LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor Một số kết quả cơ bản về bài toán nội suy Taylor, khai triển Taylor. Đánh giá phần dư và sự hội...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe ` u khi ta cˆa ` n pha ’ i xa´c d¯i . nh gia´ tri . cu ’ amˆo . t ha`m sˆo ´ f(x) ta . imˆo . t d¯ i ˆe ’ m tu`y y´ cho tru . ´o . c, trong khi d¯o´ d¯ i ˆe ` ukiˆe . nchı ’ m´o . i cho biˆe ´ tmˆo . tsˆo ´ gia´ tri . (r`o . ira . c) cu ’ a ha`m sˆo ´ va`cu ’ ad¯a . o ha`m ha`m sˆo ´ d¯ ˆe ´ ncˆa ´ p na`o d¯o´cu ’ a no´ ta . imˆo . tsˆo ´ d¯ i ˆe ’ m x 1 ,x 2 , ···,x k cho tru . ´o . c. V´o . inh˜u . ng tru . `o . ng ho . . pnhu . vˆa . y, ngu . `o . itathu . `o . ng tı`m ca´ch xˆay du . . ng mˆo . t ha`m sˆo ´ P (x) da . ng d¯o . n gia ’ nho . n, thu . `o . ng la` ca´c d¯a th´u . cd¯a . isˆo ´ , tho ’ ama ˜ nca´cd¯iˆe ` ukiˆe . nd¯a ˜ cho. Ngoa`i ra, ta . inh˜u . ng gia´ tri . x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o . i x 1 ,x 2 , ···,x k , thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa ´ pxı ’ theo mˆo . td¯ˆo . chı´nh xa´c na`o d¯o´). Ha`m sˆo ´ P (x)d¯u . o . . c xˆay du . . ng theo ca´ch v`u . amˆota ’ trˆen d¯u . o . . cgo . i la` ha`m nˆo . i suy cu ’ a f(x); ca´c d¯iˆe ’ m x 1 ,x 2 , ···,x k thu . `o . ng d¯u . o . . cgo . ila`ca´cnu´t nˆo . i suy va` ba`i toa´n xˆay du . . ng ha`m P (x)nhu . vˆa . yd¯u . o . . cgo . ila`Ba`i toa´n nˆo . i suy. Su . ’ du . ng ha`m (d¯a th´u . c) nˆo . i suy P(x), ta dˆe ˜ da`ng tı´nh d¯u . o . . c gia´ tri . tu . o . ng d¯ˆo ´ i chı´nh xa´c cu ’ a ha`m sˆo ´ f(x)ta . i x ∈ R tu`y y´ cho tru . ´o . c. T`u . d¯ o´, ta co´ thˆe ’ tı´nh gˆa ` n d¯u´ng gia´ tri . d¯ a . oha`mva` tı´ch phˆan cu ’ a no´ trˆen R. Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ nrad¯`o . it`u . rˆa ´ ts´o . mva`d¯o´ng vai tro` rˆa ´ t quan tro . ng trong thu . . ctˆe ´ . Do d¯o´, viˆe . c nghiˆen c´u . u ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy la` rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. O . ˙’ ca´c tru . `o . ng phˆo ’ thˆong, ly´ thuyˆe ´ tvˆe ` vˆa ´ n d¯ ˆe ` na`y khˆong d¯u . o . . c d¯ ˆe ` cˆa . p, nhu . ng nh˜u . ng ´u . ng du . ng so . cˆa ´ pcu ’ a no´ cu ˜ ng ”ˆa ’ nhiˆe . n” khˆong ı´t, ch˘a ’ ng ha . n trong ca´c phu . o . ng trı`nh d¯ u . `o . ng ho˘a . cphu . o . ng trı`nh m˘a . tbˆa . c hai, trong ca´c d¯˘a ’ ng th´u . cda . ng phˆan th´u . cva`d¯˘a . cbiˆe . t la` viˆe . c´u . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ’ gia ’ imˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n kho´ trong ca´c d¯ˆe ` thi ho . c sinh gio ’ ica´ccˆa ´ p. Vı` vˆa . y, viˆe . c hı`nh tha`nh mˆo . t chuyˆen d¯ˆe ` cho . nlo . cnh˜u . ng vˆa ´ n d¯ ˆe ` co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy, du . ´o . i go´c d¯ˆo . toa´n phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . tla`nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ trong qua´ trı`nh gia ’ imˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ la` rˆa ´ tcˆa ` n thiˆe ´ t. Ho . nn˜u . a, chuyˆen d¯ˆe ` na`y cu ˜ ng co´ thˆe ’ la`m ta`i liˆe . u tham kha ’ o cho ca´c gia´o viˆen gio ’ iva` ca´c sinh viˆen nh˜u . ng n˘am d¯ˆa ` ucu ’ abˆa . c d¯ a . iho . c. ´ Ytu . o . ’ ng muˆo ´ n thu . . chiˆe . n luˆa . n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru . ´o . c khi cuˆo ´ n sa´ch chuyˆen kha ’ o [2] ra d¯`o . i. D - ˆay v`u . a la` mˆo . t thuˆa . nlo . . iv`u . a la` mˆo . t kho´ kh˘an cho nˆo ˜ lu . . c tı`m kiˆe ´ mnh˜u . ng ne´t m´o . i cho luˆa . n v˘an cu ’ a ta´c gia ’ , vı` cuˆo ´ n sa´ch trˆen la` mˆo . t ta`i liˆe . urˆa ´ t quı´ gia´, trong khi d¯ o´ hˆa ` unhu . chu . a co´ mˆo . t ta`i liˆe . u toa´n so . cˆa ´ pna`od¯ˆe ` cˆa . p d¯ ˆe ´ nvˆa ´ n d¯ ˆe ` na`y mˆo . t ca´ch tro . n ve . n. Do d¯o´, luˆa . n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe ` cˆa . psˆauvˆe ` ly´ thuyˆe ´ t ma` cˆo ´ g˘a ´ ng tı`m kiˆe ´ mnh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ ano´va`o viˆe . c gia ’ iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa . po . ’ phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . tla`nh˜u . ng ´u . ng 2 du . ng thu . `o . ng g˘a . pcu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor. Ba ’ nto´mt˘a ´ t luˆa . n v˘an da`y 24 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nMo . ’ d¯ ˆa ` u, ba chu . o . ng nˆo . i dung, kˆe ´ t luˆa . nva`Ta`i liˆe . u tham kha ’ o. Chu . o . ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y trı`nh ba`y mˆo . t ca´ch co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n, d¯ o´ la` Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. Chu . o . ng 2: Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy. D - ˆay la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung tro . ng tˆam cu ’ a luˆa . n v˘an. V´o . itˆa ` m quan tro . ng o . ’ phˆo ’ thˆong, cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va`nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ d¯u . o . . c d¯ ˆe ` cˆa . p tha`nh mˆo . t phˆa ` n riˆeng trong chu . o . ng na`y v´o . inh˜u . ng phu . o . ng pha´p gia ’ i toa´n kha´ d¯a da . ng va` mˆo . tsˆo ´ lu . o . . ng ba`i tˆa . p d¯ ˆe ` xuˆa ´ t kha´ phong phu´. Nhiˆe ` ud¯˘a ’ ng th´u . cdu . ´o . ida . ng phˆan th´u . c co´ nguˆo ` ngˆo ´ ct`u . cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange d¯a ˜ d¯ u . o . . c luˆa . n v˘an pha´t hiˆe . n. Nhiˆe ` u ba`i toa´n thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ c gia va` quˆo ´ ctˆe ´ d¯ a ˜ d¯ u . o . . c gia ’ ib˘a ` ng ca´ch a´p du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy na`y. Phˆa ` n co`n la . icu ’ a chu . o . ng trı`nh ba`y mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . c nˆo . i suy co`n la . i. Mˆo . tsˆo ´ ba`i tˆa . p da`nh cho ba . nd¯o . ccu ˜ ng d¯u . o . . c gi´o . i thiˆe . uo . ’ phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng. Chu . o . ng 3: ´ U . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . isuyd¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va` xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ . Chu . o . ng na`y ta´ch riˆeng mˆo . t´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . cnˆo . isuyd¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va`xˆa ´ p xı ’ ha`m sˆo ´ .Mˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ o . ’ phˆo ’ thˆong liˆen quan d¯ˆe ´ nvˆa ´ n d¯ ˆe ` na`y d¯a ˜ d¯ u . o . . c d¯ ˆe ` cˆa . p, trong d¯o´ co´ nh˜u . ng ba`i trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ c gia va` quˆo ´ ctˆe ´ .Mˆo . t sˆo ´ phˆa ` ncu ’ a luˆa . n v˘an d¯a ˜ d¯ u . o . . c d¯˘ang ta ’ i trong ca´c ky ’ yˆe ´ uhˆo . i nghi . chuyˆen nga`nh, ch˘a ’ ng ha . n [1]. Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh nh`o . su . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . cva` nhiˆe . t tı`nh cu ’ aTiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u cu ˜ ng nhu . kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c trong suˆo ´ t th`o . i gian nghiˆen c ´u . u d¯ ˆe ` ta`i. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a ´ c d¯ ˆo ´ iv´o . i Thˆa ` ygia´ohu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ xin d¯u . o . . c ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n: Ban Gia´m Hiˆe . u, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, Khoa toa´n cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n, cu`ng quı´ thˆa ` y cˆo gia´o d¯a ˜ tham gia gia ’ ng da . yva`hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . c cho l´o . p cao ho . c toa´n kho´a 8. UBND tı ’ nh, So . ’ gia´o du . cva` d¯a`o ta . otı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai d¯ a ˜ cho ta´c gia ’ co . hˆo . iho . ctˆa . p, cu`ng v´o . i quı´ thˆa ` y cˆo gia´o cu ’ a nha` tru . `o . ng d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen, se ’ chia cˆong viˆe . cva`ta . omo . i d¯ i ˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . i d¯ ˆe ’ ta´c gia ’ nghiˆen c ´u . uva` hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ˆo . ng viˆen cu ’ aca´cba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong ca´c l´o . p cao ho . c kho´a VII, VIII, XIX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ nh˜u . ng su . . quan tˆam d¯ ˆo . ng viˆen d¯o´. 3 D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ d¯ a ˜ tˆa . p trung rˆa ´ t cao d¯ˆo . trong hoc tˆa . pva` nghiˆen c´u . u khoa ho . c, cu ˜ ng nhu . rˆa ´ tcˆa ’ n thˆa . n trong nhˆan chˆe ´ ba ’ n. Trong d¯o´ ı´ t n h i ˆe ` uha . n chˆe ´ vˆe ` th`o . i gian cu ˜ ng nhu . trı`nh d¯ˆo . hiˆe ’ ubiˆe ´ t nˆen trong qua´ trı`nh thu . . chiˆe . n khˆong thˆe ’ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t, ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . nd¯o . c d¯ ˆe ’ luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n thiˆe . nho . n. Quy Nho . n, tha´ng 03 n˘am 2008 Ta´c gia ’ 4 Chu . o . ng 1 C´ac b`ai to´an nˆo . i suy cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ n Trong chu . o . ng na`y, luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . pmˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ nse ˜ su . ’ du . ng o . ’ ca´c chu . o . ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. L`o . i gia ’ i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th ´u . c nˆo . i suy tu . o . ng ´u . ng ma` ch´u . ng minh chi tiˆe ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c trı`nh ba`y trong [2] 1.1 B`ai to´an nˆo . i suy Lagrange 1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo . i suy Lagrange Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i ,v´o . i x i = x j ,v´o . imo . i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha ˜ yxa´cd¯i . nh d¯a th´u . c L(x) co´bˆa . c degL(x) ≤ N − 1 va` tho ’ aca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n L(x i )=a i , ∀i =1, 2, ···,N. 1.1.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Lagrange Ky´ hiˆe . u L i (x)= N j=1,j=i x − x j x i − x j ; i =1, 2, ···,N. Khi d¯o´,d¯ath´u . c L(x)= N i=1 a i L i (x) la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ n d¯ i ˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange va` ta go . id¯ath´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 5 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo . i suy Taylor Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x 0 ,a i , v´o . i i =0, 1, ···,N − 1.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c T (x) co´bˆa . c degT (x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n T i (x 0 )=a i , ∀i =0, 1, ···,N −1. 1.2.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Taylor D - ath´u . c T (x)= N −1 i=0 a i i! (x − x 0 ) i la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ n d¯ i ˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor va`go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. 1.3 Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton 1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo . i suy Newton Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i , v´o . i i =1, 2, ···,N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c N (x) co´bˆa . c degN (x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n N i−1 (x i )=a i , ∀i =1, 2, ···,N. 1.3.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Newton Ky´ hiˆe . u R i (x 1 ,x 2 , ···,x i ,x)= x x 1 t x 2 t 1 x 3 ··· t i−2 x i dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt; i =1, 2, ···,N. khi d¯o´,d¯ath´u . c N(x)= N i=1 a i R i−1 (x 1 ,x 2 , , x i−1 ,x) = a 1 + a 2 R(x 1 ,x)+a 3 R 2 (x 1 ,x 2 ,x)+···+ a N R N −1 (x 1 , ···,x N −1 ,x) la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ n d¯ i ˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` ta go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton 6 Nhˆa . n xe´ t 1.1. V´o . i x i = x 0 , v´o . imo . i i =1, 2, ···,N, thı` R i (x 0 ,x 1 , ···,x i−1 ,x)=R i x 0 , ···,x 0 i lˆa ` n ,x = x x 0 t x 0 t 1 x 0 ··· t i−2 x 0 dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt = (x − x 0 ) i i! ; v´o . i i =1, 2, ···,N Khi d¯o´ N(x)= N i=1 a i R i x 0 , ···,x 0 i lˆa ` n ,x = = a 0 + a 1 R(x 0 ,x)+a 2 R 2 (x 0 ,x 0 ,x)+···+ a N −1 R N −1 x 0 , ···,x 0 N −1 lˆa ` n ,x = a 0 + a 1 (x − x 0 )+a 2 (x − x 0 ) 2 2 + ···+ a N −1 (x − x 0 ) N −1 (N − 1)! = N −1 i=0 a i (x − x 0 ) i i! ≡ T(x). Vˆa . y, v´o . i x i = x 0 , ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. 1.4 Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite 1.4.1 Ba`i toa´ n nˆo . i suy Hermite Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a ki ,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ···,p i −1 va` x i = x j ,v´o . imo . i i = j, trong d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c H(x) co´bˆa . c degH(x) ≤ N −1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n H (k) (x i )=a ki , ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p i − 1 1.4.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Hermite Ky´ hiˆe . u W (x)= n j=1 (x − x j ) p j ; W i (x)= W (x) (x − x i ) p i = n j=1,j=i (x − x j ) p j ; i =1, 2, ···,n 7 Go . i d¯oa . n khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ´ ncˆa ´ pth´u . p i −1−k,v´o . i k =0, 1, ···,l; l =0, 1, ···,p i −1, ta . i x = x i cu ’ a ha`m sˆo ´ 1 W i (x) (i =1, 2, ···,n)la` T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) = p i −1−k l=0 1 W i (x) (l) (x=x i ) (x − x i ) l l! . khi d¯o´,d¯ath´u . c H(x)= n i=1 p i −1 k=0 a ki (x − x i ) k k! W i (x)T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) . la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ n d¯ i ˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite va`tago . id¯ath´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite. Nhˆa . n xe´ t 1.2. V´o . i n = 1, thı` i =1va` p 1 = N. Khi d¯o´, ta co´ W (x)=(x − x 1 ) N ; W 1 (x)= W (x) (x − x 1 ) N =1. Do d¯o´, d¯oa . n khai triˆe ’ n T 1 W 1 (x) (N −1−k ) (x=x 1 ) = T 1 (N −1−k ) (x=x 1 ) =1. Khi d¯o´, ta co´ H(x)= N −1 k=0 a k1 (x − x 1 ) k k! ≡ T(x). Vˆa . y, v´o . i n = 1, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. Nhˆa . n xe´ t 1.3. V´o . i k = 0, thı` p i = 1, v´o . imo . i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N, hay n = N. Do d¯o´, ta co´ W (x)= N j=1 (x − x j ); W i (x)= N j=1,j=i (x − x j ),i=1, 2, ···,N. 8 khi d¯o´, d¯oa . n khai triˆe ’ n Taylor T 1 W i (x) 0 (x=x i ) = 1 W i (x i ) = 1 N j=1,j=i (x i − x j ) ,i=1, 2, ···,N. Vˆa . y,taco´ H(x)= N i=1 a 0i N j=1,j=i x −x j x i − x j ≡ L(x). Vˆa . y, v´o . i k = 0, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. Trong tru . `o . ng ho . . ptˆo ’ ng qua´t, viˆe . cbiˆe ’ udiˆe ˜ n d¯a th ´u . c Hermite kha´ ph´u . cta . p. Du . ´o . i d¯ˆay la` mˆo . t va`i tru . `o . ng ho . . p riˆeng d¯o . n gia ’ n kha´c cu ’ a d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite, khi hˆe . d¯ i ˆe ` ukiˆe . nchı ’ ch´u . ad¯a . o ha`m bˆa . c nhˆa ´ t. Nhˆa . n xe´ t 1.4. Nˆe ´ u p i = 2, v´o . imo . i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a . c k =1. +V´o . i k = 0, ta co´ T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) = T 1 W i (x) (1) (x=x i ) = 1 l=0 1 W i (x) (l) (x=x i ) (x − x i ) l l! = 1 W i (x i ) − W i (x i ) W 2 i (x i ) (x − x i ) = 1 W i (x i ) 1 − W i (x i ) W i (x i ) (x − x i ) , v´o . i i =1, 2, ···,n. +V´o . i k = 1, ta co´ T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) = T 1 W i (x) (0) (x=x i ) = 0 l=0 1 W i (x) (l) (x=x i ) (x − x i ) l l! = 1 W i (x i ) − W i (x i ) W 2 i (x i ) (x − x i )= 1 W i (x i ) . Khi d¯o´, ta co´ H(x)= n i=1 1 k=0 a ki (x − x i ) k k! W i (x)T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) = n i=1 a 0i W i (x)T 1 W i (x) (1) (x=x i ) +a 1i (x − x i )W i (x)T 1 W i (x) (0) (x=x i ) = n i=1 W i (x) a 0i 1 W i (x i ) 1 − W i (x i ) W i (x i ) (x − x i ) +a 1i (x − x i ) 1 W i (x i ) = n i=1 W i (x) W i (x i ) a 0i 1 − W i (x i ) W i (x i ) (x − x i ) +a 1i (x − x i ) = n i=1 W i (x) W i (x i ) a 0i − a 0i W i (x i ) W i (x i ) − a 1i (x − x i ) . 9 Ngoa`i ra, trong phˆa ` n ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, ta d¯a ˜ biˆe ´ tr˘a ` ng L i (x)= n j=1,j=i x −x j x i − x j ; i =1, 2, ···,n va` L i (x j )= 1, khi i = j 0, khi i = j. Do d¯o´ L i (x i ) ≡ 1, ∀i = 1,n. Vˆa . y W i (x) W i (x i ) = n j=1,j=i (x − x j ) 2 (x i − x j ) 2 = L 2 i (x); i = 1,n. D - a . o ha`m theo x hai vˆe ´ cu ’ ad¯˘a ’ ng th´u . c trˆen, ta d¯u . o . . c W i (x) W i (x i ) =2L i (x)L i (x)=2L i (x i ). Do d¯o´,d¯ath´u . cnˆo . i suy Hermite trong tru . `o . ng ho . . p na`y co´ da . ng H(x)= n i=1 L 2 i (x) a 0i − 2a 0i L i (x i ) − a 1i (x − x i ) . Du . ´o . i d¯ˆay la` mˆo . tva`i minh ho . achoviˆe . cvˆa . ndu . ng ca´c cˆong th´u . cnˆo . i suy (do ta´c gia ’ sa´ng ta´c) Ba`i toa´ n 1.1. Cho d¯a th´u . c P (x) bˆa . c 4, tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n sau: P (−1) = 3a +1(a>0) ; P (0) = 0; P (1) = 4(3 + a); P (3) (−2) = −48; P (4) (2008) = 24. Ch´u . ng minh r˘a ` ng: Q(x)=P (x)+P (x)+P (x)+P (3) (x)+P (4) (x) > 0. ∀x ∈ R. Ba`i toa´ n 1.2. Cho d¯a th´u . c P (x) bˆa . c n, tho ’ ama ˜ n: P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0,P (2007) ≤ 0, ···, (−1) n P (n) ≤ 0; P (2008) > 0,P (2008) ≥ 0,P (2008) ≥ 0, ···,P (n) (2008) ≥ 0. Ch´u . ng minh r˘a ` ng ca´c nghiˆe . m thu . . ccu ’ a P(x) thuˆo . c (2007; 2008). [...]... n Da th´.c co dang u ´ n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − x i (2.1) (2.2) Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy Lagrange u ¯ u o a o u o `¯ o.c goi la cac nut nˆi suy ´ Cac sˆ x1 , x2, · · · , xn d u ´ o ¯ ` ´ ´ o ( ) T` cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co u o u o ´ - ˜ ´ ´ Dinh nghı a 2.2 Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt Thˆ thı moi d a th´.c P... ¯ˆ e ` o e ’ ´ o 3 Mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy Taylor, nˆi suy Newton, nˆi suy Hermite o o ´ u o o o ´ ´ ’ ´ 4 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va cac tı o u o ` ´ ´nh chˆ t cua d a th´.c Chebyshev dˆ a ’ ¯ u ¯e ´ u.´.c lu.o.ng ham sˆ o ` o ´ ’ o 5 Xˆy du.ng cac d a th´.c xˆ p xı thˆng qua cac cˆng th´.c nˆi suy va xˆy du.ng cˆng a ´ ¯ u a ´ o u o ` a o c tı ´ d ˆ... sˆ nˆi dung chı a a `nh ` e o o o o ´nh sau: ´ ´ ´ ’ ’ ´ ` ´ o 1 Nˆu kˆ t qua cua cac bai toan nˆi suy la cac d a th´.c nˆi suy Lagrange, Taylor, Newton, e e ` ´ ¯ u o ’ o ’ u.ng dung vao viˆc giai cac bai toan phˆ thˆng ’ ´ ` ´ o Hermite dˆ ´ ¯e ` e ´ ’ ´ ´ ’ 2 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange dˆ tı d u.o.c ban chˆ t cua hˆu hˆ t cac d` ng o u o ¯e `m ¯ a ’ ` a e ´ ¯ˆ o c dang phˆn... o o ´ u nˆi suy o ’ ´ o ` `nh bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` cˆp ` o o ´ u o ¯o ¯ˆ a e Chu.o.ng nay trı ´ n d ˆ i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ giai mˆt ’ ´ ` ´ sˆu ho ¯o o o a u o o u ´ e ¯e ’ o hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan ’ ´ sˆ bai toan kho o e o o o ` ´ ´ ’ e ´ ´ e ´ ’ ` ´ Vˆ n d` u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c... , n} ˜ ´ ’ ¯ Nhˆn xe t 2.3 Cˆng th´.c (2.8) cu ng chı a ´ o u ´nh la mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c nˆi suy ` o ´ e ´ u o o.c trı ` ´ ` ´ `nh bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy ` a o Newton d˜ d u ¯a ¯ 2.2.3 Cˆng th´.c nˆi suy Hermite o u o ´ ’ ’ Nhˆn xe t 2.4 Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2 Gia su a ´ ` ´ o e ` a ´ p1 = 1 va p2 = 3 Thˆ thı p1 + p2 = 4... th´.c nˆi suy Lagrange trˆn tˆp ´ ’ ’ Pn (x) la d a th´ a ´ ¯ o u o e a ` ¯ u X = {xj | j = 0, , n} ⊆ (0, 1) ˜ ´ ¯i ¯o e ´ Ha y xac d nh d ˆ lˆch sai sˆ o Rn+1 (x) := |y(x) − Pn (x)| trˆn tˆp {(0, 1) \ X} e a ´ ’ ’ Bai toa n 3.20 Cho d oan I ⊂ R va cho M = sup{|f (x)|; x ∈ I} Gia su ta d˜ xˆ p xı ` ´ ¯ ` ¯a a ’ o.c f (x) bo.i d a th´.c xˆ p xı bˆc nhˆ t xac d inh theo cˆng th´.c nˆi suy Lagrange. .. ˆ i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c tap, d u.o.c trı ` ¯o ´ o u a u ´ u ¯ `nh bay o chu.o.ng sau ` ’ 2.1 2.1.1 ´ ˙ ’ o u o Mˆt sˆ u.ng dung cu a cˆng th´.c nˆi suy Lagrange o o´ Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange o u o - ˜ ´ ´ ´ Dinh nghı a 2.1 Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1 , a2, · · · , an tuy ´ Thˆ o a e ` o ` y e c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa... c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c o o ´ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor o u o ’ ´ ’ ’ ` ˜ ´ ¯e ´ a o o u ¯ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ xac o u o ’ ` ´ ’ ` d inh phˆn chı ¯ a ´nh cua ham sˆ Do d´ , dˆ tı gi´.i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung cˆng th´.c o ¯o ¯e `m o o o ` o u i mˆt cˆ p nao d´ Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ vı du minh hoa ’ khai triˆ n Taylor t´... Chiˆ n-Huynh Minh Thuˆn, 2007, Ky yˆ u”Mˆt sˆ chuyˆn d` toan hoc hˆ e ` a o o e ¯ˆ ´ e -` ´ e ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, NXB Tru.`.ng Dai hoc Khoa - o u o o THPT, Mˆt sˆ u o o ´ ´ nhiˆn - DHQG Ha Nˆi hoc Tu ` o e ˜ [2] Nguyˆn V˘n Mˆu, 2007, Cac bai toan nˆi suy va u.ng dung, NXB Giao duc e a a ´ ` ´ o `´ ´ ˜ ´ [3] Nguyˆn V˘n Mˆu, 2001, Da th´.c d ai sˆ va phˆn th´.c h˜.u tı... d` xuˆ t 10 bai tˆp do tac gia sang tac ho˘c su.u tˆm a a ¯a ¯ˆ a e ´ ` a ´ ´ a 17 Chu.o.ng 3 ´ ˙ U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’ o u o ¯ˆ ´ ´ ˙ a ’ o a a o u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ ´ ’ ´ o u o ` o ` a Mˆt trong nh˜.ng u.ng dung quan trong cua cac cˆng th´.c nˆi suy la u.´.c lu.o.ng va xˆ p o u ´ ng tru.`.ng ho.p ´ ´ ’ ` xı ham sˆ Dˆy la mˆt nˆi dung quan trong trong ly thuyˆ t ham . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mo . ’ d¯. nˆo . i suy Lagrange va` ta go . id¯ath´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 5 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo . i suy