Xây dựng các l hàm padic

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sứ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH -———oOo — LỜI NÓI ĐẦU Mặc dù số p-adic xây dựng kỷ giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập khoảng 40 năm trở lại Sự phát triển vượt bậc nhờ việc phát mối liên quan sâu sắc giải tích p-adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Chẳng hạn, A.Wiles dùng biểu diễn L-hàm p-adic dạng modula công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn tiếng Vì việc nghiên cứu L-hàm, L-hàm p-adic đóng vai trò quan trọng then chốt lý thuyết số chọn đề tài “ Xây dựng Lhàm p-adic” Trong luận văn trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tính giá trị L-hàm p-adic s = số nguyên s > bố cục, luận văn chia làm ba chương Chương Đại số giải tích p-adic Trình bày bước xây dựng trường số p-adic Qp, nêu số tính chất đại số giải tích trường p-adic, khái niệm đại số hàm chỉnh hình p-adic, đại số hàm phân hình p-adic tập mở để làm tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic Chương Hệ số Bemoulli L-hàm phức Bao gồm hai § §1 trình bày hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ định nghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quát liên kết với đặc trưng Dirichlet §2 đưa khái niệm hàm zeta L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet, Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ nêu số tính chất L-hàm phức : phương trình đặc trưng LMã số : 60 46 05 Bn hàm phức, thăng dư F (z)z tai z = 0, công thức L(1 - n,x) = -— với n n > giá trị L-hàm s = Từ suy giá trị hệ số Bemoulli tổng quát tính chất hàm zeta • Chương Xây• •dựng L-hàm p-adic Đây chương quan trọng luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet giá trị s = dựa DÃN KHOA : theơlwasawa, đặc biệt đãNGƯỜI tính giáHƯỚNG trị L-hàm p-adic HỌC điểm nguyên PGS.TS MỴCụ VINH QUANGIII gồm năm dương cách sử dụng r- biến đổi hàm số thể chương § § Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy số p-adic Qp nội suy thành hàm phân hình p-adic Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 CAO TRẦN TỨ HẢI XÂYDựNG CÁC L-HÀM p-ADIC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC §2 L-hàm p-adic Như ta biết L(l-n,x) = — G Q(x) số đại số n Q nên ta xem chúng thuộc Qp Một vấn đề đặt có tồn hàm phân hình Bn y , p-adic f cho f(l-n) = -— L(1 -n,x), n > hay không ? Rât tiêc dãy dãy nội suy p-adic Vì phải chỉnh sửa chút để có dãy nội suy p-adic Trong § chứng minh dãy Ị- —j với b„ = (l - x„(p)p ~' ) „, , x„ = X®J" dãy nội suy p-adic Do n B X n L tồn hàm phân hình p-adic thoả Lp (1 - n,ỵ) = gọi L- hàm p-adic liên kết với đăc trưng X§3 Toán tử T- biến đổi Xây dựng T- biến đổi số tính chất T- biến đổi xem “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị L - hàm p-adic điểm nguyên dương §4 Công thức tính Lp(l,x) • Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet s = §5 Công thức tính giá trị L-ham p-adic điểm nguyên dương Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại số nguyên s > Do khả trình độ có hạn, luận văn chắn nhiều sai sót Rất mong cảm thông, góp ý bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang trực tiếp đề tài hướng dẫn cho ý kiến quí báu Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực Cao Trần Tứ Hải ^P^-Tk11 tron a,ai, ,aỵ ể eZ a ,P2, ,Pk p,pi gọi là số p-dic số X, nguyên tố kí a hiệu phân = ordp(x) ước ordp(0) = oo Với X, y e Q dễ dàng chứng minh CHƯƠNG ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chương ny chng tơi trình by kiến thức đại số V giải tích p-adic để phục vụ cho phần luận văn (chương 3) §1 CÁC TRƯỜNG SÓ p-ADIC ordp(xy) = 1.1.1 Trường số p-adic + ordp(y) ordp(x + y) > min|ordp(x),ordp(y)| Khi Cho trước số nguyên tố p, X e Q\{0} phân tích dạng ánh xạ Q xác định ordp(x) x^O x= lập thành chuẩn phi Archimade Q, nghĩa i) |x|>0, VxeQ, |x| = X = ii) |xy|=|x||y|, Vx,ysQ iii) |x + y| < maxỊ|x|,|y|Ị, Vx,yeQ Nguyên lý tam giác cân có vai trò quan trọng trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu |x| * |y| |x + y| = max||x|,|y|Ị ” Chú ý trường Q với chuẩn không gian định chuẩn không đầy đủ Ta xây dựng trường bao đủ Qp Q , chuẩn Qp mở rộng Mỗi phần tử Qp biểu diễn dạng X= a_mp-rn + + a0 + ajp + + anpn + với 0 0.00Suy I a^ Ị dãy Cauchy K với n > nên lim a[^ = an E K Gọi Q c=tronglà trường gồm tất số phức đại số Q Do Q (Z Qp nên e K) hàm chỉnh hình ^quả 'cầu k mở n^oo c n=0 Q cz Qp đơn vị Qp đại số Q nên nằm Q Nhóm (0,r) = {xeK I I x| < r Ị Thương hai hàm chỉnh hình tập mở V 2) đồng với nhóm nhân bậc hai đơn vị a n an (k)_ a a (l) a n n (k)_ a ta sup < 8, Vk > N Đặc biệt với k = N ta có n í'M'\ ỉupaỊjN^-an < 8, sup n |an| < max| -an , aJjNM,Vn mà ^ nên ’ an| < maxỊs,||AN|||,Vn Do ||An|| < max|e,||AN||Ị hay An e PK Hơn từ , Vk > N suy II Ak - A|| < 8, Vk > N nên lim Ak = A k-»00 n đại số Banach.[] 1.2.4 Hàm logarithm p-adic 00 _ Chuỗi hàm luỹ thừa log(l + x) = V— -Xn có bán kính hội tụ Q_ n“ì n Đặt D = Ịa e Qp I |a-l| < lỊ hàm số log : D —> Qp xác định 00 /_i\n loga = log[l + (a -1)] = ỵ~^-(a 1)" n=l gọi hàm logarithm p-adic logarithm p-adic Sau n tính chất hàm log(xy) = logx + logy , V x,y e D logex = X, e ogx = X ex = V —— _ n! n=n Bây ta thác triên hàm logarithm p-adic từ log: D —»Qp thành —* — —* log : Qp —» QD mà đảm bảo tính chỉnh hình Vx e Q v , giả sử |x| = pr với với ĨU(XJ ) đại diện Teichmuller tổng quát Xị, nằm cầu mở B(l,l) = D Do x=Xpĩn(x1) < Xị > Đặt 00 /1x11 logA= — (< X1 > -!)n , ta chứng minh {Akj logx hội tụ=về n 00 EK[[X]] n=0 n=l không Thật vậy, {Ak}khi dãylogx Cauchy suyphụ thuộc vào cách chọn nghiệm Xp hàm chỉnh hình —* ■> , Đồng thời hàm có tính chất sau : co /_i\n logx = y ——(x-l)n với |x-l| < n=l n ii) log(xy) = logx + logy , V x,y e Qp , „ _ °° Yn iii) logex = X, e ogx = X ex = ^ — i) iv) logp = v) log : Qp —> Qp toàn ánh n=n n ' CHƯƠNG HỆ SÓ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC Chương không liên quan với p-adic Chúng trình bày kiến thức hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ định nghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quát liên kết với đặc trưng Dirichlet L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet Một vài kết mang tính hệ thống tính chất L-hàm phức nêu không chứng minh Bạn đọc quan tâm xin xem [1] §1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI 2.1.1 Hệ số Bernoulli Hệ số Bemoulli thứ k (kí hiệu Bk) tích k! với hệ số thứ k khai triển t e^ Taylor hm F(t) = ——— t =0.Tức F(t) khai triên theo chuôi hm luỹ e -1 00 , n (2.1) „=0 n! đạo hm cấp n F(t) t = 0, Bn = F(n (0) R mg cc Bn , n> số hữu tỉ B() = 1, B] = —, B3 = —, B3 = , Ta cĩ 26 te Khai triển Taylor t = hai vế ta = -t+ = -t +F(t) e -1 00 f n co f _n n _n n n=0 n n=0 * với n chẵn khc khơng, Bi = —, Bn = với n lẻ lớn Đa thức Bernoulli Xt hm hai biến F(t,x) = F(t).etx =^— , khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến t e(1+x^ e -1 00 f F(t,x) = £ Bn(x) V n=0 n (2.2) n! (x) gọi đa thức Bemoulli thứ n > Vì F(t,x) = 00 t n ( 00 ,n 00 nn ,n ẼB n (x)^ = =0 n iyíl n! n! u=0 (x) = t JU=0 n! (2.3) với n> n=iW (x) đa thức với hệ số hữu tỉ Do Bo = nn Bn(x) đa thức đơn hệ bậc 121 = 1, B^x) = X + —, B2(x) = X + X + —, V " (n BịO = Bn với n>0 B„(0) = x n=i V 2.1.3 Đặc trưng Dirichlet 2.1.3.1 Cho f số nguyn dương, (Z/fZ)*l nhĩm nhn gồm tất lớp cc số nguyn c* tố cng với f theo modulo f Mỗi đồng cấu nhóm X : (Z/fZ)* —> từ đến nhóm nhân số phức khác không c* gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f X biến đơn vị thnh đơn vị nn x( + ) = R mg ảnh X chứa đơn vị c, ảnh X gồm số phức đại số Q Cho X đặc trưng Dirichlet theo modulo f Khi ta định nghĩa ': —> xác định X z c jx(a + fZ) (a,f)=l [o (a,f)>l Khi x' cĩ cc tính chất i) x'(a) = x'(a + f), VaeZ; z ii) X '(ab) = X '(a)x '(b), Va, b E ; iii) x '(a) ^ V (a,f) = Ngược lại với ánh xạ x' • z —> c thỏa ba tính chất ta xác định ta X theo modulo f : x(a + fZ) = x'(a), V a + fZe(Z/fZ) Do xem đặc trưng Dirichlet X theo modulo f nh xạ X‘.z^>c thỏa ba tính chất tm Cho x’ đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n ước số f Khi ánh xạ X".z^c xác định mn x'(a) (a,f)=l (a,f)> đặc trưng Dirichlet theo modulo f Ta nói đặc trưng X cảm sinh từ đặc trưng x’ Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f nguyên thủy không tồn đặc trưng x’ theo modulo n với n < f cho X cảm sinh từ x’ Khi f gọi conductor XCho p số nguyn tố, VaeZ, ĩu(a) eQp czc đại diện Teichmuller a z Dễ dàng chứng minh ánh xạ ĨU : —» p = gọi đặc trưng Teichmuller p p > c đặc trưng Dirichlet nguyn thủy Cho Xi, X2 hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng fj, f Khi tồn đặc trưng nguyn thủy X với conductor f chia hết fjf2 cho x(a) = Xi(a)X2(a), Vae thoả (a, fif2)=l X gọi đặc trưng tích Xỉ X 2, kí hiệu X = X1-X2 Tập tất đặc trưng Dirichlet nguyên thủy với phép toán nhân lập thành nhóm Abel với + Đặc trưng đơn vị x° thoả x°(0) = 1, Va e gọi đặc trưng tầm thường x° có conductor f = z z\{0} AJ + Đặc trưng nghịch đảo đặc trưng X đặc trưng liên họp X • x(a) = x(a) > Vae Nhận xét (N,f) = x(a) = x(N).x(aN) Thật , ta cĩ x(N) = x(N) x(N)*0 (vì (N,f) = 1) nn x(N).x(N) = x(N).x(N) = V đĩ z x(a) = X(N)ã(N)ã(a) = x(N)Õc(aN) Cho đặc trưng nguyên thủy X với conductor f = fx > 1> f ), X đặc trưng không tầm thường nên tồn a0 cho a=l ^ 1, Z/fZ = Ịa+fZ| a=l,2, ,f| = Ịa0a + fZ| a=l,2, ,f| nn x(a0).s = X(ao)x(a) = x(a0a) = s kéo theo (x(ao) - )S = a=l a=l a=l Từ x(-l)x(-l) ta x(_l) = (-1)8’ • = x(l) = suy x(-l) 1, đặt a nS r(xi)(s) = |; i=0 v i X nm ' m! ẳ công thứcQp, (3.12)) Cho K trường mở) rộng hữu hạn(theo Qp ta gọi Q K tập tât m=0 < ) n k n kn eN v dTính m =chất ẳ(- ) " ^nhất ^ ’ - r hiển nhiên00 Q chuỗi luỹ thừa hình thức A(x) = anxn (an E K)00sao cho lim k=0 |an.n!| = Chú ý Với A(x) = ^ anxn e QK, ta gọi r A = r(A) eCK r - biến đổi A n n=0 ^°° đại số Banach với chuẩn ||A|| = sup|ann=0 n!|, K[x] đại số trù mật ) n Anh xạ tuyến tính ôn 00 / / xn “ nXra n Q K ta có nhận xét rằngx log(l + x) = V—— -X Theo công thức (3.8) ta có (e -1 = V d^ —— với 3.3.2.2 E QK Bây ta xét Qp cho |ệ| < |p|p 1, A(£) hội n“ì n n A(x) = anx E Qk, với Ẹ, n=0 E 00 Cho A(x) = ^ anxn phần tử K[[x]], tụ và|A(4)| < |A| Thật vậy, ta có n!| ( theo công n=0 ( 00 00 n x Osuyra|A(^)| 00 x n ||A|| ) nên an^ —» n —> A(e -l)=Xa„(e < -l) =Xa„ Zd “ m!K Rõ ràng C K đại số n=0 n=0 Vm=0 Gọi CK tập tất hàm liên tục từ Zp —» x giao hoán trường K Đặt ||f|| = max|f(s)|, ||.|| lập thành chuẩnxtrên S€Z P không gian Banach (vì dỊ^ = n > 3.3.2.I Định lý (định lý xác định toán tử r - biến đổi) m) Tồn ảnh xạ tuyến tính liên tục r : QK —» CK cho K , ■ 00 n n n A i) x-l]= r(x2ô )n(A)—với = ỵ n , Vnôn( >0 suy AÍe )= ii) m! (3-14) • ||r(A)|| < ||A|| , VA eQK iii)r Ị(l + xỴ j(s) = í>(«,s), Vn > 0, Vs s Zp Gọi r : K[x] —» CK ánh xạ tuyến tính xác đinh m m T(A) = anyn , với A(x) = anxn eK[x], áp dụng công thức (3.13), ta n=0 n=0 ||r(A)|| < max||anyn|| < max||an.n!|| = ||A|| , K[x] trù mật n nên r mở n rộng thành ánh r : QK —> CKthoả mãn ||r(A)|| < |A| , VA G Q k , rõ ràng T(xn) = yn, Vn >0, hon xạ tuyến tính liên tục n=0 i=0 n! Ẫ k A ’ "! n! k A k |n e N I n : p-lỊ cho lim nk =s z n II k II ^ —» 00 k —> oo đối k—>20 với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường Q 3.3.2.3 Mẹnh đề Cho A cố định, giả sử A(x) = (1 + x)m, ta có A ex -1 = erax = Ỷ m" — = y 6n(A)— (theo công thức (3.14)), = m n Hơn nữa, theo định lí xác định toán tử r - biến đổi (định lý 3.3.2.1) ta có rA(s) = ®(m,s) Bây ta chứng minh lim ôn (A) = rA(s) k-»00 k cách xét hai trường hợp m Nếu m : p (m Ể U) lim ôn (A) = lim mnfc = = 0(m,s) = rA(s) k^oo k k—>co Nếu (m,p) = 1, xét hai trương hợp p + Vớip>2, từ nk :Hkp-1 suynkra mnk =Hk1 (mod p) ( định lý Fermat nhỏ) nên m(m)nk = kéo theo m°k = nj(m) = Vì lim ôn (A) = lim < m >flk =< m >s= 0(m,s) = rA(s) k Nếu A(x) e QK , k—>00 theo công thức k^oo (3.9) ta có dịp < |i!|, đồng thời + Với p = 2, lập luận tương tự ta có s |ôn(A)| max ajd^ < max|aj.i!| lim ôn (A) = lim mRk =< m = 0(m,s) k—>00 k k^oo 0 (1 0, ta+ xác tuyếnmệnh tính ôđề n : A h-> ôn (A) từ đa thức K[x] ( r,ôn ánh xạ tuyến tính ) Sau ta chứng (3.15) K —» K thoả mãn |ôn(A)| < HAI (s)Qvới A e Qk K Do K[x] trù mật QK nên với k—>co Vì tập |n e N I n : p-lỊ trù mật Zp nên với seZp tồn dãy {nk} Ịn e N I n : p-lỊ cho lim nk =s Zp Khi dễ dàng v Ve > 0, 3B G K[x] cho ||A-B|| k-»00 trong saoQ cho r (s) ô (B) tìm N dãy {n } k->co k B n k ’ (B) = ôn (A-B) 1 c pN h X n—2 k->00 Cho ệ nguyên thuỷ bậc n đom vị trường Qp Nếu n = pm 0 3.3.2.3, ta có = limỊnôen (DA) lim nkôncho (A)lim =sTnAk(s) □ với chuẩn p-adic Chọn dãy rỊn ) N I n :=p-lỊ =s đối DAk(s) k—>00 k k—>co K[[x]], k Trước phát biểu tính chất T- biến đổi ta cần bổ đề sau 3.3.3.2 Bổ đề ự =1, ị* ta có |£-l| = |p|p ( theo bổ đề 3.3.3.2), với A e QK, A(^-l) xác định Do K[[x]] trù mật QK hai vế đẳng thức cần chứng minh phụ thuộc tuyến tính vào A nên ta cần chứng minh cho A(x) = (l + x)m, m >0 đủ Ta có rA(s) = rAỊ(l + x)mj = 0(m,s) suy rA(0) = ợ h(Ca) n —» z N -C aN Theo định nghĩa Nz N-l =z^— f y (-x)*-1 Tz-^a DA(x)N =_raN (1 + x)log(l + x)^'N z x(a)s z -í a * a=itafcl £(x(a>Z-y=^£ n=i(i-x a=l U*1 ) Cho r > 2, X đặc trung Dirichlet nguyên thuỷ với conductor f, gọi g f n_ ( \ -l.(l - Trên) =trường X+ hàm hình thức a=l J 7=0 { U*1 a 2x(a)log(l-r ) = Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theoí nn ì với n = 1, a=l rq i pg a=l 00 n=0 nj=0 Tóm lại hai trường họp taLp(l,x) có = J (-lý =ỵ- KV a p J - P)(x(N) -1)2] x(a) pjg + a s =V(x(p) log X x + l j=0(l - , L(l,x) = =Ẻ LXJ j=0 a=l n+1 j=0 F'(x)= ỵ x.r+i(a)ẳAr,nẺ (-0Ja+*)Ete+,‘I n=0 (a,p)=l pg pg 0° a =x E+ X-r+l( >Z A r,n j j=0 n=0 a=l (a,p)=l i=0\J/ (-lý a-1 - ( l j + x) pg (1 + x) X l+ VA [_m=0 p J pg k—>00 r = £ X-r+l(a)Ar (l+x)PS a=l (a,p)=l x ỵ X-r+1 (a)Ar (ePSx Je(a-1)x PS (1 + x) a-1 / \ 1N a=l (a,p)=l r-1 (‘"1-7^ r-l r_i DF( e x _D = V£ÍỊ_ X 2(PgT! X-r+i(a)xe“ „r_, (r-1)! ~ ePgx-l (ap)=l V r—1 f (r-1)! X-r+1(ạ)xeax -Ậ X-r+i(pa)xeapx atí ePSx-l e®x-l r-1 r X-r+l(P) p (px) ^-r+l Aí-r+1 (r-1)! r-1 r-1 V B *m X-r+1 (p) V DR (px)m (r-l)! (pg) 2(1-x-r+i(p)pm“1)Bm.x„,- • I „ Za m,x„,- r-1 0-D’ m=0 Vr (nợ)r— 00 / = TTT[Ị- z (n-r) (n-l)n(l-x.r+1(p)pn-r)Bn_r+1>Xríi.^- ' ' ' n=r-l (DF)4 chuẩn p-dic lim nk = \ Xn 00 đối vớin=0 chuẩn giá trị tuyệt đối thông thuờng n! k—>co (n - r) (n - l)n Ị1 - x.r+1 r-1 (p)pn~‘) Bn_r+lfX^ vói n > r -1 Với seZ bất kỳ, chọn dãy {nkỊ ịn e N I n : p-lị cho lim nk = s = Lp(l-(nk-r + l),x)=Lp(r-nk,x) 8ni (DF) = (nk - r + l) (nk - l)nk Lp (r - nk ,x) => rDF(s) = lim 8n (DF) = -^t-(s-r + l) (s-l)s.Lp(r-s,x) (r-1)! k-»oo k F (pg) r (s) nên rF(s) =-^—(s-r + l) (s-l).Lp(r-s,x) (r-1)! rF(0) = (-l) r (pg) r Lp(r,x) lí xây dựng toán tử r- biến đổi, ta có biệt re ® rF(s)= ỵ X- a r+1( )2>r,nZ a=l n=0 (a,p)=l pg suy rF(0) j=0 n 00 = z Ul(a)IAr,»Z^„±a a=l (a,p)=l • (-l)j(pjg + a,s) n n=0 pg pjg + a : (-l)j a j=0 00 n = — E X-r+l( a )Z A r,nZ pg a=l n=0 UJ i=0’j=0a/pg + j n=0 (a,p)=l Ap dụng công thức (3.25), ta x-r+i(a)ZAr,„ £5,pg °° a=l (a,p)=l Từ (3.30), (3.31) suy Lp(r,x) = ( n=0 Y pg 00 E V p ẽ j a=l a=l (a,p)=l X-r + l( a )Z A r,n n=0 Một điều lý thú mặt phẳng phức c, người ta chứng minh chuỗi 00 n Ị hội tụ Ịl - X-r+i(p)p-r JL(r,X_r+1) ĩ a=l n=0 (a,p)=l p®- \ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Borevich,Z.I and Shafarevich,I.R (1966), Number Theory, Academic Press, New York and London [2] Fresnel,J., Fonctions Zeta p-adỉques des corps de nombres abẻlỉens reéỉs, Acta Arith [3] Hu, p.c and Yang, c.c.(2000), Value dỉstrỉbution theory of p-adic meromorphỉcýunctỉons, HongKong [4] Iwasawa, Kenkichi (1969), On p-adic L-functions, Ann Math [5] Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adỉc L-functions, Princeton University of Tokyo Press, Japan [6] Koblitz, Neal (1991), p-adic Number, p-adic Analysis and Zeta-Functions, springer- Verlag [7] Kubota, Y, und Leopoldt, H.w (1964), Eỉne p-adische Theorie de Zetawerte, Jour Reine und angew Math [...]... bằng cách xét hai trường hợp Nếu(p,f) = 1, s=x(p)Zx(ap)iog nM a p ) -pZx( a )l g n (l- ^ a ) a =l VA,^1 ) a =l VA.^1 =(z(p) - p)£ x(a) io sí rr(i_^a) a =l VA.^1 y ín(i-^ a ) a = (z(p)-p) £ x( )l g íị_('ãN 'N (áp dụng công thức (3.22)) À f = (x(p)-p) a =l f aN Z(N) £ x(aN)log (l- í; )- £ x( a )log (l- C) a =l a =l (a,p) =l (a,p) =l (a, (a,p) =l = (Z(P)-P)(X(N)-1) ỵ x(a)log (l- e ) a Do log (l- ,; a ) = llog (l- C)+ * a =l. .. = 1 (mod p) Do đó Nflk = flk suy ra 3.4.4 Tính giá trị Lp (l, x) nk k lim (x(N)N = lim (x(N) < giả N >"thiết -l) của = x(N) >s -1.ta có Cho A l chuỗi hàm luỹ -l) thừa nhu trong định 00' ' k—>00' ' rA(0) = (l- x(N))Lp (l, x) kết họp với mệnh đề 3.3.3.3 suy ra k L (l- n k ,x) d-x(N))Lnp(i,x) = 2 A(ạ-1) — -——7 (theo định l 3.2.1) và do Xn “X (vì Pạ p =l a=u *l 1-A-C 1-e e -A.C... x( ) logvới n >l. (l - Trên) =trường 0 X+ hàm hình thức a =l J 7=0 { U*1 a 2x(a)log (l- r ) = 0 Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theoí nn ì với n = 1, a =l rq i pg a =l 00 n=0 nj=0 Tóm l i trong cả hai trường họp taLp (l, x) đều có = J ( -l =ỵ- KV a p J - P)(x(N) -1)2] x(a) pjg + a s =V(x(p) log X x + l j=0 (l - Xx(bK a b =0 = x(a)T(x) b =l Ket hợp cả hai trường họp trên l i, ta được f (3.17) (3.16) Zx(bKab=Z(a)x(x) Va€Z b =l f— hai cách T(z) £ỵ 1 r NX) - = a=lz -c a=lv X z ~ n! Đặc biệt khi s = 0, r A (0) = ( ì - ỵ ( N ) ) L p ( ì , ỵ ) Chửng minh Gọi \Ĩ1m l cấp xc? (với X ^ 1, 1 < a < f), m1 l cấp của X với f a =của l * l Z - ^ C a n ( m > 1 a=u *l n =l 1—... ,aj =p -l, aj +1 72—^00 XYDựNGL-HÀM p-ADIC s p- 00 N XVới = (p -l) + (p -l) p xét +Gọi (p -l) pj+aj p J+1^ + n + đại a Nsử psố nên x+1trường có khai triển p l số nguyên trên trường+1 bao Qp chứng của số p-dic Chứng+tố, minh A(x)-B(x)= cđóng phản A(x)^B(x), khi nx , giả N Vấn l đề quan đặt+1ra +l l) p xâyJ+ 1dựng mộtahàm được xem l +tương x +1trọng = (aj + + vì vậy ordp(x l) = tựj + l và N p p-adic í logn +Qp... Ịa + fZ I a =l, 2, ,f| TẠI và I abCÁC + fz| ĐÌẺM a =l, 2, ,fj Ta khẳng định _ F x A U -1 ( ) = z I- r t l W l r, n Z x +j + l) + (j -l) s = 0 = (x(p)p)- P)(X(N) - 1pl )£ (x X(a)log (l - ca) suy ra theo hai cách a =l Trong § trước ta đã tính được Lp (l, x) Một câu hỏi đặt ra l : “ Có hay không công thức tương tự đối với giá trị của Lp(r,x) với số nguyên r > 2 ? Sau đây ~ - định rằng tồn tại mộtflog (l chúng ta... của L( s,x) 2.2.2 Tính chất CO’ bản của L( s,x) • 2.2.2.1 Phương trình đặc trưng của L- hàm c T( X)( 2nỴ L( l-S,x) L( s,x) = ^f f u ve (2.12) f 2jĩia trong đó ô=ô^ và u(x) = 2 x(a)e f (được gọi l tổng Gauss của đặc trưng X a =l f ỵ(a)e az —, Fx(z) l hàm phân hình trên mặt phẳng phức Khi a =l e -1 1 — J1 Y) 1 _n_1 đó -_ l thặng dư tại z = 0 với n > 0 Từ khai triên 2 của hàm F v(z)z =( -l) L( n,x) = L( l-n,x)... phang phức Re(s) >1 Hàm 1 00 Tổng quát hơn, cho X l đặc trưng Dirichlet, chuỗi L( s,x)= ^x(n)n_s hội tụ n=i tuyệt đối với Re(s) > 1 Khi đó L( s,x) l hàm chỉnh hình trên... p-dic Lp(s,x) • Một việc i tại ns = 1,2, hết isức tự nhiên nlàịf tính giá trị củacnjL -hàm =s np|p | " n! = s x +l- (p -l) (j + l) n=n n=n +l 0 0 3, đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong l thuyết số Trong chương suy ra này trình bày chi tiết00 cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L- hàm pn_n _1 khi ^ cX °1-S bịtrưng chặn suy cn =0 kết n£,+ đặc adici —^00 liên kếtnên với các và ... (x(p)-p) a =l f aN Z(N) £ x(aN)log (l- í; )- £ x( a )log (l- C) a =l a =l (a,p) =l (a,p) =l (a, (a,p) =l = (Z(P)-P)(X(N)-1) ỵ x(a)log (l- e ) a Do log (l- ,; a ) = llog (l- C)+ * a =l (a,p) =l a log(-C) ^ =1 log (l- r... I |a -l| < l hàm số log : D —> Qp xác định 00 /_i loga = log [l + (a -1)] = ỵ~^-(a 1)" n =l gọi hàm logarithm p-adic logarithm p-adic Sau n tính chất hàm log(xy) = logx + logy , V x,y e D logex... tính giá trị L - hàm p-adic điểm nguyên dương §4 Công thức tính Lp (l, x) • Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L- hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet s = §5 Công thức tính giá trị L- ham p-adic