Sau khi đi một giờ ôtô bị chắn bởi đường tầu hỏa mất 10 phút, do đó để đến B đúng hạn ôtô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại.. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm
Trang 1Năm học 2000 − 2001
Bài 1 (3 điểm): Cho các biểu thức P 2a a 2 a 3a 3
2 a 3
=
− và
2 3
2a 2a Q
−
=
− a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn các biểu thức P, Q
b) So sánh các biểu thức P và Q
c) Tìm a để P Q + = 3
HD: a) ĐK: a > 0, a 9
4
≠ và a ≠ 1 Ta có: P (2 a 3)(a 1) a 1
2 a 3
2a(a 1)
a (a 1)
−
−
b) Ta có: P – Q = a 1 2 a + − = ( a 1) − 2≥ 0 Vậy: P ≥ Q
c) Với a > 0, a 9
4
≠ và a ≠ 1: P Q + = 3 ⇔ a 1 3 + = ⇔ a = ⇔ = 2 a 4
Bài 2 (2 điểm): Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một
thời gian qui định Sau khi đi một giờ ôtô bị chắn bởi đường tầu hỏa mất 10 phút, do đó
để đến B đúng hạn ôtô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc ôtô lúc đầu
HD: Gọi vận tốc của ôtô lúc đầu là x (x > 0) Ta có phương trình:
Quãng đường đầu là x, quãng đường còn lại là 120 – x
Ta có phương trình: 1 1 120 x 120
−
+ ⇔ 7x 2 + 42x + 720x – 6x 2 = 720x + 4320
⇔ x 2 + 42x – 4320 = 0 ⇔ x 2 + 7x – 120 = 0 ⇒ x1 = 48, x2 = –90 (loại) Trả lời: Vận tốc của ôtô lúc đầu là 48km/h
Bài 3 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC ở D và E
a) Chứng minh rằng tứ giác DAEH là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng
b) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC lần lượt ở M, N Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và HC
c) Chứng minh ∆BAC ∆AHC Suy ra: AC2 = BC.HC
d) Tính diện tích tứ giác DENM biết AB = 7cm, AC = 10cm
HD: a) Dễ thấy ba góc A, D, E của tứ giác bằng 90 0⇒ đpcm
b) Ta có: MD = MH (hai tiếp tuyến cắt nhau)
µ1 µ
D = B (= 1
2sđ»AD) ⇒ ΔDMB cân⇒DM = BM⇒ đpcm Tương tự với trường hợp N là trung điểm của HC
1
N M
E
D
O
B
A
Trang 2c) ΔBAC ΔAHC (hai tam giác vuông cùng chung góc nhọn C) ⇒ hệ thức cần chứng minh
d)Cách 1:
Ta có: 12 12 12 DE AH (AB.AC)2 22 702 70 149
149 149
NE = NC = 1
2HC = 1 AC. 2 1 10. 2 50 149
2 BC = 2 149 = 149 Tương tự: DM 1. 72 49 149
2 149 298
Vậy: SDEMH = 1(DM NE).DE
2 + = 1 50 149 49 149 70 149. 35 17,5
2 ) Cách 2: Sử dụng t/c diện tích đa giác có: (Hay hơn cách 1)
SABC = SBDH + SCEH + SDAEH ; SDENM = SMHD + SNHE + SDHE
Mà SMHD = SBDH :2 ; SNHE =SCEH :2 ; SDHE = SDENM :2 Từ đó suy ra SDENM
=SABC:2=AB.AC:4
Bài 4 (1 điểm): Cho phương trình x2 + mx + m − 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
HD: PT đã cho có hai nghiệm phân biệt
⇔ m 2 – 4(m – 2) = m 2 – 4m + 8 = (m – 2) 2 + 4 > 0 ∀m
x + x = (x + x ) − 2x x = m 2 – 2m + 4 = (m – 1) 2 + 3 ≥ 3
⇒ min = 3 ⇔ m = 1
………