Phương trình vi phân 1

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP (PHẦN 1) • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006) NỘI DUNG - – TỔNG QUAN – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TUYẾN TÍNH – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM (SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139) TỔNG QUAN - Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện … ⇒ Phương trình vi phân! C R i V0 L di q U R = iR, U L = L , U C = dt C di q L + Ri + =0 Kirchhoff: dt C dq d 2q dq q i= ⇒ L +R + =0 dt dt dt C Vận tốc nguội tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ không khí Biết nhiệt độ không khí 20°C vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút Sau từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật 30°C? KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, … n dy + 3x = VD: dx Cấp y ' '+4 y '+3 y ( x ) = e x Cấp ( x + y ) dx − ( x − y ) dy = Cấp Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: F ( x, y ( x ) , y ' ( x ) ) = ( n) Dạng tổng quát cấp n: F ( x, y ( x ) , y ' ( x ) , y ' ' ( x ) ,  , y ( x ) ) = NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ R dy − y = ex VD: dx (a) Dạng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) =  x = x( t ) (c) Dạng tham số   y = y( t ) 2x Nghiệm: y = e x 2x Nghiệm: y = Ce + e nghiệm tổng quát Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n số: y = ϕ ( x, C1 ,  , Cn ) Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân VD: xdx + ydy = 0: dạng nghiệm hiện, ẩn VD: y ' = − y PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Nhận dạng: Biến x y phân ly (separable) → Có thể tách rời vế biến! VD: xdy − y dx = VD: Kiểm tra dạng phân ly ptrình a / y ' = xy b / x ( y + 1) dx + y ( x − 1) dy = c / xdy + ( y + x ) dx = Tổng quát: dạng  y ' = f ( x ) g ( y )  phương trình vi phân  f ( x ) dx + g ( y ) dy =  f1 ( x ) g1 ( y ) dx + f ( x ) g ( y ) dy = phân ly biến số Phương pháp: Phân ly x & dx vế, y & dy vế Tích phân vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ VD: a / y ' = sin x b / y' = e y c / y' = 2y x VD: a / ( x + cos x ) dx + y dy = b / ( y + xy ) dx + ( x − yx ) dy = c / y '− xy = xy VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ không khí Biết nhiệt độ không khí 20°C vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút Hỏi sau kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật 30°C? ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY - Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1) y y  Tỷ số: y' = f   → Đổi biến: u = ⇒ y = ux ⇒ y ' = u ' x + u x x Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xα yβ , α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! y VD: a / y ' = + x y + xy b / y' = xy VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy! PT VI PHÂN CẤP TUYẾN TÍNH - y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y VD: Xác đònh phương trình tuyến tính: a / y '− y = x x c / y '3 + xy = e x d / ydx + ( y − x ) dy = b / y '+e x y = x Tuyến tính theo x = x(y)! Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chứa y bậc (ở tử số) y’ = a(x)y + b(x) (E): không (có vế phải) ⇒ PT (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0) NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT y VD: Giải PTVP nhất: a / y ' = x b / y ' = y ⋅ tgx PT cấp tuyến tính nhất: y’ + a(x)y = (E 0) có nghiệm tổng quát dạng: y = Cy0 ( x ) , C : số VD: Từ nghiệm tổng quát PT trên, tìm nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) PT không x y e a / y' = + 3x3 b / y ' = y ⋅ tgx + x cos x N0 riêng yr = C(x)y0(x): biến thiên số ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vào (*) ⇒ C ' ( x ) y0 ( x ) = b( x ) TỔNG KẾT PTVP cấp t/tính (E): y ' = a( x ) y + b( x ) y '+ p( x ) y = q( x ) 1/ PT nhất: y ' = a( x ) y y '+ p( x ) y = ⇒ y = Cy0 ( x ) 2/ Biến thiên số C = C(x) ⇒ C ' y0 = b( x ) ⇒ C ( x ) = ∫  3/ Nghiệm sau cùng: Tổng nghiệm bước & bước Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT (dễ)+ Nghiệm riêng PT không (khó) Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp tuyến tính: p ( x ) dx − ∫ p ( x ) dx p ( x ) dx     ∫ ∫ y ' = p( x ) y + q ( x) ⇔ y = Ce +  ∫ f ( x )e dx  e     VÍ DỤ - VD: Giải ( x + 1) y '−2 y = ( x + 1) ⇒ y '− y = ( x + 1) x +1 y = ⇒ y = Cy0 ( x ) 1/ Phương trình nhất: y '− x +1 C = C ( x ) ⇒ C ' ( x ) y = ( x + ) ⇒ C( x) 2/ Biến thiên số: 3/ Nghiệm sau cùng: y = C ( x + 1) + ( x + 1) VD: Giải phương trình a / b / y' ( x + y ) = y dy sin x + y= dx x x y VD: Tính y(2) với hàm y thoả: y '+ = x , y (1) = x [...]... VD: Giải ( x + 1) y '−2 y = ( x + 1) 4 2 3 ⇒ y '− y = ( x + 1) x +1 2 y = 0 ⇒ y = Cy0 ( x ) 1/ Phương trình thuần nhất: y '− x +1 3 C = C ( x ) ⇒ C ' ( x ) y = ( x + 1 ) ⇒ C( x) 2/ Biến thiên hằng số: 0 1 2 4 3/ Nghiệm sau cùng: y = C ( x + 1) + ( x + 1) 2 VD: Giải các phương trình a / b / y' ( x + y 2 ) = y dy 1 sin x + y= dx x x y VD: Tính y(2) với hàm y thoả: y '+ = 3 x , y (1) = 1 x ... cấp 1 t/tính (E): y ' = a( x ) y + b( x ) hoặc y '+ p( x ) y = q( x ) 1/ PT thuần nhất: y ' = a( x ) y hoặc y '+ p( x ) y = 0 ⇒ y = Cy0 ( x ) 2/ Biến thiên hằng số C = C(x) ⇒ C ' y0 = b( x ) ⇒ C ( x ) = ∫  3/ Nghiệm sau cùng: Tổng 2 nghiệm bước 1 & bước 2 Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó) Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp 1 ... BẢN – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TUYẾN TÍNH – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI... ( x ) g ( y )  phương trình vi phân  f ( x ) dx + g ( y ) dy =  f1 ( x ) g1 ( y ) dx + f ( x ) g ( y ) dy = phân ly biến số Phương pháp: Phân ly x & dx vế, y & dy vế Tích phân vế ⇒ Nghiệm... (hoặc vi phân) y(k), k = 0, … n dy + 3x = VD: dx Cấp y ' '+4 y '+3 y ( x ) = e x Cấp ( x + y ) dx − ( x − y ) dy = Cấp Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao cấp n Dạng tổng quát PT vi phân