Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận bình thạnh thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP – QUẬN BÌNH THẠNH (2015-2016) Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a) Rút gọn: A  13    2  13    2    b) Cho x  x  y  y2   Tính x + y Bài 2: (5 điểm) Giải phương trình: a) 13  3x  3x  11  3x  24x  50 b) x  2x    x  1 x  3x  2x  x   2x  x   x  c) Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > Chứng minh: a 1  b   b 1  4c   c 1  9a   12 abc b) a b2  a  b  ● Cho a, b, x, y số thực x, y > Chứng minh:   x y xy ●Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2 y2 z2    x  yz y  xz z  xy Bài 4: (1 điểm) Giá bán hộp bút 21.250 đồng Mừng ngày 30/4 người bán giảm giá lần thứ Đến ngày Quốc tế thiếu nhi người bán lại giảm giá lần nữa, nên giá bán lại 19.176 đồng Hỏi lần người bán giảm giá phần trăm, biết số phần trăm lần giảm giá số có chữ số Bài 5: (4 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngồi đường tròn (O,R) Qua A vẽ đường thẳng (d)  OA Gọi M điểm (d) Từ M vẽ tiếp tuyến ME MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi N B giao điểm EF với OM OA a) Chứng minh: ON.OM = OA.OB b) Vẽ tiếp tuyến AD, AC đến (O) (C, D tiếp điểm) Chứng minh: C, D, B thẳng hàng c) Xác định vị trí M để SMEF nhỏ Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC vng A Đường cao AH trung tuyến BM cắt O, CO cắt AB D Qua A vẽ đường thẳng (d) song song với BC (d) cắt CD, BM E F HB MC DA a) Chứng minh:   1 HC MA DB b) Giả sử AC = BH, chứng minh CD phân giác ACB  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Hướng Dẫn Giải: ĐỀ THI HSG LỚP – QUẬN BÌNH THẠNH – (2015-2016) Bài 1: (4 điểm) a) Rút gọn: A  13    2  13    2 A  13    2  13    2 A >  A  13    2  13    2 13    2  13    2   A  26  2  13     1 2    A  26  2  169  26   25  2   A  26  2  146  24   A  26  2  12    A  26  2  12     A  50  A   A >    Ta có:  x  x   y  y      x   x  x   x  y    x   x   y  y 1  x  b) Cho x  x  y  y2   Tính x + y 2 2 2  y  y2   x   x   x   x   y2   x   x 2 1  x 1     y   y   1  y   y   Ta có: x  x  y  y2   x2 x2 2  x  x   y2   y Cộng vế theo vế (1) (2), ta có:  y2   y  y2   y y2   y 2 Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 y  y2   x  x   x   x  y2   y  x  y  x  y xy0 Bài 2: (5 điểm) Giải phương trình: a) 13  3x  3x  11  3x  24x  50 11 13 x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:  13  3x 14  3x    13  3x  2   3x  11   3x  11  10  3x  2 Điều kiện:  13  3x  3x  11   VT  Ta có: 3x  24x  50   x     VP  2 1  13  3x  Do đó, để dấu ‘’=’’ xảy 1  3x  11  x  x    Vậy S  4 b) x  2x    x  1 x  3x  Đặt t  x  3x  3, t   t  x  3x   x  t  3x  Khi đó, phương trình trở thành: t  3x   2x    x  1 t  t  x  xt  t  t  xt  x  t   t  t  x   1 x  t     t  x  t  1  t  x  t  x  x    x 1 TH1: t = x  x  3x   x   2 x   x  3x   x TH2: t =  x  3x    x  3x     x  1 x     x  hay x   nhan  Vậy S  1; 2 c) 2x  x   2x  x   x  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016   71  a  2x  x    x    0 4   Đặt   1  b  2x  x    x     4   a  2x  x   a  b  a  b   x     a  b2  2x    a  b  a  b    x    2  b  2x  x  Phương trình trở thành:  a  b  a  b  ab   a  b    a  b  a  b    a  b  a  b     a  b    a  b    a  b2  2x  x   2x  x    2x  x    2x  x  1  2x  x    2x  x   x   x  2  2 4  2x  x  1  x  4x   x  2 x    x     x  8  x      8 Vậy S  0;   7 Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > Chứng minh: a 1  b   b 1  4c   c 1  9a   12 abc Ta có: a 1  b   b 1  4c   c 1  9a   12 abc  a  ab  b  4bc  c  9ca  12 abc   a  4bc    b  9ca    c  ab   12 abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a  4bc  a.4bc  abc  b  9ac  b.9ac  abc   a  4bc    b  9ca    c  ab   12 abc  c  ab  c.ab  abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 a b2  a  b  b) i) Cho a, b, x, y số thực x, y > Chứng minh:   x y xy a b2  a  b  Ta có :   x y xy a y  x  y   b x  x  y  xy  a  b    xy  x  y  xy  x  y   a xy  a y  b x  b xy  a xy  2abxy  b xy  a y  2abxy  b x    ay  bx   (bất đẳng thức đúng) ii) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2 y2 z2    x  yz y  xz z  xy a b2  a  b  Áp dụng bất đẳng thức , ta có:   x y xy  x  y x2 y2   x  yz y  xz x  yz  y  xz x  y  x2 y2 z2 z2      x  yz y  xz z  xy x  yz  y  xz z  xy 1 a b2  a  b  Áp dụng bất đẳng thức , ta có:   x y xy  x  y x  y  z z2   x  yz  y  xz z  xy x  y  z  xy  yz  xz Từ (1) (2), ta suy ra: 2  2  x  y  z x2 y2 z2     x  yz y  xz z  xy x  y  z  xy  yz  xz Ta dễ chứng minh:  3 xy  yz  xz  x  y  z  x  y  z  xy  yz  xz   x  y  z     1  x  y  z  xy  yz  xz  x  y  z   x  y  z x  y  z  xy  yz   x  y  z x  y  z  xz  x  y  z  2 x  y  z  xy  yz  xz  xyz Mà x  y  z  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long Nên  x  y  z x  y  z  xy  yz  xz Từ (3) (4), ta có:  2015 -2016  4 x2 y2 z2    x  yz y  xz z  xy Bài 4: (1 điểm) Giá bán hộp bút 21250 đồng Mừng ngày 30/4 người bán giảm giá lần thứ Đến ngày Quốc tế thiếu nhi người bán lại giảm giá lần nữa, nên giá bán lại 19176 đồng Hỏi lần người bán giảm giá phần trăm, biết số phần trăm lần giảm giá số có chữ số Gọi x% số phần trăm giảm giá lần I 1  x, y  9, x,y  N  * Gọi y% số phần trăm giảm giá lần II 21250x Số tiền giảm giá lần I : (đồng) 100 21250x  y  Số tiền giảm giá lần II :  21250  (đồng)  100  100   21250x  21250x  y  Theo đề bài, ta có phương trình : 21250     21250   19176  100  100    100  xy  100x  100y  976   x  100  y  100   9024 1 1  x, y  99  x  100  91  x, y  N*  Vì   * 99  y  100  91  x,y  N  x  100  94 x  100  96 x  x  Nên từ (1)   hay   hay   y  100  96  y  100  94 y  y  Vậy người bán giảm giá lần, lần 4%, lần 6% Bài 5: (4 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngồi đường tròn (O,R) Qua A vẽ đường thẳng (d)  OA Gọi M điểm (d) Từ M vẽ tiếp tuyến ME MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi N B giao điểm EF với OM OA d M E D N O A B F C Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) 2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: ON.OM = OA.OB ONB ∽ OAM  g  g   ON OB   ON.OM  OA.OB OA OM b) Vẽ tiếp tuyến AD, AC đến (O) (C, D tiếp điểm) Chứng minh: C, D, B thẳng hàng OE  ON.OM OB OD  Ta có: ON.OM  OA.OB  OD  OA.OB   OD OA OE  OD  BOD  ODA  Xét OBD ODA , ta có:  OB OD  OBD ∽ ODA  c  g  c     OD OA OBD  ODA  900  DB  OA B mà DC  OA A nên DB  DC (Tiên đề Ơ-clit)  C, D, B thẳng hàng c) Xác định vị trí M để SMEF nhỏ Xét (O), ta có: ON khoảng cách từ O đến dây EF  1  EF  CD  EF  CD 1 OB khoảng cách từ O đến dây CD 2 ON  OB quan hệ đường vuông góc đường xiên     OM  OA  quan hệ đường xiên đường vuông góc Ta có:   OB  ON  quan hệ đường xiên đường vuông góc  OM  OB  OA  ON  OM  ON  OA  OB  MN  AB 2 1 EF.MN  CD.AB  SMEF  CD.AB 2 ON  OB  M A Dấu “=” xảy   OM  OA Vậy giá trị nhỏ SMEF CD.AB M  A Từ (1) (2), ta suy Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC vng A Đường cao AH trung tuyến BM cắt O, CO cắt AB D Qua A vẽ đường thẳng (d) song song với BC (d) cắt CD, BM E F A E D' D B O H d F M C Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: 2015 -2016 HB MC DA   1 HC MA DB  HB OH  AF  OA HB AE HB AF   1   AF HC HC AE  AE  OA  HC OH  MC BC  MA  AF HB MC DA AF BC AE Mà  nên      1 HC MA DB AE AF BC DA AE    DC BC b) Giả sử AC = BH, chứng minh CD phân giác ACB Ta dễ chứng minh được: CHA ∽ CAB  g  g   CA HC CA HC mà AC = BH (gt) nên   CB AC CB BH 1  HB MC DA    HB DA DA HC  T a có:  HC MA DB   1   2 HC DB DB HB  MC  MA DA CA Từ (1) (2), ta có:  DB CB D 'A CA Vẽ CD’ đường phân giác ABC   D 'B CB DA CA D 'A DA D 'A D 'B Mà (cmt) nên     DB CB D 'B DB DA DB Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: D 'A D 'B D 'A  D 'B AB      D 'A  DB  D '  D DA DB DA  DB AB Mà CD’ đường phân giác ABC (cách gọi) Nên CD đường phân giác ABC  CD phân giác ACB  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) ... a.4bc  abc  b  9ac  b.9ac  abc   a  4bc    b  9ca    c  ab   12 abc  c  ab  c.ab  abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công... điểm EF với OM OA d M E D N O A B F C Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) 2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: ON.OM = OA.OB ONB ∽ OAM  g  g ... cắt CD, BM E F A E D' D B O H d F M C Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: 2015 -2016 HB MC DA   1 HC MA DB  HB OH