Nội suy p ađic của zeta hàm riernarìri (riernariri zeta jurictiori

Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ thống các khái niệm, các kết quả về zetarhàm Riemann cũng như tìm hiểu phép nội suy của zeta-hàm Riemann trong trríờng hợp

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CEĨƯƠNG 1 CÁC KEẾN THỨC cơ SỞ 4

1.1 Giá trị tuyệt đối 4

1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường các số hữu tỷ Q 5

1.3 Trường các số hữu tỷ p-adic 10

1.4 Thíờng các số phức p-adic Cp 13

CHƯƠNG 2 NỘI SUY P-ADIC CỦA ZETA-HÀM RIEMANN .15

2.1 Gông thức tính Í(2Ả;) 15

2.2 N ội suy p-adic của hàm /(2k) =as 21

2.3 Phân phối p-adic 25

MỞ ĐẦU

Bài toán nội suy các hàm p-adic đã được quan tâm từ rất lâu và có ứng dựng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của giỗi tích hàm và lý thuyết hàm p-adic Tuy nhiên, cho đến trước năm 1979 các kết quả tập trung chủ yếu vào việc nội suy của các hàm giới nội Năm 1979, trong công trình của Hà Huy Khoái lần đầu tiên đưa ra một lý thuyết tổng quát cho việc nội suy các hàm không nhất thiết giới nội Lý thuyết này đã có nhiều ứng dựng trong việc nghiên cứu Lrhàm p-adic kết hợp với việc nghiên cứu các đường cong elliptic và các dạng modular về sau các công trình của Hà Huy Khoái và Mỵ Vinh Quang, lý thuyết nội suy p-adic được

sử dụng để xây dựng một tương tự p-adic của lý thuyết Nevanlinna Do

sự phát triển của lý thuyết này, một đòi hỏi tự nhiên là phải xây dựng trường hợp nhiều chiều của lý thuyết Nevanlinna p-adic Để làm cơ sở cho vấn đề đó, cần thiết phải phát triển lý thuyết nội suy lên trường hợp các hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến

Với những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài

Nội suy p-ađic của zeta-hàm Riernarìri

(Riernariri zeta-jurictiori).

Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ thống các khái niệm, các kết quả về zetarhàm Riemann cũng như tìm hiểu phép nội suy của zeta-hàm Riemann trong trríờng hợp riêng Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

ChuỂơng 1 Các kiến thức cơ sở

Chương 2 Nội suy p-adic của zetarhàm Riemann

Nội dung chính của chương này là bước đầu tìm hiểu một số khái niệm,tính chất của zeta-hà.m Riemann, đồng thời trình bày chứng minh chitiết một số tính chất cơ bản của zeta-hàm Riemann, của liệ số Bemoulli

và trình bày phép nội suy p-adic của zeta-liàm Riemann trong trườnghợp riêng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn khoa học của TS Mai Vãn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc nhất trì Thầy và cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành trì cácThầy giáo, Cô giáo trong tổ Đại số - Lý thuyết số của Khoa Toán -Trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứa

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thầy giáo, Côgiáo Phòng Sau đại học - Trường Đại học Vinh, đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi, động viên và giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học

và thực hiện được luận văn này./

Nghệ An, thnng 06 năm, 2013

Tác gia

CEĨƯƠNG 1 CÁC KEẾN THỨC cơ SỞ

Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu một số khái niệm,kết quả cơ bản về trường định giá, phương pháp xây dựng trường sốp-adic

1.1 Giá trị tuyệt đối

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối V trên K là hàm số từ K vào M (ký hiệu v(x) = \x\v, Vx € K), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện

sau

(i) |rc|v > 0, với mọi X € K và \x\v = 0 khi và chỉ khi X = 0.

(ii) \xy\v = |x|v|r/|v, với mọi x,y e K.

(iii) Ix-\-yịv < \x\v + \y\v-, với mọi x,y G K.

Một hàm giá trị tuyệt đối V trên K thỏa mãn điều kiện:

\x + y\v < max{\x\v,\y\v} ,\/x,y <E K, được gọi là hàm giá trị tuyệt đối phi Acsimét.

(i) Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối, ta sẽ viết |r;| thay cho

\x\v và nói về I • I như là giá trị tuyệt đối trên trường K.

thiỂỜrig trên triỂỜrig K Chứng phụ thuộc lẫn nhau (hay tương đương) khi

và chỉ khi từ hệ thức |.x|i < 1 suy ra \x\2 < 1 Nếu cTiúrig phụ thuộc thì tồn tại số thực À > 0 sao cho \x\ i = \x\\ với mọi X G K.

1.1.5 Định lý ([2])

Giả sử (K I • I) ỉà trường định giá với đơn vị e, khi đó các điều kiện

(%) I • I phi Acsimét.

(ii) {x G K: |x*| < 1} n {x G K: \e — x\ < 1} = 0 (Ui) Tạp số tự nhiên N bị chặn.

Nếu X là số hữu tỷ, khi đó

X =pa-, a, 6 G z, 6 7^ 0,pf a,p{ b CKỞpX = a.

1.2.2 Mệnh đề Giả sửx,y £ Q,p ỉồ Sớ nguyên tố Khi đó

(ỉ) ordp(.7,7/) = ordpX + ordpy.

(ii) ordp f ^ = ordp/; - ordpy, y gh 0.

(my) ordp(.T + x/) > nin {ordpX, ordpT/}

Chíổrig rrúrứi

£ Q, ta có

- Nếu X = 0 suy ra I x\p = 0.

- Nếu X ỹ^O suy ra \x\p =p-°rảPx > 0.

- Nếu xy = 0 tin \xy\p = \x\p\y\p = 0

= min {orcựací) — ordp(6cộ,ordp(6c) — ordp (ỏri)}

= min {ordpa — ordpb, ordpC — ord;//} , , V íad + bc\

Chíổrig rrúrứi

Giả sử l-l là một giá trị tùy ý trên Q, khác tầm thường Khi đó tồntại x-eQ: |a;| > 1 u |a;| < 1 Xét hai khả năng xảy ra

Khả năng 1 Tồn tại số nguyên dương n mà |n| > 1 Gọi ??() là số

nguyên dương bé nhát sao cho I r?01 > 1 (r?0 lưôn tồn tại vì tập số tự

nhiên N là tập sắp thứ tự tốt) Suy ra, tìm được a G1R thỏa mãn

KI

=«0-Ta viết số tự nhiên n trong hệ đếm cơ số riQ

n = a{) + aiTìQ + a2ĩìị H -h asĩiị, 0 < CLj < lìị), as 7^ 0

Bởi vậy

|r?,| < Tì? (1)

r?0+1| — lr?n+1 — 71 + n\ T lr?s+1 — nị + M

Vì thế

Trong trường hợp này theo Định lý 1.1.4 suy ra |.| tương đương với |.|oo.

Ktưí năng 2 Giả sử |n| < 1, với mọi 77 € N Ta luôn tìm được số tự nhiên bé nhất 77o mà |?7o| < 1 Rõ ràng ĨÌQ =p là số nguyên tố (vì nếu 77o là hợp số, suy ra ĨĨQ =P\P2, với Pi 2>2 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và

Pi < 7io,P2 < no, khi đó |rzo| = ịpiịịpỉị < 1, suy ra min{|j>i|, IP2I} < 1

điều này mâu thuẫn với cách chọn 77o)

Đặt p = |p|, 0 < p < 1.

upn +vqm = 1

Bởi vậy

1 = Iup1 + vqni\ < \v\ \ỊP\ +|?;| |r/"|

< lí/i+kn

< - + - = 1 Điều này vô lý

2 2

Vạy khi q là số nguyên tố khác p thì \q\ = 1.

Giả sử a là số nguyền bất kỳ, a / 0 vàa = '/Ịk * • • 'ỉ\k là dạiỉg

1.3.1 Dãy Cauchy (Dãy cơ bản)

Giả sử p là số nguyên tố cố định, dãy các số hữu tỷ {x-n} được gọi là dãy Caucliy theo giá trị tuyệt p-ađic |.|p nếu với mọi £ > 0 tùy ý, tồn tại

số tự nhiên ĩì{) sao cho với mọi ra, n> 77o, ta có %rri xn\p

11

1.3.2 Quan hệ tương đương

Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối

Quan hệ này có tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên nó là quan

hệ tương đương trên X.

«L 1Ìml^l/> =

^ ĩ- -VYl lim \U- — bj\p = lim \dị — aAp =0 j—*50 J J j—ỳoo J J

~ {ạAl •Mạt kliác ta lại có

IK-+tíj) - ■"/ - bì)\p < ™ax{K - " / l y - bj\A

1.4 ThưỀỉng các số phứb p-adic 1.4.1 Định nghĩa Ký hiệu Cp = Q, là mở rộng của bao đóng đại số

của (Q,, và được gọi là trường các số phức p-adic, ánh xạ v(x) = —

ỉogp\z\p

là hàm cộng trên Cp là mở rộng cửa hàm Ordp trên (Qp.

1.4.2 Định lý

(ỉ) Cp là trường đóng đại số.

(i) Mỗi đĩa của tập C/; ỉà tập vừa đóng, vừa mở.

(ii) Mỗi điểm thuộc một đĩa bất kỳ đều là tâm của đũa ấy.

(Ui.) Mỗi đĩa mở của (Cp đều có vô hạn bán kính.

CHƯƠNG 2 NỘI SUY P-ADIC CỦA ZETA-HÀM RIEMANN

Nội dung chính của chương này bước đầu tìm hiểu một số khái niệm,tính chất của zeta-hàm Riemann (Riemann zeta-function), đồng thờitrình bày chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của zeta-liàm

Riemann, của hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số f(x) = ar nội

suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành các số nguyên p-adic Kếtquả chính của chương này và cũng là kết quả chính của luận văn là tìmhiểu các Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7,Mệnh đề 2.1.12 và Mệnh đề 2.2.1

h đề

Bzk+1 =0,\/k> 1, trong đó Bk được xác định bởi định nghĩa 2.1.2 Chìhig minh

X f(x) = —

X

2 e? — 1 , trước hết ta chứng tỏ hàm số f(x)

1 — ẽ

-2TĨX

= - +2^(-l)fc+1n2fe-1C(2

/ ‘I \ 00 (TĨTS^ -22 -7-2^

18

27re' -2ỉĩX

oo2 g—

Theo định nghĩa zeta-hàm Riemann, thìoo

2.2 Nội suy p-adic cửa hàm /(5) = <7/s

Tìước hết, nếu a là một số thực dương không đổi, hàm f(s) = a? là hàm số hên tục trên tập hợp các số hữu tỷ s Ta có thể "nội suy" hay

"mở rộng bởi tính hên tục" theo giá trị tuyệt đối thông thường đến mộthàm số liên tục trên tập các số tliực, bởi vì mỗi số thực là giới hạn củamột dãy cơ bản các số hữu tỷ (nói cách khác tập số hữu tỷ là trù mậttrong tập số thực)

phần tử trong Q,- Vhtì mọi số nguyên s, số nguyên rf thuộc Z/; Vì tập

hợp các số nguyên kliông âm là trù mật trong Z/;, titơng tự như Q trìimật trong M Nói cách khác, mọi số nguyền p-adic là giói hạn của dãy

các số nguyên không âm Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là

có thể "nội suy p-adic" hay mở rộng hàm f(s) = ns thành hàm liên tục

theo giá trị tuyệt đối p-adic trên vành các số nguyên p-adic được hay không? Mệnh đề sau sẽ là câu trả lời.

2.2.1 Mệnh đề

Hàm số f(s) = ns có thể nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành số nguyên p-adic trong đó s là số nguyên bất kỳ và n là số nguyên dương không chia hết cho số nguyên tố p và n > p.

Vx, xỉ G Qy \x - af\p < ỗ suy ra \f(x) - f(af)\p <£vh

- Điều kiện \x— xfịp < P~N <t4>a = h (moc^A) opPịỊa— b).

Khi đó, từ giả thiết ta suy ra s' — s (mođpA ) <t4>s' =s"gp

Ar-2.2.2 Nhận xét

(i) Khi số nguyên dương n chia hết cho số nguyên tố p thì không thể nội suy p-adic hàm số f(s) =rf đến một hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic trên Zp.

>)N= 1 > £

=p> |??;s — ns' I = 11 — rể I =

(ii) Nếu 1 < n < p — 1 thì kliông thể nội suy p-ađic hàm số f(s) = ns

24

đến một hàm liên tục theo giá trị tuyệt đối p-adic trên 2ị, Thực vậy, ta

cliọn s, s' thỏa mãn điều kiện ịs' — s\p <P~N.

nôi suy p-adic đươc Tuy nhiên 52 — lai phân kỳ trên 21, Đây là điều

khá thú vị nhằm khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề: Tơng vô hạn

các hàm liên tục có thể là hàm không hên tục Vì vậy để nội suy p-adic

zeta-hàm Riemann chúng ta phải tìm một con đường khác

Theo mệnh đề 2.1.7, zeta.-hàm Riemann có khai triển

Giả sử 2Ả:,2hỉ G Szk() (ở đây 2kị) G {2,4, .,p — 3}) và nếu Ả; =

ỵ (mod^7), khi đó chúng ta nhận được mệnh đề sau:

2.2.5 Mệnh đề ([5])

Do kỹ thuật nội suy quá phức tạp và do tl lòi gian, năng lực của bảnthân có hạn nên chúng tôi chỉ tìm hiểu một số tính chất cơ bản, ban đầutrong quá trình nội suy p-ađic của zeta-liàm Riemann

= ịrr G Q, \ \x — a I p< — ị với a €E Q; và N €E Zi

Mỗi tập như thế được gọi là "khoảng" Chú ý rằng mỗi khoảng như vậy

vừa đóng vừa mở Điều này có nghĩa là mọi tập hợp của Q; đều là hợpcủa các tập mở kiển nin í trên

Để tiện lợi trong trình bày chúng ta ký hiệu =a-\-(pA).

Phần bù của a-\-(p^) là tập hợp tất cả các d G sao cho a' ị a-\-(j A),

nghĩa là \a' — aL > —ỊTr.

V

Tạp là tập compac dãy Điều này có nghĩa là mọi dãy các số nguyênp-adic đều trích được một dãy con hội tụ

(i) Mọt ánh xạ / : X —> Y là hàm hằng địa, phương thì nó liên tục trên X.

(ii) Với X là tập con compac mở của không gian rnêtric (QỊ, (thường

là Zp hoặc Xp = {x G 1jp II X \p= 1}) Khi đó / : X —> là hàm hằng địa phương khi / là tổ hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của tập mỏ X.

2.3.3 Định nghĩa

Giả sử X là tập con compac của Qy (X = z, Zp) Mọt phan phối adic ỊI trên X là một đồng cấy từ Q; - không gian véc tơ tuyến tính của các hàm hằng địa phương trên X đến (Qy Nếu / : X —y Qp là hàm hằng địa phương, ta ký hiệu ịiự) = f Ặ là giá tn phân phối Ị1 tại f.

p-2.3.4 Định nghĩa tương đương

Mật phân phối p-ađic ịi trên X là một ánh xạ cộng tính từ các tập

mở compac trong- X đến Q,,, điều này có nghĩa, là nếu ư c Xìk hợp của các tập con mở compac, đôi một rời nhau ư\ , U‘2, , ưn tin

2.3.5 Mệnh đề ([5])

Với mọi, árữi xạ ỊJL từ tập cấc khoảng được chứa trong X đến Q,, cho hởi

Phẫn phối Haar được xác định bởi công thức:

pHaar (u “b (p^ )) yy

Phân phối này mở rộng đến một phân phối trên Zp vì:

p-1X ịi (a +bfC + ự**1)) = V / ^ ^yv+1 yp\ (a + ự*))

Đây là sự phân phối duy nhất (sai khác một nhân tử hằng số) sao cho

vổi mọi (I G Z/;, ta có

ị^Haarip + Ư) = PHaariỤ), trong đó a + u = {x e ^ I X - a € £/}

Phân phối Dirac

Dễ dàng kiểm tra được ịia là cộng tính Chú ý rằng f fịia = f(a) vói

mọi hàm hằng địa phương /

(ni) Phan phối Mazur

trong tídi này, ta nhóm các số hạng chứa í , với mỗi k ta thu được

một đa thức biến X, và ký hiệu bởi Bkipc) (Bk(x) được gọi là đa thức

1, nếu a G Ư

(3, tmriỹ tmíờng ììỢp ngitợc lại

2.4 Phân phối Bernoulli

Xét hàm hai biến t và X sau

Berrìmdli, thứ k), nó được xác định bởi hệ thức:

29KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được các kết quả sau

1 Bước đầu tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về trường số p-adic vàgiải tích trên trường số p-adic

2 Trình bày một cách chi tiết phép chứng minh oông thức tính giá trị

của zeta-hàm Riemann tại 2k Đồng thời chứng minh một số tính chất

khác của zeta-hàm Riemann, hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số

f ( x ) = a x nội suy p-adic đến một hàm liên tục trên vành các số nguyên

p-adic Kết quả chính của luận văn là tìm hiểu các Mệnh đề 1.2.2, Mệnh

TÀI ITẸLT THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự s u y biến của các đường cong chỉnh hành và tính hyperbolic Brvdy p-adic, Luận án tiến sĩ Toán học,

Trường Đại học Vinh

[2] Mai Văn Tư (2012), Giải tíđip-adic, Trường Đại học Vinh.