Tích phân p adic và hàm zeta p adic của đa thức hai biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Thanh Hương TÍCH PHÂN P -ADIC VÀ HÀM ZETA P-ADIC CỦA ĐA THỨC HAI BIẾN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Nguyễn Thị Thanh Hương TÍCH PHÂN P -ADIC VÀ HÀM ZETA P -ADIC CỦA ĐA THỨC HAI BIẾN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Lê Quý Thường Hà Nội – Năm 2019 Lời cảm ơn Sau trình nghiên cứu với giúp đỡ, động viên từ thầy giáo, cô giáo với bạn sinh viên trường Đại học sư phạm Hà Nội đến khóa luận em hoàn thành Đặc biệt cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành, bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Quý Thường - người trực tiếp quan tâm hướng dẫn em thực đề tài nghiên cứu Qua em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội với thầy khoa Tốn-Cơ-Tin học, trường ĐHKHTN-ĐHQGHN tạo điều kiện tốt cho em suốt trình em thực khóa luận Dù thân cố gắng suốt trình lần tiếp xúc với đề tài nghiên cứu khoa học, điều kiện thời gian lực thân hạn chế nên phần trình bày em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô với bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hương ii Lời cam đoan Bài khóa luận kết trung thực, khách quan dựa kiến thức suốt trình học tập, tìm hiểu thân em với hướng dẫn, bảo tận tình TS Lê Quý Thường Trong trình thực nghiên cứu mình, em có tham khảo số tài liệu nêu rõ mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận: “Tích phân p-adic hàm zeta p-adic đa thức hai biến” cơng trình nghiên cứu riêng em, kết thu đề tài không trùng với tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hương iii Mục lục Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số p-adic trường p-adic Qp 1.2 Độ đo Haar nhóm compắc địa phương 14 Độ đo p-adic tích phân p-adic 17 2.1 Độ đo p-adic 17 2.2 Tích phân p-adic 18 2.3 Giải kì dị cơng thức đổi biến 24 Hàm zeta p-adic đa thức hai biến Z[x, y] 3.1 Tích phân hàm zeta p-adic y − x3 27 27 3.1.1 Tích phân p-adic y − x3 27 3.1.2 Hàm zeta p-adic y − x3 31 3.2 Đa thức hai biến không suy biến 33 3.3 Phép giải xuyến 34 3.4 Phép giải xuyến chấp nhận 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 40 Lời mở đầu Tích phân p-adic chủ đề thú vị Tốn học đại, có nhiều ứng dụng quan trọng Đại số, Lý thuyết số nhiều ngành tốn học khác Nó phản ánh mối liên hệ sâu sắc đại số giải tích - hai ngành lớn Tốn học Tích phân p-adic đời từ năm 1970 nghiên cứu nhà tốn học người Nhật Bản Igusa Nó phát triển mạnh mẽ vào thập niên 1980 1990 nhờ công Denef nhà Toán học thuộc trường phái Bỉ Pháp Điểm bật lý thuyết thông qua hàm zeta p-adic dự đốn mối quan hệ sâu sắc số nghiệm phương trình đa thức đồng dư modulo pn với hình học đa thức đó, thể Giả thuyết đơn đạo Igusa Đến nay, việc giải giả thuyết trường hợp tổng quát thách thức lớn nhà hình học đại số lý thuyết kì dị Đặc biệt, chủ đề chưa quan tâm nghiên cứu nhiều Việt Nam, sinh viên ngành Tốn lạ gợi tò mò Chính lý em chọn đề tài “Tích phân p-adic hàm zeta p-adic đa thức hai biến” nhằm có điều kiện hiểu biết sâu vấn đề Nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương em trình bày trường số p-adic Qp độ đo Haar tập compắc địa phương Chương 2: Độ đo p-adic tích phân p-adic: Trong chương em trình bày độ đo p-adic, tích phân p-adic, hàm zeta p-adic, giới thiệu phép giải kì dị cơng thức đổi biến để tính tích phân p-adic Chương 3: Hàm zeta p-adic đa thức hai biến: Trong chương em sử dụng giải kì dị để tính tích phân p-adic hàm zeta p-adic số đa thức hai biến có kì dị Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số p-adic trường p-adic Qp Cho p số nguyên tố Kí hiệu Q trường số hữu tỷ Với phần tử a b ∈ Q, tồn biểu diễn a a1 n = ·p b b1 cho n ∈ Z, a1 , b1 hai số nguyên nguyên tố nguyên tố với p Khi ta định nghĩa hàm cấp p-adic a ordp := n b Số nguyên n gọi cấp p-adic số hữu tỷ ab Theo định nghĩa, ord2 10 = −1 10 = · 2−1 ord2 20 = 20 = · 21 Đối với số x ∈ Q∗ ta định nghĩa chuẩn p-adic x sau |x|p := p−ordp x Nếu x = 0, ta quy ước |0|p := Bổ đề 1.1 | · |p chuẩn phi Ácsimét Q Chứng minh Theo định nghĩa, |x|p ≥ với x ∈ Q |x|p = x = Mặt khác, với x, y ∈ Q ta có |xy|p = p−ordp (xy) = p−ordp x · p−ordp y = |x|p |y|p Do để chứng minh bổ đề ta cần ordp (x + y) ≥ {ordp (x), ordp (y)} Thật vậy, viết x, y dạng x = a1 n1 b1 ·p , y= a2 n2 b2 ·p , (a1 , b1 ) = 1, (a2 , b2 ) = Khi ordp x = n1 , ordp y = n2 x+y = a1 n a2 n ·p + ·p b1 b2 Khơng tính tổng qt, ta giả sử n1 ≤ n2 Khi n2 = n1 + n với n ∈ N, x+y = a1 n1 a2 n1 +n a1 b2 + a2 b1 pn ·p + ·p = pn · b1 b2 b1 b2 Do ordp (x + y) ≥ n1 = min{n1 , n2 } = min{ordp x, ordp y} Nhận xét Nếu |x|p = |y|p |x + y|p = max{|x|p , |y|p } Với hai phần tử x, y thuộc Q ta định nghĩa khoảng cách p-adic chúng sau: dp (x, y) = |x − y|p Bổ đề sau hiển nhiên Bổ đề 1.2 Với phần tử x, y, z thuộc Q ta có dp (x, y) ≤ max {d(x, z), d(z, y)} Hệ 1.3 Mọi tam giác Q tam giác cân khoảng cách p-adic dp Chương Hàm zeta p-adic đa thức hai biến Z[x, y] Trong chương này, tơi sử dụng giải kì dị để tính tích phân p-adic hàm zeta p-adic số đa thức hai biến có kì dị 3.1 3.1.1 Tích phân hàm zeta p-adic y − x3 Tích phân p-adic y − x3 Xét tích phân |y − x3 |p |dµp |p I= Z2p Đặt X := {(x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ Q2p × P1 | x1 y2 = x2 y1 } xét phép nổ h : X → Q2p cho h(x1 , x2 ; y1 : y2 ) = (x1 , x2 ) Định nghĩa tập hợp U1 U2 sau: U1 = {(y1 : y2 ) ∈ P1 | y1 = 0} = {(1 : y2 ) | y2 ∈ Qp }, U2 = {(y1 : y2 ) ∈ P1 | y2 = 0} = {(y1 : 1) | y1 ∈ Qp } Do U1 U2 mở P1 P1 = U1 ∪ U2 Nếu P ∈ U1 ∩ U2 tọa độ P U1 P = (1 : y2 ) tọa độ P U2 P = (y1 : 1) Mối liên hệ hai hệ tọa độ P 27 y1 = y2 1, hay y1 y2 = Do U1 ∼ = Qp , U2 ∼ = Qp {U1 , U2 } phủ mở affine P1 Đặt V1 = {(x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ X | (y1 : y2 ) ∈ U1 }, V2 = {(x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ X | (y1 : y2 ) ∈ U2 } Khi ta có V1 = {(x1 , x2 , y2 ) ∈ Q3p | x1 y2 = x2 } = {(x1 , x1 y2 , y2 ) ∈ Q3p }, V2 = {(x1 , x2 , y1 ) ∈ Q3p | x1 = x2 y1 } = {(x2 y1 , x2 , y1 ) ∈ Q3p }; {V1 , V2 } phủ mở affine X Khi X = V1 ∪ V2 V1 , V2 dán theo quy tắc y1 y2 = Đặt W1 = {(x1 , y2 ) | |x1 |p ≤ 1, |y2 |p ≤ 1} ⊆ V1 , W2 = {(x2 , y1 ) | |x2 |p ≤ 1, |y1 |p < 1} ⊆ V2 Khi W1 ∩ W2 = ∅ P ∈ W1 ∩ W2 = ∅ P = (x1 , y2 ) = (x2 , y1 ) cho y1 y2 = 1, |x1 |p ≤ 1, |y2 |p ≤ 1, |x2 |p ≤ 1, |y1 |p < Bởi y1 y2 = 1, |y1 |p = p−ordp y1 = pordp y2 = kéo theo mâu thuẫn > |y1 |p = h−1 Z2p = W1 , |y2 |p ≥ Vậy |y2 |p W2 W1 ∩ W2 = ∅ Xét ánh xạ h|W1 : W1 → Q2p cho (x1 , x1 y2 , y2 ) → (x1 , x1 y2 ), 28 ánh xạ h|W2 : W2 → Q2p cho (x2 y1 , x2 , y2 ) → (x2 y1 , x2 ) Khi ta có (h|W1 )∗ dx ∧ dy = dx1 ∧ d(x1 y2 ) = x1 dx1 ∧ dy2 , (h|W2 )∗ dx ∧ dy = (dx2 y1 ) ∧ dx2 = −x2 dx2 ∧ dy1 Áp dụng công thức đổi biến sử dụng kết Ví dụ 2.3 ta có |x22 − (x2 y1 )3 |p |x2 |p |dµp |p |x21 y22 − x31 |p |x1 |p |dµp |p + I= W1 W2 |x31 y22 − x1 |p |dµp |p + = |x32 |p |dµp |p W1 = I1 + W2 p−1 · , p p − 1/p3 |x31 y22 − x1 |p |dµp |p I1 = W1 Ta tính I1 cách xét phép nổ k : Y → Q2p xét tập hợp U1 = {(z1 , t2 ) | |z1 |p ≤ 1, |t2 |p < 1}, U2 = {(z2 , t1 ) | |z2 |p ≤ 1, |t1 |p ≤ 1}, với t1 t2 = Khi k −1 (W1 ) = U1 U2 Áp dụng công thức đổi biến, |z14 z12 t22 − z1 |p |dµp |p + I1 = U1 U2 |z15 z1 t22 − |p |dµp |p + = U1 |z25 t31 (z2 − t1 ) |p |dµp |p U2 |z15 |p |dµp |p + = |z25 t31 (z2 − t1 ) |p |dµp |p U1 = |z24 t31 z22 − z2 t1 |p |dµp |p U2 p−1 · + I2 , p p − 1/p5 |z25 t31 (z2 − t1 ) |p |dµp |p I2 = U2 Bây ta tính I2 cách xét phép nổ l : Z → Q2p xét tập hợp T1 = {(u1 , v2 ) | |u1 |p ≤ 1; |v2 |p ≤ 1}, T2 = {(u2 , v1 ) | |u2 |p ≤ 1; |v1 |p < 1}, 29 v1 v2 = Khi l−1 (U2 ) = T1 T2 áp dụng công thức đổi biến ta có |u81 v23 (u1 − u1 v2 ) |p |u1 dµp |p + I2 = T1 T2 |u10 v2 (1 − v2 ) |p |dµp |p + = |u82 v15 (u2 v1 − u2 ) |p |u2 dµp |p |u10 v1 |p |dµp |p T1 T2 |x10 |p |dµp |p = I3 + |y |p |dµp |p pZp Zp (p − 1)2 , = I3 + (p − 1/p10 ) (p7 − p) |u10 v2 (1 − v2 ) |p |dµp |p I3 = T1 |u10 v2 |p |dµp |p + = Z2p ,|1−v2 |p =1 |u10 v2 (1 − v2 ) |p |dµp |p Z2p ,|1−v2 |p