Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 3 1 C´ac b`ai to´an nˆo . i suy cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ n6 1.1 B`ai to´an nˆo . isuyLagrange 6 1.1.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 B`ai to´an nˆo . isuyTaylor 7 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyTaylor 7 1.2.2 D - ath´u . cnˆo . isuyTaylor 7 1.3 Ba`i toa´n nˆo . isuyNewton 7 1.3.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyNewton 7 1.3.2 D - ath´u . cnˆo . isuyNewton 7 1.4 Ba`i toa´n nˆo . isuyHermite 8 1.4.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyHermite 8 1.4.2 D - ath´u . cnˆo . isuyHermite 8 2Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy 13 2.1 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng 18 2.2 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a c´ac cˆong th´u . cnˆo . i suy kh´ac . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Cˆong th´u . cnˆo . isuyTaylor 28 2.2.2 Cˆong th´u . cnˆo . isuyNewton 31 2.2.3 Cˆong th´u . cnˆo . i suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Ba`i tˆa . p 35 3 ´ U . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy d¯ˆe ˙’ u . ´o . clu . o . . ng v`a xˆa ´ pxı ˙’ h`am sˆo ´ 38 3.1 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ 38 3.1.1 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ theo c´ac n´ut nˆo . i suy Lagrange . . . . . . . 38 3.1.2 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ theo c´ac n´ut nˆo . i suy Chebyshev . . . . . . 41 3.2 Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng ph´ap kh´ac d¯ˆe ˙’ u . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ 47 3.3 Xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ theo d¯a th´u . cnˆo . isuy 50 2 3.4 Ba`i tˆa . p 54 Kˆe ´ t luˆa . ncu ’ a luˆa . n v˘an 55 Ta`i liˆe . u tham kha ’ o 57 3 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe ` u khi ta cˆa ` n pha ’ ixa´cd¯i . nh gia´ tri . cu ’ amˆo . t ha`m sˆo ´ f(x)ta . imˆo . td¯iˆe ’ m tu`y y´ cho tru . ´o . c, trong khi d¯o´d¯iˆe ` ukiˆe . nchı ’ m´o . ichobiˆe ´ tmˆo . t sˆo ´ gia´ tri . (r`o . ira . c) cu ’ a ha`m sˆo ´ va`cu ’ ad¯a . o ha`m ha`m sˆo ´ d¯ ˆe ´ ncˆa ´ p na`o d¯o´cu ’ a no´ ta . i mˆo . tsˆo ´ d¯ i ˆe ’ m x 1 ,x 2 , ··· ,x k cho tru . ´o . c. V´o . inh˜u . ng tru . `o . ng ho . . pnhu . vˆa . y, ngu . `o . i ta thu . `o . ng tı`m ca´ch xˆay du . . ng mˆo . t ha`m sˆo ´ P (x)da . ng d¯o . n gia ’ nho . n, thu . `o . ng la` ca´c d¯a th´u . cd¯a . isˆo ´ , tho ’ ama ˜ n ca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n d¯ a ˜ cho. Ngoa`i ra, ta . inh˜u . ng gia´ tri . x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o . i x 1 ,x 2 , ··· ,x k , thı` P (x) ≈ f(x) (xˆa ´ pxı ’ theo mˆo . td¯ˆo . chı´nh xa´c na`o d¯o´). Ha`m sˆo ´ P (x)d¯u . o . . c xˆay du . . ng theo ca´ch v`u . a mˆo ta ’ trˆen d¯u . o . . cgo . i la` ha`m nˆo . i suy cu ’ a f(x); ca´c d¯iˆe ’ m x 1 ,x 2 , ···,x k thu . `o . ng d¯u . o . . cgo . ila`ca´cnu´t nˆo . i suy va` ba`i toa´n xˆay du . . ng ha`m P(x)nhu . vˆa . yd¯u . o . . cgo . ila`Ba`i toa´n nˆo . i suy. Su . ’ du . ng ha`m (d¯a th´u . c) nˆo . i suy P (x), ta dˆe ˜ da`ng tı´nh d¯u . o . . c gia´ tri . tu . o . ng d¯ˆo ´ i chı´nh xa´c cu ’ a ha`m sˆo ´ f(x)ta . i x ∈ R tu`y y´ cho tru . ´o . c. T`u . d¯ o´, ta co´ thˆe ’ tı´nh gˆa ` n d¯u´ng gia´ tri . d¯ a . oha`mva` tı´ch phˆan cu ’ a no´ trˆen R. Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n ra d¯`o . it`u . rˆa ´ ts´o . mva`d¯o´ng vai tro` rˆa ´ t quan tro . ng trong thu . . ctˆe ´ . Do d¯o´, viˆe . c nghiˆen c´u . u ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy la` rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. O . ˙’ ca´c tru . `o . ng phˆo ’ thˆong, ly´ thuyˆe ´ tvˆe ` vˆa ´ nd¯ˆe ` na`y khˆong d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p, nhu . ng nh˜u . ng ´u . ng du . ng so . cˆa ´ pcu ’ a no´ cu ˜ ng ”ˆa ’ nhiˆe . n” khˆong ı´t, ch˘a ’ ng ha . n trong ca´c phu . o . ng trı`nh d¯u . `o . ng ho˘a . cphu . o . ng trı`nh m˘a . tbˆa . c hai, trong ca´c d¯˘a ’ ng th ´u . cda . ng phˆan th´u . cva`d¯˘a . cbiˆe . t la` viˆe . c´u . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ’ gia ’ imˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n kho´ trong ca´c d¯ˆe ` thi ho . c sinh gio ’ i ca´c cˆa ´ p. Vı` vˆa . y, viˆe . c hı`nh tha`nh mˆo . t chuyˆen d¯ˆe ` cho . nlo . cnh˜u . ng vˆa ´ nd¯ˆe ` co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy, du . ´o . igo´cd¯ˆo . toa´n phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . t la` nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ trong qua´ trı`nh gia ’ imˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ la` rˆa ´ tcˆa ` n thiˆe ´ t. Ho . nn˜u . a, chuyˆen d¯ ˆe ` na`y cu ˜ ng co´ thˆe ’ la`m ta`i liˆe . u tham kha ’ o cho ca´c gia´o viˆen gio ’ iva` ca´c sinh viˆen nh˜u . ng n˘am d¯ˆa ` ucu ’ abˆa . cd¯a . iho . c. ´ Ytu . o . ’ ng muˆo ´ n thu . . chiˆe . n luˆa . n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru . ´o . c khi cuˆo ´ n sa´ ch chuyˆen kha ’ o [2] ra d¯`o . i. D - ˆay v`u . a la` mˆo . t thuˆa . nlo . . iv`u . ala`mˆo . t kho´ kh˘an cho nˆo ˜ lu . . c tı`m kiˆe ´ m 4 nh˜u . ng ne´t m´o . i cho luˆa . n v˘an cu ’ a ta´c gia ’ , vı` cuˆo ´ n sa´ch trˆen la` mˆo . t ta`i liˆe . urˆa ´ t quı´ gia´, trong khi d¯o´hˆa ` unhu . chu . a co´ mˆo . t ta`i liˆe . u toa´n so . cˆa ´ p na`o d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nvˆa ´ nd¯ˆe ` na`y mˆo . t ca´ch tro . nve . n. Do d¯o´, luˆa . n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe ` cˆa . psˆauvˆe ` ly´ thuyˆe ´ t ma` cˆo ´ g˘a ´ ng tı`m kiˆe ´ mnh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ ano´va`o viˆe . c gia ’ iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa . po . ’ phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . t la` nh˜u . ng ´u . ng du . ng thu . `o . ng g˘a . pcu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor. Luˆa . n v˘an da`y 56 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nMu . clu . c, Mo . ’ d¯ ˆa ` u, ba chu . o . ng nˆo . i dung, kˆe ´ t luˆa . nva` ta`i liˆe . u tham kha ’ o: Chu . o . ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y trı`nh ba`y mˆo . t ca´ch co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n, d¯o´ la` Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. Chu . o . ng 2: Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy. D - ˆay la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung tro . ng tˆam cu ’ a luˆa . n v˘an. V´o . itˆa ` m quan tro . ng o . ’ phˆo ’ thˆong, cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va`nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p tha`nh mˆo . t phˆa ` n riˆeng trong chu . o . ng na`y v´o . inh˜u . ng phu . o . ng pha´p gia ’ i toa´n kha´ d¯a da . ng va`mˆo . tsˆo ´ lu . o . . ng ba`i tˆa . pd¯ˆe ` xuˆa ´ t kha´ phong phu´. Nhiˆe ` ud¯˘a ’ ng th´u . cdu . ´o . ida . ng phˆan th´u . c co´ nguˆo ` ngˆo ´ ct`u . cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange d¯a ˜ d¯ u . o . . c luˆa . n v˘an pha´t hiˆe . n. Nhiˆe ` u ba`i toa´n thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ cgiava` quˆo ´ ctˆe ´ d¯ a ˜ d¯ u . o . . c gia ’ ib˘a ` ng ca´ch a´p du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy na`y. Phˆa ` n co`n la . icu ’ a chu . o . ng trı`nh ba`y mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . cnˆo . i suy co`n la . i. Mˆo . tsˆo ´ ba`i tˆa . p da`nh cho ba . nd¯o . ccu ˜ ng d¯ u . o . . c gi´o . i thiˆe . uo . ’ phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng. Chu . o . ng 3: ´ U . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . isuyd¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va` xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ . Chu . o . ng na`y ta´ch riˆeng mˆo . t´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . cnˆo . i suy d¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va`xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ .Mˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ o . ’ phˆo ’ thˆong liˆen quan d¯ˆe ´ nvˆa ´ nd¯ˆe ` na`y d¯ a ˜ d¯ u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p, trong d¯o´ co´ nh˜u . ng ba`i trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ c gia va` quˆo ´ ctˆe ´ .Mˆo . tsˆo ´ phˆa ` ncu ’ a luˆa . n v˘an d¯a ˜ d¯ u . o . . c d¯˘ang ta ’ i trong ca´c ky ’ yˆe ´ uhˆo . i nghi . chuyˆen nga`nh, ch˘a ’ ng ha . n [1]. Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh nh`o . su . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . cva` nhiˆe . t tı`nh cu ’ aTiˆe ´ n sy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u cu ˜ ng nhu . kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c trong suˆo ´ t th`o . i gian nghiˆen c´u . ud¯ˆe ` ta`i. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ t o . n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a ´ cd¯ˆo ´ iv´o . i Thˆa ` y gia´o hu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. 5 Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ xin d¯u . o . . c ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n: Ban Gia´m Hiˆe . u, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, Khoa toa´n cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n, cu`ng quı´ thˆa ` y cˆo gia´o d¯a ˜ tham gia gia ’ ng da . yva`hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . ccho l´o . p cao ho . c toa´n kho´a 8. UBND tı ’ nh, So . ’ gia´o du . cva` d¯a`o ta . otı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai d¯a ˜ cho ta´c gia ’ co . hˆo . iho . ctˆa . p, cu`ng v´o . i quı´ thˆa ` y cˆo gia´o cu ’ a nha` tru . `o . ng d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen, se ’ chia cˆong viˆe . cva`ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . n lo . . id¯ˆe ’ ta´c gia ’ nghiˆen c´u . uva` hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ˆo . ng viˆen cu ’ a ca´c ba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong ca´c l´o . p cao ho . c kho´a VI I, VIII, XIX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ nh˜u . ng su . . quan tˆam d¯ˆo . ng viˆen d¯o´. D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ d¯ a ˜ tˆa . p trung rˆa ´ t cao d¯ˆo . trong hoc tˆa . pva` nghiˆen c´u . u khoa ho . c, cu ˜ ng nhu . rˆa ´ tcˆa ’ n thˆa . n trong nhˆan chˆe ´ ba ’ n. Trong d¯o´ ı´t nhiˆe ` u ha . nchˆe ´ vˆe ` th`o . i gian cu ˜ ng nhu . trı`nh d¯ˆo . hiˆe ’ ubiˆe ´ tnˆen trong qua´ trı`nh thu . . chiˆe . n khˆong thˆe ’ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t, ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . nd¯o . cd¯ˆe ’ luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n thiˆe . nho . n. Quy Nho . n, tha´ng n˘am 2008 Ta´c gia ’ 6 Chu . o . ng 1 C´ac b`ai to´an nˆo . i suy cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ n Trong chu . o . ng na`y, luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . pmˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ nse ˜ su . ’ du . ng o . ’ ca´c chu . o . ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. L`o . i gia ’ i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th´u . cnˆo . i suy tu . o . ng ´u . ng ma` ch´u . ng minh chi tiˆe ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c trı`nh ba`y trong [2] 1.1 B`ai to´an nˆo . i suy Lagrange 1.1.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i ,v´o . i x i = x j ,v´o . imo . i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha ˜ yxa´c d¯ i . nh d¯a th´u . c L(x) co´bˆa . c degL(x) ≤ N −1 va` tho ’ aca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n L(x i )=a i , ∀i =1, 2, ···,N . 1.1.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Lagrange Ky´ hiˆe . u L i (x)= N  j=1,j=i x − x j x i − x j ; i =1, 2, ··· ,N. Khi d¯o´, d¯a th´u . c L(x)= N  i=1 a i L i (x) la` d¯a th ´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange va` ta go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 7 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x 0 ,a i , v´o . i i =0, 1, ···,N − 1.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c T (x) co´ bˆa . c degT (x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n T i (x 0 )=a i , ∀i =0, 1, ··· ,N − 1. 1.2.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Taylor D - ath´u . c T (x)= N −1  i=0 a i i! (x − x 0 ) i la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor va`go . i d¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. 1.3 Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton 1.3.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i , v´o . i i =1, 2, ··· ,N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c N(x) co´bˆa . c degN(x) ≤ N −1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n N i−1 (x i )=a i , ∀i =1, 2, ··· ,N. 1.3.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Newton Ky´ hiˆe . u R i (x 1 ,x 2 , ··· ,x i ,x)=  x x 1  t x 2  t 1 x 3 ···  t i−2 x i dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt; i =1, 2, ··· ,N. khi d¯o´, d¯a th´u . c N(x)= N  i=1 a i R i−1 (x 1 ,x 2 , , x i−1 ,x) = a 1 + a 2 R(x 1 ,x)+a 3 R 2 (x 1 ,x 2 ,x)+···+ a N R N −1 (x 1 , ···,x N −1 ,x) la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` ta go . id¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton 8 Nhˆa . n xe´t 1.1. V´o . i x i = x 0 , v´o . imo . i i =1, 2, ··· ,N, thı` R i (x 0 ,x 1 , ···,x i−1 ,x)=R i  x 0 , ···,x 0    i lˆa ` n ,x  =  x x 0  t x 0  t 1 x 0 ···  t i−2 x 0 dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt = (x − x 0 ) i i! ; v´o . i i =1, 2, ···,N Khi d¯o´ N(x)= N  i=1 a i R i  x 0 , ···,x 0    i lˆa ` n ,x  = = a 0 + a 1 R(x 0 ,x)+a 2 R 2 (x 0 ,x 0 ,x)+···+ a N −1 R N −1  x 0 , ···,x 0    N −1 lˆa ` n ,x  = a 0 + a 1 (x −x 0 )+a 2 (x − x 0 ) 2 2 + ···+ a N −1 (x − x 0 ) N −1 (N − 1)! = N −1  i=0 a i (x − x 0 ) i i! ≡ T(x). Vˆa . y, v´o . i x i = x 0 , ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u . c nˆo . i suy Taylor. 1.4 Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite 1.4.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a ki ,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ··· ,p i − 1 va` x i = x j ,v´o . i mo . i i = j, trong d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c H(x) co´bˆa . c degH(x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n H (k) (x i )=a ki , ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p i − 1 1.4.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Hermite Ky´ hiˆe . u W (x)= n  j=1 (x −x j ) p j ; 9 W i (x)= W (x) (x − x i ) p i = n  j=1,j=i (x − x j ) p j ; i =1, 2, ··· ,n Go . i d¯oa . n khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ´ ncˆa ´ pth´u . p i − 1 − k,v´o . i k =0, 1, ··· ,l; l = 0, 1, ···,p i − 1, ta . i x = x i cu ’ a ha`m sˆo ´ 1 W i (x) (i =1, 2, ··· ,n)la` T  1 W i (x)  (p i −1−k) (x=x i ) = p i −1−k  l=0  1 W i (x)  (l) (x=x i ) (x − x i ) l l! . khi d¯o´, d¯a th´u . c H(x)= n  i=1 p i −1  k=0 a ki (x − x i ) k k! W i (x)T  1 W i (x)  (p i −1−k) (x=x i ) . la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite va`tago . id¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite. Nhˆa . n xe´t 1.2. V´o . i n = 1, thı` i =1va` p 1 = N. Khi d¯o´, ta co´ W (x)=(x − x 1 ) N ; W 1 (x)= W (x) (x − x 1 ) N =1. Do d¯o´, d¯oa . n khai triˆe ’ n T  1 W 1 (x)  (N −1−k) (x=x 1 ) = T  1  (N −1−k) (x=x 1 ) =1. Khi d¯o´, ta co´ H(x)= N −1  k=0 a k1 (x − x 1 ) k k! ≡ T (x). Vˆa . y, v´o . i n = 1, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. Nhˆa . n xe´t 1.3. V´o . i k = 0, thı` p i = 1, v´o . imo . i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N, [...]... cua cˆng th´.c o o ´ nˆi suy o ’ ´ o Chu.o.ng nay trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` ` `nh ` o o ´ u o ¯o ¯ˆ e ´ ’ ´ ` ´ ¯ˆ o o u o o u ´ e ¯e cˆp sˆu ho.n d o i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ a a ’ ’ giai mˆt sˆ bai toan kho o hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan o o ` ´ ´ ’ e o o e ´ ´ ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va... ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n Da th´.c co dang u ´ n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − xi (2.1) (2.2) Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy u ¯ u o a o u o ` ¯ ´ x1 , x2, · · · , xn d u.o.c goi la cac nut nˆi suy ¯ Lagrange Cac sˆ ´ o ` ´ ´ o 14 ¯ u ¯o ` + V´.i n = 2, d a th´.c d´ la o P (x) = a1 x − x2 x − x1 + a2 x1 − x2 x2 − x1 (2.3) ´ Ky hiˆu degP... j=1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N j=1,j=i ’ khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor ¯o ¯ e T 1 Wi (x) 0 = (x=xi ) 1 1 = Wi (xi ) , i = 1, 2, · · · , N N (xi − xj ) j=1,j=i Vˆy, ta co a ´ N N a0i H(x) = i=1 j=1,j=i x − xj ≡ L(x) xi − xj ` ¯ u o ´nh ` ¯a u o Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Lagrange a o `.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite... r˘ ng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange chı la ”cac ´ a e a ` o u o ´nh ` ´ V´ ´ o ’ ’ ´ ’ `nh d u.`.ng cong (ho˘c d u.`.ng th˘ng) d i qua cac d e m ¯ o a ¯ o a ¯ ´ ¯iˆ gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı o o o ´ ’ o a a cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ ¯o ´.i goc d o hı hoc -o ` ´ o ´ D´ la ”cai gˆ c” nhı du o ´ ¯ˆ `nh `n ´.i d ay, v´.i mˆt goc nhı khac, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange con la ”cai gˆ... u.ng dung cua c´c cˆng th´.c nˆi suy o o ´ u o kh´c a o Cˆng th´.c nˆi suy Taylor o u ’ ´ ’ ’ ` ˜ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ o u o o u ¯ a o ´ ¯e i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung ’ ` ´ o o ` xac d inh phˆn chı cua ham sˆ Do d´ , d e tı gi´ ´ ¯ a ´nh ’ ` o ¯o ¯ˆ `m o ’ e o o a ` ¯o o ¯ˆ ` o o ´ cˆng th´.c khai triˆ n Taylor t´.i mˆt cˆ p... mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c ` o ´ e ´ u Nhˆn xe t 2.3 Cˆng th´.c (2.18) cu ng chı a ´ o u o.c trı bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy ` ´ ` ´ `nh ` a o nˆi suy Newton d˜ d u o ¯a ¯ 2.2.3 o Cˆng th´.c nˆi suy Hermite o u ´ Nhˆn xe t 2.4 Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2 a ´ ` ´ o e ` a p = 1 va p = 3 Thˆ thı p + p = 4 = N ´ ` 1 ’ ’ Gia su 1 ` 2 e 2 Khi d´... cac d ˘ ng th´.c P (k) = u 1 k Cn+1 , v´.i k = 0, 1, 2, , n o Tı P (n + 1) ´nh ’ Giai V´.i 1 o i n, ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co a o u o ´ n P (x) = 1 k Cn+1 i=k k=0 x−i = k−i n (−1)n−k = k=0 n i=k (x − i) k Cn+1 (−1)n−k (n − k=0 n+1−k (n + 1)! k)!k! (x − i) i=k Suy ra n (−1) P (n + 1) = k=0 +1−k (n + 1)! n n−k n (−1)n−k (n + 1 − i) = i=k k=0 ˜ ´ ´ ’ ` Do d´ P (n + 1) = 0 nˆ u n le... nh˜.ng sˆ h˜.u tı u ’ ´ 23 ’ ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i ak = k (k = 0, 1, 2, , n), ta co o u o f (x) = (−1)n f (0) (−1)n−1 f (1) (x − 1)(x − 2) (x − n) + x(x − 2) (x − n) n! 1!(n − 1)! (−1)n−2 f (2) x(x − 1)(x − 3) (x − n) 2!(n − 2)! ’ ´ ’ ´ ´ ’ Theo gia thiˆ t, f(0), f(1), , f(n) la nh˜.ng sˆ h˜.u tı Vı vˆy, khai triˆ n vˆ phai e ` u o u ’ ` a e e ’ ´ a ’ ’ ¯˘ e a ` ´ e... trˆn, ta thˆ y r˘ ng cac hˆ sˆ cua cac lu y th`.a cua x d` u la nh˜.ng u ´ u tı D` ng nhˆ t d a th´.c o hai vˆ , suy ra cac sˆ c , c , c + + c , la nh˜.ng ´ ´ ´ ´ u o a ¯ u ’ sˆ h˜ ’ - ˆ o u e ´ o 0 1 2 n ` u tı ´ sˆ h˜ ’ o u + ’ ’ ˜ Lu.u ´ : Cu ng co thˆ ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange tai n + 1 d iˆ m ak y ´ e a o u o ¯e u tı tuy ´ va khac nhau, thı cu ng d i d e n kˆ t qua trˆn Do d´... 2.10 Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) co bˆc nho ho.n n (n ≥ 2) va thoa ` ´ `m a ’ ´ ¯ u ˜ ¯` ma n d iˆu kiˆn e e n k (−1)n−k−1 Cn P (k) = 0 k=0 ’ ´ ´ o ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i cac nut nˆi suy xk = k ta co, moi o u o c P (x) co bˆc nho ho.n n d` u co dang ’ ´ a ¯ˆ ´ e d a th´ ¯ u n−1 P (xk ) P (x) = k=0 (x − x0 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn−1 ) (xk − x0) (xk − xk−1 . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯. nˆo . i suy Lagrange va` ta go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 7 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy