XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH VÕ THANH TÚ XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC  LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 p BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH VÕ THANH TÚ XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC  Chun ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH LÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 p LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành nhờ q trình tích lũy kiến thức, tích lũy kinh nghiệm lâu dài khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đặc biệt lớp cao học tốn khóa 19, chun ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Lời luận văn tơi xin gửi đến TS Nguyễn Đình Lân, PGS TS Mỵ Vinh Quang – người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin chân thành cảm ơn thầy: TS Trần Hun, PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS Bùi Xn Hải, TS Lê Hồn Hóa, TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Tuấn Nam với tất thầy khác trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập Cuối tơi xin cảm ơn anh chị phòng Khoa học cơng nghệ sau Đại học, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt Ban giám hiệu trường THPT Bình Phú động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập suốt thời gian qua hồn thành luận văn Một lần xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Võ Thanh Tú Mục lục LỜI CẢM ƠN Mục lục MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: 2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: 3.Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: 4.Cấu trúc luận văn: Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Chuẩn trường 1.2 Xây dựng trường số p-adic  p 16 Chương : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC p 25 2.1 Xây dựng trường số phức p-adic  p 25 2.2 Một số tính chất trường  p , giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  40 2.3 Cấu trúc nhóm nhân *p 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Từ năm 1897, số p-adic Kurt Hensel (1861 – 1941) mơ tả, trăm năm qua số p-adic dần phát triển mạnh, xâm nhập vào lĩnh vực khác tốn học lý thuyết số, tơpơ đại số, giải tích…và vật lý đặc biệt vật lý lượng tử Giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ vào khoảng năm 40 kỷ XX trở thành chun ngành độc lập nhờ vào việc phát mối liên hệ giải tích padic với vấn đề lớn hình học đại số số học Giải tích p-adic xây dựng sở trường số phức p-adic  p Bởi vậy, nghiên cứu đầy đủ xác số phức p-adic việc làm cần thiết thú vị Việc xây dựng luận văn nghiên cứu xây dựng đầy đủ, chi tiết tính chất trường số phức p-adic  p , đặc biệt tìm tòi, nghiên cứu giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  Bởi vậy, chúng tơi định chọn đề tài “Xây dựng trường số phức p-adic  p ” 2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: o Xây dựng cách đầy đủ, hệ thống, hồn chỉnh trường số phức p-adic  p o Nghiên cứu, tìm tòi tính chất tơpơ đại số …của trường số phức p-adic  p Đặc biệt so sánh, tìm tòi, nghiên cứu giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  o Xây dựng nhóm nhân *p nghiên cứu số tính chất 3.Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Luận văn làm sáng tỏ thuộc tính, tính chất tơpơ đại số trường số phức  ; giống khác trường số phức  trường số phức p-adic  p Qua đó, giúp cho việc nghiên cứu tốn giải tích p-adic dễ dàng 4.Cấu trúc luận văn: Nội dung luận văn gồm:  Phần mở đầu  Nội dung chính: gồm hai chương Chương 1: Các kiến thức Chương trình bày kiến thức về: chuẩn trường, xây dựng trường số p-adic  p , vành số ngun p-adic  p , tính chất tơpơ đại số  p  p ,…và vấn đề liên quan cần cho chương Chương 2: Xây dựng trường số phức p-adic  p Chương xây dựng cách đầy đủ, hệ thống, hồn chỉnh trường số phức p-adic  p Nghiên cứu, tìm tòi tính chất tơpơ đại số …của trường số phức padic  p Đặc biệt so sánh, tìm tòi, nghiên cứu giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  Đồng thời xây dựng nhóm nhân *p nghiên cứu số tính chất Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Chương trình bày kiến thức về: chuẩn trường, xây dựng trường số p-adic  p , vành số ngun p-adic  p , tính chất tơpơ đại số  p  p ,…và vấn đề liên quan cần cho chương Hầu hết chứng minh chương bỏ qua, tìm chứng minh phần tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ : F →  gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F , x = ⇔ x = ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F 1.1.2 Ví dụ 1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thơng thường chuẩn F 2) F =  , mơđun số phức chuẩn F 3) F trường Xét ánh xạ: :F → 1 x x = 0 x = chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường Dễ thấy 1.1.3 Tính chất Cho chuẩn trường F có đơn vị Với x thuộc F ta có: i ) =−1 =1 ii ) x n= x , ∀n ∈  n −1 ) x −1 x , x ≠ iii= Chứng minh x ≠ i) Ta có 12 = 1.1 =⇒ 12 =1 = 12 1.1 = 1= 1 ⇒1 = 2 Mà ≠ ⇒ ≠ ⇒ = 1 Lập luận hồn tồn tương tự, ta −1 = = ii) x n x=  x x x x  x x = n n - thừa số −1 iii ) Ta có x x −1 = x.x −1 == 1 ⇒ x −1 = x  1.1.4 Nhận xét Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường Chứng minh Xét chuẩn trường F Giả sử F có q phần tử, nhóm nhân F* có cấp q – Khi đó, ∀x ∈ F * ta có x q −1 = ⇒ x q −1 = 1⇔ x ⇒ x = Vậy q −1 = chuẩn tầm thường F  1.1.5 Định nghĩa Cho chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm d : F × F →  sau: d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F chuẩn F nên ta dễ dàng kiểm tra d mêtríc F Do (F, d) khơng gian mêtríc 1.1.6 Định nghĩa Cho , hai chuẩn trường F ta nói hai chuẩn tương đương nếu: {xn } dãy Cauchy theo chuẩn chuẩn {xn } dãy Cauchy theo Chú ý rằng: {xn } dãy Cauchy theo chuẩn m , n →+∞ , nghĩa là: xm − xn  → Hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈  : ∀n, m > n0 , xm − xn < ε 1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F trường chuẩn trường F Khi đó, điều sau tương đương: , hai 1) ∀x ∈ F , x < ⇔ x < 2) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x ≤ 3) ∃c ∈ *+ : ∀x ∈ F , x =x c 4) Các tơpơ sinh 5) 1 ≤ c1 và tương đương với 1.1.8 Hệ Cho cho 1 , ≤ c2 2 ( trùng  ) hai chuẩn trường F Nếu tồn hai số dương c1 , c2 = Sau ta định nghĩa chuẩn phi Asimet 1.1.9 Định nghĩa Cho chuẩn trường F Chuẩn gọi chuẩn phi Acsimet F thỏa thêm điều kiện: iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F Chuẩn thỏa iii) khơng thỏa iii’) gọi chuẩn Acsimet Ví dụ: Chuẩn tầm thường trường F chuẩn phi Acsimet Thật vậy, x + y = x + y =0 ≤ max { x , y } Nếu x + y ≠ x ≠ y ≠ , x + y =1 ≤ max { x , y } Cho p số ngun tố cố định Với x ∈  \ {0} , ta ln có x = pα m n ( m, n ∈ , (m, n) =1; (m, p ) =1; (n, p ) =1) α gọi p-số mũ x, ký hiệu ord p ( x) = α Quy ước: ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ 1.1.10 Mệnh đề Cho p số ngun tố, ∀x, y ∈  ta có i )ord = ord p ( x) + ord p ( y ) p ( xy ) ii )ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )} Chứng minh mu u α m i) Giả sử x p= suy = , y p β Khi đó, xy = pα + β nv n v ord p ( xy ) = α + β = ord p ( x) + ord p ( y ) ii) Ta xét trường hợp sau +) x + y = : Khi đó, ord p ( x + y ) = ∞ ⇒ ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )} +) x = ∨ y = : Nếu x = ord p ( x + y ) = ord p ( y ) ord p ( x) = ∞ Vì ord p ( x) = ∞ suy ord p ( y ) ≤ ord p ( x) ⇒ min{ord = ord p ( y ) = Mà ord p ( x + y ) ord p ( y ) p ( x ), ord p ( y )} ⇒ ord p ( x + y ) = min{ord p ( x), ord p ( y )} u α m sử x p= +) x ≠ ∧ y ≠ : Khơng tính tổng qt, giả = , y p β , với n v mv + p β −α un p Khi suy ord p ( x) = α ≤ β = ord p ( y ) Thế x + y = nv α min{ord p ( x), ord p ( y )} ord p ( x + y ) ≥ α = Vậy ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )}  1.1.11 Mệnh đề Cho ρ số thực thỏa < ρ < p số ngun tố Ánh xạ ρ : →  x xρ =ρ ord p ( x ) chuẩn phi Acsimet  với quy ước ρ ∞ = Chứng minh Ta chứng minh định nghĩa i) Rõ ràng x ρ ≥ 0, ∀x ∈  Mặt khác, x ρ = ⇔ ρ ii) ∀x , y ∈ , xy= ρ ρ ord p ( xy ) = ρ iii) ∀x, y ∈ , x += yρ ρ ≤ max{ρ ord p ( x ) ,ρ ord p ( y ) { ⇒ x + y ρ ≤ max x ρ , y ρ Chú ý 1) < ρ1 , ρ < ⇒ ord p ( x )+ ord p ( y ) ord p ( x + y ) = ρ ≤ρ ord p ( x ) ord p ( x ) ρ = ⇔ ord p ( x) = ∞ ⇔ x = ord p ( y ) = xρ yρ min{ord p ( x ),ord p ( y )} } }  ρ1  ρ2 Mặt khác, ∀k , ta có an −1, Nk ξ n −1 + + a0, Nk < p − Nk Cho k → ∞ , , Nk → = bi , ∀i 0,1, , n − p − N → k ⇒ bn −1ξ n −1 + + b0 ≤ ⇒ bn −1ξ n −1 + + b0 = ⇒ bn −1ξ n −1 + + b0 = ⇒ ξ nghiệm đa thức g = ( x ) bn−1 x n−1 + + b0 với deg g= n − (mâu thuẫn với giả thiết ξ nghiệm đa thức bậc bé n) Vậy Bổ đề chứng minh xong  Áp dụng Bổ đề ta chứng minh Định lý sau: 2.1.15 Định lý  p khơng đầy đủ Chứng minh Chúng ta cần chứng minh tồn dãy Cauchy {ai }  p khơng tồn số a ∈  p giới hạn dãy {ai } Cho b i nghiệm ngun thủy bậc p − i  p , tức bip (p 2i )(p −1 i = ∑ b j p 2i −1 = , bim ≠ , m < p − Chú ý rằng, i’ > i i ) 2i ' −1 = Do đó, i’ > i, b i lũy thừa b i’ Đặt 2i ' − nên suy bip Nj , với < N < N < N < …là dãy tăng số ngun khơng âm, j =0 chọn sau phép quy nạp; ta nhận thấy b j với j = 0, 1, 2, …, i, chữ số khai triển p-adic a i trường phân nhánh mở rộng  p ( bi ) , b j đại diện Teichmüller Rõ ràng {ai } dãy Cauchy Bây giờ, chọn N j , j ≥ 0, phương pháp quy nạp Giả sử chọn i N j với j ≤ i , = ∑ b j p Nj j =0 Đặt K =  p ( bi ) Ta có, K mở rộng Galois bậc 2i Ta cần chứng minh:  p ( ) = K Thật vậy,  p ( ) ⊂ K suy tồn  p - tự đẳng cấu σ (khác đồng nhất) ≠ K thỏa σ ( ) = Nhưng σ ( ) có khai triển p-adic σ ( ) = ∑ σ ( b j ) p i j =0 Nj Do σ ( bi ) = bi nên suy σ ánh xạ đồng K (mâu thuẫn) Vậy,  p ( ai= ) K=  p ( bi ) Suy ra, phần tử đại số bậc 2i  p Theo Bổ đề 2.1.14 ta chọn N i+1 > N i cho a i khơng thỏa mãn đồng dư thức α n ain + α n−1ain−1 + + α1ai + α ≡ ( mod p N i +1 ) với n < 2i α ∈  i p , khơng phải tất chia hết cho p Vậy, ta có dãy N i Do đó, ta có dãy {ai } Bây giờ, ta chứng minh dãy {ai } khơng hội tụ Thật vậy, giả sử ngược lại, lim ai= a ∈  p Khi a thỏa mãn phương trình sau: α n a n + α n−1a n−1 + + α1a + α = 0, α i ∈  p khơng đồng thời chia hết cho p ( ) Chọn i cho 2i > n Do a ≡ mod p Ni +1 , nên ta có: α n ain + α n−1ain−1 + + α1ai + α ≡ ( mod p N i +1 ) (mâu thuẫn) Vậy, dãy {ai } khơng hội tụ Định lý chứng minh xong  Trường  p đóng đại số lại khơng đầy đủ theo tục làm đầy đủ  p theo vừa xây dựng Nếu tiếp ta trường số phức p-adic, ký hiệu  p ,    Vậy  p có đóng đại số khơng? Ta có định lý sau: = =  p p 2.1.16 Định lý:  p đóng đại số Chứng minh Đặt f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + a1 x + a0 ; ∈  p Chúng ta cần chứng minh f(x) có nghiệm  p Thật vậy, với i = 0, 1, …, n – 1, đặt {ai , j } dãy phần tử  p hội tụ j a i Đặt g j ( x ) = x n + an −1, j x n −1 + + a1, j x + a0, j Đặt ri , j ∈  p nghiệm g j (x) (i = 1, 2, … n) Khi đó, quy nạp ta tìm i j (1 ≤ i j ≤ n), với j = 1, 2, 3, …sao { } dãy Cauchy Cụ thể là, giả sử có r cho dãy ri j , j ri j +1 , j +1 ij , j ( i ≤ j ) ta tìm ( Đặt δ j =g j − g j +1 =max i , j − , j +1 ) → j → ∞ n Đặt A j = max 1, ri j , j  Rõ ràng rằng, theo Bổ đề 2.1.12 ta có chọn số A p  cho Aj ≤ A với j Khi đó, ta có: ∏r ij , j ( ) ( ) ( ) − ri j , = g j +1 ri j ,= g j +1 ri j , j − g j ri j , j ≤ δ j A j +1 j i Ta chọn ri j +1 , j +1 ri , j +1 thỏa ri j , j − ri , j +1 ≤ n δ j A Suy ri j , j dãy Cauchy Bây giờ,= đặt r lim ri j , j ∈  p (do  p đầy đủ) Khi đó, j →∞ ( ) ( ) = f ( r ) lim = f ri j , j lim = g j ri j , j j →∞ j →∞ Suy f(x) có nghiệm  p Vậy  p đóng đại số  Tiếp theo ta phát biểu Bổ đề Hensel suy rộng, cách chứng minh tương tự Bổ đề Hensel: { } 2.1.17 Bổ đề Hensel (suy rộng) Trong  p , cho A =∈ x  p x ≤ , giả sử có đa thức f ( x ) ∈ A [ x ] thỏa f ( x0 ) < f ' ( x0 ) Khi đó, tồn ξ ∈ A , ξ nghiệm f ( x ) thỏa x0 ξ −= f ( x0 ) < f ' ( x0 ) nghiệm ξ hình cầu tâm x0 , bán kính f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) Tiếp theo ta giới thiệu số tính chất  p so sánh giống nhau, khác trường số phức p-adic  p trường số phức  2.2 Một số tính chất trường  p , giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  Trong giải tích phức ta biết  mở rộng hai chiều  Vấn đề đặt số chiều  p  p bao nhiêu? Ta có mệnh đề sau: 2.2.1 Mệnh đề  p mở rộng vơ hạn chiều  p ([ p :  p ] = ∞ ) Chứng minh ∀n ∈ * , xét đa thức f ( x ) = x n − p ∈  p [ x ] đa thức bất khả quy (theo tiêu chuẩn Eisenstein) Gọi α ∈  p nghiệm f ( x ) Nên Irr (α ,  p , x= ) xn − p Ta có  p (α ) :  p  = n Mà  p (α ) ⊂  p suy  p :  p  ≥ n , ∀n ∈  * ⇒  p :  p  = ∞ Vậy  p vơ hạn chiều  p Trong giải tích phức ta biết  compăc địa phương Vấn đề đặt  p có compăc địa phương khơng? Ta có  p khơng compăc địa phương Thật vậy,  p đóng đại số nên theo Định lý 2.1.1, thay trường F trường  p suy  p khơng compăc địa phương Trong giải tích phức ta biết  khơng gian khả ly Vấn đề đặt  p có khơng gian khả ly khơng? Ta có mệnh đề sau: 2.2.2 Mệnh đề  p khơng gian khả ly Chứng minh Ta cần chứng minh có tập đếm trù mật  p Ta gọi A tập hợp tất phần tử đại số  , α ∈ A ⇔ α nghiệm đa thức f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 ∈  [ x ] Đặt Ai = {tập tất nghiệm  p đa thức bậc i, hệ số thuộc  , i = 1, 2, …} Mà A i tập đếm nên suy A =  Ai , i = 1, 2, …: tập đếm  p Ta chứng minh A trù mật  p ∀ε > , lấy α ∈  p , ta chứng minh hình cầu B (α , ε ) chứa phần tử γ ∈ A Thật vậy, α ∈  p ⇒ B (α , ε ) chứa β ∈  p , β nghiệm g ( x ) = x n + bn−1 x n −1 + + b1 x + b0 ∈  p [ x ] Gọi {bi ,k } ⊂  dãy cho bi ,k → bi k → ∞ Khi đó, ta có dãy hàm g k ( x ) = x n + bn −1,k x n −1 + + b1,k x + b0,k ∈  [ x ] với g k ( x ) → g ( x ) k → ∞ Ta có β ∈ B (α , ε ) ⇒ B (α , ε ) = B ( β , ε ) (vì điểm thuộc hình cầu tâm) Nên với k đủ lớn ta có bi ,k − bi < ε , ∀i =1, ⇒ gk ( x ) = có nghiệm γ ∈ A cho β − γ < ε (theo Bổ đề 2.1.13) ⇒ γ ∈ B ( β ,ε ) = B (α , ε ) Nên ta chứng minh hình cầu B (α , ε ) chứa phần tử γ ∈ A Vậy  p khơng gian khả ly  Tiếp theo, ta biết nhóm giá trị  * =  + Vậy nhóm giá trị  p gì? Ta có mệnh đề sau: 2.2.3 Mệnh đề Nhóm giá trị  p là: = *p {p r r ∈ } {p s s ∈ } Chứng minh Trước tiên ta có nhóm giá trị  p là: = *p Ta lại có: *p = { x x∈ } ⊂  * p + * , *p =  p * Với x ∈ *p , x = xk ∈  p (với k đủ lớn) lim xn = n →∞ n n Mà α  pm , m ∈  = = a0 , a0 ∈  p ⇒ a= (α )  p (α ) p m ⇒= α p n , m, n ∈  ⇒ *p =  p ⊂ { p r r ∈ } Ta chứng minh: { p r r ∈ } ⊂  p * * Thật vậy, ∀r ∈  , ta chứng minh tồn α ∈  p để α = p r Ta có: r = m , m ∈ , n ∈  + Xét đa thức x n − p bất khả quy  p (theo tiêu chuẩn n Eisenstein) có nghiệm α ⇒ Irr (α ,  p , x ) = xn − p n Ta có α = p = p − n ⇒α =p m − m n ⇒α m n −m = p = pr Suy ra, { p r r ∈ } ⊂  p *  ) = {p Vậy, nhóm giá trị (  p , * p r ∈ } r  Tiếp theo ta xây dựng trường thặng dư  p , trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau: 2.2.4 Bổ đề Cho F, L hai trường với trường thặng dư Fp , L p Nếu L= F trường thặng dư đẳng cấu với Fp ≅ Lp Chứng minh F Fp = B (1) Ta có: L B0F (1) , L p = B (1) B0L (1) Xét ánh xạ : F ϕ : B (1) → Lp  { x} x + ϕ tồn cấu vành + Ta chứng minh ϕ đơn cấu Thật vậy, ta có: { } Kerϕ = x ∈ B (1) : { x} = { F F } = x ∈ B (1) : x < = B0F (1) F Vậy: B (1) B0F (1) ≅ L p hay Fp ≅ L p  2.2.5 Bổ đề Giả sử chuẩn phi Acsimet rời rạc khơng tầm thường trường F với trường thặng dư Fp Chuẩn chuẩn phi Acsimet cảm sinh bao đóng đại số F ( ) với trường thặng dư F p Khi đó, F p = Fp , tức là, trường thặng dư bao đóng đại số bao đóng trường thặng dư Chứng minh Đặt = k F F= p ; kF ( F ) Bây ta chứng minh kF = kF p Đầu tiên ta chứng minh k F ⊆ k F Thật vậy, ∀α ∈ k F , suy α =β , β ∈ F , β ≤ Giả sử Irr ( β , F , x) = x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ∈ F [ x] , n ∈  nên β n + an−1β n−1 + + a1β + a0 = Xét π ∈ F cho π =max F * ∩ (0,1) G = F * F= {π n } : n∈ Ta có ∀i 0,1,2, , n − , ∃ki ∈ Đặt m = = =  : π i = {ki : i 0,1, , n − 1} k m π π −= −m π = −m = π i π k ki − m ≤ 1= ∀i 0,1 nên ∃π − m ∈ k F Mặt khác : π − m ( β n + an−1β n−1 + + a1β + a0 ) = ⇒ π − m β n + π − m an−1β n−1 + + π − m a1β + π − m a0 ) = n ⇒ π − m β + π − m an−1 β n −1 + + π − m a1 β + π − m a0 ) = suy α = β nghiệm đa thức f = x n + bn −1 x n −1 + + b1 x + b0 ∈ kF [ x] , n ∈  nên α ∈ k F Vậy k F ⊆ k F Cuối ta phải chứng minh k F ⊆ k F Thật vậy, giả sử đa thức f ( x) = x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ∈ k F [ x] đa thức có deg f = n ≥1 Khi đa thức f ( x) = x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ∈ F [ x] có nghiệm α ∈ F Do đó, α n + an−1α n−1 + + a1α + a0 = suy α nghiệm f = x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ∈ k F [ x] nên α ∈ k F Mặt khác α ≤ Thật vậy, Nếu α > thì: =0 = α n + an−1α n−1 + + a1α + a0 { } = max α n , aiα i i= 0,1, , n − = α n = α Suy F α ∈ B (1) α ∈ kF n > 1(!) kF ⊆ kF nên kF = kF Nên ( ) Vậy, F p = Fp , tức là, trường thặng dư bao đóng đại số bao đóng trường thặng dư  2.2.6 Mệnh đề Trường thặng dư  p bao đóng đại số Fp = p p p Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.4 Bổ đề 2.2.5 với   p = p Mà trường thặng dư ( p , p ) Fp = p p p Suy trường thặng dư  p đẳng cấu với F p  2.3 Cấu trúc nhóm nhân *p 2.3.1 Nhận xét Ký hiệu: { } { } { } U= x∈p x = = A \ M với A =∈ x p x ( x + 1) − 1= x p + C1pn x p pn n n −1 + C p2n x p n −2 + + C ppn −1 x n Vì x ≥ nên với k = 1, 2, …, pn – 1, ta có −k C p nk x p = C pk n x p n n −k < x pn −k ≤ x pn Theo ngun lý tam giác cân ta có: > x p + C1pn x p n n −1 + C p2n x p n −2 + + C ppn −1 x= x n pn ≥ ⇒ > (Vơ lý) Vậy ta chứng minh 1) ⇔ 2) • Chứng minh: a ∈  +p ⇔ a p ∈  +p a ∈  +p ⇔ lim a p = ⇔ lim a p n n →∞ n →∞ n +1 = ⇔ lim ( a p ) Vậy mệnh đề chứng minh xong n →∞ pn = ⇔ a p ∈  +p  2.3.5 Định lý  +p nhóm chia *p với phép nhân Tức là, ∀x ∈  +p , ∀m ∈ * , ∃y ∈  +p : y m =x Chứng minh Ta xét trường hợp i) m = p : Lấy x0 ∈  +p ,  p đóng đại số nên ∃y0 ∈  p để y0p = x0 ∈  +p ⇒ y0 ∈  +p (theo Bổ đề 2.3.4) ii) ( m, p ) = 1: Lấy x0 ∈  +p ⇒ x0 =1 + t với t < Xét đa thức: f ( x ) = x m − (1 + t ) Với x0 = , ta có f (1) =1m − (1 + t ) =t ⇒ f (1) = t < f ' (1) = m= ⇒ f (1) < f ' (1) { } Theo Bổ đề 2.1.17 (Bổ đề Hensel suy rộng) tồn y0 ∈ A = x ∈  p x ≤ để y0 − < y0m = + t = x0 ⇒ y0 ∈  +p Nghĩa tồn y0 ∈  +p y0m = x0 , suy  +p nhóm chia iii) m bất kỳ: Khi m viết dạng m = p k n với k ≥ 1, ( n, p ) = Theo chứng minh trên, ∃y0 ∈  +p để y n = x0 ∃z0 ∈  +p z0p = y0 k cho ⇒ z0p n = y0 ⇒ z0m = x0 , suy  +p nhóm chia k Vậy  +p nhóm chia  Ta tiếp tục nghiên cứu cấu trúc nhóm U qua định lý hệ sau: 2.3.6 Định lý Với x ∈ A, lim x p ln tồn thuộc U p Hơn nữa, ánh xạ: n! n →∞ ω : A →Up x  ω ( x ) = lim x p n! n →∞ tồn cấu nhóm Kerω =  +p Chứng minh () Lấy x ∈ A , suy x ∈ A / M phần tử đại số trường  p  p x mở rộng hữu hạn () bậc f  p , đặt q = p f Khi đó, x Theo Bổ đề 2.3.4, ta có lim ( x n +1 xq n { } = + ε n với lim ε n= ⇒ x q n →∞ n ) n q −1 p n →∞ xq q −1 = , x q −1 − < , nghĩa x q −1 ∈  +p = , lim ( x n →∞ ) n q −1 q = ⇒ lim dãy Cauchy Suy lim x q n →∞ n →∞ n xq n +1 xq n = hay tồn ta đặt lim x q = ω ( x ) hay lim x p = ω ( x ) Với n đủ lớn n !  fn , nghĩa n ! = fnk , n fn n →∞ n →∞ lim = xp lim = xp ω ( x) n! fn n →∞ Từ n →∞ ( x) q −1 () =1⇒ x q = x , quy nạp ta chứng minh x q = x , cho n n → ∞ , suy ω ( x ) = x hay x − ω ( x ) < ( Suy ra, = ωq ( x) ) q lim lim xq xq = = ω ( x) n n →∞ n +1 n →∞ Vì ω ( x ) ≠ ⇒ ω q −1 ( x ) = Vậy ω ( x ) ∈ U p (vì q − 1= p f − ngun tố với p) Dễ thấy, = ω ( xy ) lim = lim y q ω ( x ) ω ( y ) ( xy ) lim x q= qn n n →∞ n →∞ n n →∞ Nên, ω đồng cấu nhóm Ta chứng minh ω tồn ánh Lấy x0 ∈ U p , ta chứng minh tồn m cho ( m, p ) = để x0m = Thật Giả sử dãy p − 1, p − 1, , p m − khơng có số chia hết cho m Suy thỏa ∃i, j ∈  ra, để ≤ i, j ≤ m (p j − 1) − ( p i − 1)  m ⇒ p j − p i  m ⇒ p i ( p j −i − 1)  m ⇒ p j −i −  m với ≤ j − i ≤ m nên điều giả sử khơng Do đó, ∃f ∈ {1, 2, , m} để p f −  m Khi đó, ta có x0p f −1 = Ta có x0 , ω ( x0 ) ∈ U p ⇒ x0 − ω ( x0 ) < Theo Nhận xét 2.3.3 suy x0 = ω ( x0 ) Vậy, ω tồn ánh Ta tiếp tục chứng minh Kerω =  +p { } Thật vậy, Kerω = x ∈ A ω ( x) = ∀x ∈ Kerω ⇒ ω ( x ) =1 Mà x − ω ( x ) < ⇒ x − < ⇒ x ∈  +p ⇒ Kerω ⊂  +p Ngược lại, ∀x ∈  +p , theo Bổ đề 2.3.4 suy lim x p =1 ⇒ ω ( x ) = lim x p =1 ⇒ x ∈ Kerω ⇒  +p ⊂ Kerω n n! n →∞ n →∞ Vậy Kerω =  +p Từ định lý 2.3.6 ta có hệ sau:  • 2.3.7 Hệ U =  +p + U p Chứng minh i ω Ta có dãy khớp: →  +p →U →U p → Do  +p chia nên nhóm  +p nhóm nội xạ, dãy chẻ • ⇒U =  +p + U p  Cuối cùng, áp dụng hệ 2.3.7 mệnh đề 2.3.2 ta có định lý sau mơ tả cấu trúc nhóm nhân *p 2.3.8 Định lý • • *p = p  + U p +  +p ≅ ( , + ) ⊕ U p ⊕  +p KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách xây dựng cách đầy đủ, hệ thống, hồn chỉnh trường số phức p-adic  p Nghiên cứu, tìm tòi tính chất tơpơ đại số …của trường số phức p-adic  p Đặc biệt so sánh, tìm tòi, nghiên cứu giống khác trường số phức p-adic  p trường số phức  Đồng thời xây dựng nhóm nhân *p nghiên cứu số tính chất Vì thời gian khả thân hạn chế nên luận văn tơi giới thiệu chưa đầy đủ tính chất trường số phức p-adic  p , nhóm nhân *p ; chắn tính chất thú vị khác mà tơi nhiều thầy tiếp tục nghiên cứu, tìm tòi Trong luận văn chắn khơng tránh khỏi có thiếu sót, kính mong q thầy bạn đồng nghiệp bảo đóng góp ý kiến để luận văn đạt chất lượng cao Xin chân thành cảm ơn trân trọng! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Alain M.Robert, A course in p-adic analysis, Switzerland, 2007 [2] Andrew Baker, An introduction to p-adic number and p-adic analysis, Scotland, 2009 [3] Chung-Chun Yang and Pei-Chu Hu, Meromorphic functions over non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers, 2000 [4] Gouvêa, p-adic Numbers, Berlin Springer, F.Q.2003 [5] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta – Functions, Springer, 1996 [6] Neal Koblitz, p-adic Analysis : a short course on recent work, Cambridge Unversity Press, 1980 [7] Svetlana Katok, Real and p-adic analysis, Course Notes For Math497c, Mass program, Fall 2000, Revised, November 2001 [8] W H Schikhof, Ultrametric calculus, Cambridge University Press, 1984 [...]... nghĩa p = {x ∈  p : x p ≤ 1};  *p = {x ∈  p : x p = 1}; M p = {x ∈  p : x p < 1} * Chú ý = 1) M p = p p p \ p 2) M p là iđêan tối đại của vành  p Và trường thặng dư của ( p , p Mp = p p p p ) là Ta có các mệnh đề sau là một số tính chất của vành  p 1.2.9 Mệnh đề Fp =  p p p ≅ p = Fp Nghĩa là, trường thặng dư của ( p , p ) là p Chứng minh Xét tương ứng f :  p → p p p , a + p ... của  p Với mỗi x ∈ I \ {0} , do x p p − m , m ∈  Gọi a là phần tử của I sao cho a p = p − m lớn nhất Ta x p ≤ 1 suy ra= chứng minh I = p m  p +) I ⊆ p m  p : ∀x ∈ I , x =p m x pm p x , trong đó, pm xp p m x = m ≤ −m = 1 ⇒ m ∈  p ⇒ x ∈ p m p ⇒ I ⊆ p m p p p p p x +) p m  p ⊆ I : ∀x ∈ p m  p , với a ∈ I đã chọn ở trên, ta phân tích x = a Ta có a x ∈ p m  p , x = p m c(c ∈  p ) ⇒ x p = p −... là 0, 1, -1  Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P ADIC p 2.1 Xây dựng trường các số phức p- adic  p Ta biết rằng trường các số phức  là mở rộng của trường các số thực  có hai tính chất khá tốt là: đóng đại số và compăc địa phương Vậy trong trường h p chuẩn phi Acsimet liệu có tồn tại trường nào là mở rộng của trường  p và có hai tính chất trên khơng ? Câu trả lời là phủ định Trước tiên ta cần... p − m c p ≤ p − m Mà ⇒ x p m x ≤ − m =1 ⇒ ∈  p ap p a x Mà= a ∈ I , x a , I   p ⇒ x ∈ I ⇒ p m  p ⊆ I a x a = p xp ap = xp p m Như vậy I = p m  p , với= m min{m ∈  : ∃a ∈ I ,= a p p − m } Hay  p là vành chính và t p các iđêan của  p l p thành một dây chuyền Cụ thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0  1.2.11 Mệnh đề  p là t p compăc Chứng minh Giả sử {xn } là một dãy trong  p Ta có... p= n ao + p an p n−1 = n 0= n 1 +∞ ∑a = n 1= n 1 n p n −1 ∈  p ⇒ a − ao ∈ p p ⇒ a + p p = ao + p p = f (ao + p ) ⇔ f (ao + p ) =+ a p p Vậy f là tồn ánh +) f là đẳng cấu: kiểm tra trực ti p ta được f là đồng cấu vành, do đó, f là đẳng cấu Vậy: p p p ≅ p = Fp  1.2.10 Mệnh đề  p là vành chính và t p các iđêan của  p l p thành một dây chuyền Cụ thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0 Chứng... ta có  p  ( p) : p  = 2 (vì Irr  ( ) p ,  p , x= x 2 − p ) { } { } Ta có: = p p.1 + 0 p , suy ra p = max p p , 0= max p Và 1 p ra p = max = 0 p , 1 p 1 = p 0.1 + 1 p , suy Giả sử max max 1 Ta có: = p Vậy p= p max là chuẩn trường trên V (tức là = xy max x max y max , ∀x, y ∈ V ) p= max p= = 12 1 (mâu thuẫn) max p p= 2 max khơng là chuẩn trường trên V  2.1.8 Chuẩn của phần tử Với α ∈  p , đa... + p p Ta sẽ chứng minh f là đẳng cấu vành +) f là ánh xạ đơn ánh: ∀a, b ∈ , a − b = pc ∈ p (c ∈ ) ⇔ a − b = pc ∈ p (c ∈  p ) Thật vậy, c ∈  thì rõ ràng c ∈  p Ngược lại, c ∈  p Ta có: = c a −b ⇒ c= p p a −b p pp ≤ 1 ⇒ a − b p ≤ p −1 ⇔ a − b p1 ⇒ c ∈  Vậy f là ánh xạ đơn ánh +) f là tồn ánh: ∀a + p p ∈ p , vì a ∈  p nên a= p p +∞ ⇒ a − ao = p ∑ an p n −1 Mà +∞ +∞ ∑ an p= n ao + p ... < p − j → 0 ⇒ xkn j → x p Vậy  p là t p compăc  1.2.12 Mệnh đề  p compăc địa phương Chứng minh Với mọi x ∈  p , ta chứng minh x có một lân cận mở compăc Xét t p x+ p = B x (1) là một lân cận mở của x Ta sẽ chứng minh x +  p = B x (1) là compăc Thật vậy, vì f :  p → x +  p , a  a + x là ph p đồng phơi với f −1 : x +  p →  p , y  y − x , mà  p là t p compăc nên x +  p là compăc Vậy  p compăc... compăc Vậy  p compăc địa phương 1.2.13 Mệnh đề ∀x ∈ , ∀r ∈ * , B ( x, r ), B ( x, r ) là compăc Chứng minh  Ta có P m  p đồng phơi với  p vì các ánh xạ −1 f f  p  → p m  p → p x  pm x  p − m x : là các song ánh liên tục Do đó, ∀m ∈ , p m  p compăc, mà p m  p = B (0, p − m ) ⇒ B (0, p − m ) compăc Mặt khác, ∀r ∈ * , ∃m ∈  : B (0, r ) ⊂ B (0, p − m ) Suy ra, B (0, r ) compăc ⇒ ∀x ∈ ,... nhiên, ta có thể xây dựng một trường với chuẩn phi Acsimet là trường mở rộng của  p có hai tính chất khá tốt là: đóng đại số và đầy đủ Với hai tính chất đó, ta có thể xây dựng lý thuyết giải tích trên trường đó Q trình xây dựng đó có thể tóm tắt như sau: Làm đầy đủ  theo chuẩn p ta được trường  p đầy đủ nhưng khơng đóng đại số Ký hiệu bao đóng đại số của  p là  p Chuẩn trên  p được xây dựng như sau: