luận văn thạc sĩ chuyên ngành hình học hypebol về bài toán nội sủy của học viên nguyễn thị nhung

Lời nói đầu Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm điều hòa 1.3 Hàm trội điều hòa 1.4 Không gian H p , lớp Nevanlinna lớp Smirnov 6 16 22 26 Chương Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna lớp Smirnov 35 2.1 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna 35 2.2 Bài toán nội suy cho lớp Smirnov 51 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy 60 Chương Bài toán nội suy hình cầu đơn vị 3.1 Tự đẳng cấu hình cầu đơn vị 3.2 Hàm đa điều hòa 3.3 Bài toán nội suy hình cầu đơn vị 66 66 67 68 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Lời nói đầu Cho Λ dãy điểm rời rạc đĩa đơn vị D X không gian hàm chỉnh hình D Ta xét tốn miêu tả khơng gian vết X Λ, tức tập hạn chế X|Λ = {f (λ) : f ∈ X, λ ∈ Λ}, gọi tốn nội suy Có hai hướng tiếp cận tốn nội suy: hướng thứ cố định khơng gian đích l tìm điều kiện cho X|Λ = l; hướng tiếp cận thứ hai, gọi nội suy tự do, đòi hỏi X|Λ ideal, tức ổn định phép nhân l∞ Trong trường hợp X = H ∞ không gian hàm chỉnh hình bị chặn D hướng tiếp cận trùng Tuy nhiên lớp Nevanlinna N = {f ∈ Hol(D ) : lim r→1 2π 2π ∫ log+ |f (reiθ )|dθ < +∞}, lớp Smirnov N + = {f ∈ N : lim r→1 2π 2π ∫ log+ |f (reiθ )|dθ = 2π 2π ∫ log+ |f (eiθ )|dθ}, khái niệm khác Việc miêu tả vết lớp hàm thu kết định Dựa vào kết quả: f ∈ N supz (1 − |z|) log+ |f (z)| < ∞, Naftalevic[6] miêu tả dãy Λ nằm hợp hữu hạn góc Stolz mà không gian vết lớp Nevanlinna trùng với không gian dãy lN a := {(aλ )λ : supλ (1 − |λ|) log+ |aλ | < ∞} Kết cịn hạn chế phải giả thiết Λ nằm hợp hữu hạn góc Stolz, Λ dãy Carleson, tức dãy thỏa mãn H ∞ |Λ = l∞ , chứa dãy hội tụ tiếp xúc tới biên Như khơng gian đích lN a "q lớn" Đối với lớp Smirnov, Yanagihara[11] chứng minh để N + |Λ ∑ chứa không gian lY a := {(aλ )λ : (1 − |λ|) log+ |aλ | < ∞}, điều kiện đủ Λ λ dãy Carleson Tuy nhiên có dãy Carleson cho N + |Λ không thuộc lY a , theo nghĩa khơng gian đích lY a "q nhỏ" Lời nói đầu Gần đây, A.Hartmann, X.Massaneda, A.Nicolau P.Thomas [5] đưa đặc trưng dãy nội suy cho lớp Nevanlinna lớp Smirnov dựa vào hàm trội điều hòa hàm trội điều hòa tựa chặn Trong đó, hàm trội điều hịa hàm trội điều hịa tựa chặn khơng xác định khơng gian vết dãy nội suy tự lớp hàm mà định dãy điểm đĩa đơn vị nội suy tự Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết báo đưa mở rộng tương ứng đặc trưng dãy nội suy cho lớp Nevanlinna lên hình cầu đơn vị, kết luận văn Luận văn chia làm ba chương Chương 1: dành để trình bày kiến thức chuẩn bị hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, hàm trội điều hòa, lớp Nevanlinna lớp Smirnov Cấu trúc hàm thuộc lớp Nevanlinna lớp Smirnov phát biểu chứng minh định lý phân tích Riesz-Smirnov Chương 2: trình bày kết quan trọng đặc trưng dãy nội suy tự cho lớp Nevanlinna lớp Smirnov dựa hàm trội điều hòa hàm trội điều hòa tựa chặn Chương 3: trình bày đặc trưng dãy nội suy cho lớp N (B n ) hình cầu đơn vị B n Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình T.S Nguyễn Văn Trào Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến hướng dẫn nhiệt tình thầy Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy phản biện đọc thảo luận văn dẫn cho nhiều ý kiến quý báu Nhân xin gửi lời cảm ơn tới bạn Dương Ngọc Sơn giúp đỡ chúng tơi nhiều q trình làm luận văn, gửi lời cảm ơn tới gia đình đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tốt luận văn Vì thời gian trình độ có hạn, luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi hy vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày 01 tháng 11 năm 2006 Học viên Nguyễn Thị Nhung Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để trình bày kiến thức sử dụng chương sau về: hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, hàm trội điều hòa, lớp Nevanlinna lớp Smirnov Các định lý hàm điều hòa, hàm điều hòa hay hàm trội điều hịa dùng để nghiên cứu tính chất hai lớp hàm luận văn lớp Nevanlinna lớp Smirnov Trong đó, cấu trúc hai lớp hàm thể qua định lý quan trọng chương: định lý phân tích Riesz - Smirnov 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Cho U tập mở C Hàm h : U −→ R gọi hàm điều hòa có đạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn điều kiện ∂ 2h ∂ 2h ∆h := + = ∂x ∂y Ký hiệu, Har(U ) tập hàm điều hòa U Har+ (U ) tập hàm điều hòa dương U Định lý 1.1.2 Cho Ω miền C Khi a Nếu f hàm chỉnh hình Ω h = ref h hàm điều hịa Ω b Nếu h hàm điều hòa miền đơn liên Ω h phần thực hàm chỉnh hình f Ω 1.1 Hàm điều hòa Chứng minh: a Đặt f = h + ik, theo điều kiện Cauchy-Riemann, ta có ∂h ∂k ∂h ∂k = =− ∂x ∂y ∂y ∂x Do ∂ 2k ∂ 2k ∂ 2h ∂ 2h − = ∆h = + = ∂x ∂y ∂y∂x ∂x∂y b Nếu h = Ref với f hàm chỉnh hình f = h + ik, ∂h ∂k ∂h ∂h f′ = +i = −i (1.1) ∂x ∂x ∂x ∂y Do f tồn f ′ hoàn toàn xác định h f sai khác số Phương trình (1.1) cho ta cách xác định hàm f Xác định g : Ω −→ C cho ∂h ∂h g= −i ∂x ∂y Khi g ∈ C (Ω) g thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h =− = ∂x2 ∂y ∂x∂y ∂y∂x Do đó, g hàm chỉnh hình Ω Cố định z0 ∈ Ω xác định f : Ω −→ C cho ∫z f (x) = h(z0 ) + g(ω)dω, z0 đây, tích phân lấy qua đường Ω nối z0 với z Vì Ω miền đơn liên nên theo định lý Cauchy tích phân khơng phụ thuộc vào việc chọn đường nối z0 z Khi f hàm chỉnh hình Ω ∂h ∂h f′ = g = −i ∂x ∂y ˜ Đặt h = Ref , ta có ˜ ˜ ˜ ˜ ∂h ∂h ∂h ∂h −i = f′ = −i ∂x ∂y ∂x ∂y Suy ˜ ˜ ∂(h − h) ∂(h − h) ≡0 ≡ ∂x ∂y ˜ Như vậy, h − h số Ω Cho z = z0 ta thấy số khơng Do h = Ref 1.1 Hàm điều hòa Định lý 1.1.3 (Tính chất giá trị trung bình) Cho h hàm điều hòa lân cận mở đĩa D(ω, ρ) Khi h(ω) = 2π 2π ∫ h(ω + ρeiθ )dθ Chứng minh: Chọn ρ′ > ρ, h hàm điều hịa D(ω, ρ′ ) Áp dụng định lý 1.1.2.b, tồn hàm điều hòa f D(ω, ρ′ ) cho h = Ref Theo đẳng thức tích phân Cauchy, ta có f (ω) = 2πi ∫ |ζ−ω|=ρ f (ζ) dζ = ζ −ω 2π 2π ∫ f (ω + ρeiθ )dθ Lấy phần thực hai vế đẳng thức ta h(ω) = 2π 2π ∫ h(ω + ρeiθ )dθ Định lý 1.1.4 (Nguyên lý đồng nhất) Cho h k hàm điều hòa miền Ω C Nếu h = k tập mở khác rỗng Ω h = k Ω ∂h ∂h −i ∂x ∂y Khi theo cách chứng minh định lý 1.1.2 ta có g hàm chỉnh hình Ω Do h = U nên g = U Theo nguyên lý đồng cho hàm ∂h ∂h chỉnh hình ta có g = Ω = = Ω Như h ∂x ∂y số Ω, h = U nên h ≡ Ω Chứng minh: Khơng tính tổng qt giả sử k = Đặt g = Định lý 1.1.5 (Nguyên lý cực đại) Cho h hàm điều hòa miền Ω C Khi a Nếu h đạt cực đại địa phương Ω h số b Nếu h mở rộng liên tục tới Ω h ∂Ω h Ω 1.1 Hàm điều hòa Chứng minh: a Giả sử h đạt cực đại địa phương ω ∈ Ω Khi có r > cho h h(ω) D(ω, r) Theo định lý 1.1.2.b tồn hàm chỉnh hình D(ω, r) cho h = Ref Từ |ef | đạt cực đại địa phương ω có ef hàm Như vậy, h số D(ω, r) theo nguyên lý đồng h số tồn Ω b Vì Ω tập compact nên h đạt cực đại ω ∈ D Nếu ω ∈ ∂D h(ω) theo giả thiết h Ω Nếu ω ∈ D theo kết phần (a) h hàm Ω hàm Ω ta có h Ω Định nghĩa 1.1.6 Cho D đĩa đơn vị C i Nhân Poisson P : D × ∂ D −→ R xác định ζ +z − |z|2 Pz (ζ) := Re( )= ζ −z |ζ − z|2 ii Giả sử u hàm khả tích Lebesgue ∂D(ω, ρ), tích phân Poisson P u : D(ω, ρ) −→ R xác định ∫ 2π P u(z) := u(ω + ρeiθ )P z − ω (eiθ )dθ, z ∈ D(ω, ρ) 2π ρ Mệnh đề 1.1.7 Nhân Poisson tích phân Poisson thỏa mãn tính chất sau: a Pz (ζ) > 0, ∀|z| < 1, |ζ| = 1 b 2π 2π ∫ Pz (eiθ )dθ = 1, ∀|z| < c sup Pz (ζ) −→ z −→ ζ0 , |ζ0 | = 1, δ > |ζ−ζ0 | δ d P u hàm điều hòa D (ω, ρ) e Nếu u liên tục ζ0 ∈ ∂ D (ω, ρ) limz→ζ0 P u(z) = u(ζ0 ) 10 1.1 Hàm điều hòa Chứng minh: a Ta có − |z|2 Pz (ζ) = > 0, z ∈ D , ζ ∈ ∂ D |ζ − z|2 b Đặt ζ = eiθ sử dụng biểu thức tích phân Cauchy ta nhận 2π 2π ∫ ∫ Pz (e )dθ = Re( 2πi ζ + z dζ ) ζ −z ζ iθ |ζ|=1 ( = Re 2πi ∫ ( |ζ|=1 dζ ) − ) ζ −z ζ ζ = Re(2 − 1) = Bằng thay đổi phù hợp cần, ta xét với ω = ρ = chứng minh (c) (d) c Nếu |z − ζ0 | < δ sup Pz (ζ) ≤ |ζ−ζ0 | δ − |z|2 (δ − |ζ0 − z|)2 − |z|2 Từ → z → ζ0 ta có sup Pz (ζ) → z → ζ0 (δ − |ζ0 − z|)2 |ζ−ζ0 | δ d Ta có P u(z) = Re( 2π 2π ∫ eiθ + z u(eiθ )dθ), z ∈ D iθ − z e Vì u hàm khả tích Lebesgue ∂ D nên 2π 2π ∫ eiθ + z u(eiθ )dθ, z ∈ D iθ − z e hàm chỉnh hình D Như vậy, P u phần thực hàm chỉnh hình D nên hàm điều hịa D 11 1.1 Hàm điều hòa e Sử dụng khẳng định (a) (b), ta có | P u(z) − u(ζ0 ) | = | 2π 2π 2π ∫ ( ) Pz (eiθ ) u(eiθ ) − u(ζ0 ) dθ| 2π ∫ Pz (eiθ )|u(eiθ ) − u(ζ0 )|dθ Do u hàm liên tục ζ0 ∈ ∂ D nên ∀ε > 0, ∃δ > :| ζ − ζ0 |< δ ⇒| u(ζ) − u(ζ0 ) |< ε Từ ∫ 2π 2π Pz (eiθ ) | (u(eiθ ) − u(ζ0 ) | dθ |eiθ −ζ0 | cho: |z − ζ0 | < δ ′ sup Pz (ζ) < ε Do đó, |z − ζ0 | < δ ′ |ζ−ζ0 | δ 2π ∫ 2π Pz (eiθ ) | (u(eiθ ) − u(ζ0 ) | dθ |eiθ −ζ0 | δ 2π ∫ ε | (u(eiθ ) − u(ζ0 ) | dθ (1 ε 2π 2π ∫ ) | (u(eiθ ) | dθ+ | Φ(ζ0 ) | Như vậy, | z − ζ0 |< δ ′ |P u(z)| − u(ζ0 ) ε(1 + 2π 2π ∫ |φ(eiθ )|dθ + |φ(ζ0 )|) Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.8 (Biểu thức tích phân Cauchy) Nếu h hàm điều hòa lân cận mở đĩa D(ω, ρ) với r < ρ t < 2π ta có h(ω + reit ) = 2π 2π ∫ Pω+reit (ω + ρeiθ )h(ω + ρeiθ )dθ 60 2.3 Những tiêu chuẩn hình học toán nội suy Chứng minh 2.2.8(e)(ii) 2.2.10(d)(ii) tương đương với ∑ (n) (n) Nếu 2.2.8(e)(ii) đúng, lấy cλ ∈ B(Λ) cho lim cλ Pλ (ζ) = hầu n→∞ khắp nơi ∂ D ∑ (n) ∑ (n) Xét µn = cλ δλ ta có µn ∈ B từ lim cλ Pλ (ζ) = hầu khắp nơi n→∞ λ∈Λ ∂ D ta có suy limn→∞ B(µn )(ζ) = Ta có ∫ ∑ (n) cλ ϕΛ (λ) = ϕΛ dµn λ∈Λ , λ∈Λ Vậy lim n→∞ ∑ λ∈Λ (n) cλ ϕΛ (λ) = hay 2.2.10(d)(ii) λ∈Λ Ngược lại, 2.2.10(d)(ii) Lấy (µn ) ⊂ B cho lim B(µn )(ζ) = hầu ∑ nơi ∂ D Đặt khắp = µn ({λ}) ta có (n) cλ Pλ (ζ) = hầu khắp nơi ∂ D Từ lim (n) cλ n→∞ λ∈Λ ∫ ϕΛ dµn = ∫ ∈ B(Λ) (n) cλ ϕΛ (λ) λ∈Λ ϕΛ dµn = Vậy 2.2.10(d)(ii) Ta có lim n→∞ , ∑ n→∞ (n) (cλ )λ , 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy Hệ 2.3.1 Cho Λ dãy Blaschke tách Khi Λ ∈ IntN + Λ ∈ IntN Chứng minh: Theo mệnh đề 2.1.14 ta có log |Bλ (λ)|−1 có hàm trội điều hịa tựa chặn hay ϕΛ có hàm trội điều hịa tựa chặn Từ theo kết định lý 2.2.8.c Λ dãy nội suy cho lớp N + dãy nội suy cho lớp N Hệ 2.3.2 Cho Λ dãy đĩa đơn vị D Khi a Nếu Λ ∈ IntN ϕH ∈ L1 (∂ D ) Nếu Λ ∈ IntN + ϕH ∈ L1 (∂ D ) w w,0 Λ Λ b Nếu M ϕΛ ∈ L1 (∂ D ) Λ ∈ IntN + Λ ∈ IntN 61 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy Chứng minh: a Nếu Λ ∈ IntN theo định lý 2.1.12 ta có ϕΛ có hàm trội điều hịa từ kết mệnh đề 2.2.7 ta ϕH ∈ L1 (∂ D ) w Λ + Nếu Λ ∈ IntN theo định lý 2.2.8 ta có ϕΛ có hàm trội điều hịa tựa chặn từ kết mệnh đề 2.2.7 ta ϕH ∈ L1 (∂ D ) w,0 Λ b Nếu M ϕΛ ∈ L1 (∂ D ) theo mệnh đề 2.2.6 ta có ϕΛ có hàm trội điều hịa tựa chặn theo định lý 2.2.8 ta Λ ∈ IntN + Λ ∈ IntN Hệ 2.3.3 a Nếu Λ ∈ IntN + lim (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 = |λ|→1 b Nếu Λ ∈ IntN sup(1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ λ∈Λ c Nếu Λ dãy Blaschke ∑ (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ Λ ∈ IntN + λ∈Λ Λ ∈ IntN Chứng minh: Ta có Iλ ⊂ {ζ ∈ ∂ D : M ϕΛ (ζ) lấy ζ ∈ Iλ suy λ ∈ Γ(ζ), M ϕΛ (ζ) = sup ϕΛ (z) log |Bλ (λ)|−1 }, λ ∈ Λ Thật vậy, ϕΛ (λ) = log |Bλ (λ)|−1 z∈Γ(ζ) a Nếu Λ ∈ IntN + theo hệ 2.3.2 ta có ϕH ∈ L1 (∂ D ) Do ϕH M ϕΛ w,0 Λ Λ nên M ϕΛ ∈ Lw,0 (∂ D ) Vậy ({ }) lim log |Bλ (λ)|−1 σ ζ ∈ ∂ D : M ϕΛ (ζ) log |Bλ (λ)|−1 = |Bλ (λ)|→1 Từ lim (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 = |λ)|→1 b Nếu Λ ∈ IntN theo hệ 2.3.2 ta có ϕH ∈ L1 (∂ D ) Do ϕH M ϕΛ w Λ Λ nên M ϕΛ ∈ L1 (∂ D ) Vậy w ({ }) sup log |Bλ (λ)|−1 σ ζ ∈ ∂ D : M ϕΛ (ζ) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ , λ∈ Từ sup (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ , λ∈ 62 2.3 Những tiêu chuẩn hình học toán nội suy c Đặt u = ∑ ∫ ϕΛ (λ)χIλ Ta có λ ∂ , udµ = ∫ ∑ ∂ , ϕΛ (λ)χIλ udµ = λ ∑ , (1 − |λ|)ϕΛ (λ) < ∞ λ∈ Vậy u ∈ L1 (∂ D ) Ta chứng minh M ϕΛ u hay M ϕΛ (ζ) ∑ u(ζ) = ϕΛ (λ) u(ζ), ∀ζ ∈ ∂ D Thật vậy, ϕΛ (λ) λ:ζ∈Iλ Suy u(ζ) sup ϕΛ (λ) = M ϕΛ (ζ) λ∈Γ(ζ) Từ M ϕΛ ∈ L1 (∂ D ) theo hệ 2.3.2 ta có Λ ∈ IntN + Λ ∈ IntN Mệnh đề 2.3.4 Giả sử Λ ⊂ D thuộc hợp hữu hạn góc Stolz Khi a Λ ∈ IntN + lim (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 = |λ|→1 b Λ ∈ IntN sup(1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ λ∈Λ Chứng minh: a Ta cần xét trường hợp Λ chứa góc Stolz Thật vậy, Λ = ∪n Λi với Λl ⊂ Γζl , l = 1, n, ζi ̸= ζj i=1 lim z→ζi ,z∈Γ(ζi ) |BΛj (z)| = 1, j ̸= i Do đó, log |Bλ (λ)|−1 xét tương ứng với log |BΛi \{λ} (λ)|−1 Γζi , λ ∈ Λi Hơn nữa, ta giả sử dãy cho theo tia Theo hệ 2.3.3 ta cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử lim (1 − |λ| log |Bλ (λ)|−1 = 0, ta xây dựng hàm w ∈ L1 (∂ D ) |λ|→1 thỏa mãn yêu cầu định lý 2.2.10(c) Giả sử Λ = {λn }n ⊂ [0, 1) xếp theo thứ tự tăng dần đặt εn = ˜ −1 (1 − |λ|) log |Bλn (λn )| Rõ ràng tồn dãy giảm (εn )n với εn εn n ∈ N ˜ lim εn = Nếu In = Iλn , đặt Jn = In \In+1 , βn = εn − εn+1 , n ∑ βn w(ζ) = χJ (ζ), ζ ∈ ∂ D σ(Jn ) n n 63 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy Khi w ∈ L1 (∂ D ) ∫ P [w](λn ) = ∫ ∂ , |w(ζ)|dσ(ζ) = n βn ∫ Pλn (ζ) Pλn (ζ)dw(ζ) ∂ ∑ , = ε1 < ∞ Hơn nữa, ∑ βk χJ (ζ)dσ(ζ) σ(Jn ) k k In ∫ ∑ βk dσ(ζ) σ(Jn ) − |λn | k n Jk ∑ βk εn εn ˜ k n = = = log |Bλn (λn ) |−1 − |λn | − |λn | − |λn | Vậy ϕΛ có hàm trội điều hòa tựa chặn Theo định lý 2.2.10.c ta có Λ ∈ IntN + b Đặt dµs = δ1 , δ1 độ đo Dirac ∈ ∂ D |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ ta có C log |Bλn (λn )|−1 − |λn | Từ sup(1 − λ∈Λ ∫ Pλn (ζ)dµs (ζ) = P [µs ](λn ) Pλn (1) = ∂ , Vậy ϕΛ có hàm trội điều hịa theo định lý 2.1.12 ta có Λ ∈ IntN Mệnh đề 2.3.5 Nếu µΛ có qt bị chặn Λ ∈ IntN tương đương với Λ ∈ IntN + tương đương với ∑ (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ λ∈Λ ∑ Ở đây, µΛ := (1 − |λ|)δλ , với δλ độ đo Dirac λ λ∈Λ Chứng minh: Giả sử Λ ∈ IntN theo định lý 2.1.12 ta có ϕΛ có hàm trội điều hịa, tức tồn độ đo µ ∂ D cho ∫ ϕΛ (z) Pz (ζ)dµ(ζ) Vì µΛ có quét bị chặn nên ∫ ϕΛ dµΛ , ∫ ∫ ( , ∂, ∫ ∂ , ∂ , Pz (ζ)dµΛ (ζ) < ∞ Do ) Pz (ζ)dµ(ζ) dµΛ (z) = Cµ(∂ D ) < ∞ ∫ ∫ ( ∂ , , ) Pz (ζ)dµΛ (z) dµ(ζ) 64 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy Từ ∫ ϕΛ dµΛ = ∑ , Giả sử ∑ (1 − |λ|)ϕΛ (λ) = λ ∑ (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ λ (1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ theo hệ 2.3.3.c ta có Λ ∈ IntN + λ∈Λ Hiển nhiên từ Λ ∈ IntN + ta có Λ ∈ IntN Vậy mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.3.6 Các phát biểu sau tương đương: a N |Λ ⊂ lY a b N + |Λ ⊂ lY a c µΛ có qt Poisson bị chặn, tức sup ζ∈∂ Ở đây, lY a := {(a)λ : ∑ λ (1 , ∑ (1 − |λ|)Pλ (ζ) < ∞ λ − |λ|) log+ |aλ | < ∞} Chứng minh: (a) ⇒ (b) : Do N + |Λ ⊂ N |Λ nên N + |Λ ⊂ lY a (c) ⇒ (a) : Giả sử µΛ có qt bị chặn Lấy F ∈ N , ta có F (Λ) = (aλ )λ Theo cách chứng minh 2.1.12(a) 2.1.12(b) tương đương, tồn h ∈ Har+ (D ) cho log+ |F | h ∑ Từ µΛ = λ (1 − |λ|)δλ ta có ∫ ∫ ∑ + + hdµΛ (λ) < ∞ (1 − |λ|) log |F (λ)| = log |F (λ)|dµΛ (λ) , , λ∈Λ Vậy N |Λ ⊂ lY a ∑ (b) ⇒ (c) : Giả sử µΛ khơng bị chặn, tức gΛ := (1 − |λ|)Pλ không bị λ chặn Do gΛ giới hạn tăng hàm liên tục nên gΛ hàm nửa liên tục Ta chứng minh gΛ ∈ L∞ (∂ D ) Thật vậy, gΛ không bị chặn / nên tồn ζ ∈ ∂ D cho gΛ (ζ) = ∞ Vì gΛ hàm nửa liên tục nên {ζ ∈ ∂ D | gΛ (ζ) > α} tập mở Do µ({ζ ∈ ∂ D | gΛ (ζ) > α}) > Vậy ∥gΛ ∥∞ = sup{α : µ({gΛ (ζ) > α}) > 0} = ∞ ∫ Từ gΛ ∈ L∞ (∂ D ) nên tồn f ∈ L1 (∂ D ) cho / f gΛ = ∞ Chọn hàm ∂ , F ∈ N + với log |F | = P [f ] ta có ∫ ∫ ∑ ∑ f gΛ = ∞, (1 − |λ|) log |F (λ)| = (1 − |λ|) Pλ f = λ∈Λ mâu thuẫn với điều kiện (b) λ∈Λ ∂ , ∂ , 65 2.3 Những tiêu chuẩn hình học tốn nội suy Định lý 2.3.7 (Naftalevic) N |Λ = lN a Λ thuộc hợp hữu hạn góc Stolz sup(1 − |λ|) log |Bλ (λ)|−1 < ∞ λ∈Λ Ở đây, lN a := {(aλ )λ : sup(1 − |λ|) log+ |aλ | < ∞} λ Chứng minh: Giả sử Λ thuộc hợp hữu hạn góc Stolz supλ (1 − |λ|) log+ |aλ | < ∞ Khi theo mệnh đề 2.3.6 ta có Λ ∈ IntN khơng gian vết N |Λ xác định theo điều kiện định lý 2.1.12(b), N |Λ = {(aλ )λ : ∃h ∈ Har+ (D ) cho h(λ) log+ |aλ |, λ ∈ Λ} Ta chứng minh N |Λ = lN a Nếu N |Λ = lN a lN a ideal Vậy Λ dãy nội suy theo hệ 2.3.3 ta có supλ (1 − |λ|) log+ |aλ | < ∞ Theo định lý 1.2b định nghĩa lN a ta có hàm xác định { (1 − |λ|)−1 , z = λ ∈ Λ, ϕ(z) = 0, z ∈ Λ / có hàm trội điều hịa h Đặt h(z) = P [µ](z) xác định khoảng α Iz = {ζ ∈ ∂ D : z ∈ Γα (ζ)} α Khi tồn số α Cα cho µ(Iz ) > Cα , với z thỏa mãn h(z) (1 − |z|)−1 Nếu Λ không thuộc hợp hữu hạn góc Stolz tồn ζ ∈ ∂ D điểm tụ Λ′ ⊂ Λ cho Λ′ Γβ (ζ) Chọn β > α λ′ ∈ Λ′ , ζ ∈ Iλ / α α ta xây dựng dãy hữu hạn Λ′′ ⊂ Λ cho (Iλ′ )λ′ ∈Λ′′ rời rạc Điều chứng tỏ h khơng tích phân Poisson độ đo dương hữu hạn Chương Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị Trong chương đưa mở rộng đặc trưng dãy nội suy tự cho lớp N đĩa đơn vị D định lý 2.1.12 thành đặc trưng tương ứng dãy nội suy tự cho lớp N (B n ) hình cầu đơn vị B n Kết mở rộng trình bày định lý 3.3.1 Trước hết ta cần số khái niệm tính chất hình cầu đơn vị B n tương ứng với đĩa đơn vị D 3.1 Tự đẳng cấu hình cầu đơn vị Ta biết với α thuộc đĩa đơn vị D C có tự đẳng cấu ϕα đổi α−λ chỗ α cho ϕα (λ) = Điều tương tự thực − αλ hình cầu đơn vị B n C n Định nghĩa 3.1.1 Cố định a ∈ B n , gọi Pa phép chiếu vng góc C n lên khơng gian [a] sinh a đặt Qa = − Pa phép chiếu lên phần bù trực giao [a] za Ta có P0 = Pa z = a, a ̸= |a| 1/2 Đặt Sa = (1 − |a| ) định nghĩa ϕa (z) = a − Pa z − Sa Qa (z) − za 66 67 3.2 Hàm đa điều hòa Nhận xét: i Nếu Ω = {z ∈ C n : za ̸= 1} ⊃ B n ϕa : Ω −→ C n chỉnh hình ii Khi n = Pa = I, Qa = Ta có ϕa tự đẳng cấu Mobius đĩa đơn vị D nói iii Ánh xạ a −→ ϕa (z) liên tục B n , với z ∈ B n Mệnh đề 3.1.2 (10) Cho a ∈ B n , ϕa có tính chất sau: i ϕa (0) = a ϕa (a) = ii ϕ′a (0) = −S P − SP ϕ′a (a) = − iii Với z ∈ B w ∈ B ta có n P Q − S2 S n (1 − |a|2 )(1 − zw) − ϕa (z)ϕa (w) = (1 − za)(1 − aw) Do đó, với z ∈ B n (1 − |a|2 )(1 − |z|2 ) − |ϕa (z)| = |1 − za| iv ϕa phép đối hợp: ϕa (ϕa (z)) = z v ϕa phép đồng phôi từ B lên B ϕa ∈ Aut(B n ) n n Định nghĩa 3.1.3 Cho a = (ak )k dãy điểm rời rạc hình cầu đơn vị B n C n Đặt ∏ δk = φaj (ak ), j:j̸=k với φα tự đẳng cấu B n giao hoán α Ta định nghĩa { −1 log δk , z = ak ∈ a, φa (z) = 0, z ∈ a / 3.2 Hàm đa điều hòa Viết tọa độ zj z ∈ C n dạng zj = xj + yj , với xj yj số thực, xét toán tử vi phân ∂ ∂ ∂ = ( −i ) ∂zj ∂xj ∂yj ∂ ∂ ∂ = ( +i ), ∂z j ∂xj ∂yj với1 j n 68 3.3 Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị Ta ký hiệu Dj = ∂ ∂zj Dj = ∂ ∂z j Định nghĩa 3.2.1 Cho Ω tập mở C n f ∈ C (Ω) Hàm f gọi đa điều hòa thỏa mãn Dj Dk f = 0, ∀j, k = 1, , n Ký hiệu, PH(B n ) tập hàm đa điều hòa B n Định nghĩa 3.2.2 Hàm đo Borel ϕ xác định miền Ω C n gọi có hàm trội đa điều hịa tồn hàm đa điều hòa u Ω thỏa mãn ϕ(z) u(z), với z ∈ Ω Định nghĩa 3.2.3 Hàm chỉnh hình f (z) hình cầu đơn vị B n gọi thuộc lớp N (B n ) log |f | có hàm trội đa điều hòa, tức tồn u ∈ PH(B n ) cho log |f | u 3.3 Bài toán nội suy hình cầu đơn vị Định lý 3.3.1 Cho a = (ak ) dãy rời rạc hình cầu đơn vị B n C n Đặt ∏ δk = |φaj (ak )|, j:j̸=k đây, φα tự đẳng cấu hình cầu giao hốn α Xét phát biểu sau: a a dãy nội suy tự cho lớp N (B n ) b Không gian vết cho N |a = {(ck ) | ∃u ∈ PH(B n ) cho log+ |ck | u(ak )} c ϕa có hàm trội đa điều hịa Khi (a) (b) tương đương với nhau, (c) suy (a) ngược lại khơng 69 3.3 Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị Trước hết ta cần chứng minh kết quan trọng mở rộng định lý 2.1.13 lên hình cầu đơn vị, hàm φ(t) chọn e−t Định lý 3.3.2 Cho a = (ak ) dãy điểm rời rạc B n Giả sử với k ta có δk > Khi với dãy số phức (wk ) thỏa mãn |wk | < Cδk , đây, C số, tồn hàm f ∈ H ∞ (B n ) cho f |a = (wk ) Chứng minh: Trước hết ta nhận xét rằng: Nếu tồn dãy hàm Fk ∈ H ∞ (B n ) cho i Fk (ak ) = 1vFk (aj ) = 0, với j ̸= k ∑ ii |wk Fk (z)| < M < ∞, với z ∈ B n k tồn hàm f cho f |a = (wk ) ∑ Thật vậy, ta cần đặt f = wk Fk Khi f ∈ H ∞ (B n ) f (ak ) = wk k Như việc chứng minh bổ đề đưa việc xây dựng dãy hàm (Fk ) Ta xây dựng hàm Fk hàm có dạng ∏ φaj (ak )φaj (z) ( − |ak |2 )4 W (ak , z) Fk = , − ak z |φaj (ak )|2 j:j̸=k đây, W (ζ, z) hàm chỉnh hình z thỏa mãn W (ζ, ζ) = W (ak , z) ̸= 0, với z Ta chứng tỏ Fk thỏa mãn: i Fk (ak ) = Fk (aj ) = 0, với j ̸= k ∑ ii |wk Fk (z)| < M < ∞, với z ∈ B n k Hiển nhiên Fk thỏa mãn (i) Mặt khác, từ | ∏ φaj (ak )φaj (z) | |φaj (ak )|2 j:j̸=k ta có |Fk (z)| ∏ |φaj (ak )| ∏ 1 = = , |φaj (ak )| |φaj (ak )| δk j:j̸=k j:j̸=k ( − |ak |2 )4 |W (ak , z)| δk |1 − ak z| 70 3.3 Bài toán nội suy hình cầu đơn vị Từ giả thiết suy |wk Fk (z)| Cδk ( − |ak |2 )4 |W (ak , z)| |1 − ak z| (3.1) Chọn W (ζ, z) = exp{− ∑( + am z m − am z − + am ζ ) (1 − |am |2 )(1 − |ζ|2 ) } − am ζ − |am ζ|2 1+α − |α|2 nên Vì Re( )= 1−α |1 − α|2 ∑( − |am z|2 (1 − |am |2 )(1 − |ak |2 ) |W (ak , z)| = exp{− }× |1 − am ak |2 − |am ak |2 m ∑ (1 − |am |2 )(1 − |ak |2 ) × exp{ } |1 − am ak |2 m Ta chứng tỏ nhân tử cuối bị chặn e Thật vậy, từ δ2 (1 − |am |2 )(1 − |ak |2 ) |φak (am )| = − |1 − am ak |2 bất đẳng thức − x exp{− exp{−x} ta có ∑ (1 − |am |2 )(1 − |ak |2 ) |1 − am ak |2 m Vậy |W (ak , z)| } ∏ δk |φam (ak )| = e e m:m̸=k ∑ − |am z|2 (1 − |am |2 )(1 − |ak |2 ) e exp{− } δk |1 − am z|2 − |am ak |2 m Bổ đề 3.3.3 (1) Nếu |am | |ak | (1 − |am z|2 ) − |am ak |2 1 − |am |2 − |ak z|2 Sau đánh số lại, khơng tính tổng qt giả thiết dãy xét có (|ak |)k khơng giảm Từ bổ đề 3.3.3 ta nhận |W (ak , z)| e (1 − |ak |2 ) ∑ (1 − |am |2 )2 } exp{− (1 − |a z|2 ) δk |1 − am z|2 m m k 71 3.3 Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị Bổ đề 3.3.4 [1] Đặt h(t) = min(1, t−2 ), ta có (1 − |ak |2 ) |W (ak , z)| − |ak z|2 ( ∑ ( − |am |2 )2 ) Ch |1 − am z| m k Từ bổ đề 3.3.4 ta có |wk Fk (z)| Cck h( ∑ cm ), m k đây, ck = ( − |am |2 )2 |1 − am z| Bổ đề 3.3.5 (1) Cho h(t) hàm dương không tăng (0, ∞) cho ck Khi ∫∞ ∞ ∑ ∑ ck h( h(t)dt cm ) k=1 m k 0 Theo bổ đề 3.3.5 ta có ∞ ∑ |wk Fk (z)| C k=1 ∞ ∑ k=1 Ck h( ∑ ∫∞ cm ) h(t)dt = M < ∞ C m k Vậy (ii) chứng minh Chứng minh định lý 3.3.1 (a) =⇒ (b) : Theo định nghĩa lớp N (B n ) ta có N |a ⊂ {(ck ) | ∃u ∈ PH(B n ) cho log+ |ck | u(ak )} Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, lấy (wk ) thuộc vào vế phải, ta có |wk | exp(u(ak )) = | exp(v(ak ))|, với v hàm chỉnh hình)trên B n thỏa mãn Rev = u ( Khi đó, wk / exp(v(ak )) dãy bị chặn Vì a dãy nội suy tự cho lớp N (B n ) nên tồn f ∈ N (B n ) cho f (ak ) = wk exp(v(ak )) Đặt g = f ev ta có g ∈ N (B n ) g(ak ) = wk (b) =⇒ (a) : Để chứng minh a dãy nội suy tự ta cần chứng minh l∞ ⊂ N (B n )|a Lấy (vk ) ∈ l∞ tồn M cho |vk | < M, ∀k Chọn u ≡ M ta có 72 3.3 Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị u ∈ PH(B n ) log+ |vk | < M = u(vk ), ∀k Vậy (vk ) ∈ N (B n )|a (c) =⇒ (a) : Giả sử ϕa (z) u(z), u hàm đa điều hịa Khi exp(−3u(ak )) = | exp(−G(z))|, δk với G(z) hàm chỉnh hình B n thỏa mãn ReG(z) = u(z) Giả sử (αk ) dãy bị chặn, ta có αk exp(−G(ak )) Cδk Theo định lý 3.3.2 tồn hàm chỉnh hình bị chặn F cho F (ak ) = αk exp(−G(ak )) Đặt H(z) = F (z) exp(G(z)) ta có H(ak ) = αk log |H(z)| = log |F (z)| + ReG(z) log ∥F ∥∞ + u(z) Vậy H ∈ N (B n ) Để kết thúc chứng minh định lý ta (c) không suy (a) Khẳng định dựa kết B.Berndtsson trình bày định lý 6.2[1] Định lý 3.3.6 (B.Berndtsson) Với ε > 0, tồn dãy H ∞ (B n ) nội suy (ak ) cho ∑ (1 − |ak |2 )n−ε = ∞ k Lấy ε = n − theo định lý 3.3.6 có dãy H ∞ (B n ) nội suy (ak ) cho ∑ (1 − k |ak | ) = ∞ Do∑ (B n ) ⊂ N (B n ) nên (ak ) dãy nội suy tự cho lớp N (B n ) Mặt khác, H∞ từ (1 − |ak |2 ) = ∞ ta có k ∑ (1 − |ak |2 )(1 − |aj |2 ) = ∞ |1 − ak aj |2 j:j̸=k Từ đó, tồn k cho ∏( j:j̸=k Hay tồn k cho (1 − |ak |2 )(1 − |aj |2 ) ) = ∞ 1− |1 − ak aj |2 ∏ j:j̸=k |φaj (ak )|2 = 0, tức δk = Do đó, ϕa (ak ) = ∞ Vậy ϕa khơng có hàm trội đa điều hòa Kết luận Luận văn nghiên cứu toán nội suy tự lớp Nevanlinna lớp Smirnov Luận văn đạt kết sau: Trình bày kết quan trọng đặc trưng dãy nội suy tự cho lớp Nevanlinna lớp Smirnov dựa hàm trội điều hòa hàm trội điều hòa tựa chặn Đưa điều kiện đặc trưng cho dãy nội suy tự cho lớp "Nevanlinna" hình cầu đơn vị Đây đề tài có ý nghĩa khoa học, mang tính thời cao có nhiều khả phát triển Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Trào, Dãy nội suy không gian hàm, Luận án Thạc sĩ khoa học Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, 1998 [2] B.Berndtsson, Interpolating sequences for H ∞ in the ball, erl.Akad,Wetensch.Indag.Math.88, 1985 Ned- [3] John B Garnett, Two remarks on interpolation by bounded analytic functions, Banach spaces of analytic functions, Lecture Notes in Mathematics, Vol.604, Springer, Berlin, 1977, pp 32-40 [4] John B Garnett, Bounded Analytic Functions, Academic Press New York, 1981 [5] Andreas Hartmann, Xavier Massaneda, Artur Nicolau and Pascal Thomas, Interpolation in Nevanlinna and Smirnov classes and Harmonic majorants, Journal of Functional Analysis 217 (2004) - 37 [6] A.G.Natalevic, On interpolation by functions of bounded characteristic (Russian), Vilniaus Valst Univ Mokslu Darbai Mat Fiz Chem Mokslu Ser 5(1956) 5-27 [7] A.Nicolau, J.Pau, P.J.Thomas, Smallness sets for bounded Holomorphic functions, J Anal Math 82 (2000) 199-148 [8] Thomas Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, 1985 [9] W.Rudin, Real and Complex Analysis, MC Graw - Hill Book Company [10] W.Rudin, Function Theory in The Unit Ball of 1980 C n, Springer Verlag, [11] N.Yanagihara, Interpolation theorems for the class N + , Illinois J Math 18(1974) 427-435 ... Chương Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna lớp Smirnov 35 2.1 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna 35 2.2 Bài toán nội suy cho lớp Smirnov 51 2.3 Những tiêu chuẩn hình. .. hình học toán nội suy 60 Chương Bài tốn nội suy hình cầu đơn vị 3.1 Tự đẳng cấu hình cầu đơn vị 3.2 Hàm đa điều hòa 3.3 Bài tốn nội suy hình. .. điểm đĩa đơn vị nội suy tự Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết báo đưa mở rộng tương ứng đặc trưng dãy nội suy cho lớp Nevanlinna lên hình cầu đơn vị, kết luận văn Luận văn chia làm