Về bài toán nội suy p ADIC

Chơng I. Số p-adic Đ1. Kiến thức cơ sở. 1.1. Định nghĩa. Cho X là một tập , một metric hay khoảng cách trên X là một hàm d xác định trên các cặp (x,y) của XxX vào tập số thực không âm thoả mãn: (1) d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (2) d(x,y) = d(y,x); (3) d(x,y) d(x,y) + d(y,z), với x, y, z X. Một tập X cùng với một metric d đợc gọi là không gian metric. Cùng tập X có thể cho nhiều không gian metric khác nhau (X,d). Bây giờ, tập X mà chúng ta sẽ xem xét là trờng. 1.2.Định nghĩa. (a) Trờng là một tập hợp F có hơn một phần tử với hai phép toán cộng + và phép toán nhân . thoả mãn: i) F với phép cộng là nhóm cộng giao hoán; ii) F \ {0} với phép nhân là nhóm nhân giao hoán; iii) Phép nhân phân phối với phép cộng. Ví dụ về trờng. 1) Các ví dụ thờng gặp là: Trờng các số hữu tỷ Q, trờng số thực R, trờng các số phức C. 2) Với p N, p > 1. Vành các lớp thặng d modp là trờng khi và chỉ khi p là số nguyên tố. (b) Nếu F là một trờng, ta gọi đặc số của trờng F là cấp của phần tử đơn vị 1 trong nhóm cộng của trờng F, tức số nguyên dơng p bé nhất sao cho p1 = 0. Trờng đ- ợc gọi là có đặc số 0 nếu s1 0, s N * . Có thể kiểm tra đợc rằng một trờng F tuỳ ý 1 hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số nguyên tố p. Chẳng hạn Q, R, C là các trờng có đặc số 0, còn trờng Z p có đặc số p. Chú ý rằng mọi trờng hữu hạn đều có đặc số khác 0 và đặc số của nó là một số nguyên tố. 1.3. Định nghĩa. Chuẩn trên trờng F là một ánh xạ kí hiệu : F R 1 thoả mãn: 1) 0,00 >= x với 0 x F; 2) yxxy = x, y F; 3) yxyx ++ x, y F. Một trờng F đợc gọi là trờng định chuẩn nếu trên F ta xác định một chuẩn. Khi ta nói metric d cảm sinh bởi chuẩn có nghĩa là d đợc xác định bởi d(x,y) = yx . Dễ dàng kiểm tra d thoả mãn các điều kiện của một metric. Nh vậy chuẩn trên trờng F xác định một tôpô. 1.4. Các ví dụ về trờng định chuẩn. 1) Mỗi trờng F có một định chuẩn tầm thờng: 1;00 == x với 0 x F. 2) Trờng các số hữu tỷ Q, trờng các số thực R đợc định chuẩn bởi hàm giá trị tuyệt đối. 3) Trờng các số phức C có thể định chuẩn bởi hàm môdun: . 22 babia +=+ 4) Giả sử Q là trờng các số hữu tỉ, p là một số nguyên tố cố định nào đó. Khi đó với mỗi 0 a Q, ta có thể viết một cách duy nhất n p t s a = (n Z) trong đó các số nguyên s, t không chia hết cho p. Ta đặt p 0 = 0; . n p pa = Thế thì trên Q sẽ xác định cho ta một sự định chuẩn. Thật vậy, với 0 a, b, ta có mn p v u bp t s a == , (m, n Z) trong đó s, t, u, v Z và không chia hết cho p. 2 Ta có mn p tv su ab + = trong đó su, tv không chia hết cho p. Vì vậy pp mnmn p bapppab === + )( Để chứng minh hàm p thoả mãn 3) trong định nghĩa trên, ta chứng minh một bất đẳng thức mạnh hơn: ),max( ppp baba + Thật vậy, giả sử nmppab nm pp Ta có p m mn p mn p p tv utsvp p v u p t s ba + =+=+ Chú ý rằng tv không chia hết cho p nên 'm p pba =+ với m m. Do đó: ),max( ppp m p babpba ==+ 1.5. Định nghĩa. Một chuẩn gọi là phi Acsimet nếu điều kiện 3) trong định nghĩa 1.3 đợc thay bởi điều kiện mạnh hơn ).,max( baba + Một metric d gọi là metric phi Acsimet nếu d(x,y) max(d(x,z), d(z,y)). Đặc biệt, một metric là phi Acsimet nếu nó sinh bởi một chuẩn phi Acsimet. Nh vậy, chuẩn p trong 4)Ví dụ 1.4 là chuẩn phi Acsimet trên Q. Ngời ta gọi p là chuẩn p-adic. 1.6. Các tính chất của trờng định chuẩn. Giả sử là một chuẩn trên F, ta có: 1) 111 == FF , với 1 F là phần tử đơn vị của trờng F. 2) aa = , với a F. 3) baba , với a, b F. 4) == n i i n i i aa 11 , với a i F. 5) 1 1 = aa , với 0 a F. 6) baab = 1 , với a, b F và b 0. 1.7. Định lý. Chuẩn trên trờng F là phi Acsimet khi và chỉ khi 12 . Chứng minh. i) Giả sử là chuẩn phi Acsimet, ta có: 1)1,1max(2 = . 3 ii) Giả sử 12 , ta chứng minh là phi Acsimet. Với số tự nhiên n N, viết trong hệ đếm cơ số 2: n = a 0 + a 1 2 + .+ a s 2 s trong đó a i {0,1} với i = 1,1 i ; a i = 1. Khi đó 12 .2 10 ++++ saaan s s vì i a bằng 0 hoặc 1. Thay n bởi n k = (a 0 + a 1 2 + .+ a s 2 s ) k có dạng khai triển b 0 + b 1 2 + .+ 2 m với b i {0,1} . Vì 2 m b 0 + b 1 2 + .+ 2 m = (a 0 + a 1 2 + .+ a s 2 s ) k < 2 (s + 1)k nên m < (s +1)k. Ta nhận đợc: .)1(1 ksmnn k k ++= Suy ra .)1( k ksn + Cho k , ta có 1 n với n N. Với mọi k = 1, 2, . ta có: kkkk kk k kk k k k k k k k bbabaa bCabCbaCaC baba ++++ +++= +=+ 11 111 . . )( 10 Đặt M = max( ),( ba , ta có k k k k ba kba 1.)1( + + ++ M raSuyM . Cho k , ta có: M + ba (đpcm). 1.8. Định lý. Trên trờng hữu hạn tồn tại một và chỉ một chuẩn, đó là chuẩn tầm thờng. Chứng minh. Giả sử F = GF(q) là một trờng hữu hạn có q phần tử và là một chuẩn trên F. Ta chứng minh .0,,1 = F Thật vậy, theo lý thuyết của trờng hữu hạn, nhóm nhân F * = GF(q) * = {x F/ x 0} là một nhóm xyclic cấp q - 1 sinh bởi một phần tử a F * nào đó. Ta có a q - 1 = 1. Do đó .11 1 1 === q q aa Suy ra .1 = a Ngoài ra với mọi F * , ta có = a r (0 r q - 1), do đó 1 === r r aa . 1.9.Định lý. Mọi chuẩn trên trờng có đặc số hữu hạn khác 0, đều là chuẩn phi Acsimet. Chứng minh. Giả sử F là trờng có đặc số p 0. Khi đó p là một số nguyên tố. Xét ánh xạ : Z F m m1 4 với 1 là phần tử đơn vị của trờng F. Ta có là một đồng cấu vành và Ker = pZ. Do đó, theo định lý đồng cấu vành ta có Z p = Z/pZ Im F. Vì Z p là trờng hữu hạn (do p là số nguyên tố), cho nên Im là một trờng con hữu hạn của trờng F. Giả sử là chuẩn nào đó trên F, khi đó thu hẹp của vào Im F cùng là một chuẩn trên Im. Trên trờng hữu hạn Im, ta có { 0xnếu0 0xnếu1 x = = Đặc biệt, với mọi n là số tự nhiên, ta có = = 0nnếu0 0nnếu1 n hay 1 n . Do đó, là chuẩn phi Acsimet theo Định lý 1.7. Đ2. Định lý Ostrowski 2.1. Mệnh đề. Hàm số x = x với là số thực thoả mãn điều kiện 0 < 1 và là giá trị tuyệt đối thông thờng, là một chuẩn trên trờng số hữu tỷ Q. Chứng minh. Ta chỉ cần kiểm tra rằng yx + x + y , với x, y Q. Thật vậy, giả sử yx và x 0, khi đó .1 111 += + + ++=+ yx x y x x y x x y x x y xyx Do đó, ta có yx + x + y . 2.2. Định lý Ostrowski. Các chuẩn x = x , với 0 < 1, và các chuẩn p-adic p với tất cả các số nguyên tố p nhận hết các chuẩn không tầm thờng trên 5 trờng số hữu tỷ Q. Nói khác đi: mỗi chuẫn không tầm thờng trên trờng số hữu tỷ Q là tơng đơng với một trong hai chuẩn sau: (i) Chuẩn giá trị tuyệt đối . , (ii) Chuẩn p-adic p . . Chứng minh. Giả sử là chuẩn không tầm thờng trên Q. Khi đó xảy ra 2 tr- ờng hợp sau: 1) Tồn tại số tự nhiên a > 1 sao cho a > 1. 2) 1 n , với mọi n N. Trờng hợp 1) Bởi vì ,11 .111 .11 nn =++++++= với mọi n N. Do đó có thể đặt: aa = , (1) trong đó là một số thực thoả mãn điều kiện 0 < 1. Lấy một số tự nhiên N bất kì, ta viết N trong hệ ghi cơ số a nh sau: N = x 0 + x 1 a + + x k-1 a k-1 , trong đó x i là các số nguyên thoả mãn điều kiện 0 x i a - 1, 0 i k - 1, x k-1 1. Đối với N, bất đẳng thức sau xảy ra: a k-1 N a k . (2) Thật vậy, theo sự xác định các x i ta có: x k - 1 a k - 1 (a - 1)a k - 1 = a k - a k - 1 x k - 2 a k - 2 (a - 1)a k - 2 = a k - 1 - a k - 2 x 1 a (a - 1)a = a 2 - a x 0 a - 1. Cộng các bất đẳng thức trên ta có: N a k - 1 < a k . Theo tính chất của chuẩn ta có: 6 ). 1 )1( (, 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 1 )1( ) .1)(1( . . . )1( )1( 1 2 210 )1( 1 2 210 1 110 == = = ++++ +++ ++++= =+++ 1)-(k2 a aa CCNN a aa a a aa a a a a a a aaaa axaxaxx axaxaxx axaxxN k k k k k k k k k Vậy ta có: CNN . trong đó C > 0 là hằng số không phụ thuộc vào N. Thay N bởi N m với m là số tự nhiên tuỳ ý, ta đợc: , m CNN m hay . NCN m Cho m ta có . NN (3) Bây giờ ta đặt N = a K - b, trong đó 0 < b < a k - a k - 1 , b N. Ta có: .bababaN kkk == Mặt khác, theo (3) ta có: ( ) . 1 kk aabb Vì vậy, từ (2) ta có: ( ) ,)) 1 1(1( 11 1 kk kk NCaCa a aaaN >== k với C 1 là hằng số dơng không phụ thuộc N. Từ đó suy ra: . 1 NCN > Thay N bởi N m ta có NCN m 1 > Cho m ta thu đợc NN (4) Từ (3) và (4) ta suy ra CNN = . 7 Bây giờ ta giả sử x Q, ta viết x = 2 1 N N (N 1 , N 2 N * ). Do đó .)( 2 1 2 1 2 1 x N N N N N N x ==== Vậy . Trờng hợp 2: 1 n , n N. Nếu với mọi số nguyên tố p mà ta có 1 = p thì 1 = n , n N * , do đó 1 = x , x Q * hay . là chuẩn tầm thờng trên Q, trái với giả thiết. Do đó có một số nguyên tố p nào đó sao cho 1 < p . Giả sử rằng có một số nguyên tố q p sao cho 1 < q . Khi đó ta chọn các số tự nhiên k, l sao cho: 2 1 < k p , 2 1 < l q . Bởi vì p q cho nên p và q nguyên tố cùng nhau, do đó có các số nguyên u và v để cho up k + vq l = 1. Từ đó 11 ==+ lk vqup , do đó .1 lklk vqupqvpu +=+ Ta đang ở trong trờng hợp 2) nên có 1,1 vu , và do đó .11 <++ lklk qpqvpu Từ điều mâu thuẫn này suy ra có duy nhất một số nguyên tố p sao cho 1 < p . Đặt p = , 0 < < 1. Vì rằng 1 = q , với mọi số nguyên tố q p nên 1 = a , với mọi số tự nhiên a nguyên tố cùng nhau với p. Giả sử x Q, x 0, viết n px b a = , trong đó a, b, n là các số nguyên và a, b không chia hết cho p. Ta có n p b a x = . n n n pp b a x === Vậy, trong trờng hợp này, chuẩn tơng đơng chuẩn p-adic p 2.3. ý nghĩa của định lí Ostrowski. Định lí Ostrowski khẳng định rằng, trên trờng số hữu tỉ Q chỉ có hai loại chuẩn (sai khác nhau một tơng đơng), do đó chỉ có hai phơng hớng mở rộng Q thành trờng đầy đủ mà trong đó mọi dãy cơ bản đều là dãy hội tụ. 8 1) Nếu xuất phát từ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối . , bằng phơng pháp Cantor ta thu đợc trờng số thực R là bổ sung đầy đủ của Q (R là trờng đầy đủ bé nhất chứa Q). 2) Nếu xuất phát từ Q theo chuẩn p-adic p . , cũng bằng phơng pháp Cantor ta thu đợc trờng các số p-adic Qp là mở rộng đầy đủ của Q. Chẳng hạn các trờng Q 2 , Q 3 , Q 5 , Có thể minh hoạ điều nói trên bằng sơ đồ sau đây: Đ3. Trờng số p-adic. 3.1. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy {x i } các số hữu tỷ đợc gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) theo chuẩn p-adic p . nếu với mọi > 0, luôn tồn tại N sao cho với mọi i, i > N ta có: xx p ii < ' . 3.2. Định nghĩa. Ta gọi hai dãy cơ bản {a i } và {b i } là tơng đơng theo chuẩn p . nếu 0 p ii ba khi i . Tập hợp tất cả các dãy cơ bản tơng đơng với nhau đ- ợc gọi là một lớp tơng đơng. Chúng ta kí hiệu Q p là tập hợp các lớp tơng đơng này. Với x Q, ta kí hiệu {x} là dãy Côsi hằng và {x}{x} khi và chỉ khi x = x. Lớp tơng đơng của dãy {0} đợc kí hiệu đơn giản là 0. Chuẩn trên Q p đợc cảm sinh bởi chuẩn p trên Q. Chúng ta xác định chuẩn p của lớp tơng đơng a là p i i a lim , trong đó {a i } là phần tử đại diện của lớp tơng đơng a. Giới hạn này tồn tại bởi vì: 1) Nếu a = 0 thì 0lim = p i i a . 2) Nếu a 0 thì với mỗi > 0 nhỏ tuỳ ý và N luôn tồn tại i N > N sao cho a p i N > . Nếu ta chọn N đủ lớn sao cho p ii aa ' < khi i, i > N. Ta có: p ii N aa < với i > N. Vì p i N a = p iii aaa N + max{ p ii aa N , p i a } suy ra p i N a p i a do p i N a > , 9 R C = N Z Q Q p C p = p ii aa N < . Tơng tự từ p i a = p iii NN aaa + max{ p ii N aa , p i N a } hay p i a p i N a với i > N. Từ các hệ thức trên suy ra p i a = p i N a với i > N. Chứng tỏ p i a là hằng số với i N, nghĩa là: p i i a lim = p i N a . 3.3. Phép toán trên Q p . Cho hai lớp tơng đơng a và b của tập các dãy Cauchy, các phần tử đại diện {a i } a, {b i } b. Ta xây dựng hai phép toán sau: a + b = {a i + b i }, ab = {a i b i } Các phép toán không phụ thuộc vào phần tử đại diện. Q p cùng hai phép toán đợc xây dựng nh trên lập thành một trờng gọi là trờng các số p-adic và Q p là trờng mở rộng của trờng các số hữu tỷ. Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p-adic. 3.4. Định lý. Với mỗi lớp tơng đơng a Q p , 1 p a có đúng một dãy Côsi thoả mãn hai điều kiện sau: 1) 0 a i p i với i = 1, 2, 3 2) a i a i + 1 (mod p i ) i = 1, 2, 3 Chứng minh. Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử có một dãy {a i } {a i } thoả mãn 2 diều kiện của định lý. Vì {a i } {a i } suy ra tồn tại i o sao cho ' 0 i a 0 i a nên ' 0 i a / 0 i a (mod 0 i p ) vì 0 0 i a , ' 0 i a < 0 i p . Khi đó với i i 0 ta có: a i 0 i a / ' 0 i a a i (mod 0 i p ) nghĩa là a i / a i ' (mod 0 i p ) do vậy 0 1 i p ' ii paa > với i i 0 chứng tỏ {a i } ~ / {a i }. Sự tồn tại. Giả sử có một dãy Côsi {b i } ta sẽ xây dựng {a i } thoả mãn yêu cầu của định lý. Để làm điều này ta sử dụng bổ đề sau 3.5. Bổ đề. Nếu c Q và p x 1 thì với mổi i luôn tồn tại số nguyên Z sao cho i p px . Số nguyên có thể chọn trong tập {0, 1, 2, 3p i -1}. Chứng minh. Giả sử x = a/b là phân số tối giản, vì p x 1 suy ra p không là ớc của b nên b và p i là nguyên tố cùng nhau. Tồn tại các số nguyên m, n sao cho mb + np i = 1. Đặt = am. Ta có: p pp p mb b a b a amx 1 == ii p p i p ppnnpmb /1/1 == . 10