 1 và tại các điểm nguyên dương khác §1 PH P NỘI SUY HÀM PHÂN... (a)log 1   a  với f = f ,  2 i e f (2.15) CHƯƠNG 3 XY DỰNG L- HÀM p- ADIC Với p l số nguyên tố, xét trên trường bao đóng đại số  p của trường số p- dic  p Vấn đề quan trọng đặt ra l xây dựng một hàm p- adic được xem l tương tự p- dic của hàm L( s, ) Để giải quyết vấn đề này chúng tôi đưa ra một hàm phân hình p- dic l y giá trị gần giống với giá trị của L( s, ) tại s = 0, -1, -2, gọi l Lhàm... SỐ BERNOULLI VÀ L- HÀM PHỨC Chương này không liên quan gì với p- adic Chúng tôi trình bày những kiến thức về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet và L- hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet Một vài kết quả mang tính hệ thống về tính chất của L- hàm phức chỉ... 1 n chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1 Hàm (s) có thể thác triển thành hàm phân hình trên mặt phẳng phức 1 (s)   1  q P   1  s   q  với P l t p tất cả các số nguyên tố Hàm (s) được gọi l hàm zeta phức Hàm này có một cực điểm đơn duy nhất s =1 với thặng dư bằng 1 (nghĩa l lim (s  1)(s)  1 ) s1 Tổng quát hơn, cho  l đặc trưng Dirichlet, chuỗi L( s, )    (n)ns hội tụ... đó L( s, ) l hàm chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1 và được gọi l L hàm phức đối với đặc trưng  Đặc biệt nếu  = 0 thì L( s,  0 )  (s) Hàm L( s, ) có thể được biểu diễn bằng tích vô hạn  q P L( s, )   1  (q)q s  1 Vì vậy L( s, )  0 với Re(s) > 1 Nếu    0 , L- hàm được biểu diễn bằng tích vô hạn này chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức  Với s l số phức cho trước, tích phân... n,k  0 n 1 (2.11) §2 L- HÀM DIRICHLET PHỨC Trong § này chúng tôi trình bày L hàm Dirichlet phức, hàm zeta và một số tính chất của chúng Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức như phương trình đặc trưng của L- hàm phức, thặng dư của hàm phưc F (z)z  n 1 , không được chứng minh ở đây Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1] 2.2.1 Khái niệm hàm zeta và L hàm  1 Với mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi... HÀM PHÂN HÌNH p- DIC Nội suy hàm phân hình p- dic nghĩa l tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào đó sao cho f(n) = bn với bn  ,n  0 l dãy số p- dic trong  p cho trước Nếu tìm được hàm phân hình p- adic thỏa điều kiện như trên thì dãy bn  ,n  0 gọi l dãy nội suy p- adic Trong § này chúng ta tìm điều kiện của dãy bn  ,n  0 để tồn tại hàm nội suy p- adic Trước hết chúng tôi xin nêu các bổ đề sau... 0 l đặc trưng Dirichlet theo modulo f Ta nói đặc trưng  được cảm sinh từ đặc trưng ’ Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f l nguyên thủy nếu không tồn tại đặc trưng ’ theo modulo n với n < f sao cho  được cảm sinh từ ’ Khi đó f được gọi l conductor của  Cho p l số nguyn tố, a   , (a)   p   l đại diện Teichmuller của a Dễ dàng chứng minh được ánh xạ  :    l đặc trưng Dirichlet... a0  a1 p   aN p N với 0  ai  p  1 , 0  i  N, aN  0 Đặt sx  a0  a1   aN ( sx l tổng các chỉ số trong biểu x  sx diễn p- dic của x) Khi dó ord p (x !)  (3.1) p 1 Chứng minh Ta chứng minh bằng qui n p theo n, với x = 1 hiển nhiên đúng, x  sx x  1  sx 1 , ta cần chứng minh ord p ((x  1)!)  Ta có giả sử ord p (x!)  p 1 p 1 x  sx ord p ((x  1)!)  ord p (x!)  ord p (x  1)... quan tâm xin xem [1] §1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI 2.1.1 Hệ số Bernoulli Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển t.et Taylor của hm F(t)  t tại t =0.Tức l F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ e 1 thừa của  tn F(t)   Bn (2.1) n! n0 Do đó Bn l đạo hm c p n của F(t) tại t = 0, Bn = F(n)(0) R rng cc Bn , n  0 l số 1 1 hữu tỉ B0 = 1, B1 = , B3 =