Phương trình vi phân 1

TỔNG QUAN ---Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện … ⇒ Phương trình vi phân!. Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và nhiệt độ không khí.

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

(PHẦN 1)

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006)

NỘI DUNG

-1 – TỔNG QUAN

2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ

6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

8 – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐẠO HÀM (SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139)

TỔNG QUAN

-Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện … ⇒ Phương trình vi phân!

Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và nhiệt độ không khí Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút Sau bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật sẽ là 30°C?

R

L

0

V

C

i

C

q U

dt

di L U

iR

Kirchhoff: + + = 0

C

q Ri

dt

di L

0 2

2

= +

+

⇒

=

C

q dt

dq R dt

q

d L dt

dq i

Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n

VD: +3x = 0

dx

dy y ''+4y'+3y( )x = e x ( x + y)dx − ( x − y)dy = 0

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

-Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1

Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1:

Dạng tổng quát cấp n:

( ) ( ) ( x, y x , y' x ) = 0

F

NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

-Nghiệm PTVP:

Hàm số y = y(x),

x ∈ khoảng I ⊂ R (c) Dạng tham số

(a) Dạng hiện: y = f(x)

(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0

( ) ( )







=

=

t y y

t x x

VD: y e x

dx

dy

=

− Nghiệm:

x e

Nghiệm: y = Ce x + e2x nghiệm tổng quát

VD: xdx + ydy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD: y'= 1− y2

Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số:

Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân

( x, C1, , C n)

PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ

-Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn)

VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình a / y'= xy

/ x2 y + dx + y2 x − dy =

( ) ( )











= +

= +

=

0 0

'

2 2

1

1 x g y dx f x g y dy f

dy y g dx

x f

y g x f y

Tổng quát: 3 dạng

phương trình vi phân

phân ly biến số

Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable)

→ Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: xdy − y2dx = 0

GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ

-VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C?

VD: a / y'= sin3 x b / y'= e y

x

y y

c / '= 2

VD: a / ( 2x + cos x)dx +5y4dy = 0

/ y2 + xy2 dx + x2 − yx2 dy =

ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY

-VD: (x 2 + y 2 )dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x 2 + y 2 ), Q = xy!

Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1) 2 – 2(2x + 3y + 1)

Tỷ số:  → Đổi biến:











=

x

y f

x

y

Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒

Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!

VD:

xy

xy

y y

2 +

=

x

y y

a / '=1+

PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

-y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒

PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)

y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y

Tuyến tính theo x = x(y)!

VD: Xác định phương trình tuyến tính:

x e xy

y

c / '3+ =

3

2 '

x

y

2 / ydx + y2 − x dy =

d

3 2

'

/ y e y x

NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT

-VD: Giải các PTVP thuần nhất:

x

y y

a / '= b / y'= y⋅ tgx

PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E 0 )

có nghiệm tổng quát dạng: y = Cy0( )x , C : hằng số

VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất

3 3 '

x

y y

x

e x

y y

b

x

cos

tg '

N0 riêng y r = C(x)y 0 (x): biến thiên hằng số y tq.tn = Cy 0 (x)

Thay y r = C(x)y 0 (x) vào (*) ⇒ C'( ) ( ) ( )x y0 x = b x

TỔNG KẾT

-Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp 1 tuyến tính:

e dx

e x f Ce

y x

q y

x p

PTVP cấp 1 t/tính (E):

2/ Biến thiên hằng số C = C(x)

1/ PT thuần nhất:

3/ Nghiệm sau cùng: Tổng 2 nghiệm bước 1 & bước 2

a

a

y'= hoặc '+ = 0 ⇒ = 0

=

Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó)

VÍ DỤ

-VD: Giải ( ) ( )4

1 2

'

x

1/ Phương trình thuần nhất: y y Cy ( )x

x

1

2

+

−

2/ Biến thiên hằng số: C = C( )x ⇒ C ( )x y = ( x + )3 ⇒ C( )x

'

3/ Nghiệm sau cùng: ( )2 ( )4

1 2

1

+

y

VD: Giải các phương trình

x

x y

x dx

dy

y

VD: Tính y(2) với hàm y thoả: '+ = 3x , y( )1 =1

x

y y

1 1

2

+

−

x y